【高考輔導(dǎo)資料】高中物理競賽教程：1.3《光的折射》

1.3 光的折射1.3.1、多層介質(zhì)折射圖1-3-1如圖：多層介質(zhì)折射率分別為則由折射定律得： 1.3.2、平面折射的視深在水中深度為h處有一發(fā)光點Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射線的延長線與OQ交點的深度與入射角i的關(guān)系。 設(shè)水相對于空氣的折射率為，由折射定律得 令OM=x，則于是 ddQQOxMi圖1-3-2上式表明，由Q發(fā)出的不同光線，折射后的延長線不再交于同一點，但對于那些接近法線方向的光線，則，于是 這時與入射角i無關(guān)，即折射線的延長線近似地交于同一點，其深度是原光點深度的。如圖1-3-3所示，MN反射率較低的一個表面，PQ是背面鍍層反射率很高的另一個表面，通常照鏡子靠S2 S3 S1 O2 O1 S S1Q NP M圖1-3-3鍍銀層反射成像，在一定條件下能夠看到四個反射像，其中一個亮度很底。若人離鏡距離，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求兩個像間的距離。圖中S為物點，是經(jīng)MN反射的像，若依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由視深公式得，故兩像間距離為。1.3.3、棱鏡的折射與色散ABCEFi1i2 i2 i1 D G 折射率圖1-3-4入射光線經(jīng)棱鏡折射后改變了方向，出射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向角，由圖1-3-4的幾何關(guān)系知 其中 當(dāng)，很小時，即 hLSS圖1-3-5=（n-1）厚度不計頂角很小的三棱鏡稱之為光楔，對近軸光線而言，與入射角大小無關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣的角度，所以作光楔折射成像光路圖時可畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，圖1-3-5。設(shè)物點S離光楔L則像點在S的正上方。h=l=（n-1）l。 當(dāng)棱鏡中折射光線相對于頂角對稱成等腰三角形時，。 陽光紅紫圖1-3-6圖1-3-7紫紅陽光或者 這為棱鏡的最小偏向角，此式可用來測棱鏡的折射率。由于同一種介質(zhì)對不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以白光經(jīng)過棱鏡折射后產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虹和霓是太陽被大氣中的小水滴折射和反射形成的色散現(xiàn)象。陽光在水滴上經(jīng)兩次折射和一次反射如圖1-3-6。形成內(nèi)紫外紅的虹；陽光經(jīng)小滴兩次折射和兩次反射如圖1-3-7，形成內(nèi)紅外紫的霓。由于霓經(jīng)過一次反射，因此光線較弱，不容易看到。1.3.4、費(fèi)馬原理費(fèi)馬原理指出，光在指定的兩點之間傳播，實際的光程總是為最大或保持恒定，這里的光程是指光在某種均勻介質(zhì)中通過的路程和該種媒質(zhì)的折射率的乘積。費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一個十分重要的基本原理，從費(fèi)馬原理可以推導(dǎo)出幾何光學(xué)中的很多重要規(guī)律。例如光的直線傳播、反射定律，折射定律，都可以從光程極小推出。如果反射面是一個旋轉(zhuǎn)橢球面，而點光源置于其一個焦點上，所有反射光線都經(jīng)過另一個焦點，所有反射光線都經(jīng)過另一個焦點，便是光程恒定的一個例子。此外，透鏡對光線的折射作用，也是很典型的。一平凸透鏡的折射率為n，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為R。在透鏡外主光軸上取一點，（圖1-3-8）。當(dāng)平行光沿主光軸入射時，為使所有光線均會聚于點。試問：（1）透鏡凸面應(yīng)取什么形狀？（2）透鏡頂點A與點O相距多少？（3）對透鏡的孔徑R有何限制？xyBAM（x，y）nRfF圖1-3-8解: 根據(jù)費(fèi)馬原理，以平行光入射并會聚于的所有光線應(yīng)有相等的光程，即最邊緣的光線與任一條光線的光程應(yīng)相等。由此可以確定凸面的方程。其余問題亦可迎刃而解。