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線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng) 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 卷積積分,第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析,2.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的描述及其響應(yīng),2.1.1 系統(tǒng)的描述 描述線性非時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性常系數(shù)微分方程。對于電系統(tǒng),列寫數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)有如下兩方面。 1. 元件約束VAR 在電流、電壓取關(guān)聯(lián)參考方向條件下: (1)電阻R,uR(t)=RiR(t);,(2)電感L, (3)電容C, (4)互感(同、異名端連接)、理想變壓器等原、副邊電壓、電流關(guān)系等。,2. 結(jié)構(gòu)約束KCL與KVL 下面舉例說明。 例21 圖2.1所示電路,輸入激勵是電流源iS(t),試列出電流iL(t)及R1上電壓u1(t)為輸出響應(yīng)變量的方程式。,對上式求導(dǎo),考慮到,根據(jù)KCL,有iC(t)=iS(t)-iL(t),因而 u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t),整理上式后,可得,從上面例子可得到兩點(diǎn)結(jié)論: (1)解得的數(shù)學(xué)模型,即求得的微分方程的階數(shù)與動態(tài)電路的階數(shù)(即獨(dú)立動態(tài)元件的個(gè)數(shù))是一致的。 (2)輸出響應(yīng)無論是iL(t)、u1(t),或是uC(t)、i1(t),還是其它別的變量,它們的齊次方程都相同。 這表明,同一系統(tǒng)當(dāng)它的元件參數(shù)確定不變時(shí),它的自由頻率是唯一的。,2.1.2 微分方程的經(jīng)典解 我們將上面兩個(gè)例子推廣到一般,如果單輸入、單輸出線性非時(shí)變的激勵為f(t),其全響應(yīng)為y(t),則描述線性非時(shí)變系統(tǒng)的激勵f(t)與響應(yīng)y(t)之間關(guān)系的是n階常系數(shù)線性微分方程,它可寫為 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) 式中an-1,a1,a0和bm, bm-1,b1,b0均為常數(shù)。該方程的全解由齊次解和特解組成。齊次方程的解即為齊次解,用yh(t)表示。非齊次方程的特解用yp(t)表示。即有 y(t)=yh(t)+yp(t),1.齊次解 齊次解滿足齊次微分方程 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0 由高等數(shù)學(xué)經(jīng)典理論知,該齊次微分方程的特征方程為 n+a n-1n-1+a1+a0=0,(1)特征根均為單根。如果幾個(gè)特征根都互不相同(即無重根),則微分方程的齊次解 (2) 特征根有重根。若1是特征方程的重根,即有1=2=3=,而其余(n-)個(gè)根+1,+2,n都是單根,則微分方程的齊次解,(3)特征根有一對單復(fù)根。即1, 2=ajb,則微分方程的齊次解 yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt (4)特征根有一對m重復(fù)根。即共有m重1,2=ajb的復(fù)根,則微分方程的齊次解,2.特解 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。下表列出了幾種類型的激勵函數(shù)f(t)及其所對應(yīng)的特征解yp(t)。選定特解后,將它代入到原微分方程,求出其待定系數(shù)Pi,就可得出特解。,激勵函數(shù)及所對應(yīng)的解,3.完全解 根據(jù)上節(jié)所講,完全解是齊次解與特解之和,如果微分方程的特征根全為單根,則微分方程的全解為,當(dāng)特征根中1為重根,而其余(n-)個(gè)根均為單根時(shí),方程的全解為,如果微分方程的特征根都是單根,則方程的完全解為上式,將給定的初始條件分別代入到式上及其各階導(dǎo)數(shù),可得方程組 y(0)=c1+c2+cn+yp(0) y(0)=1c1+2c2+ncn+yp(0) y(n-1)(0)=n-1 1c1+ n-1 2c2+n-1 ncn+y(n-1)p(0),2.1.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 線性非時(shí)變系統(tǒng)的完全響應(yīng)也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)是激勵為零時(shí)僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)所引起的響應(yīng),用yx(t)表示;零狀態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零(即系統(tǒng)的初始儲能為零)時(shí),僅由輸入信號所引起的響應(yīng),用yf(t)表示。這樣,線性非時(shí)變系統(tǒng)的全響應(yīng)將是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和,即 y(t)=yx(t)+yf(t),在零輸入條件下,式(27)等式右端均為零,化為齊次方程。若其特征根全為單根,則其零輸入響應(yīng) 式中cxi為待定常數(shù)。 若系統(tǒng)的初始儲能為零,亦即初始狀態(tài)為零,這時(shí)式(27)仍為非齊次方程。若其特征根均為單根,則其零狀態(tài)響應(yīng),式中cfi為待定常數(shù)。 系統(tǒng)的完全響應(yīng)即可分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng),也可分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),它們的關(guān)系為:,式中,在電路分析中,為確定初始條件,常常利用系統(tǒng)內(nèi)部儲能的連續(xù)性,即電容上電荷的連續(xù)性和電感中磁鏈的連續(xù)性。這就是動態(tài)電路中的換路定理。