平面連桿機構(gòu)的運動分析.ppt

上海海運大學專用,封面,機構(gòu)分析與 綜合的解,張紀元編著,二七年八月,上海海運大學專用,上海海事大學研究生重點課程 機構(gòu)分析與綜合,機構(gòu)分析與綜合的解 張紀元編著 人民交通出版社 二七年八月,上海海運大學專用,機構(gòu)分析與綜合的解,第一章 平面連桿機構(gòu)的運動分析 第二章 空間連桿機構(gòu)的運動分析 第三章 機械手的位姿分析 第四章 機構(gòu)的運動誤差分析 第五章 機構(gòu)的動力分析 第六章 平面機構(gòu)的平衡 第七章 機器人機構(gòu)的動力分析 第八章 平面凸輪機構(gòu)的設計與反求設計 第九章 機構(gòu)的運動綜合 附錄 非線性代數(shù)方程組的求解方法,上海海運大學專用,第一章 平面連桿機構(gòu)的運動分析,11 坐標變換及坐標變換矩陣,在對機構(gòu)進行分析與綜合時，需要用到各種各樣的坐標變換。本節(jié)概述各種常用的坐標變換關(guān)系 。,一、共原點笛卡兒坐標系間的旋轉(zhuǎn)變換 1、任意兩坐標系間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 如圖1-1所示， 和 為兩共 原點的笛卡兒坐標系。設M點在兩坐標 系的坐標列陣分別為 和 若以 、和 表示坐標軸 、 和 （l=1,2）上的單位矢量，則M點的向徑 可表示為：,圖1-1,上海海運大學專用,分別以 、和 點乘上式，則可得：,若以兩坐標軸間的方向余弦表示上式中相應的兩單位矢量的點積，則上式可用矩陣表示為：,（1-1）,上式可簡記為：,（1-2）,上海海運大學專用,其中， 代表式（1-1）中的（33）矩陣，稱為坐標系 到坐標系 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。由 、和 （l=1,2）為互相正交的單位矢量及方向余弦的定義，易知旋轉(zhuǎn)變換矩陣 為一正交矩陣。因此，坐標系 到坐標系 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。即：,（1-3）,2、繞坐標軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 1）繞x軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,如圖1-2所示，設坐標系 是將坐標系 繞x軸旋轉(zhuǎn)角而得，即對著x軸的正向看，將 平面沿逆時針方向繞x軸旋轉(zhuǎn)角 ，得 平面。根據(jù)式（1-2），易知,式中， 和 分別是任一點M在 坐標系和坐標系 中的坐標列陣， 為繞x軸轉(zhuǎn) 角后從新坐標系 到老坐標系 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，其表達式為：,上海海運大學專用,2）繞y軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 如圖1-3所示，若將 坐標系繞其y軸旋轉(zhuǎn) 角，得新坐標系 ，仿上可得繞y軸轉(zhuǎn) 角后，從新坐標系 到老坐標系 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 ，其表達式為,（1-4）,圖1-2,圖1-3,（1-5）,上海海運大學專用,3）繞z軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 如圖1-4所示，若將坐標系 繞其z軸旋轉(zhuǎn) 角，得新坐標系 ，則新坐標系 到老坐標系 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為,(1-6),圖1-4,圖1-5,3、以歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 如圖1-5所示，設坐標平面 與 的交線（即節(jié)線）為ON。對著軸正向看，在 平面內(nèi)軸 沿逆時針方向轉(zhuǎn)到與節(jié)線ON重合時的角度 稱為進動角；對著節(jié)線ON的正向看，在 平面內(nèi) 軸 沿逆時針方向轉(zhuǎn)到與軸 重合時的角度 稱為章動角；對著 軸正向看，在 平面內(nèi)節(jié)線,上海海運大學專用,ON沿逆時針方向轉(zhuǎn)到與軸 重合時的角度 稱為自轉(zhuǎn)角。 、 和 統(tǒng)稱為坐標系 對坐標系 的三個歐拉角。將坐標系 依次作三個運動：繞 軸轉(zhuǎn) 角、繞節(jié)ON線轉(zhuǎn) 角和繞 軸轉(zhuǎn) 角即得坐標系 。因此，可得歐拉角表示的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 的表達式為,其中， 中的各元素為：,（1-7）,（1-8）,上海海運大學專用,根據(jù)上式，若已知歐拉角 、和 ，則可求得旋轉(zhuǎn)變換矩陣 ；若已知 ，則可進一步求得坐標系 對坐標系 的三個歐拉角 、 和 。 