（1）取坐標(biāo)系如圖，由光線和的等光程性，得整理后，得到任一點M（x，y）的坐標(biāo)x，y應(yīng)滿足的方程為令，則上式成為 這是雙曲線的方程，由旋轉(zhuǎn)對稱性，透鏡的凸面應(yīng)是旋轉(zhuǎn)雙曲面。（2）透鏡頂點A的位置 應(yīng)滿足 或者 可見，對于一定的n和，由R決定。（3）因點在透鏡外，即，這是對R的限制條件，有 即要求 討論 在極限情形，即 時，有如下結(jié)果：即點A與點重合。又因 xyRfAMNntF圖1-3-9 a=0故透鏡凸面的雙曲線方程變?yōu)榧?雙曲線退化成過點的兩條直線，即這時透鏡的凸面變成以為頂點的圓錐面，如圖1-3-9所示?？紤]任意一條入射光線MN，由折射定律有，由幾何關(guān)系故 ， 即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達(dá)點，此時的角就是全反射的臨界角。圖1-3-10例1、半徑為R的半圓柱形玻璃磚，橫截面如圖1-3-10所示。O為圓心。已知玻璃的折射率為。當(dāng)光由玻璃射向空氣時，發(fā)生全反射的臨界角為45，一束與MN平面成450的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上，經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從MN平面上射出。求能從MN平面射出的光束的寬度為多少？分析: 如圖1-3-11所示。進(jìn)入玻璃中的光線垂直半球面，沿半徑方向直達(dá)球心，且入射角等于臨界角，恰好在O點發(fā)生全反射，光線左側(cè)的光線經(jīng)球面折射后，射在MN上的入射角都大于臨界角，在MN上發(fā)生全反射，不能從MN射出，光線右側(cè)一直到與球面正好相切的光線范圍上的光線經(jīng)光球面折射后，在MN面上的入射角均小于臨界角，都能從MN面上射出，它們在MN上的出射寬度即是所要求的。圖1-3-11解: 圖1-3-11中，BO為沿半徑方向入射的光線，在O點正好發(fā)生全反射，入射光線在C點與球面相切，此時入射角，折射角為r，則有 即 圖1-3-12這表示在C點折射的光線將垂直MN射出，與MN相交于E點。MN面上OE即是出射光的寬度。討論 如果平行光束是以45角從空氣射到半圓柱的平面表面上，如圖1-3-12所示，此時從半圓柱面上出射的光束范圍是多大？參見圖1-3-13所示，由折身定律，得，即所有折射光線與垂直線的夾角均為30?？紤]在E點發(fā)生折射的折射光線EA，如果此光線剛好在A點發(fā)生全反射，則有，圖1-3-13而，即有，因EA與OB平行，所以，所以，即射向A點左邊MA區(qū)域的折射光（）因在半圓柱面上的入射角均大于45的臨界角而發(fā)生全反射不能從半圓柱面上射出，而A點右邊的光線（）則由小于臨界角而能射出，隨著角的增大，當(dāng)時，將在C點再一次達(dá)到臨界角而發(fā)生全反射，此時 故知能夠從半圓柱球面上出射的光束范圍限制在AC區(qū)域上，對應(yīng)的角度為。點評 正確作出光路圖并抓住對邊界光線的分析是解答問題的兩個重要方向，要予以足夠重視。例2、給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化d圖1-3-14 一束光在O點由空氣垂直入射平板，并在A點以角出射（圖1-3-14）。求A點的折射率nA，并確定A點的位置及平板厚度。（設(shè)）。解: 首先考慮光的路線（圖1-3-15）。對于經(jīng)過一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以應(yīng)用斯涅耳定律 ， 更簡單的形式是 這個公式對任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿x軸變化，即圖1-3-15圖1-3-16 在本題中，垂直光束從折射率為n0的點入射，即為常數(shù)，于是在平板內(nèi)任一點有 與x的關(guān)系已知，因此沿平板中的光束為 圖（1-3-16）表明光束的路徑是一個半徑為XC=r的圓，從而有 現(xiàn)在我們已知道光的路徑，就有可能找到問題的解答。按折射定律，當(dāng)光在A點射出時，有 因為 ，故有 于是 因此 在本題情形 根據(jù) 得出A點的x坐標(biāo)為x=1cm。光線的軌跡方程為 代入x=1cm，得到平板厚度為y=d=5cm圖1-3-17例3、圖1-3-17表示一個盛有折射率為n的液體的槽，槽的中部扣著一個對稱屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，頂角為2，罩內(nèi)為空氣，整個罩子浸沒在液體中，槽底AB的中點處有一個亮點C。