【高考輔導(dǎo)資料】2007年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編-立體幾何

2007年高考數(shù)學(xué)試題匯編立體幾何一、選擇題1（全國理7題）如圖，正四棱柱中，則異面直線所成角的余弦值為（ D ）A B C D2（全國理7題）已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）A B C D3（北京理3題）平面平面的一個充分條件是（D）A存在一條直線 B存在一條直線C存在兩條平行直線D存在兩條異面直線4（安徽理2題）設(shè)，均為直線，其中，在平面內(nèi)，“”是且“”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件5（安徽理8題）半徑為1的球面上的四點是正四面體的頂點，則與兩點間的球面距離為（ ）A B C D6（福建理8題）已知，為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（ D ）A B C D 7（福建理10題）頂點在同一球面上的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB1，AA1，則A、C兩點間的球面距離為（ B ）A B C D 8（湖北理4題）平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個命題：； ；與相交與相交或重合； 與平行與平行或重合；其中不正確的命題個數(shù)是（ D ）A.1 B.2 C.3 D.49（湖南理8題）棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截得的線段長為（ D ）A B C D10（江蘇理4題）已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題： 其中正確命題的序號是（ C ）A B C D11（江西理7題）如圖，正方體AC1的棱長為1，過點A作平面A1BD的垂線，垂足為點H則以下命題中，錯誤的命題是（ D ） A點H是A1BD的垂心 BAH垂直平面CB1D1 CAH的延長線經(jīng)過點C1 D直線AH和BB1所成角為4512（遼寧理7題）若是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則13（陜西理6題）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（ B ） A B C D 14（四川理4題）如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（ D ）ABD平面CB1D1 BAC1BDCAC1平面CB1D1 D異面直線AD與CB1角為60 2020正視圖20側(cè)視圖101020俯視圖15(寧夏理8題) 已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（B） 16（四川理6題）設(shè)球O的半徑是1，A、B、C是球面上三點，已知A到B、C兩點的球面距離都是，且三面角B-OA-C的大小為，則從A點沿球面經(jīng)B、C兩點再回到A點的最短距離是（ C ）ABCD17（天津理6題）設(shè)為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（D）若與所成的角相等，則 若，則若，則 若，則18（浙江理6題）若P是兩條異面直線外的任意一點，則（ B ）A過點P有且僅有一條直線與都平行 B過點P有且僅有一條直線與都垂直C過點P有且僅有一條直線與都相交 D過點P有且僅有一條直線與都異面二、填空題19（全國理16題）一個等腰直角三角形的三個頂點分別在正三棱柱的三條側(cè)棱上。已知正三棱柱的底面邊長為2，則該三角形的斜邊長為 。20（全國理15題）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm2。21（安徽理15題）在正方體上任意選擇4個頂點，它們可能是如下各種幾何形體的4個頂點，這些幾何形體是 （寫出所有正確結(jié)論的編號）。矩形；不是矩形的平行四邊形；有三個面為等腰直角三角形，有一個面為等邊三角形的四面體；每個面都是等邊三角形的四面體；每個面都是直角三角形的四面體。22（江蘇理14題）正三棱錐高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點到側(cè)面的距離是23（遼寧理15題）若一個底面邊長為，棱長為的正六棱柱的所有頂點都在一個平面上，則此球的體積為 24（上海理10題）平面內(nèi)兩直線有三種位置關(guān)系：相交，平行與重合。已知兩個相交平面與兩直線，又知在內(nèi)的射影為，在內(nèi)的射影為。試寫出與滿足的條件，使之一定能成為是異面直線的充分條件 平行，相交 。25（四川理14題）如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為，底面三角形的邊長為1，則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是 26（天津理12題）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為27（浙江理16題）已知點O在二面角的棱上，點P在內(nèi)，且。若對于內(nèi)異于O的任意一點Q，都有，則二面角的大小是_。三、解答題27（全國理19題）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知ABC45，AB2，BC=2，SASB。()證明：SABC；()求直線SD與平面SAB所成角的大?。唤獯穑航夥ㄒ唬海ǎ┳?