方向導數(shù)與梯度(56).ppt

第八章,第七節(jié),一、方向導數(shù),二、梯度,方向導數(shù)與梯度,假定板上任意一點處的溫度與該點到原點的距離成反比,一、方向導數(shù) 1.問題的提出,一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使金屬受熱,在(3,2)處有一個螞蟻，問：,這只螞蟻應沿什么方向爬行才能最快到達較涼快的地點？,問題1,問題的實質(zhì)：,應沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即溫度的梯度相反方向）爬行.,問題2,2.方向導數(shù)的定義,設l 是xOy 平面上以,是與l 同方向的,為始點的,定義8.8,單位向量.,函數(shù) z = f (x, y) 在點P0(x0 , y0 ) 的某個鄰域,一條射線，,內(nèi)有定義，,為l上另一點，且,射線l 的參數(shù)方程為,存在，,則稱此極限為函數(shù) f ( x, y)在點P0沿方向 l 的,方向導數(shù)，記作,即,1 方向導數(shù)的其他形式：,注,2 方向導數(shù)的幾何意義,過點P0 沿l 作垂直于xOy 面的平面，,與曲面 z = f (x, y)的交線在曲面上相應點M 處的切線MTl(若存在)關于l 方向的斜率:,該平面,3. 方向導數(shù)的計算,則,本質(zhì)上，方向導數(shù)計算可歸結為一元函數(shù)導數(shù)計算,(1) 用定義,例1,在點 (1, 2) 處沿方向,的方向導數(shù).,解,當函數(shù)f(x,y)在點,可微時,又有如下的計算,方向導數(shù)的辦法.,定理8.9,證 由函數(shù),且有,得,在點 可微 ,(2) 用公式,故,解,例2,方向導數(shù)概念可推廣到三元函數(shù)：,同樣有，當函數(shù)在一點可微時，則函數(shù)在該點,沿任意方向的方向導數(shù)都存在，且有,(1),方向導數(shù)與偏導數(shù)的關系,存在,4. 概念之間的關系,存在，且,證,P,l,x,y,o,P,l,P,？,即,但,存在,存在,反例：,（自己證）,(2),可微,可偏導,沿任意方向的方向導數(shù)存在,反例1,反例2,不存在.,設從x軸正方向到射線 l的轉角為，求函數(shù),的方向導數(shù).,并問: l是怎樣的方向時，此方向導數(shù),解,由方向導數(shù)的計算公式知,例4,故,方向導數(shù)達到最小值,方向導數(shù)達到最大值,二、梯度,從例4 看到,到最大值,函數(shù)在點P 沿哪一個方向增加的速度最快？,觀察向量：,恰好與,同方向，,最大.,這是巧合嗎？,不是！,1.定義8.9,設二元函數(shù),為函數(shù) z = f (x, y) 在點 P 處的梯度,記作,( gradient ),在點,具有偏導數(shù)，,稱向量,(1),(2),可微函數(shù) z = f (x, y) 的梯度有下列性質(zhì)：,2. 梯度與方向導數(shù)的關系,證 (1),(2),取得最大值:,注,1,沿梯度相反方向，,2,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),類似于二元函數(shù)，三元函數(shù)的梯度也有上述性質(zhì).,方向：是函數(shù)值增加最快的方向,模 : 等于函數(shù)的方向導數(shù)最大值,求函數(shù),在點,處的梯度.,解,則,注意 x , y , z 具有輪換對稱性,例5,稱為函數(shù),3. 梯度的幾何意義,(1) 等高線,z = f (x, y)的等高(值)線 .,z =c2,z =c1,(2) 等高線 f (x, y) = c 的法向量,(3) 等高線上的法向量與梯度的關系, 0,故 z = f (x, y) 在點 P( x, y )的梯度恰為等高線 f (x, y) = c 在這點的一個法向量，其指向為：從 數(shù)值較低的等高線到數(shù)值較高的等高線，而梯度的模等于函數(shù)沿這個法線方向的方向導數(shù),等高線,梯度為等高線上的一個法向量，其指向為：從數(shù)值較低的等高線到數(shù)值較高的等高線.,函數(shù)在一點的梯度垂直于該點等值面,指向函數(shù),同樣, 對應三元函數(shù),有等值面(等量面),當各偏導數(shù)不同時為零時,等值面上,點P處的法向量為,增大的方向.,例6,解(方法1),恰為等高線 ( u = 0 ),內(nèi),(方法2),4. 梯度的基本運算公式,例7,證,試證,內(nèi)容小結,1. 方向導數(shù)計算公式, 三元函數(shù),在點,沿方向 l (方向角,的方向導數(shù)為, 二元函數(shù),在點,的方向導數(shù)為,沿方向 l (方向角為,可微時方可用