機(jī)械CAD-CAM技術(shù)第三講-計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù).ppt

-1-,機(jī)械,CAD/CAM技術(shù),中南林業(yè)科技大學(xué) 機(jī)械設(shè)計(jì)制造極其自動(dòng)化教研室 易春峰,-2-,第三講 計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù),計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)是利用計(jì)算機(jī)的高速運(yùn)算能力和實(shí)時(shí)顯示功能來(lái)處理各類(lèi)圖形信息的技術(shù)，包括圖形的輸入、。圖形的生成顯示、圖形的變換、編輯、識(shí)別以及圖形的輸出繪制等方面，這是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的重要內(nèi)容，也是CADCAM作業(yè)中的基本組成部分。本章主要介紹有關(guān)的圖形變換、圖形繪制以及曲線(xiàn)曲面等方面的基本原理和方法。,-3-,第一節(jié) 圖形變換,一、窗口-視區(qū)變換 1、窗口 在進(jìn)行圖形處理時(shí)，常常對(duì)整幅圖形中的某個(gè)部分表示關(guān)注，要把指定的局部圖形從整幅圖形中分離出來(lái)，往往采用開(kāi)“窗口”的方法加以解決，即用戶(hù)在所需要的圖形部分區(qū)域選定一個(gè)觀(guān)察框，這個(gè)觀(guān)察框被稱(chēng)之為窗口，然后，經(jīng)過(guò)圖形軟件系統(tǒng)的圖形變換與裁剪處理，窗口內(nèi)的圖形便在屏幕上顯示出來(lái)。,-4-,窗口通常被定義為一個(gè)矩形框,-5-,2、視區(qū),視區(qū)是在圖形設(shè)備上（如圖形顯示器）定義的矩形區(qū)域，用于輸出所要顯示的圖形和文字。 視區(qū)是一個(gè)有限的整數(shù)域，它小于或等于屏幕區(qū)域。如果在同一屏幕上定義多個(gè)視區(qū)，則可同時(shí)顯示不同的圖形信息，如在繪圖時(shí)常將圖形屏幕分為四個(gè)視區(qū)，其中三個(gè)視區(qū)用于顯示零件的三視圖，另一個(gè)用于顯示零件的軸測(cè)圖。,-6-,SE零件的四個(gè)視區(qū),-7-,ACAD零件的四個(gè)視區(qū),-8-,3、窗口與視區(qū)的變換,窗口與視區(qū)的大小和單位都不相同，為了把所選定窗口內(nèi)的圖形內(nèi)容在希望的視區(qū)上顯示出來(lái)，必須進(jìn)行坐標(biāo)變換，如圖3-2，窗口與視區(qū)的變換可以歸結(jié)為坐標(biāo)點(diǎn)的變換。,-9-,設(shè)窗口內(nèi)某一點(diǎn)坐標(biāo)為(Xw，Yw)，映射到視區(qū)內(nèi)坐標(biāo)為(Xv，Yv)，則它們之間的變換關(guān)系為:,-10-,窗口與視區(qū)的變換特點(diǎn),當(dāng)視區(qū)大小不變時(shí)，窗口縮小或放大時(shí)，則顯示的圖形會(huì)相反地放大或縮??； 當(dāng)窗口大小不變時(shí)，視區(qū)縮小或放大時(shí)，則顯示的圖形會(huì)跟隨縮小或放； 當(dāng)窗口與視區(qū)大小相同時(shí)，則顯示的圖形大小比例不變； 若視區(qū)縱橫比不等于窗口的縱橫比時(shí)，則顯示的圖形會(huì)有伸縮變化。,-11-,窗口縮小 視區(qū)不變,縮小的窗口,-12-,二、二維圖形的幾何變換,1工程圖形的齊次坐標(biāo)矩陣表示 任何工程圖形都可視為點(diǎn)的集合，圖形變換的實(shí)質(zhì)就是對(duì)組成圖形的各頂點(diǎn)進(jìn)行坐標(biāo)變換。為了便于圖形的變換計(jì)算，需要引用齊次坐標(biāo)的概念。所謂齊次坐標(biāo)即將一個(gè)n維矢量用n+1維矢量表示，如二維的點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)可簡(jiǎn)單地表示為（x，y，1）。,-13-,對(duì)于幾何圖形可引用齊次坐標(biāo)矩陣進(jìn)行表示。例如三角形A，在二維、三維平面內(nèi)，其齊次坐標(biāo)矩陣可分別表示為：,-14-,2、二維圖形的基本幾何變換,設(shè)一個(gè)幾何圖形為A，對(duì)該圖形施行某種變換后得到的新圖形為B，則式BAT成立。顯然，B為變換后圖形矩陣，那么稱(chēng)T為變換矩陣，它是用來(lái)對(duì)原圖形施行坐標(biāo)變換的工具。根據(jù)矩陣運(yùn)算原理可知，二維圖形變換T矩陣為3X3階矩陣，而三維圖形變換矩陣T則為4X4階矩陣。,-15-,（1）比例變換,設(shè)圖形在x，y兩個(gè)坐標(biāo)方向放大或縮小比例分別為a和d，則坐標(biāo)點(diǎn)的比例變換為：,-16-,若a=d=1，為恒等變換，即變換后的圖形坐標(biāo)不變； 若a=d1，則為等比例變換，1時(shí)為等比例放大，1時(shí)為等比例縮??