有限元方法與ANSYS應(yīng)用二講.ppt

彈性力學(xué)中的五個基本假定。 關(guān)于材料性質(zhì)的假定及其在建立彈力理論中的作用： （1）連續(xù)性 假定物體是連續(xù)的。各物理量可用連續(xù)函數(shù)表示。 （2）完全彈性 假定物體是, a.完全彈性外力取消,變形恢復(fù),無殘余變形。 b.線性彈性應(yīng)力與應(yīng)變成正比。 即應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系可用胡克定律表示（物理線性）。 （3）均勻性 假定物體由同種材料組成。 E、等與位置 無關(guān) （4）各向同性 假定物體各向同性。E、等與方向無關(guān)。 符合（1）-（4）假定的稱為理想彈性體。,（5）小變形假定 假定位移和形變?yōu)楹苄　?a.位移物體尺寸, 例：梁的撓度v梁高h. a.簡化平衡條件：考慮微分體的平衡條件時，可以用變形前的尺寸代替變形后的尺寸。 b.簡化幾何方程：在幾何方程中，由于 可略去 等項,使幾何方程成為線性方程。,彈性力學(xué)中幾個基本概念,外力其他物體對研究對象（彈性體）的作用力 體力作用于物體體積內(nèi)的力。如重力、慣性力和電磁力。以單位體積內(nèi)所受的力來量度， 面力作用于物體表面上的力。如流體壓力和接觸力。以單位面積所受的力來量度 集中力如牽引力 彈性體受外力以后，其內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力。,正負號規(guī)定： 、 、 沿坐標(biāo)正 向為正，負向為負。,量綱（因次）：,fy,fz,P,f,fx,矢量 方向沿 的極限方向,、 、 沿坐標(biāo) 軸正向為正、負向為負,量綱：,P,方向沿 極限方向,正負號規(guī)定：,內(nèi)力假想切開物體，截面兩邊互相作用的力（合力和合力矩，稱為內(nèi)力。,應(yīng)力截面上某一點處，單位截面面積上的內(nèi)力值。 正應(yīng)力是作用在垂直于x軸的面上同時也沿著X軸方向作用的。 剪應(yīng)力是作用在垂直于X軸的面上而沿著y軸方向作用的。 應(yīng)力成對出現(xiàn)，坐標(biāo)面上的應(yīng)力以正面正向，負面負向為正。(如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的正方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負方向為負。相反，如果某一個面上的外法線是沿著坐標(biāo)軸的負方向，這個面上的應(yīng)力就以沿坐標(biāo)軸的負方向為正，沿坐標(biāo)軸正方向為負。),P,m,n,矢量 方向沿 的極限方向,量綱：,沿截面切向和法向分解為 和,應(yīng)力分量的空間方位，注意每個分量的作用面與作用方向！,剪應(yīng)力互等定律 作用在兩個互相垂直的面上并且垂直于該兩面交線的剪應(yīng)力是互等的。(大小相等，正負號也相同)。因此剪應(yīng)力記號的兩個角碼可以對調(diào)。,應(yīng)力分量 一般說來，彈性體內(nèi)各點的應(yīng)力狀態(tài)都不相同，因此，描述彈性體內(nèi)應(yīng)力狀態(tài)的上述六個應(yīng)力分量并不是常量，而是坐標(biāo)x、y、z的函數(shù)。,六個應(yīng)力分量的總體，可以用一個列矩陣 來表示：,位移、應(yīng)變、剛體位移,彈性體在受外力以后，還將發(fā)生變形。物體的變形狀態(tài)，一般有兩種方式來描述： 1、給出各點的位移；2、給出各微元體的變形 彈性體內(nèi)任一點的位移，用此位移在x、y、z三個坐標(biāo)軸上的投影u、v、w來表示。這三個投影稱為位移分量。 以沿坐標(biāo)軸正方向為正，沿坐標(biāo)軸負方向為負.一般情況下，彈性體受力以后，各點的位移并不是定值，而是坐標(biāo)的函數(shù)。,微元體的變形可以分為兩類： 1、長度的變化，2、角度的變化。 任一線素的長度的變化與原有長度的比值稱為線應(yīng)變(或稱正應(yīng)變)，用符號 來表示。沿坐標(biāo)軸的線應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。當(dāng)線素伸長時，其線應(yīng)變?yōu)檎７粗?，線素縮短時，其線應(yīng)變?yōu)樨?。這與正應(yīng)力的正負號規(guī)定相對應(yīng)。 任意兩個原來彼此正交的線素，在變形后其夾角的變化值稱為角應(yīng)變或剪應(yīng)變，用符號 來表示。兩坐標(biāo)軸之間的角應(yīng)變，則加上相應(yīng)的角碼，分別用 來表示。規(guī)定當(dāng)夾角變小時為正，變大時為負，與剪應(yīng)力的正負號規(guī)定相對應(yīng)(正的 引起正的 ，等等)。,描述變形體的基本方程,已知量：物體的形狀和大小、材料性質(zhì)、體力、邊界上的面力或約束。 待求量：應(yīng)力、形變和位移。