應當指出的是：由于一個矢量有其起點和終點，因此一個矢量的坐標表達式僅與坐標軸的方向有關(guān)，而與坐標系的原點無關(guān)。也即：矢量的坐標變換，只需用到旋轉(zhuǎn)變換矩陣。,二、不共原點笛卡兒坐標系間的坐標變換 如圖16所示，設M點在坐標系 和 中的坐標列陣分別為 和 ，原點 在坐標系 中的坐標列陣為 ，坐標系 到坐標系 的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 ；若以 為原點，引進與 平行的坐標系 ；則M點在 坐標系中的坐標列陣為 因 ，故得：,圖1-6,（1-9）,上海海運大學專用,例1.1 圖17所示的楔塊為一五面體，其6個頂點 在與楔塊相固聯(lián)的坐標系 中的坐標如圖所示。在楔塊未運動時，楔塊坐標系 與固定坐標系 相重合。若將楔塊先繞 軸轉(zhuǎn) ，然后再繞 軸轉(zhuǎn) ，最后沿 軸正向平移4個單位。求經(jīng)上述3個運動后，楔塊6個頂點 在固定坐標系 中的坐標。,解：經(jīng)2個轉(zhuǎn)動后的楔塊坐標系 的位置分別記為 和 ，則由式（16）和式（14）知，相鄰兩坐標系間的旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：,圖1-7,上海海運大學專用,楔塊沿 （即 ）軸正向平移4個單位后，原點 在固定坐標系 中的坐標為 。因此由式（19）知，經(jīng)3個運動后的楔塊坐標系 到固定坐標系 的坐標變換矩陣為： 即,以楔塊6個頂點 在楔塊坐標系 中的坐標代入上式，即得所求：,上海海運大學專用,三、齊次坐標及其變換 1、齊次坐標 不同時為零的任意四個數(shù) 稱為三維空間點的齊次坐標。一個點的齊次坐標 與該點的直角坐標 間的關(guān)系為：,（1-10）,關(guān)于齊次坐標，下面幾點值得注意： 1）齊次坐標不是單值的。只要 ，齊次坐標 和 均表示三維空間中的同一個點。 2）只有當 時，齊次坐標 才能確定三維空間中的一個點。 3）原點的齊次坐標為 ；而 、 和 分別表示Ox軸、Oy軸和Oz軸上的無窮遠點，也即表示Ox軸、Oy軸和Oz軸。 4）為簡便起見，在機構(gòu)學中，一個點的齊次坐標的第4個分量特取為 ，于是點 的齊次坐標為 。 5）一個矢量的齊次坐標的第4個分量為 ；即三維矢量 的齊次坐標為 。這是因為一個矢量的齊次坐標是其終點和起點的齊次坐標之差的原因。,上海海運大學專用,2、齊次坐標變換矩陣 參見圖1-6，若記M點在坐標系 和中的齊次坐標分別 為 和，則根據(jù)式（1-9）可得：,式中，,稱為坐標系 到坐標系 的齊次坐標變換矩陣。 為一個（44）非奇異矩陣。其（33）的主子矩陣為式（1-1）中的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 ，而第4列實為原點 對坐標系 的齊次坐標列陣。,（111）,（1-12）,上海海運大學專用,易知，坐標系 到坐標系 的齊次坐標變換矩陣為,即：,3、D-H矩陣 在空間機構(gòu)的分析與綜合中，廣泛地應用著一種特殊的齊次坐標變換矩陣，即D-H矩陣。圖1-8所示的二個坐標系的配置特點是： 軸是 軸和 軸的公垂線， 和 是二個垂足。為表達兩坐標系間的齊次坐標變換關(guān)系，需用到4個參數(shù)： 、 、 和 。它們的含意為：,（1-13）,（1-14）,圖1-8,上海海運大學專用, 軸到 軸的有向距離， ；當有向線段 的方向與 軸正向相同時， 為正值；反之，為負值；, 軸到 軸的有向夾角；即對著 軸正向看， 軸繞 軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)到與 軸平行時的角度； 軸到 軸的有向距離， ；當有向線段 的方向與 軸正向相同時， 為正值；反之， 為負值； 軸到 軸的有向夾角；即對著 軸正向看， 軸繞軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)到與 軸平行時的角度。 在上述4個參數(shù)中， 和 描述了異面軸線 和 的幾何關(guān)系，而 和 則描述了異面軸線 和 的幾何關(guān)系。根據(jù)4個參數(shù)的定義，坐標系 （ 軸略畫，由右手法則定，下同）可視作坐標 系 經(jīng)二個螺旋運動所得。一個是 軸沿 軸的螺旋運動（ ， ）；另一個是 軸沿 軸的螺旋運動（ ， ）。因此，坐標系 到坐標系 的齊次坐標變換矩陣為,上海海運大學專用,展開上式，可得：,(1-15),式中， 是 中的（33）主子矩陣，也即j坐標系到i坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣；而 為原點 在i坐標系中的坐標列陣。,(1-16),上海海運大學專用,由式（1-13）易知，i 坐標系到j 坐標系的齊次坐標變換矩陣(D-H矩陣)為：,(1-17),四、剛體作空間運動時的位移矩陣 在進行空間機構(gòu)的剛體導引綜合時，必然要涉及到剛體空間位置間的位移描述。如圖1-9所示，當剛體從位置1運動到位置j時，剛體上的兩點P和Q分別從P1、Q1運動到Pj、Qj位置。 設 為固定參考系（簡稱為0坐標系），與剛體相固聯(lián)的某一動坐標系在位置1時處于 位置（簡稱為1坐標系）；在位置j時處于 位置（簡稱為j坐標系）；并設1坐標系和0坐標系平行。