； 若a d則圖形在x，y兩個(gè)坐標(biāo)方向以不同的比例變換。,-17-,(2)對(duì)稱(chēng)變換,坐標(biāo)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)變換為：,-18-,1）當(dāng)bc0，a=-1，d=1時(shí)，有x=-x，y=y，產(chǎn)生與y軸對(duì)稱(chēng)圖形，如圖所示：,-19-,2）當(dāng)bc0，a=1，d=-1時(shí)，有x=x，y=-y，產(chǎn)生與x軸對(duì)稱(chēng)圖形，如圖所示：,-20-,3）當(dāng)bc0，a=d=-1時(shí)，有x=-x，y=-y，產(chǎn)生與原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，如圖所示：,-21-,4）當(dāng)bc1，a=d=0時(shí)，有x=y，y=x，產(chǎn)生與45線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形，如圖所示：,-22-,5）當(dāng)bc-1，a=d=0時(shí)，有x=-y，y=-x，產(chǎn)生與-45線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形，如圖所示：,-23-,（3）旋轉(zhuǎn)變換,若使圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)，則對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換為：,-24-,（4）錯(cuò)切變換,其中，c，b分別為x，y坐標(biāo)的錯(cuò)切系數(shù)。,-25-,1）當(dāng)b=0，x=x+cy，y=y。此時(shí)圖形y坐標(biāo)不變，c0，圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移；c0，圖形沿-x方向作錯(cuò)切位移，如圖所示:,-26-,2）當(dāng)c=0，x=x，y=bx+y。此時(shí)圖形x坐標(biāo)不變，b0，圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移；b0，圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移，如圖所示:,-27-,(5)平移變換,圖形在x軸方向的平移量為l ，在y軸方 向的平移量為m，則坐標(biāo)點(diǎn)的平移變換為：,-28-,從上述介紹的5種二維圖形的基本幾何變換可見(jiàn)，各種圖形變換完全取決于變換矩陣中各元素的取值。按照變換矩陣中各元素的功能，可將二維變換矩陣的一般表達(dá)式按如下虛線(xiàn)分為4個(gè)子矩陣：,-29-,子矩陣 可以實(shí)現(xiàn)圖形的比例、對(duì) 稱(chēng)、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本幾何變換； 子矩陣l m可以實(shí)現(xiàn)圖形的平移變換； 子矩陣 可以實(shí)現(xiàn)圖形的透視變換； 子矩陣s實(shí)現(xiàn)圖形的全比例變換，當(dāng)s1時(shí)，圖形等比例縮小； 0s1時(shí)，圖形等比例放大。,-30-,3、復(fù)合變換,CADCAM作業(yè)中的圖形變換是復(fù)雜的，往往僅用一種基本變換是不能實(shí)現(xiàn)的，必須由兩種或多種基本變換l的組合才能得到所需要的最終圖形。 這種由多種基本變換的組合而實(shí)現(xiàn)的變換稱(chēng)之為復(fù)合變換，相應(yīng)的變換矩陣稱(chēng)之為復(fù)合變換矩陣，復(fù)合變換矩陣為多個(gè)基本變換矩陣的乘積。,-31-,復(fù)合變換舉例,例如，將圖形繞任意點(diǎn)P（xp，yp）轉(zhuǎn)a角的旋轉(zhuǎn)變換，可通過(guò)如下的基本變換實(shí)現(xiàn)： 將旋轉(zhuǎn)中心P點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，基本變換矩陣為T(mén)平； 將圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)a角，基本變換矩陣為T(mén)轉(zhuǎn)； 再將旋轉(zhuǎn)中心平移回到原來(lái)位置，基本變換矩陣為T(mén)-平。,-32-,則，圖形繞任意點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：,復(fù)合變換舉例,注：矩陣乘法不符合交換律，矩陣的求解順序不得隨意變動(dòng)。