，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因為，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得DBCAS（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面因為，所以又，為等腰直角三角形，DBCAS如圖，以為坐標(biāo)原點，為軸正向，建立直角坐標(biāo)系，所以（）取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為28（全國理19題）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。ABCDPEF第38題圖第39題圖()求證：EF平面SAD；()設(shè)SD = 2CD，求二面角AEFD的大小；解法一：（1）作交于點，則為的中點連結(jié)，又，故為平行四邊形，又平面平面所以平面（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形取中點，連結(jié)，則又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面取中點，連結(jié)，則連結(jié)，則故為二面角的平面角所以二面角的大小為解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，取的中點，則平面平面，所以平面（2）不妨設(shè)，則中點又，所以向量和的夾角等于二面角的平面角所以二面角的大小為29（北京理16題）如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動點的斜邊上（I）求證：平面平面；（II）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的大小；（III）求與平面所成角的最大值解法一：（I）由題意，是二面角是直二面角，又二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為（III）由（I）知，平面，是與平面所成的角，且當(dāng)最小時，最大，這時，垂足為，與平面所成角的最大值為解法二：（I）同解法一（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，異面直線與所成角的大小為（III）同解法一30（安徽理17題）如圖，在六面體ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1平面A1B1C1D1，DD1平面ABCD，DD12。（）求證：A1C1與AC共面，B1D1與BD共面；（）求證：平面A1ACC1平面B1BDD1；（）求二面角ABB1C的大小（用反三角函數(shù)值圾示）；31（福建理18題）如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點。（）求證：AB1面A1BD；（）求二面角AA1DB的大??；（）求點C到平面A1BD的距離；分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力滿分12分解答：解法一：（）取中點，連結(jié)為正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點，在正方形中，平面（）設(shè)與交于點，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面，為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又，所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點到平面的距離為由得，點到平面的距離為解法二：（）取中點，連結(jié)為正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中點，以為原點，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，xzABCDOFy，平面（）設(shè)平面的法向量為，令得為平面的一個法向量由（）知平面，為平面的法向量，二面角的大小為（）由（），為平面法向量，點到平面的距離32（廣東理19題）如圖6所示，等腰ABC的底邊AB=6，高CD=3，點B是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EFAB.現(xiàn)沿EF將BEF折起到PEF的位置，使PEAE。記BEx，V(x)表示四棱錐PACFE的體積。（）求V(x)的表達(dá)式；（）當(dāng)x為何值時，V(x)取得最大值？（）當(dāng)V(x)取得最大值時，求異面直線AC與PF所成角的余弦值；33（湖北理18題）如圖，在三棱錐V-ABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中點，且AC=BC=a，VDC=。（）求證：平面VAB平面VCD ；（）當(dāng)角變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍；分析：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力解答：解法1：（），是等腰三角形，又是的中點，又底面于是平面又平面，平面平面（） 