若以 表示j坐標系到i坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣， 為正交矩陣，其中， C01=C10=I（單位矩陣）；,上海海運大學專用,以 和 表示點 和 在k坐標系中的坐標列陣，因 ，于是有：,根據(jù)剛體的性質(zhì)知： 代入上式，可得：,(1-18),若以齊次坐標表示上式，則得：,(1-19),其中，,(1-20),圖1-9,上海海運大學專用,稱為剛體從位置1移動到位置j的位移矩陣。此處， 并不表示1坐標系到j坐標系的DH矩陣。而是在已知 、 、和j坐標系到1坐標系的旋轉(zhuǎn)變換矩陣 的條件下，根據(jù)式（1-19）可計算得剛體內(nèi)任一點Q運動到j位置時的位置坐標列陣 。,五、繞任意軸轉(zhuǎn)動的坐標變換矩陣 如圖1-10所示，當一矢量 繞軸 轉(zhuǎn) 角后，到達 位置；其中，為轉(zhuǎn)軸上的單位矢量， 為對著 的正向看， 繞 沿逆時針方向轉(zhuǎn)過的角度；現(xiàn)求 的表達式。 若分別以 ， 和 為坐標軸正向，建立圖示的坐標系 ，并 設的模為r， 和 的夾角為 ，則 、 和 軸上的各單位矢量分別為：,圖110,上海海運大學專用,易知， 在 坐標系中的坐標為,于是，,將i、j和k的表達式代入上式，整理可得：,(1-21),上式是 關(guān)于 、 和 的矢量表達式。為求 的坐標表達式，設在某個坐標系中， 的坐標列陣為 ，單位矢量的坐標列陣為 ，則由式（1-21）可得 的坐標列陣 為,(1-22),式中， 是 坐標的反對稱矩陣， 為轉(zhuǎn)動坐標變換矩陣；,（1-23）,上海海運大學專用,展開式（1-22），可得 的三個坐標分別為,（1-24）,比較式（1-22）和式（1-24），易知轉(zhuǎn)動坐標變換矩陣為,（1-25）,從式（1-22）知，只要將一個矢量轉(zhuǎn)動前的坐標列陣 左乘轉(zhuǎn)動坐標變換矩陣 后，即得轉(zhuǎn)動后的矢量在同一坐標系中的坐標列陣 。,上海海運大學專用,12 封閉向量多邊形法,平面機構(gòu)運動分析的解析方法有封閉向量多邊形法、復數(shù)法和矩陣法等，但最常用的方法是封閉向量多邊形法和復數(shù)法。本節(jié)重點介紹封閉向量多邊形法。 平面機構(gòu)在其任一確定的運動位置，其構(gòu)形為一封閉的平面幾何圖形。在排除了虛約束和局部自由度后，根據(jù)獨立封閉形建立的位置方程個數(shù)恰好等于平面機構(gòu)中待定的位置變量個數(shù)，求解機構(gòu)的位置方程組，可得從動件的位置，進而可進行速度和加速度分析。這就是平面機構(gòu)運動分析的基本原理。,一、獨立封閉形個數(shù) 在根據(jù)機構(gòu)示意圖選出的k個封閉形中，若k=1，則該封閉形是獨立的；若k=2，如果在第2個封閉形中，出現(xiàn)第1個封閉形中未出現(xiàn)的新構(gòu)件，則稱此2個封閉形是相互獨立的；否則,獨立封閉形個數(shù)仍為1；一般地，設已得i個獨立封閉形，如果在一個未經(jīng)判斷的封閉形中，出現(xiàn)前i個獨立封閉形中未出現(xiàn)的新構(gòu)件,上海海運大學專用,則此i1個封閉形為互相獨立的封閉形；由此可在個封閉形中挑選出機構(gòu)的一組獨立封閉形。設其包含的獨立封閉形個數(shù)為l，則根據(jù)圖論中的歐拉公式可知,（1-26）,式中，p為機構(gòu)的運動副個數(shù)，N為機構(gòu)中的構(gòu)件總數(shù)。,二、用封閉向量多邊形法建立機構(gòu)的位置方程組 封閉向量多邊形法建立平面機構(gòu)位置方程組的主要步驟如下： 1）取定與機架固聯(lián)的直角坐標系（一般只畫x軸，y軸由右手法則定）；用矢量代表構(gòu)件或封閉形的邊（若構(gòu)件為連架桿，則其代表矢量起自機架）；標注各矢量的位置角（為x軸正向沿逆時針方向轉(zhuǎn)到與該矢量指向相一致時的角度）； 2）針對每個獨立封閉形，寫出l個矢量封閉方程； 3）將每個矢量封閉方程向x軸和y軸投影，可得由2l個方程組成的機構(gòu)位置方程組。,上海海運大學專用,三、機構(gòu)位置方程組的求解 1、三角函數(shù)的有理化 機構(gòu)的位置方程組是一非線性代數(shù)方程組。其解法有牛頓迭代法、區(qū)間分析法、同倫法和消元法等。機構(gòu)位置方程組中含有三角函數(shù)，為將其化成多項式方程組，以便用區(qū)間分析法、同倫法或消元法求解，必須對三角函數(shù)有理化。三角函數(shù)有理化的方法主要有以下二種： 1）半角正切法 令 ，則,(1-20),因為 ，故在對 、 替代后，可消去分母 ，從而把機構(gòu)位置方程組化成一個多項式方程組。半角正切法不增加變量個數(shù)，但所得多項式方程組復雜，且容易引起增根。,上海海運大學專用,2）補充方程法 令 ， （ 為第j個角變量），再補充一個方程：,(1-28),故在對機構(gòu)位置方程組中的 、 替代后，連同補充方程一起構(gòu)成一個多項式方程組。補充方程法需增加變量個數(shù)，但所得多項式方程組較簡單，而且不易引起增根。