,-33-,三、三維圖形的幾何變換,三維圖形的幾何變換可在二維圖形幾何變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單的擴(kuò)展，運(yùn)用齊次坐標(biāo)的方法，可將三維空間點(diǎn)的幾何變換表示為： x y z 1=x y z 1T 其中，T是4X4階的變換矩陣，即：,-34-,三維變換矩陣的四個(gè)子矩陣,與二維相同，也可將三維變換矩陣按虛線(xiàn)分為4個(gè)子矩陣，其中左上角子矩陣產(chǎn)生三維圖形的比例、對(duì)稱(chēng)、錯(cuò)切和旋轉(zhuǎn)變換；左下角子矩陣產(chǎn)生平移變換；右上角子矩陣產(chǎn)生透視變換；右下角子矩陣產(chǎn)生全比例變換。,-35-,1、三維比例變換,其中，a，e，j分別為x，y，z三個(gè)坐標(biāo)方向的比例因子。當(dāng)a=e=j1時(shí)，圖形將等比例放大；當(dāng)a=e=j1時(shí)，則圖形將等比例縮小。,-36-,2、三維對(duì)稱(chēng)變換,相對(duì)于XOY平面、 YOZ平面和XOZ平面三個(gè)坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)變換矩陣分別為：,-37-,3、三維錯(cuò)切變換,三維錯(cuò)切變換矩陣為：,其中，d，h為沿x方向的錯(cuò)切系數(shù)；b，i為沿y方向的錯(cuò)切系數(shù)；c，f為沿z方向的錯(cuò)切系數(shù)。,-38-,4、三維平移變換,三維平移變換矩陣為：,其中，l，m，n分別為x，y，z三個(gè)坐標(biāo)方向上的平移量。,-39-,5、三維旋轉(zhuǎn)變換,（1）繞z軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣：,-40-,5、三維旋轉(zhuǎn)變換,（2）繞X軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣：,-41-,5、三維旋轉(zhuǎn)變換,（3）繞Y軸旋轉(zhuǎn)角的變換矩陣：,-42-,第二節(jié) 計(jì)算機(jī)輔助繪圖,計(jì)算機(jī)輔助繪圖是在計(jì)算機(jī)軟硬件的輔助下進(jìn)行繪圖作業(yè)的一項(xiàng)技術(shù)，具有效率高。便于編輯、修改和管理的特點(diǎn)。 本節(jié)在介紹目前人們常用的交互式繪圖、程序參數(shù)化繪圖和尺寸驅(qū)動(dòng)式參數(shù)化繪圖的基礎(chǔ)上，介紹參數(shù)化圖庫(kù)的建庫(kù)方法和從三維實(shí)體模型中自動(dòng)生成二維工程圖的相關(guān)技術(shù)。,-43-,一、交互式繪圖,交互式繪圖是指在交互式繪圖系統(tǒng)的支持下，用戶(hù)使用鍵盤(pán)、鼠標(biāo)等輸入設(shè)備通過(guò)人機(jī)對(duì)話(huà)的方式進(jìn)行繪圖的方法。這種方法的最大優(yōu)點(diǎn)在于：用戶(hù)輸入繪圖命令及有關(guān)參數(shù)后，能實(shí)時(shí)地在圖形顯示設(shè)備上得到所繪的圖形，并能直接進(jìn)行編輯修改，直至滿(mǎn)意為止，整個(gè)繪圖過(guò)程非常直觀(guān)、靈活。,-44-,目前，在國(guó)內(nèi)比較流行的交互式繪圖CAD軟件有具有自主版權(quán)的CAXA電子圖板。開(kāi)目CAD。高華CAD和PICAD等， 以及如AutoCAD、Microstation等國(guó)外的軟件系統(tǒng)。 使用最多的還是AutoCAD,-45-,AutoCAD交互式繪圖的一般過(guò)程,（1）設(shè)置繪圖環(huán)境或套用模板 在繪圖作業(yè)開(kāi)始前，一般需根據(jù)所畫(huà)圖形的特點(diǎn)設(shè)置繪圖環(huán)境。如根據(jù)圖形的大小確定圖形邊界，繪制或插入合適的圖框、標(biāo)題欄，并設(shè)置合適的顯示范圍；根據(jù)所畫(huà)圖形的復(fù)雜程度確定圖層的數(shù)目，并定義合適的文字樣式及尺寸標(biāo)注樣式等。 為了提高繪圖的效率，避免每次繪圖時(shí)的重復(fù)設(shè)置，可根據(jù)本行業(yè)、本單位的繪圖標(biāo)準(zhǔn)建立合適的模板文件，以便以后繪圖時(shí)直接套用。,-46-,AutoCAD交互式繪圖的一般過(guò)程,（2）交互式繪圖 根據(jù)視圖的構(gòu)成和布置首先生成各視圖的水平、垂直基準(zhǔn)線(xiàn)，由這些基準(zhǔn)線(xiàn)的位置通過(guò)偏移和坐標(biāo)點(diǎn)的追蹤確定其它圖元的相對(duì)位置。為保證所繪圖形的精確性，繪圖時(shí)可使用如正交、捕捉及目標(biāo)捕捉等各種繪圖輔助功能。為了便于圖形管理，可將不同類(lèi)型的圖形放在不同的圖層上；如果某些圖層上的圖形干涉當(dāng)前層圖形的操作，可將當(dāng)前不需要操作的圖層進(jìn)行凍結(jié)。為了提高繪圖的效率，盡量采用鏡像、陣列、復(fù)制和插入功能，來(lái)加快繪圖的速度。