,彈性力學(xué)的研究方法,解法：,根據(jù)微分體上力的平衡條件，建立平衡微分方程； 根據(jù)微分線段上應(yīng)變位移的幾何條件，建立幾何方程； 根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變間的物理條件，建立物理方程,在彈性體邊界上： 根據(jù)面力條件，建立應(yīng)力邊界條件； 根據(jù)約束條件，建立位移邊界條件。,在彈性體內(nèi)部：,彈性力學(xué)基本方程, 考慮微元體各個面上的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力與其體力平衡，注意應(yīng)力從一個面到對面是變化的，即有增量，將作用于微元體各個方向的力求和，略去高階項，可得平衡方程（受力狀態(tài)的描述）：,平衡微分方程的推導(dǎo)過程,二、幾何方程 空間獨立的應(yīng)變分量,正應(yīng)變分量：,切應(yīng)變分量：,應(yīng)變分量列陣：,如何計算正應(yīng)變和切應(yīng)變？,正應(yīng)變,切應(yīng)變,如何描述位移分量？,幾何方程,幾何方程描述應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系！,如何推導(dǎo)幾何方程？,幾何坐標(biāo)：,幾何位移：,因此，正應(yīng)變,切應(yīng)變,采用同樣的思路，分析微單元體在xoz與yoz上的投影及之后的幾何變形， 可獲得其他三個分量（1個正應(yīng)變分量和2個切應(yīng)變分量)。,幾何方程,應(yīng)變分量,三、物理方程 對均勻、連續(xù)、各向同性的彈性材料，存在虎克定律,未知數(shù) 位移3個+應(yīng)力6個+應(yīng)變6個=15 方程個數(shù) 平衡方程3個+幾何方程6個+物理方程6個=15 原則上15個方程可以求解15個未知量，但實際上先求出一部分 ，再通過方程求剩下的。,四、邊界條件,4.1 位移邊界條件 給出邊界面上所有點的位移,給定邊界上位移,4.2 應(yīng)力邊界條件,給出邊界面abc上表面力!,目前有限元法采用位移法，以三個位移分量為基本未知量。 位移產(chǎn)生變形，變形產(chǎn)生應(yīng)變，應(yīng)變產(chǎn)生應(yīng)力，應(yīng)力于外力平衡。,協(xié)調(diào)的含義：不重疊、不開裂！,圖a示一平衡的杠桿，對C點 寫力矩平衡方程： 圖b表示杠桿繞支點C轉(zhuǎn)動時 的剛體位移圖： 綜合可得： 即： 式是以功的形式表述的。 表明：圖a的平衡力系在圖b的位移上作功時，功的總和必須等于零。這就叫做虛功原理。,五、虛功原理,進一步分析。當(dāng)杠桿處于平衡狀態(tài)時， 和 這兩個位移是不存在的，但是如果某種原因，例如人為地振一下讓它傾斜，一定滿足上式的關(guān)系。將這個客觀存在的關(guān)系抽象成一個普遍的原理，去指導(dǎo)分析和計算結(jié)構(gòu)。,對于在力的作用下處于平衡狀態(tài)的任何物體，不用考慮它是否真正發(fā)生了位移，而假想它發(fā)生了位移，(由于是假想，故稱為虛位移)，那么，物體上所有的力在這個虛位移上的總功必定等于零。這就叫做虛位移原理，也稱虛功原理。在圖a中的 和 所作的功就不是發(fā)生在它本身(狀態(tài)a)的位移上，(因為它本身是平衡的，不存在位移)，而是在狀態(tài)(b)的位移上作的功?？梢?，這個位移對于狀態(tài)(a)來說就是虛位移，亦即是狀態(tài)(a)假象的位移。,必須指出，虛功原理的應(yīng)用范圍是有條件的，它所涉及到的兩個方面，力和位移并不是隨意的。對于力來講，它必須是在位移過程中處于平衡的力系；對于位移來講，雖然是虛位移，但并不是可以任意發(fā)生的。它必須是和約束條件相符合的微小的剛體位移。 還要注意，當(dāng)位移是在某個約束條件下發(fā)生時，則在該約束力方向的位移應(yīng)為零，因而該約束力所作的虛功也應(yīng)為零。這時該約束力叫做被動力。(如上圖中的反力 ，由于支點C沒有位移，故 所作的虛功等于零)。反之，如上圖中的 和 是在位移過程中作功的力，稱為主動力。因此，在平衡力系中應(yīng)當(dāng)分清楚哪些是主動力，哪些是被動力，而在寫虛功方程時，只有主動力作虛功，而被動力是不作虛功的。,虛功原理表述如下： 在力的作用下處于平衡狀態(tài)的體系，當(dāng)發(fā)生與約束條件相符合的任意微小的虛剛體位移時，體系上的主動力在虛位移上所作的總功(各力所作的功的代數(shù)和)恒對于零。 虛功原理用公式表示為： 這就是虛功方程，其中P和 相應(yīng)的代表力和虛位移。,虛功方程是按剛體的情況得出的，即假設(shè)上圖的杠桿是絕對剛性，沒有任何的變形，因而在方程中沒有內(nèi)功項出現(xiàn)，而只有外功項。 