實算表明，補充方程法更易成功。 2、三角方程的求解 求解機構(gòu)位置方程組時，常需求解下列三角方程：,(1-29),此時，可用半角正切法求解。令 ，并將式（1-27）代入方程（1-29），消去分母 ，整理可得：,上海海運大學專用,其解為,(1-30),式中的“ ”號應根據(jù)機構(gòu)的裝配構(gòu)形確定。 在求得x后，可由下式確定 ：,(1-31),需注意的是： 的值應根據(jù)點 所在象限定。在FORTRAN語言或C語言中，可調(diào)用內(nèi)部函數(shù)確定,四、平面連桿機構(gòu)的速度和加速度分析 1、速度分析 設平面機構(gòu)的位置方程組為,(1-32),上海海運大學專用,式中， 為n維向量值函數(shù)， 表示 n個待定的位置變量， 是F個輸入運動參數(shù)(即已知的原動件位置量)。 將機構(gòu)位置方程組（1-32）對時間t求導，并注意原動件位置 可得：,(1-33),上式可用矩陣表示為：,(1-34),式中， 的 對 的雅可比矩陣；, 的未知的從動件速度列陣；,； 的系數(shù)矩陣；, 的已知的原動件速度列陣。,上海海運大學專用,(1-35),(1-36),當F=1時， ，式（1-34）成為：,因 已知，且在位移分析完成后，J、E也已知，故方程組（1-34）為一線性方程組。只要J非奇異，解之可得從動件的速度列陣 。,上海海運大學專用,2、加速度分析 將速度方程（1-34）對時間t求導，可得：,(1-37),式中， 的未知的從動件加速度列陣； 的系數(shù)列陣； 的已知的原動件加速度列陣。 因 已知，且在位移、速度分析完成后，J、C均已知，故方程組（1-37）為一線性方程組。只要J非奇異，解之可得未知的從動件加速度列陣 。 注：本書中約定，長度單位：毫米；角度單位：度；時間單位：秒；速度單位：米/秒；加速度單位：米/秒2。,上海海運大學專用,例1.2 在圖1-11所示的六桿機構(gòu)中，設各桿的長度為： ， ， ， ， ， ， ， ；定角 ，機架 和水平軸正向的夾角為 ；若桿為原動件，求其他各桿的位置角 、 、 和 。,解： 1）獨立封閉形的個數(shù) 現(xiàn)取兩個獨立封閉形為 ABCDA和DEFGD； 2）位移分析 （1）取機架 方向為x軸正向，以矢量代表構(gòu)件并標注各位置角； （2）列矢量封閉形方程,圖1-11,上海海運大學專用,（3）建立機構(gòu)的位置方程組,（4）求解機構(gòu)的位置方程組 上述4個方程中，前2個方程和后2個方程可分別求解。為利用三角恒等式 從前2個方程中消去 ，可將前2個方程改寫為：,將上述兩個方程的兩邊平方，再相加，整理可得：,上海海運大學專用,式中，,由半角正切公式（1-31）可得：,式中，,在求得 后，可由下式確定：,同理，從后兩個方程 和 中先消去 ，可得：,上海海運大學專用,式中，,在求得 后， 由下式確定：,3）速度分析 將機構(gòu)的位置方程組對時間求導，并令 整理可得如下的速度方程：,上海海運大學專用,其中，,4）加速度分析 設原動件1的角加速度 ，將速度方程對時間求導，并令 ，整理可得如下的加速度方程：,上海海運大學專用,其中，,13 復數(shù)法 一、平面連桿機構(gòu)位移分析的復數(shù)法 若一個平面矢量的坐標為，則該矢量可用一個復數(shù)表示： 式中， 為虛數(shù)， 為矢量的模， 為矢量對x軸正向的夾角。 用復數(shù)法對平面機構(gòu)進行位移分析的主要步驟如下： 1）對機構(gòu)的每個獨立封閉形寫出個矢量封閉方程； 2）用指數(shù)形式的復數(shù)表示矢量封閉方程中的每個矢量，寫出個復數(shù)位置方程；,上海海運大學專用,3）將 個復數(shù)位置方程的虛部和實部分離，可得由 個方程組成的機構(gòu)位置方程組； 4）求解機構(gòu)位置方程組，可得位移分析的結(jié)果。 例1.3 對例1.2中的封閉形ABCDA用復數(shù)法進行位移分析。 解：對封閉形ABCDA成立,用復數(shù)表示上述矢量封閉方程可得下列復數(shù)位置方程：,區(qū)分上述復數(shù)位置方程的實部和虛部，可得下列位置方程：,求解上述位置方程，可得與例1.2相同的結(jié)果。,上海海運大學專用,二、平面連桿機構(gòu)速度分析的復數(shù)法 用復數(shù)法對平面機構(gòu)進行速度分析的主要步驟如下： 1）將 個復數(shù)位置方程對時間求導，可得 個復數(shù)速度方程； 2）區(qū)分復數(shù)速度方程的實部和虛部，可得由 個方程組成的機構(gòu)速度方程組； 3）求解速度方程組，可得速度分析結(jié)果。 例1.4 對例1.2中的封閉形ABCDA用復數(shù)法進行速度分析。 解：將例1.3中的復數(shù)位置方程對時間求導，可得下列復數(shù)速度方程：,即：,區(qū)分上述復數(shù)速度方程的實部和虛部，可得下列速度方程：,解上述關(guān)于 和 的線性方程組，可得 和 。