盡量用1:1的比例繪圖。,-47-,AutoCAD繪圖實(shí)例,見(jiàn)教材中P87P88，建議同學(xué)們按教材中的步驟做一遍，復(fù)習(xí)一下AutoCAD，并體會(huì)一下AutoCAD交互繪圖的基本步驟和原則。,-48-,二、程序參數(shù)化繪圖,交互式繪圖是根據(jù)圖形的特點(diǎn)，一條線(xiàn)一條線(xiàn)地通過(guò)人機(jī)交互來(lái)生成圖形的，人工干預(yù)多，繪圖效率低。這種繪圖方式對(duì)于那些具有相同結(jié)構(gòu)而只是尺不同的圖形來(lái)說(shuō)，其工作效率不高的缺陷顯得尤為突出。 在機(jī)械工程圖中，由于很多零部件的形狀是相似的，例如鍵，銷(xiāo)。螺釘，螺母、滾動(dòng)軸承等，繪制這些零件的視圖一般可采用程序參數(shù)化繪圖方法完成。,-49-,在程序參數(shù)化繪圖方法下，用戶(hù)不再需要調(diào)用繪圖命令逐條線(xiàn)地繪制圖形，這樣的工作可交給程序去完成，用戶(hù)所做的工作只是向程序提供所要求的一些參數(shù)。根據(jù)用戶(hù)輸入的參數(shù)程序?qū)⒆詣?dòng)地計(jì)算確定圖形中各實(shí)體的其它幾何參數(shù)，圖形中各實(shí)體之間的拓?fù)潢P(guān)系，如相對(duì)邊平行、鄰邊垂直等則由程序來(lái)保證。,-50-,簡(jiǎn)單鈑金件程序參數(shù)化繪圖實(shí)例,簡(jiǎn)單鈑金件零件圖：,用戶(hù)只要輸入x1，y1，a，b，c，d參數(shù)，程序自動(dòng)地計(jì)算其它幾何參數(shù)：,x2=x3=x1+a x4=x5=x1+a-b x6=x1 y2=y1,y3=y4=y1+d , y5=y6=y1+c,-51-,零件的AutoLisp程序,-52-,零件的AutoLisp程序,-53-,零件的AutoLisp程序,用文本編輯軟件將上述程序編輯完成后，賦予如“Exam.lsp”文件名存放在AutoCAD的某個(gè)搜索目錄下。 調(diào)用時(shí)，首先在AutoCAD圖形編輯狀態(tài)下裝入該文件，命令格式為：（load“Exam”）注意括號(hào)不能丟。當(dāng)該程序正確裝入后，就像使用AutoCAD命令一樣直接輸入函數(shù)名draw調(diào)用，然后根據(jù)程序的提示輸入相關(guān)參數(shù)，程序即可自動(dòng)繪制所需要的圖形。,-54-,程序參數(shù)化繪圖的參數(shù)確定方法,機(jī)械工程圖參數(shù)的選取應(yīng)盡量結(jié)合工程的實(shí)際需要和計(jì)算的方便性。例如，齒輪工程圖樣的繪制應(yīng)該選用齒輪的模數(shù)，齒數(shù)和變位系數(shù)等作為齒輪圖形參數(shù)，而不是用齒頂圓，分度圓直徑等。對(duì)于一些如軸承，螺釘，螺母等標(biāo)準(zhǔn)件，可用其規(guī)格尺寸作為參數(shù)，其它結(jié)構(gòu)尺寸已在工程手冊(cè)中給定，可事先將這些結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)存入文件或數(shù)據(jù)庫(kù)，調(diào)用時(shí)，可由程序根據(jù)規(guī)格尺寸從數(shù)據(jù)庫(kù)中檢索，這樣可盡量減少參數(shù)的數(shù)量，便于操作者的使用。,-55-,局部形狀相似的零件其程序參數(shù)化繪圖方法的基本思路,例如軸類(lèi)零件，一般都可將其分解為由圓柱段，圓錐段、螺紋段、花鍵段等若干軸段組成，而每個(gè)軸段往往又包含有倒角，圓角，鍵槽，退刀槽、中心孔等結(jié)構(gòu)。若將這些形狀特征賦予參數(shù)，編制成繪圖程序，通過(guò)調(diào)用這些特征繪圖程序，可以拼合成各種不同的零件圖形，這種繪圖方法被稱(chēng)之為形狀特征拼合法。,-56-,軸類(lèi)零件可分解的形狀特征及參數(shù),-57-,可以利用AutoLisp程序?qū)γ恳恍螤钐卣鬟M(jìn)行編程，具體AutoLisp編程語(yǔ)法可參考教材中P153P157內(nèi)容。請(qǐng)同學(xué)們課后用AutoLisp對(duì)每個(gè)形狀進(jìn)行編程，并上機(jī)實(shí)驗(yàn)一下這些形狀特征程序，并用他們畫(huà)一個(gè)階梯軸。 必須指出：程序參數(shù)化繪圖也有一定的局限性，即每個(gè)圖形的繪制均需進(jìn)行編程，而且這種繪圖方法不便于圖形的修改。,-58-,三、尺寸驅(qū)動(dòng)式參數(shù)化繪圖,如果無(wú)須對(duì)圖形實(shí)體進(jìn)行準(zhǔn)確定位，而是以草圖形式快速繪制圖形，然后進(jìn)行必要的尺寸標(biāo)注，最后通過(guò)驅(qū)動(dòng)程序產(chǎn)生由尺寸標(biāo)注所控制的準(zhǔn)確圖形，這就是尺寸驅(qū)動(dòng)式參數(shù)化繪圖的基本思想。