將虛功原理用于彈性變形時，總虛功 要包括外力虛功 和內(nèi)力虛功 兩部分，即： 內(nèi)力功前面有一負號，由于彈性體在變形過程中，內(nèi)力是克服變形而產(chǎn)生的，所有內(nèi)力的方向總是與變形的方向相反，所以內(nèi)力功取負值 根據(jù)虛功原理，總功等于零得： 外力虛功 = 內(nèi)力虛功 彈性力學(xué)中的虛功原理可表達為：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，如果發(fā)生了虛位移，那么所有的外力在虛位移上的虛功(外力功)等于整個彈性體內(nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功(內(nèi)力功)。,虛功原理-用于彈性體的情況,虛位移：滿足物體內(nèi)變形連續(xù)條件，邊界上位移約束條件的任何可能的無限小位移。 虛功：真實外力在虛位移上所做的功。 虛應(yīng)變：對可變形的彈性體，虛位移也必將導(dǎo)致虛應(yīng)變，虛應(yīng)變和虛位移之間滿足彈性體幾何方程。 虛功原理：外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，外力在虛位移上做的總虛功等于彈性體內(nèi)真實應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的總虛變形功。,剛體虛位移原理：對剛體而言，如果它處于平衡狀態(tài)，則其上作用力在虛位移上做的總虛功等于零。 剛體：剛體受力后，僅發(fā)生剛體位移，無變形和應(yīng)變發(fā)生。 如何導(dǎo)出彈性體虛功原理？ 外力虛功； 作用在彈性體上的外力在虛位移上做的功 體積力 表面力,外力虛功=體積力虛功+表面力虛功,內(nèi)力虛功即應(yīng)力在虛應(yīng)變上做的虛功，也稱虛應(yīng)變能。,正應(yīng)力虛功,切應(yīng)力虛功,外力虛功= 總變形虛功,彈性力學(xué)平面問題基礎(chǔ),任何實際變形體的力學(xué)問題都是空間問題（三維問題），所受的外力一般都是空間力系。,在某些特殊情況下，比如物體具有特殊形狀，受特殊的外力，特殊的位移約束時，空間問題就可以簡化成平面問題。此時，問題的幾何和力學(xué)量僅僅是二維坐標(biāo)的函數(shù)。所求未知力學(xué)量只是二維空間內(nèi)的分量。,這種平面問題模型下，所得到的結(jié)果能滿足工程上的精度要求，而分析計算工作量大大減少。,大量的固體力學(xué)問題都可以簡化為平面問題。,平面問題包括：平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。,一、平面應(yīng)力問題,平面應(yīng)力問題的基本特征：,平面應(yīng)力問題模型,1）幾何特征,2）受力特征,薄板的兩個側(cè)面上無載荷作用；,邊緣上受到平行于板面且沿板厚均勻分布的面力作用；,體力平行于板面且不沿板厚變化（x,y的函數(shù)）。,物體在一個方向（z)的尺寸遠遠小于其它兩個方向（x,y)的尺寸。幾何為均勻薄板。,以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點均有： 另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認為在整個薄板內(nèi)各點均有： 于是，在六個應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應(yīng)力分量，即 ，所以稱為平面應(yīng)力問題。,應(yīng)力分量：,x,y的函數(shù),應(yīng)變分量：,x,y的函數(shù),位移分量：,（非獨立）,由基本特征推出：,二、平面應(yīng)變問題,平面應(yīng)變問題的例子,平面應(yīng)變問題的基本特征：,1）幾何特征,一個方向（z)尺寸遠遠大于其它兩個方向（x,y)的尺寸,呈現(xiàn)為無限長等截面柱體。,2）受力特征,外力（體力、面力）平行于橫截面作用，且沿縱向不變化。,平面應(yīng)變問題的應(yīng)力、應(yīng)變、位移分量,（非獨立）,應(yīng)變分量：,x,y的函數(shù),x,y的函數(shù),應(yīng)力分量：,位移分量：,平面應(yīng)變問題的例子,由基本特征推出：,三、平面問題基本方程和邊界條件,平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題都歸結(jié)為求解平面內(nèi)的3個應(yīng)力分量、3個應(yīng)變分量、2個位移分量。,要求解這些未知力學(xué)量，需要通過研究彈性體的平衡、幾何、物理關(guān)系得到足夠的方程。,一）平面問題幾何方程應(yīng)變位移關(guān)系,算子矩陣,幾何方程對于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題相同,物理方程中后兩式可見，這時的剪應(yīng)變： 由第三式可見： 一般， 并不一定等于零，但可由 及 求得，在分析問題時不必考慮。于是只需要考慮 三個應(yīng)變分量即可，于是應(yīng)變矩陣,二）平面問題的物理方程應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,轉(zhuǎn)化成應(yīng)