,上海海運大學專用,三、平面連桿機構(gòu)加速度分析的復數(shù)法 用復數(shù)法對平面機構(gòu)進行加速度分析的主要步驟如下： 1）將 個復數(shù)速度方程對時間求導，可得 個復數(shù)加速度方程； 2）區(qū)分復數(shù)加速度方程的實部和虛部，可得由 個方程組成的機構(gòu)加速度方程組； 3）求解加速度方程組，可得加速度分析結(jié)果。 例1.5 對例1.2中的封閉形ABCDA用復數(shù)法進行加速度分析。 解：將例1.4中的復數(shù)速度方程對時間求導，可得下列復數(shù)加速度方程：,利用 可將上式變形為：,區(qū)分上述方程的實部和虛部，可得下列加速度方程：,上海海運大學專用,解上述關(guān)于 和 的線性方程組，即得 和 。 從復數(shù)法的上述步驟和算例中可看出，復數(shù)法的實質(zhì)是用復數(shù)表示平面矢量，與封閉向量多邊形法的主要計算工作量相差不多，但復數(shù)法表達更簡練些，求導更方便些，應用起來更靈活些。 另外，還可利用共軛復數(shù)的性質(zhì)，從位置方程組中消去一些中間變量，以減少聯(lián)立求解的方程個數(shù)。例如，對一個機構(gòu)的2個獨立閉環(huán)，可得如下2個閉環(huán)復數(shù)方程：,式中， 為個角位置變量，其余量為定值。 若將方程組向 x 和 y 軸投影，可得4個標量方程，需聯(lián)立求解4個方程。為此，我們可按下列做法將聯(lián)立求解方程的個數(shù)降到2個。,上海海運大學專用,為了從上述方程組的第個方程中消去 、第2個方程中消去 ，可將方程組改寫為如下形式：,將上述每個方程的兩邊乘以各自的共軛復數(shù)，化簡可得：,這里，特別要注意上述表達的內(nèi)在規(guī)律。聯(lián)立求解上述2個方程，可得 和 的值，進而可由下式求得 和 的值：,上海海運大學專用,14 平面連桿機構(gòu)的分類及其代號 根據(jù)阿蘇爾(Assur)關(guān)于機構(gòu)組成的理論知，任何機構(gòu)均由機架、原動件和桿組組成。因此，本書中按照桿組和機構(gòu)級別對平面桿組和平面連桿機構(gòu)進行分類。 一、桿組的分類及其代號 桿組依其級別分為級、級和級等桿組，其代號用英文大寫字母L開頭，緊跟3個數(shù)字組成。L(Link)表示桿組，而3個數(shù)字的含義如下：,桿組級別,移動副個數(shù),種號,例如：L323表示含2個移動副的第3種級桿組，等等。若桿組中沒有移動副，則代號中代表移動副個數(shù)的數(shù)字(即第2位數(shù)字)為。,上海海運大學專用,二、平面連桿機構(gòu)的分類及其代號 平面連桿機構(gòu)按組成該機構(gòu)的桿組最高級別分為級、級和級等連桿機構(gòu)，其代號由英文大寫字母P、緊跟7個數(shù)字組成。P(Planar Linkage)表示平面連桿機構(gòu)，而7個數(shù)字的含義如下：,P,機 構(gòu) 級 別,構(gòu) 件 數(shù),移 動 副 個 數(shù),種 號,原 動 件 個 數(shù),注：1)機構(gòu)的構(gòu)件數(shù)用2個數(shù)字表示。若構(gòu)件數(shù)小于10，則代號中代表構(gòu)件數(shù)的2個數(shù)字中的第1個數(shù)字為，第2個數(shù)字為構(gòu)件數(shù)；移動副個數(shù)用一個數(shù)字(09)表示，0表示沒有移動副；,上海海運大學專用,2)種號用2個數(shù)字表示。對同一機構(gòu)，若原動件不同，則種號也不同；當種號小于10時，代號中代表種號的2個數(shù)字中的第1個數(shù)字為0，第2個數(shù)字為種號； 3)若原動件個數(shù)為1，則代號中的第7個數(shù)字可略去不寫。 例如：P206102表示含個移動副的自由度為的第2種平面六桿級連桿機構(gòu)；而P2052032表示含2個移動副的自由度為2的第3種平面五桿級連桿機構(gòu)，等等。由于是根據(jù)機構(gòu)定代號，而不是由代號來確定機構(gòu)，故這種代號表示法雖不能將機構(gòu)和代號一一對應，但可做到每一個機構(gòu)只有一個代號，而不會重復。,15 平面桿組的裝配構(gòu)形 根據(jù)排列組合論和運動鏈同構(gòu)判定的鄰接矩陣法20可知：平面級桿組只有如下5種形式。 一、平面級桿組 1、全鉸鏈級組（L201） 圖112 L201在圖112所示的級桿組中，設各桿長度分別為,上海海運大學專用,， ；外部回轉(zhuǎn)副中心在取定的機架坐標系中的坐標為： ， ；求桿1、2的位置角 和 。 解：該桿組的位置方程組為：,圖1-12 L201,式中，,上述位置方程組的解為：,式中，,上海海運大學專用,算例設： =80.000， =75.000， =250.000， =68.000， =100.000， =125.000，則該桿組的兩個裝配構(gòu)形如表1-1所示。,表1-1 L201的兩個裝配構(gòu)形,2、含1個移動副的級組（L210） 1）L211 在圖113所示的級桿組中，設： ，偏距 ，偏距角為 ；外部回轉(zhuǎn)副中心A和移動副位移s的度量參考點P的坐標為： ， ；移動副的導路方向角為。求桿的位置角1和滑塊2的位移 。