系統(tǒng)可觀測性所要研究的是由輸出估計(jì)狀態(tài)的可能性.ppt

系統(tǒng)可觀測性所要研究的是由輸出估計(jì)狀態(tài)的可能性。,例2-11：考慮如下二階系統(tǒng)：,2-3 線性系統(tǒng)的可觀性,其狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣為,一、可觀測性的定義,這個(gè)例子說明，通過對系統(tǒng)輸入和輸出信息的測量，經(jīng)過一段時(shí)間的積累和加權(quán)處理之后，我們可以唯一地確定出系統(tǒng)的初始狀態(tài)，也就是說，輸出對系統(tǒng)的初始狀態(tài)有判斷能力。初始狀態(tài)一旦確定，則系統(tǒng)在任何時(shí)刻的狀態(tài)就完全掌握了。,定義2-6：若對狀態(tài)空間中任一非零初態(tài)x(t0)，存在一個(gè)有限時(shí)刻t1t0，使得由輸入ut0,t1和輸出yt0,t1能夠唯一確定初始狀態(tài)x(t0)，則稱動(dòng)態(tài)方程,在t0時(shí)刻是可觀測的。反之稱為是不可觀測的。,定理2-8：動(dòng)態(tài)方程,在t0時(shí)刻可觀測的充分必要條件是存在一個(gè)有限時(shí)刻t1t0，使得矩陣,的 n 個(gè)列在t0, t1上線性無關(guān)。,二、可觀測性的一般判別準(zhǔn)則,1）研究,分析() 式：q 個(gè)方程，n 個(gè)未知數(shù)，因此只利用 t0 時(shí)刻的輸出值無法唯一確定x(t0) 。,(),證明：充分性：,2). 利用 y 在t0, t1的值，通過加權(quán)處理， 即在() 式兩邊左乘：,經(jīng)過整理后有：,3). 對上式兩邊由t0 到 t1 積分，有,對照定理2-1，可知 V(t0, t1) 非奇異的充分必要條件是C(t) (t, t0) 在t0, t1上列線性無關(guān)。,證完。,注：在討論上述方程的可解性時(shí)，不妨令u=0，即只討論從零輸入響應(yīng)中求初態(tài)。,類似于定理2-5，有 定理2-10 設(shè)狀態(tài)方程(A(t), B(t), C(t)中的矩陣A(t), C(t)是(n1)次連續(xù)可微的。若存在有限時(shí)間t1t0,使得,則系統(tǒng)在t0 時(shí)刻可觀測。,這里，,三、可重構(gòu)性,與可到達(dá)性概念相仿，可引入可重構(gòu)的概念。,定義2-7與定義2-6在因果性上有區(qū)別：可重構(gòu) 是用過去的信息來判斷現(xiàn)在的狀態(tài)；而可觀測性則 是用未來的信息來判斷現(xiàn)在的狀態(tài)。,定理2-9：系統(tǒng),(21）,四、線性系統(tǒng)的對偶性,同理可證2)。,(2) CeAt的各在0， )上是復(fù)數(shù)域線列線性無關(guān)。,(1) 在0， )中的每一個(gè) t0 ,（2-21）可觀測；,(3)對于任何t0 0 及任何 t t0 ，矩陣,非奇異；,下列提法等價(jià):,定理2-11：對于n 維線性不變狀態(tài)方程,五、線性時(shí)不變系統(tǒng)的可觀測性判據(jù),（2-21）,(5) 在復(fù)數(shù)域上，矩陣C(sIA)1的列是線性無關(guān)的；,(6) 對于A 的任一特征值 ，都有,證明：利用對偶原理即可證明。,而,不可觀測的振型及相應(yīng)的模式 若定理2-11,6的條件不滿足，即存在,這說明 是A的屬于特征值0的特征向量，它在C的核空間中，0 是不可觀的模態(tài)。它對應(yīng)的特征向量落在C 的核中，輸出 y 不反映0對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)模式。,例題,2- 4 若當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程 的可控性和可觀測性,一、等價(jià)變換的性質(zhì),令 ， ，則經(jīng)等價(jià)變換后有,其中：,定理2-13：在任何等價(jià)變換之下，線性時(shí)不變系統(tǒng)的可控性和可觀測性不變。,注：定理2-13可以推廣到線性時(shí)變系統(tǒng)（習(xí)題（2-11）。,但,證完。,二、若當(dāng)動(dòng)態(tài)方程的可控性和可觀測性判據(jù),典型的若當(dāng)矩陣：,0,0,0,0,-5,-5,5,5,5,5,0,0,0,0,0,0,-5,-5,5,5,5,5,0,0,當(dāng)系統(tǒng)矩陣有重特征值時(shí)，常?？