顯然，這種繪圖方式保留了交互式繪圖的靈活性，又具有程序參數(shù)化繪圖的快捷高效性，是目前被計(jì)算機(jī)圖形系統(tǒng)普遍采用的一種繪圖方式。,-59-,1、尺寸驅(qū)動(dòng)參數(shù)化繪圖原理,尺寸驅(qū)動(dòng)參數(shù)化繪圖一般是由尺寸驅(qū)動(dòng)參數(shù)化軟件模塊在非參數(shù)化圖形基礎(chǔ)上引入了約束機(jī)制實(shí)現(xiàn)的。在參數(shù)化圖形中，除了包含各圖元的幾何信息外，還包含了各種約束條件。這里所述的約束主要有幾何約束和尺寸約束兩種。 幾何約束：為各圖元之間的平行、垂直、相切、對(duì)齊、相等、對(duì)稱(chēng)等拓?fù)潢P(guān)系。 尺寸約束：表示圖形中各組成圖元的長(zhǎng)度、角度、半徑及相對(duì)位置等。,-60-,1、尺寸驅(qū)動(dòng)參數(shù)化繪圖原理,幾何約束一般自動(dòng)完成的，該約束生成后圖形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)已基本固定。 尺寸約束則通過(guò)尺寸標(biāo)注來(lái)實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)所施加的約束正好可以唯一確定圖形的結(jié)構(gòu)和大小時(shí)，則圖形被全約束，參數(shù)化工作完成。 圖形參數(shù)化完成后，各尺寸標(biāo)注的尺寸值就作為參數(shù)來(lái)處理，修改某一個(gè)或多個(gè)尺寸值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)按新尺寸值進(jìn)行調(diào)整。,-61-,2、尺寸驅(qū)動(dòng)參數(shù)化繪圖軟件的主要功能,草圖繪制與整理：繪制草圖并添加幾何約束。 放置驅(qū)動(dòng)尺寸：使圖形全約束。 修改驅(qū)動(dòng)尺寸值，驅(qū)動(dòng)圖形符合設(shè)計(jì)要求。 如proe的草繪。,-62-,四、參數(shù)化圖庫(kù),目前市場(chǎng)上常見(jiàn)的二維CAD系統(tǒng)都附帶有常用的標(biāo)準(zhǔn)件參數(shù)化圖庫(kù)，如PCCAD系統(tǒng)提供了各種緊固件、齒輪、鏈輪、帶輪、潤(rùn)滑與密封件等共數(shù)千個(gè)標(biāo)準(zhǔn)件參數(shù)化圖庫(kù)，從這些圖庫(kù)中可直接調(diào)用各種規(guī)格的標(biāo)準(zhǔn)件零件圖。 除了直接使用軟件系統(tǒng)所提供的已有圖形庫(kù)之外，還可以借助于現(xiàn)有的知識(shí)和軟件工具建立用戶(hù)自己的圖形庫(kù)。,-63-,五、工程圖的自動(dòng)生成,前面所介紹的交互式繪圖，程序式繪圖和尺寸驅(qū)動(dòng)參數(shù)化繪圖等各種繪圖方法，從根本上來(lái)說(shuō)，還均未擺脫二維繪圖的傳統(tǒng)工作模式，在手工繪圖中所遇到的各種難題和問(wèn)題，如復(fù)雜零件的投影線(xiàn)和截交線(xiàn)繪制、圖樣中的漏標(biāo)尺寸、設(shè)計(jì)的修改引起的相關(guān)圖檔的更新等，沒(méi)有得到根本的解決。,-64-,目前，三維實(shí)體造型技術(shù)已相當(dāng)成熟，各種不同的CADCAM系統(tǒng)為用戶(hù)提供了豐富的三維造型的工具和手段，利用這些工具用戶(hù)能夠快速地建立所設(shè)計(jì)對(duì)象的三維實(shí)體模型。根據(jù)已有的三維實(shí)體模型，通過(guò)投影、剖切自動(dòng)生成各種工程圖。這種方法較好地解決了上述二維CAD系統(tǒng)所面臨的問(wèn)題。,-65-,如proe的工程圖，注意投影分角設(shè)置。,-66-,第三節(jié) 曲線(xiàn)和曲面,曲線(xiàn)和曲面是CADCAM中一項(xiàng)重要的技術(shù)基礎(chǔ)。在機(jī)械設(shè)計(jì)與制造中常常遇到各種形狀復(fù)雜的外形表面，這些外形表面不能用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)來(lái)描述，而是通過(guò)一系列的離散點(diǎn)進(jìn)行擬合構(gòu)造，生成所需要的曲線(xiàn)和曲面，如汽車(chē)的車(chē)身，汽輪機(jī)葉片、塑料模具等。 本節(jié)在介紹曲線(xiàn)曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)上著重介紹Bezier曲線(xiàn)曲面，B樣條曲線(xiàn)曲面和NURBS曲線(xiàn)曲面的構(gòu)造描述方法。,-67-,一、曲線(xiàn)曲面的參數(shù)表示,1、曲線(xiàn)曲面的數(shù)學(xué)表示形式 （1）顯式表示對(duì)于一條平面曲線(xiàn)，可顯式地表示為：y=f(x) ，在這種顯式方程表示中，不能表示封閉或多值曲線(xiàn)，如圓等。 （2） 隱式表示用隱式方程表示曲線(xiàn)和曲面的形式為： F（x，y，z)=0，這種隱式方程可表示多值曲線(xiàn)，如各種圓錐曲線(xiàn)（拋物線(xiàn)，橢圓，雙曲線(xiàn)）等，但仍存在曲線(xiàn)與坐標(biāo)軸選取相關(guān)、會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大，不便于計(jì)算和編程等問(wèn)題。,-68-,（3）參數(shù)表示所謂參數(shù)表示，就是將曲線(xiàn)或曲面上點(diǎn)的坐標(biāo)表示為某些參數(shù)的函數(shù)。例如：三維曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)可表示為參數(shù)u的函數(shù)： x=x(u)，y=y(u)，z=z(u) 任意曲線(xiàn)均可映射為參數(shù)空間中的一個(gè)參數(shù)域，曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)都與參數(shù)域內(nèi)的某點(diǎn)保持一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，即曲線(xiàn)上每一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z）都可由一個(gè)參數(shù)u的函數(shù)來(lái)定義。 任意曲面也總可映射為由（u，v)參數(shù)定義的參數(shù)空間中的一個(gè)矩形區(qū)域，曲面上每一個(gè)點(diǎn)與參數(shù)矩形域上的某點(diǎn)保持著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，則整張曲面就可由二維參數(shù)u，v的某個(gè)參數(shù)表達(dá)式來(lái)表示。,-69-,參數(shù)表示具有的優(yōu)越性,1）可方便地表示三維曲線(xiàn)，并有更多的自由度來(lái)控制曲線(xiàn)曲面的形狀； 2）參數(shù)表示的曲線(xiàn)曲面與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。因此，在幾何變換過(guò)程中，不必對(duì)曲線(xiàn)曲面上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行變換，可直接對(duì)曲線(xiàn)曲面參數(shù)方程實(shí)施變換，從而節(jié)省計(jì)算工作量；,-70-,參數(shù)表示具有的優(yōu)越性,3）在參數(shù)表達(dá)式中使用切矢來(lái)代替非參數(shù)方程中的斜率，便于處理斜率無(wú)窮大的問(wèn)題，因而不會(huì)由此造成計(jì)算的中斷； 4）參數(shù)表達(dá)式中一般都有明確的定義域，使其對(duì)應(yīng)的幾何量都是有界的。從而不必再進(jìn)行邊界的定義； 5）易于用矢量和矩陣表示幾何量，從而便于計(jì)算機(jī)的計(jì)算與編程。,-71-,2、參數(shù)曲線(xiàn)定義及其切矢量，法矢量和曲率,一條用參數(shù)表示的三維曲線(xiàn)是一個(gè)有界、連續(xù)的點(diǎn)集，可表示為： x=x(u)， y=y(u)，z=z(u) 0u 1 如圖3-25(下一頁(yè))所示，曲線(xiàn)的端點(diǎn)在以u(píng)0，u=1處，曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的位置矢量（即其坐標(biāo)）可用矢量p(u)表示： P(u)=x(u)，y(u)，z(u) 0 u 1,-72-,-73-,曲線(xiàn)上某點(diǎn)的切矢量,設(shè)曲線(xiàn)上Q、R兩點(diǎn)，其參數(shù)分別為u、u+u，位置矢量分別為p(u)，p(u+u)。矢量p=p (u+u)- p(u)的大小表示連接QR的弦長(zhǎng)，若使R點(diǎn)沿曲線(xiàn)逐漸靠近Q點(diǎn)，即當(dāng)u 0時(shí)，位置矢量p(u)關(guān)于參數(shù)u的一階導(dǎo)數(shù)矢量 稱(chēng)為曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切矢量，切矢方向即曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的切線(xiàn)方向。,-74-,曲線(xiàn)上某點(diǎn)的法矢量和曲率,在切矢量上取單位矢量T，如果曲線(xiàn)以弧長(zhǎng)s為參數(shù)，則 對(duì)單位切矢求導(dǎo)數(shù)可得 ， 在矢量 上取單位矢量N，則： 其中，k為曲線(xiàn)曲率，N為法線(xiàn)矢量（法矢）,-75-,曲率的進(jìn)一步說(shuō)明,曲率k是用以描述曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的彎曲程度，是一個(gè)數(shù)值量。