,上海海運大學專用,解：該桿組的位置方程組為：,式中，,上述位置方程組的解為：,圖113 L211,式中，,上海海運大學專用,算例設： =125.000， =170.000， =200.000， =-18.000， =150.000， =60.000， =90.000， =38.000，則該桿組的兩個裝配構(gòu)形如表1-2所示。,表1-2 L211的兩個裝配構(gòu)形,3、含2個移動副的級組（L220） 1）L221 在圖115所示的級桿組中，已知外部回轉(zhuǎn)副中心A和滑塊1的位移s1的度量參考點P的坐標為： ， ；滑塊1的兩條導路間的夾角為 ，其外部移動導路的方向角為；滑塊2的偏距為 ，偏距角為 。求滑塊的位移 和滑塊的相對位移 。,圖115 L221,上海海運大學專用,解：該桿組的位置方程組為：,式中,上述位置方程組的解為：,上海海運大學專用,算例設： =83.000， =190.000， =80.000， =-10.000， =70.000， =55.000， =90.000， =43.000，則該桿組的一個裝配構(gòu)形如表1-4所示。,表1-4 L221的一個裝配構(gòu)形,二、平面級桿組 平面級桿組有許多種型式。但根據(jù)排列組合論和運動鏈同構(gòu)判定的鄰接矩陣法，文Z21證明了如圖117所示的全鉸鏈級三序組可以演化成含有移動副的其它18種不同的級三序組。其中，有3種進化為自由度為1的運動鏈。因此，共有如下16種級三序組。 1、全鉸鏈級三序組（L301）,上海海運大學專用,在圖117所示的級桿組中，已知3個外部回轉(zhuǎn)副中心的坐標： ， ， ；有關(guān)桿長： ， ， ， ， ；定角 ；求位置角14。,圖117 L301,解：該桿組的位置方程組為：,上海海運大學專用,式中，,若令： ， ，則上述第一個位置方程組的多項式解為：,T1(X)=U76*X18+U77*X17+U74*X16+U75*X15+U72*X14+U73*X13+U70*X12+U71*X1+ U69=0 T2(X)=U23*X22+U25*X12*X22+2*U3*X1*X22+2*U5*X2+2*U5*X12*X2+4*U1*X1*X2+ U24*X12+2*U3*X1+U22=0,上海海運大學專用,式中， U14 U77均是U1 U13的多項式。 解上述三角形方程組得 、 后，則：,2、含1個移動副的級三序組 1）L311 在圖118所示的級桿組中，已知2個外部回轉(zhuǎn)副中心及移動副參照點的坐標： ， ， ；有關(guān)桿長及偏距： ， ， ， ， ；有關(guān)定角 、 、 ；求位置角2、3、4和 。,圖118 L311,解：該桿組的位置方程組為：,上海海運大學專用,式中，,，,，,若令： ， ， ，則上述第一個位置方程組的多項式解為：,上海海運大學專用,T1(X)=U508*X116+U509*X115+U506*X114+U507*X113+U504*X112+U505*X111+U502*X110+U503*X19+U500*X18+U501*X17+U498*X16+U499*X15+U496*X14+U497*X13+U494*X12+U495*X1+U493=0 T2(X)=U35*X22+U37*X12*X22+U27*X1*X22+U32*X2+U33*X12*X2+4*U7*X1*X2+U36*X12+U26*X1+U34=0 T3(X)=U1*X3+U1*X22*X3+U1*X12*X3+U1*X12*X22*X3+U19*X22+U21*X12*X22+U20*X12+U18=0,式中， U14 U509均是U1 U13的多項式。 3、含2個移動副的級三序組,1）L321 在圖120所示的級桿組中，已知外部回轉(zhuǎn)副中心及移動副參照點中心的坐標： ， ， ；有關(guān)桿長和偏距： ， ， ， ， 有關(guān)定角 ， ， ， ，,圖120 L321,上海海運大學專用,求位置角2，3和位移 ， 。,解：該桿組的位置方程組為：,式中，,上海海運大學專用,若令： ， ， ，則上述第一個位置方程組的多項式解為：,T1(X)=U61*X110+U62*X19+U59*X18+U60*X17+U57*X16+U58*X15+U55*X14+U56* X13+U53*X12+U54*X1+U52=0 T2(X)=U25*X2+U26*X12*X2+U29*X14*X2+U28*X14+U30*X13+U24*X12+U27*X1+U23=0 T3(X)=U9*X3+U9*X12*X3+U10*X2+U10*X12*X2+U20*X12-2*U8*X1+U19=0 式中，U15 U62均是U1 U14的多項式。 