請求出：位于液面上方圖標(biāo)平面內(nèi)的眼睛從側(cè)面觀察可看到亮點的條件。解: 本題可用圖示平面內(nèi)的光線進(jìn)行分析，并只討論從右側(cè)觀察的情形。如圖1-3-18所示，由亮點發(fā)出的任一光線CP將經(jīng)過兩次折射而從液面射出。由折射定律，按圖1-3-18圖上標(biāo)記的各相關(guān)角度有 （1） （2）其中 （3）如果液內(nèi)光線入射到液面上時發(fā)生全反射，就沒有從液面射出的折射光線。全反射臨界角。應(yīng)滿足條件 可見光線CP經(jīng)折射后能從液面射出從而可被觀察到的條件為 （4）或 （5）現(xiàn)在計算，利用（3）式可得 由（1）式可得 由此又由（1）式 （6）由圖及（1）、（2）式，或由（6）式均可看出，越大則越小。因此，如果與值最大的光線相應(yīng)的設(shè)為，則任何光線都不能射出液面。反之，只要，這部分光線就能射出液面，從液面上方可以觀察到亮點。由此極端情況即可求出本題要求的條件。自C點發(fā)出的值最大的光線是極靠近CD的光線，它被DB面折射后進(jìn)入液體，由（6）式可知與之相應(yīng)的； 能觀察到亮點的條件為 即 上式可寫成 取平方 化簡后得 故 平方并化簡可得 這就是在液面上方從側(cè)面適當(dāng)?shù)姆较蚰芸吹搅咙c時n與之間應(yīng)滿足條件。例4、如圖1-3-19所示，兩個頂角分別為和的棱鏡膠合在圖1-3-19一起（）。折射率由下式給出： ；其中1、確定使得從任何方向入射的光線在經(jīng)過AC面時不發(fā)生折射的波長。確定此情形的折射率和。2、畫出入射角相同的、波長為、 和的三種不同光線的路徑。3、確定組合棱鏡的最小偏向角。4、計算平行于DC入射且在離開組合棱鏡時仍平行于DC的光線的波長。圖1-3-20解: 1、如果，則從不同方向到達(dá)AC面的波長為的光線就不折射，即 因而 在此情形下 。2、對波長比長的紅光，和均小于1.5。反之，對波長比短的藍(lán)光，兩個折射率均比1.5要大?，F(xiàn)在研究折射率在AC面上如何變化。我們已知道，對波長為的光，。如果考慮波長為而不是的光，則由于，所以 。同理，對藍(lán)光有?，F(xiàn)在我們就能畫出光線穿過組合棱鏡的路徑了（圖1-3-20）。3、對波長為的光，組合棱鏡可看作頂角為30、折射率為n=1.5的單一棱鏡。圖1-3-21我們知道，最小偏向在對稱折射時發(fā)生，即在圖1-3-21中的角相等時發(fā)生。根據(jù)折射定律， 因而 偏向角為 4、利用圖1-3-22中的數(shù)據(jù)，可以寫出圖1-3-22 ；消去后得 經(jīng)變換后得這是的二次方程。求解得出 例5、玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折射率為，液體對綠光的折射率為。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r：R為多少時，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？圖1-3-23分析: 所謂“從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零”，是指眼在容器截面位置看到綠光從C點處沿容器外壁的切線方向射出，即本題所描述為折射角為90的臨界折射。因為題中未給出、的大小關(guān)系，故需要分別討論。解: （1）當(dāng)時，因為是要求r：R的最小值，所以當(dāng)時，應(yīng)考慮的是圖1-3-23中ABCD這樣一種臨界情況，其中BC光線與容器內(nèi)壁相切，CD光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時應(yīng)該有 設(shè)此時容器內(nèi)壁半徑為，在直角三角形BCO中，。當(dāng)時，C處不可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)時，熒光液體中很多點發(fā)出的光都能在C處發(fā)生臨界折射，所以只要滿足 即可看到壁厚為零。圖1-3-24（2）當(dāng)時此時熒光液體發(fā)出的光線將直接穿過容器內(nèi)壁，只要在CD及其延長線上有發(fā)光體，即可看到壁厚為零，因此此時應(yīng)滿足條件仍然是。（3）當(dāng)時因為，所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為90的臨界折射，因此當(dāng)時，所看到的壁厚不可能為零了。