根據(jù)其定義有： 曲線(xiàn)上某點(diǎn)的曲率越大，表示曲線(xiàn)在該點(diǎn)處的彎曲程度越厲害。曲率的倒數(shù)稱(chēng)為 該點(diǎn)曲線(xiàn)的曲率半徑。,-76-,法矢量的進(jìn)一步說(shuō)明,對(duì)于空間的參數(shù)曲線(xiàn)，所有垂直于切矢量T的矢量都是法矢量。因此，曲線(xiàn)上某一給定點(diǎn)處就有一束法線(xiàn)，這些法線(xiàn)在同一平面上，稱(chēng)此平面為曲線(xiàn)在該點(diǎn)的法平面。N稱(chēng)為主法線(xiàn)矢量，將BTN矢量稱(chēng)之為副法線(xiàn)矢量，它垂直于切線(xiàn)矢量T和主法線(xiàn)矢量N。,-77-,3、曲線(xiàn)段間連續(xù)性定義,在實(shí)際應(yīng)用中，曲線(xiàn)常常以分段形式定義，或由多段曲線(xiàn)拼合而成。因而，在對(duì)曲線(xiàn)處理過(guò)程中必然涉及到各曲線(xiàn)段在連接點(diǎn)處的連續(xù)性問(wèn)題。關(guān)于曲線(xiàn)段的連續(xù)性有兩種判斷標(biāo)準(zhǔn)，一種為參數(shù)連續(xù)，一種為幾何連續(xù)。,-78-,參數(shù)連續(xù)與幾何連續(xù),參數(shù)連續(xù)是判斷連接點(diǎn)處曲線(xiàn)方程對(duì)參數(shù)u的各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，如果參數(shù)曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處具有n階連續(xù)導(dǎo)矢，則稱(chēng)曲線(xiàn)n階參數(shù)連續(xù)，簡(jiǎn)記為Cn。 幾何連續(xù)是判斷曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處曲線(xiàn)方程對(duì)弧長(zhǎng)參數(shù)s的各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，若曲線(xiàn)具有關(guān)于弧長(zhǎng)參數(shù)的n階連續(xù)導(dǎo)矢，則稱(chēng)曲線(xiàn)n階幾何連續(xù)，簡(jiǎn)記為Gn。,-79-,曲線(xiàn)的參數(shù)連續(xù)性與參數(shù)的選取及具體的參數(shù)化有關(guān)； 而幾何連續(xù)性不依賴(lài)于參數(shù)的選取，而是反映出曲線(xiàn)的具體的幾何特性。 可見(jiàn)在CAD/CAM操作中我們更關(guān)心幾何連續(xù)。,-80-,在曲線(xiàn)曲面造型中，一般只用到G0，G1，G2連續(xù)。 G0連續(xù)時(shí)，表示曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處位置矢量相同（即兩曲線(xiàn)首尾連接）； G1連續(xù)表示曲線(xiàn)在連接點(diǎn)切矢方向相同，但大小可能不等（即兩曲線(xiàn)相切）， G2連續(xù)表示曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處具有相同的曲率（相切且曲率相同， G2 連續(xù)在CAD/CAM造型中屬于較高要求）。 G3連續(xù)表示兩曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處的曲率曲線(xiàn)光滑無(wú)尖角。,-81-,G0，G1，G2 ，G3連續(xù)舉例,G0,曲率梳,斑馬紋,-82-,G0,-83-,G1,-84-,G2,-85-,G3,-86-,4、參數(shù)曲面的定義,任意一張曲面可以看作是由一個(gè)平面矩形經(jīng)拉伸，彎曲及扭轉(zhuǎn)等變形而成。 在數(shù)學(xué)上，可將一般的曲面映射為由參數(shù)(u，v)定義的參數(shù)空間中的一個(gè)矩形區(qū)域。曲面上任一點(diǎn)s的位置矢量可表示為： S（u，v）=x（u，v） y（u，v） z（u，v） 上式即為參數(shù)曲面的一般定義形式。,-87-,u向等參數(shù)線(xiàn)與v向等參數(shù)線(xiàn),在參數(shù)曲面上有兩個(gè)參數(shù)軸，一個(gè)為參數(shù)軸u，一個(gè)為參數(shù)軸v，分別表示參數(shù)曲面中兩個(gè)參數(shù)的變化方向。若保持參數(shù)曲面上某v值不變，則隨u參數(shù)值的變化而形成一條參數(shù)曲線(xiàn)，我們稱(chēng)該曲線(xiàn)為u向等參數(shù)線(xiàn)，即u向具有相同v值的曲線(xiàn)。同樣還有v向等參數(shù)線(xiàn)。