解上述三角型方程組得 ， ， 后，則,上海海運大學專用,4、含3個移動副的級三序組 1）L331 圖124 L331在圖124所示的級桿組中，已知移動副參照點坐標： ， ， ；有關(guān)桿長和偏距： ， ， ， ， 有關(guān)定角 ， ， ， ， ， ， ；求位置角 2和位移,圖124 L331,解：該桿組的位置方程組為：,式中，,上海海運大學專用,若令： ， ， ， ，則上述位置方程組的多項式解為：,T1(X)=U113*X116+U114*X115+U111*X114+U112*X113+U109*X112+U110*X111+U107* X110+U108*X19+U105*X18+U106*X17+U103*X16+U104*X15+U100*X14+U102*X13+U99*X12+U101*X1+U98=0 T2(X)=U22*X2+U23*X12*X2+U25*X14*X2+U24*X14-2*U1*U3*X13+U21*X12-2*U1*U3*X1+U20=0 T3(X)=U3*U10*U22*X3+U38*X12*X3+U39*X14*X3+U40*X16*X3+U3*U10*U25*X18*X3+U50*X18+U51*X17+U48*X16+U49*X15+U45*X14+U47*X13+U44*X12+U46*X1+U43=0,上海海運大學專用,T4(X)=U3*X4+U3*X12*X4+U2*X2+U2*X12*X2+U15*X12+U14=0 式中，U14 U114均是U1 U13的多項式。,解上述三角型方程組得 ， ， ， 后，則,5、含4個移動副的級三序組 1）L341 圖130 L341在圖130所示的級桿組中，已知外部回轉(zhuǎn)副中心及移動副參照點坐標： ， ， ；有關(guān)桿長： ， ；有關(guān)定角 ， ， ， ， ；求位移 ， ， ， 。,圖130 L341,上海海運大學專用,解：該桿組的位置可由下列各式確定：,式中，,上海海運大學專用,三、平面級桿組 平面級桿組僅舉一例：L401型。在圖133所示平面級桿組中，已知外部回轉(zhuǎn)副中心的坐標為： ， ；有關(guān)桿長： ， ， ， ， ， ；有關(guān)定角： ， 。求位置角 ， ， ， 。,解：該桿組的位置方程組為：,圖133 L401,上海海運大學專用,式中，,若令： ， ，則上述第一個方程組的多項式解為,T1(X)=U81*X18+U82*X17+U79*X16+U80*X15+U77*X14+U78*X13+U75*X12+U76*X1+U74=0 T2(X)=U28*X22+U30*X12*X22+U20*X1*X22+U25*X2+U26*X12*X2+4*U1*X1*X2+U29*X12+U19*X1+U27=0 式中， U15U82均是U1 U14的多項式。,上海海運大學專用,解上述三角型方程組得 ， 后，則,當用桿組的裝配構(gòu)形求平面連桿機構(gòu)的裝配構(gòu)形時，首先要對刻機構(gòu)進行拆組，然后依次調(diào)用相應的桿組裝配構(gòu)形求解子程序，最后可得整個機構(gòu)的裝配構(gòu)形。,1-6 平面連桿機構(gòu)的裝配構(gòu)形 平面連桿機構(gòu)是應用最廣泛的一類機構(gòu)。作者用封閉向量多邊形法和復數(shù)法求解了工業(yè)機械裝置中常見的近200種平面連桿機構(gòu)的裝配構(gòu)形，本節(jié)節(jié)選了其中的一些典型機構(gòu)。根據(jù)13中有關(guān)的類型代號確定規(guī)則，可由構(gòu)件數(shù)和移動副個數(shù)等信息在作者編制的平面連桿機構(gòu)裝配構(gòu)形程序庫中檢索到所需求解的一些平面連桿機構(gòu)。,上海海運大學專用,一、平面四桿機構(gòu) 圖134 P2040011、P204001（聯(lián)架桿為原動件的鉸鏈四桿機構(gòu)） 在圖134所示的鉸鏈四桿機構(gòu)中，設聯(lián)架桿為原動件，已知各桿長度為： ， ， ， ；求桿和桿的位置角和。,圖134 P204001,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上述位置方程組的解為：,式中，,上海海運大學專用,算例設：l1=50.000，l2=80.000，l3=80.000，l4=100.000， =50.000，則該機構(gòu)的兩個裝配構(gòu)形如表123所示。,表123 P204001的兩個裝配構(gòu)形,2、P204101（曲柄為原動件的曲柄滑塊機構(gòu)） 在圖135所示的曲柄滑塊機構(gòu)中，設曲柄AB為原動件，已知各桿長度為： ， ，偏距為（ADDC，圖示時，e為正值；上置時，e為負值，下同），導路傾角為；求桿的位置角2和滑塊的位移 。,圖135 P204101,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上海海運大學專用,上述位置方程組的解為：,式中，,算例設：l1=50，l2=100，e=40， =60，a=30，則該機構(gòu)的兩個裝配構(gòu)形如表124所示。,表124 P204101的兩個裝配構(gòu)形,上海海運大學專用,二、平面五桿機構(gòu) 1、P2050012（個聯(lián)架桿為原動件） 在圖145所示的鉸鏈五桿機構(gòu)中，已知各桿 長度為 ， ， ， ， 。設個聯(lián)架桿的位置角1和4已知， 求桿和桿的位置角2和3。,圖145 P2050012,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上述位置方程組的解為：,式中，,上海海運大學專用,2、P2051012（構(gòu)件和滑塊為原動件） 在圖146所示的五桿機構(gòu)中，已知各桿 長度為： ， ， ，,圖146 P2051012,偏距 ，偏距角為 。