梢曰癁槿舢?dāng)形，這時(shí)A、 B、C的形式如下：,1. A 有m個(gè)相異的特征值1, 2 ., m ；,Ai ：所有與i 對應(yīng)的若當(dāng)塊構(gòu)成的矩陣，共有 ri 塊； Bi ：B中與Ai 對應(yīng)的的子塊； Ci ：C中與Ai 對應(yīng)的的子塊； Aij ：表示Ai 的第 j 個(gè)若當(dāng)塊； Bij ： Bi 中與Aij 對應(yīng)的的子塊； Cij ： Ci 中與Aij 對應(yīng)的的子塊；,3. bLij ： Bij 的最后一行；,4. c1ij ：Cij的第一列。,定 理2-14 (可控、可觀性判據(jù)) 若當(dāng)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(2-26)可控的充分必要條件為下列矩陣行線性無關(guān),若當(dāng)型動(dòng)態(tài)系統(tǒng)(2-26)可觀測的充分必要條件為下列矩陣列線性無關(guān) ：,證明：,令A(yù)i是ni 階子塊，只需考慮,根據(jù)PBH檢驗(yàn)法，,行滿秩，則肯定有,證完。,例題,考察系統(tǒng)的可控性和可觀測性。,行線性無關(guān),行線性無關(guān),按照上述記號，可知A有二個(gè)不同的特征值1,2，特征值1對應(yīng)有三個(gè)若當(dāng)塊，特征值2對應(yīng)有兩個(gè)若當(dāng)塊，判別可控性的行向量為,每組的行向量線性無關(guān)，滿足判據(jù)的要求，故系統(tǒng)可控。,再來考察這個(gè)系統(tǒng)的可觀測性。,由于 c121=0 該系統(tǒng)不可觀測。,推論2-14： （1）若當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程 (A, b) 可控的充分必要條件是對應(yīng)于一個(gè)特征值只有一個(gè)若當(dāng)塊，且向量b 中所有與若當(dāng)塊最后一行相對應(yīng)的元素不為零； （2）若當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程 (A, c) 可觀測的充分必要條件是對應(yīng)于一個(gè)特征值只有一個(gè)若當(dāng)塊，且向量c 中所有與若當(dāng)塊第一列相對應(yīng)的元素不為零。,利用PBH檢驗(yàn)法，立即可知這個(gè)系統(tǒng)是可控的。,例215 設(shè)有兩個(gè)若當(dāng)型狀態(tài)方程,由推論214可知，狀態(tài)方程（229）可控。 方程（230）是時(shí)變的，雖然A陣具有若當(dāng)型且對所有的t，b(t)的各分量非零，但并不能應(yīng)用推論214來判斷可控性。,事實(shí)上，由定理24，對任一固定的t0有,顯然對所有tt0，矩陣 的各行線性相關(guān)，故方程（230）在任何t0均不可控。,習(xí)題2-14,用若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形來做比較直接。首先找出全部運(yùn)動(dòng)模式出現(xiàn)在輸出中的條件(充要條件)，將它與系統(tǒng)可觀測的條件比較。為了簡單，只用下例說明：,運(yùn)動(dòng)模式有三個(gè)：,出現(xiàn)在矩陣指數(shù)第一行；對應(yīng)于最高階若當(dāng)塊的第一行,當(dāng)C的第一列為非零向量時(shí)，對恰當(dāng)選取的x(0)，y(t)中就包含了三個(gè)運(yùn)動(dòng)模式。而這一條件比要求C中一、四列線性無關(guān)的條件(即可觀測)要弱。 因此，最高階若當(dāng)塊對應(yīng)的特征向量不在C的核中時(shí), y(t)中就包含了這一若當(dāng)塊所對應(yīng)的全部模式。,示意圖如下：,若A陣每一個(gè)特征值只有一個(gè)若當(dāng)塊(即A是循環(huán)矩陣)時(shí)，模式全出現(xiàn)就和可觀等價(jià)了。,關(guān)于值域、核與正交補(bǔ),核空間：KerA=xxX Ax=0，這里， KerA是A的不變子空間，即有,X n 維線性空間 定義域,一個(gè) mn矩陣 A可看作 n 維線性空間X到m維線性空間Y的映射,Y m 維線性空間 值域,若A是 nn 矩陣，可以看作 n 維空間到自身的線性變換, A是這一線性變換的矩陣表示。,2. 值域：ImA=yy Y 存在xX ，Ax=y dim ImA=rank A ImA是A的列向量所張成的空間?？梢员硎?