當(dāng)時，應(yīng)考慮的是圖1-3-24中ABCD這樣一種臨界情況，其中AB光線的入射角為90，BC光線的折射角為，此時應(yīng)該有 在直角三角形OBE中有 因為圖1-3-23和圖1-3-24中的角是相同的，所以 ，即 將代入，可得當(dāng) 時，可看到容器壁厚度為零。上面的討論，圖1-3-23和圖1-3-24中B點和C點的位置都是任意的，故所得條件對眼的所有位置均能成立（本段說明不可少）。例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率n=1.5，中心軸線長L=45cm，一端是半徑為=10cm的凸球面。（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無限遠(yuǎn)處物成像于主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端應(yīng)磨成什么樣的球面？圖1-3-25F1（2）對于這個玻璃棒，由無限遠(yuǎn)物點射來的平行入射光束與玻璃棒的主光軸成小角度時，從棒射出的平行光束與主光軸成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率）。分析: 首先我們知道對于一個望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處物點發(fā)出的入射光線為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，然后我們再運(yùn)用正弦定理、折射定律及的小角度近似計算，即可得出最后結(jié)果。解: （1）對于一個望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處的物點發(fā)出的入射光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，如圖1-3-25所示，圖中為左端球面的球心。由正弦定理、折射定律和小角度近似得 即 光線射至另一端面時，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該端面的球心一定在端面頂點B的左方，B等于球面的半徑，如圖1-3-25所示。仿照上面對左端球面上折射的關(guān)系可得 又有 由式并代入數(shù)值可得 即右端應(yīng)為半徑等于5cm的向外凸面球面。（2）設(shè)從無限遠(yuǎn)處物點射入的平行光線用a、b表示，令a過，b過A，如圖1-3-26所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點M，即為左端球面對此無限遠(yuǎn)物點成的像點?，F(xiàn)在求M點的位置。在中 又 圖1-3-26F1M已知、均為小角度，則有 與式比較可知，即M位于過 垂直于主光軸的平面上。上面已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過M點的傍軸光線從棒的右端面射出時都將是相互平行的光線。容易看出，從M射向的光線將沿原方向射出，這也就是過M點的任意光線（包括光些a、b）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向與主光軸的夾角即為。 由式可得 則 例7、在直立的平面鏡前放置一個半徑為R的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，其中心離鏡面為3R，缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過球心與鏡面垂直的方向注視魚缸，一條小魚在離鏡面最近處以速度v沿缸壁游動。求觀察者看到魚的兩個像的相對速度。水的折射率n=4/3。見圖1-3-27和圖1-3-28。圖1-3-27解: 魚在1秒鐘內(nèi)游過的距離為v。我們把這個距離當(dāng)作物，而必須求出兩個不同的像。在計算中，我們只考慮近軸光線和小角度，并將角度的正弦角度本身去近似。在點游動的魚只經(jīng)過一個折射面就形成一個像（圖1-3-27）。從點以角度發(fā)出的光線，在A點的水中入射角為v，在空氣中的折射角為，把出射光線向相反方向延長給出虛像位置。顯然 圖1-3-28從三角形，有 利用通常的近似 ，于是 所以這個虛像與球心的距離為水的折射率n=4/3，從而。若折射率大于2，則像是實像。由像距與物距之商得到放大率為 對水來說，放大率為2。以與速度v相應(yīng)的線段為物，它位于在E處平面鏡前距離為2R處，它在鏡后2R遠(yuǎn)的處形成一個與物同樣大小的虛像離球