設構(gòu)件的 位置角1和滑塊的位移已知，求構(gòu)件和構(gòu)件的位置角2和3。,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上海海運大學專用,上述位置方程組的解為：,式中，,3、P2052012（聯(lián)架桿和滑塊為原動件）在圖147所示的五桿機構(gòu)中，已知各桿長度為： ， ，偏距 ，偏距角為 ， （AFEF），兩導路方向的夾角為43。 設聯(lián)架桿的位置角1和滑塊的相對位移 已知，求連桿的位置角2和滑塊的相對位移 。,圖147 P2052012,上海海運大學專用,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上述位置方程組的解為：,式中，,三、平面級六桿機構(gòu) 圖148 P2060011、P206001（雙四桿機構(gòu)）在圖148所示的六桿機構(gòu)中，設各桿的長度為： ， ， ， ， ， ， ,機架對水平軸正向的傾角為，,上海海運大學專用,置角2、3、4和5。,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上述位置方程組的解為：,式中，,上海海運大學專用,3、P206112（縫紉機擺梭機構(gòu)） 在圖1-50所示的六桿機構(gòu)中，設各桿長度為： ， ， ， ， ， ，機架與水平軸正向的夾角為6；若桿1為原動件，求桿2、3、5的位置角2、3、5和滑塊4的位移 。,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,圖1-50 P206112,上海海運大學專用,上述位置方程組的解為：,式中，,5、P206203（飛機起落架收放機構(gòu)） 在圖152所示的六桿機構(gòu)中，設各桿 長度為： ， ，機架的長度為 ，對水平軸的傾角為5；P為度量位移s3的參照點， ， 對水平軸的傾角為6；滑塊3的導路對 水平軸的傾角為3；若給定導桿2的相對位移 ，求桿2、4、5的位置角2、,圖152 P206203,上海海運大學專用,。,4、5和滑塊3的位移 。,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上述位置方程組的解為：,上海海運大學專用,式中，,7、P206401（含個移動副的六桿機構(gòu)）在圖154所示的六桿機構(gòu)中，設P3為構(gòu)件3位移 的度量參考點，令 ，構(gòu)件3導路與水平軸垂直；P5為構(gòu)件5位移 的度量參考點，令 ，構(gòu)件5導路的方向角為5；點A、P3和P5同在一條與水平軸平行的直線上；若桿1為原動件，求滑塊2的相對位移 ，滑塊3的位移 ， 滑塊4的位移 以及滑塊5的位移,圖154 P206401,上海海運大學專用,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,上述位置方程組的解為：,四、平面級六桿機構(gòu) 圖155 P3060011、鉸鏈六桿機構(gòu)（P306001型）在圖155所示的六桿機構(gòu)中，設各桿長度分別為： ， ， ， ， ， ， ， ，對水平軸的傾角為 ，中心構(gòu)件3的定角 ，若桿1為原動件，求桿2、3、4、5的位置角 。,圖155 P306001,上海海運大學專用,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,從上述位置方程組中消去、可得：,式中，,上海海運大學專用,若令 ， ，則上述方程組的多項式解為：,T1(X)=U69*X18+U68*X17+U67*X16+U66*X15+U65*X14+U63*X13+U61*X12+U62*X1+U64=0 T2(X)=U23*X1*X22+U20*X22+U21*X12*X22+U24*X2+U25*X12*X2+ 4*+U6*X1*X2+U19*X12+U22*X1+U18=0 式中，U14 U69均是U1 U13的多項式。 在求得 、 后，各位置角可由下式求得：,上海海運大學專用,算例設：l1=40.000，l2=160.000，l3=120.000，r3=100.000，l4=100.000，l5=100.000，l6=160.000，r6=100.000，b3= 53.000，g6=60.000，j1= 60.000，則該機構(gòu)的六個裝配構(gòu)形如表144所示。,表144 P306001的六個裝配構(gòu)形,圖156 P306102,2、P306102（提升機構(gòu)） 圖156 P306102在圖156所示的六桿機構(gòu)中，設各桿長度分別為： ， ， ， ， ， ，對水平軸的傾角為 ，滑塊2導路的偏距為 ，偏距角為 ；中心構(gòu)件的定角 ；若滑塊2為原動件（即相對位移 已知），,上海海運大學專用,且令 ，求桿1、3、4、5的位置角 、 、 、 。,解：該機構(gòu)的位置方程組為：,從上述方程組中消去和，則可得：,式中，,若令： ， ，則上述方程組的多項式解為：,上海海運大學專用,T1(X)=U70*X18+U69*X1