若換路發(fā)生在t=t0時(shí)刻,有,2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng),2.2.1 沖激響應(yīng) 一線性非時(shí)變系統(tǒng),當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí),輸入為單位沖激信號(t)所引起的響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng),簡稱沖激響應(yīng),用h(t)表示。亦即,沖激響應(yīng)是激勵為單位沖激信號(t)時(shí),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。其示意圖如下圖所示。,沖激響應(yīng)示意圖,1.沖激平衡法 沖激平衡法是指為保持系統(tǒng)對應(yīng)的動態(tài)方程式的恒等,方程式兩邊所具有的沖激信號函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)必須相等。根據(jù)此規(guī)則即可求得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 例: 已知某線性非時(shí)變系統(tǒng)的動態(tài)方程式為,試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。,解 根據(jù)系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的定義,當(dāng)f(t)=(t)時(shí),即為h(t),即原動態(tài)方程式為 由于動態(tài)方程式右側(cè)存在沖激信號(t),為了保持動態(tài)方程式的左右平衡,等式左側(cè)也必須含有(t)。這樣沖激響應(yīng)h(t)必為Aetu(t)的形式??紤]到該動態(tài)方程的特征方程為,特征根1=-3,因此可設(shè)h(t)=Ae-3tu(t),式中A為待定系數(shù),將h(t)代入原方程式有,即,解得A=2,因此,系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為,求導(dǎo)后,對含有(t)的項(xiàng)利用沖激信號(t)的取 樣特性進(jìn)行化簡,即,2.等效初始條件法 系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的求解還有另一種方法,稱為等效初始條件法。沖激響應(yīng)h(t)是系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下,受單位沖激信號(t)激勵所產(chǎn)生的響應(yīng),它屬于零狀態(tài)響應(yīng)。 例: 已知某線性非時(shí)變(LTI)系統(tǒng)的動態(tài)方程式為 y(t)+3y(t)=2f(t)t0 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。 解 沖激響應(yīng)h(t)滿足動態(tài)方程式 h(t)+3h(t)=2(t)t0,由于動態(tài)方程式右邊最高次為(t),故方程左邊的最高次h(t)中必含有(t),故設(shè) h(t)=A(t)+Bu(t) 因而有 h(t)=Au(t) 將h(t)與h(t)分別代入原動態(tài)方程有 A(t)+Bu(t)+3Au(t)=2(t) A(t)+(B+3A)u(t)=2(t) 解得 A=2,B=-6,3.其它方法 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)反映的是系統(tǒng)的特性,只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān),而與系統(tǒng)的外部激勵無關(guān)。但系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以由沖激信號(t)作用于系統(tǒng)而求得。在以上兩種求解系統(tǒng)沖激響應(yīng)h(t)的過程中,都是已知系統(tǒng)的動態(tài)方程。,2.2.2 階躍響應(yīng) 一線性非時(shí)變系統(tǒng),當(dāng)其初始狀態(tài)為零時(shí),輸入為單位階躍函數(shù)所引起的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng),簡稱階躍響應(yīng),用g(t)表示。階躍響應(yīng)是激勵為單位階躍函數(shù)u(t)時(shí),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),如圖2.17所示。,階躍響應(yīng)示意圖,如果描述系統(tǒng)的微分方程是式 y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1 f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t) , 將f(t)=u(t)代入,可求得其特解 上的特征根i(i=1,2,n)均為單根,則系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的一般形式(nm)為,2.3 卷積積分,2.3.1 信號分解為沖激信號序列 在信號分析與系統(tǒng)分析時(shí),常常需要將信號分解為基本信號的形式。這樣,對信號與系統(tǒng)的分析就變?yōu)閷拘盘柕姆治?,從而將?fù)雜問題簡單化,且可以使信號與系統(tǒng)分析的物理過程更加清晰。信號分解為沖激信號序列就是其中的一個(gè)實(shí)例。,信號分解為沖激序列,從上圖可見,將任意信號f(t)分解成許多小矩形,間隔為,各矩形的高度就是信號f(t)在該點(diǎn)的函數(shù)值。根據(jù)函數(shù)積分原理,當(dāng)很小時(shí),可以用這些小矩形的頂端構(gòu)成階梯信號來近似表示信號f(t);而當(dāng)0時(shí),可以用這些小矩形來精確表達(dá)信號f(t)。即,上式只是近似表示信號f(t),且越小,其誤差越小。當(dāng)0時(shí),可以用上式精確地表示信號f(t)。由于當(dāng)0時(shí),k,d,且,故式在0時(shí),有,2.3.2 卷積積分法求解零狀態(tài)響應(yīng) 在求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)時(shí),將任意信號f(t)都分解為沖激信號序列,然后充分利用線性非時(shí)變系統(tǒng)的特性,從而解得系統(tǒng)在任意信號f(t)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)。 