過點在平面內(nèi)作于，則由（）知平面連接，于是就是直線與平面所成的角ADBCHV在中，；設(shè)，在中，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法2：（）以所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，ADBCVxyz則由得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法3：（）以點為原點，以所在的直線分別為軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，于是，從而，即同理，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，平面的一個法向量為，ADBCVxy則由，得可取，又，于是，又，即直線與平面所成角的取值范圍為解法4：以所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)ADBCVxyz（），即，即又，平面又平面，平面平面（）設(shè)直線與平面所成的角為，設(shè)是平面的一個非零法向量，則取，得可取，又，于是，關(guān)于遞增，即直線與平面所成角的取值范圍為AEBGDFCAEBCFDG1G2圖1圖234（湖南理18題）如圖1，分別是矩形的邊的中點，是上的一點，將，分別沿翻折成，并連結(jié)，使得平面平面，且連結(jié)，如圖2（I）證明：平面平面；（II）當(dāng)，時，求直線和平面所成的角；解：解法一：（）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面（II）過點作于點，連結(jié)由（I）的結(jié)論可知，平面，所以是和平面所成的角因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，故因為，所以可在上取一點，使，又因為，所以四邊形是矩形由題設(shè)，則所以，因為平面，所以平面，從而故，又，由得故即直線與平面所成的角是解法二：（I）因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，從而又，所以平面因為平面，所以平面平面（II）由（I）可知，平面故可以為原點，分別以直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題設(shè)，則，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是，所以，設(shè)是平面的一個法向量，由得故可取過點作平面于點，因為，所以，于是點在軸上因為，所以，設(shè)（），由，解得，所以設(shè)和平面所成的角是，則故直線與平面所成的角是ABCDA1D1C1B1GMHFE35（江蘇理18題）如圖，已知是棱長為3的正方體，點在上，點在上，且。（I）求證：四點共面；（4分）（II）若點在上，點在上，垂足為，求證：面；（）用表示截面和面所成銳二面角大小，求。36（江西理20題）右圖是一個直三棱柱（以A1B1C1為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC已知A1B1B1C1l，AlBlC190，AAl4，BBl2，CCl3。（I）設(shè)點O是AB的中點，證明：OC平面A1B1C1；（II）求二面角BACA1的大??；（）求此幾何體的體積；解法一：（1）證明：作交于，連則因為是的中點，所以則是平行四邊形，因此有平面且平面，則面（2）如圖，過作截面面，分別交，于，作于，連因為面，所以，則平面又因為，所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角因為，所以，故，即：所求二面角的大小為（3）因為，所以所求幾何體體積為解法二：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為是的中點，所以，易知，是平面的一個法向量因為，平面，所以平面（2），設(shè)是平面的一個法向量，則則，得：取，顯然，為平面的一個法向量則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角所以二面角的大小是（3）同解法一37（遼寧理18題）如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點，為棱上的點，二面角為。（I）證明：；（II）求的長，并求點到平面的距離。38（寧夏理19題）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）求二面角的余弦值證明：（）由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解法一：取中點，連結(jié)，由（）知，得為二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為解法二：以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸、軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為39（陜西理19題）如圖,在底面為直角梯形的四棱錐中，,BC=6。()求證：；()求二面角的大小；解法一：（）平面，平面又，即又平面（）過作，垂足為，連接平面，是在平面上的射影，由三垂線定理知，為二面角的平面角AEDPCBF又，又，由得在中，二面角的大小為解法二：（）如圖，建立坐標(biāo)系，則，AEDPCByzx，又，平面（）設(shè)平面的法向量為，則，又，解得平面的法向量取為，二面角的大小為40（上海理19題）體積為1的直三棱柱中，求直線與平面所成角。41（四川理19題）如圖，四邊形是直角梯形，90，1，2，又1，120，直線與直線所成的角為60.（）求證：平面平面；（）求二面角的大??；（）求三棱錐的體積；分析：本題主要考察異面直線所成的角、平面與平面垂直、二面角、三棱錐體積等有關(guān)知識，考察思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運算能力。解法一：（），又（）取的中點，則，連結(jié)，從而作，交的延長線于，連結(jié)，則由三垂線定理知，從而為二面角的平面角直線與直線所成的角為在中，由余弦定理得在中，在中，在中，故二面角的平面角大小為（）由（）知，為正方形解法二：（）同解法一（）在平面內(nèi)，過作，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）由題意有，設(shè)，則由直線與直線所成的解為，得，即，解得，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得平面的法向量取為設(shè)與所成的角為，則顯然，二面角的平面角為銳角，故二面角的平面角大小為（）取平面的法向量取為，則點A到平面的距離，42（天津理19題）如圖，在四