由上式可得,上式表明,任意信號f(t)可以分解為無限多個(gè)沖激序列的疊加。不同的信號f(t)只是沖激信號(t-k)前的系數(shù)f(k)不同(系數(shù)亦即是該沖激信號的強(qiáng)度)。這樣,任一信號f(t)作用于系統(tǒng)產(chǎn)生的響應(yīng)yf(t)可由諸(t-k)產(chǎn)生的響應(yīng)疊加而成。對于線性非時(shí)變系統(tǒng),若系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t),則有下列關(guān)系式成立。,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為輸入激勵f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)的卷積積分,為,2.3.3卷積積分的性質(zhì) 1.卷積積分的代數(shù)性質(zhì) 卷積積分是一種線性運(yùn)算,它具有以下基本特征。 1)交換律,由上式說明兩信號的卷積積分與次序無關(guān)。即系統(tǒng)輸入信號f(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)可以互相調(diào)換,其零狀態(tài)響應(yīng)不變。,系統(tǒng)級聯(lián)滿足交換律,2) 分配律 (f1(t)+f2(t)*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t) 上式的實(shí)際意義如下圖所示,表明兩個(gè)信號f1(t)與f2(t)疊加后通過某系統(tǒng)h(t)將等于兩個(gè)信號分別通過此系統(tǒng)h(t)后再疊加。,卷積分配律示意圖,3)結(jié)合律 設(shè)有u(t),v(t),w(t)三函數(shù),則有 u(t)*(v(t)*w(t)=(u(t)*v(t)*w(t) 由于,此時(shí)積分變量為,此時(shí)積分變量為,而從上式來看,對變量而言,無異于一常數(shù)??梢胄路e分變量x=+,則有=x-,d=dx。將這些關(guān)系代入上式右邊括號內(nèi),則有,交換積分次序,并根據(jù)卷積定義,即可得,4)卷積的微分特性 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t),證明,5) 卷積的積分特性 設(shè) y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t) 式中y(-1)(t),f(-1)(t)及h(-1)(t)分別表示y(t),f(t)及h(t)對時(shí)間t的一次積分。,6) 卷積的等效特性 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t) 證明卷積微分特性,有 y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 將上式對時(shí)間t積分,即可證明式 y(t)=f(-1)(t)*h(t)=f(t)*h(-1)(t),上式說明,通過激勵信號f(t)的導(dǎo)數(shù)與沖激響應(yīng)h(t)的積分的卷積,或激勵信號f(t)的積分與沖激響應(yīng)h(t)的導(dǎo)數(shù)的卷積,同樣可以求得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。這一關(guān)系為計(jì)算系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)提供了一條新途徑。 上述性質(zhì)4)、5)、6)可以進(jìn)一步推廣,其一般形式如下: 設(shè) y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t) 則 y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t),7) 卷積的延時(shí)特性 若 f(t)*h(t)=y(t) 則有 f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2),2. 奇異信號的卷積特性 含奇異信號的卷積積分具有以下特性。 1)延時(shí)特性 f(t)*k(t-t0)=kf(t-t0),理想延時(shí)器及其沖激響應(yīng),同理,如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)為(t),則此系統(tǒng)稱為理想放大器,其中k稱為放大器的增益或放大系數(shù),如圖所示。當(dāng)信號f(t)通過該放大器時(shí),其輸出為 y(t)=f(t)*k(t)=kf(t) 即輸出是輸入信號f(t)的k倍。,理想放大器及其沖激響應(yīng),2) 微分特性 f(t)*(t)=f(t) 即,任意信號f(t)與沖激偶信號(t)卷積,其結(jié)果為信號f(t)的一階導(dǎo)數(shù)。 如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為沖激偶信號(t),則此系統(tǒng)稱為微分器,如下圖所示。,微分器及其沖激響應(yīng),3) 積分特性 即,任意信號f(t)與階躍信號u(t)卷積,其結(jié)果為信號f(t)本身對時(shí)間的積分。如果一個(gè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為階躍信號u(t),則此系統(tǒng)稱為積分器,如下圖所示。,積分器及其沖激響應(yīng),2.3.4 卷積積分的計(jì)算 1.解析計(jì)算 參與卷積的兩個(gè)信號f1(t)與f2(t)都可以用解析函數(shù)式表達(dá),可以直接按照卷積的積分定義進(jìn)行計(jì)算。 例: 已知f1(t)=e-3t u(t), f2(t)=e-5t u(t),試計(jì)算兩信號的卷積f1(t)*f2(t)。 解 根據(jù)卷積積分的定義,可得,在利用卷積的定義通過信號的函數(shù)解析式進(jìn)行卷積時(shí),對于一些基本信號可以通過查卷積積分表直接得到,避免卷積積分過程中重復(fù)與繁雜的計(jì)算。卷積積分表如下表所示。當(dāng)然,在利用解析式進(jìn)行求解信號卷積時(shí),可以利用卷積的一些特性來簡化運(yùn)算。,卷積積分常用公式表,2. 圖解計(jì)算 對于一些較簡單的函數(shù)符號,如方波、三角波等,可以利用圖解方式來計(jì)算。而且,熟練掌握圖解卷積的方法,對理解卷積的運(yùn)算過程是有幫助的。下面通過例題來介紹圖解卷積的具體步驟。,例: 已知 分別如下圖(a),(b)所示。試用圖解法求兩信號的卷積y(t)=f(t)*h(t)。,
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