,-88-,參數(shù)曲面上切矢與單位法矢,過(guò)曲面上的任一點(diǎn)pij處總存在一條u向等參數(shù)線(xiàn)和一條v向等參數(shù)線(xiàn)，u向等參數(shù)線(xiàn)在該點(diǎn)處關(guān)于參數(shù)u的一階偏導(dǎo)矢puij稱(chēng)為u向切矢，而v向等參數(shù)線(xiàn)在該點(diǎn)處關(guān)于參數(shù)v的一階偏導(dǎo)矢pvij稱(chēng)為v向切矢，與兩個(gè)切矢垂直的單位矢量 稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)處的單位法矢，簡(jiǎn)記nij。,-89-,-90-,二、Bezier曲線(xiàn)曲面,1962年法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的Bezier提出了一種以逼近為基礎(chǔ)的構(gòu)造參數(shù)曲線(xiàn)的方法。Bezier曲線(xiàn)是通過(guò)特征多邊形進(jìn)行定義的，曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)與該多邊形的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，曲線(xiàn)的形狀由多邊形其余頂點(diǎn)控制，改變特征多邊形的頂點(diǎn)位置，可直觀(guān)地看到曲線(xiàn)形狀的變化。,-91-,Bezier曲線(xiàn),-92-,1、Bezier曲線(xiàn)的定義,給定n+1個(gè)控制頂點(diǎn)Pi（i=0，1，n），可定義一條n次Bezier曲線(xiàn),其中，Bi,n(u)為伯恩斯坦基函數(shù)：,-93-,2、常見(jiàn)的幾種Bezier曲線(xiàn),（1）一次Bezier曲線(xiàn) 當(dāng)n=1時(shí)，,其中，兩個(gè)伯恩斯坦基函數(shù)分別為：,矩陣表示：,很顯然，一次Bezier曲線(xiàn)是一條連接起點(diǎn)P0和終點(diǎn)P1的直線(xiàn)段。,-94-,（2）二次Bezier曲線(xiàn),當(dāng)n=2時(shí)：,其中三個(gè)伯恩斯坦基函數(shù)分別為：,矩陣表示：,-95-,顯然，二次Bezier曲線(xiàn)是一條以P0和P1為端點(diǎn)的拋物線(xiàn)，其端點(diǎn)處有： P（0）=p0 ， P（1）=p2 P（0）=2（p1 p0）， P（1）=2（p2 p1）,-96-,（3）三次Bezier曲線(xiàn),當(dāng)n=3時(shí)：,其中四個(gè)伯恩斯坦基函數(shù)分別為：,-97-,三次Bezier曲線(xiàn)的矩陣表示,端點(diǎn)處有： P（0）=p0 P（1）=p3 P（0）=3（p1 p0） P（1）=3（p3 p2）,-98-,3、Bezier曲線(xiàn)的幾何特性,（1）端點(diǎn)特性 Bezier曲線(xiàn)過(guò)特征多邊形的始點(diǎn)和終點(diǎn)，曲線(xiàn)始點(diǎn)和終點(diǎn)處的切線(xiàn)方向分別與特征多邊形的首，未邊重合（表示相切）。 （2）凸包性在幾何圖形上，這意味著B(niǎo)ezier曲線(xiàn)落在由特征多邊形控制頂點(diǎn)構(gòu)成的最小凸多邊形內(nèi)。,-99-,凸包性,-100-,（3）幾何不變性 Bezier曲線(xiàn)的位置與形狀僅與其特征多邊形頂點(diǎn)的位置有關(guān)，而與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。在幾何變換中，只要直接對(duì)特征多邊形的頂點(diǎn)變換即可，而無(wú)需對(duì)曲線(xiàn)上的每一點(diǎn)進(jìn)行變換 （4）全局控制性 當(dāng)修改特征多邊形中的任一頂點(diǎn)，均會(huì)對(duì)整體曲線(xiàn)產(chǎn)生影響，因此Bezier曲線(xiàn)缺乏局部修改能力。,-101-,4、Bezier曲線(xiàn)的拼接,如圖所示，若給定兩條三次Bezier曲線(xiàn)段P（u）和Q（u），使P（u）的終點(diǎn)p3和Q（u）的始點(diǎn)q0重合，現(xiàn)討論這兩條曲線(xiàn)段拼接的連續(xù)性條件。,-102-,Bezier曲線(xiàn)段拼接的連續(xù)性條件,（1） G0連續(xù)條件：P（1）=Q（0）即第一個(gè)控制多邊形的終點(diǎn)與第二個(gè)控制多邊形的起點(diǎn)相連。 （2）G1連續(xù)條件：要求曲線(xiàn)在拼接點(diǎn)處具有相同的單位切矢，即需要滿(mǎn)足p2 ， p3 (q0) ， q1三點(diǎn)共線(xiàn)。 （3）G2連續(xù)條件：Bezier曲線(xiàn)在連接點(diǎn)處G2連續(xù)條件更為嚴(yán)格，要求特征多邊形p1p2，p2p3，q0q1，q1q2四條特征邊共面。,-103-,幾何作圖法（遞推法）求Bezier曲線(xiàn), ,b0,b3,b2,b1,-104-,5、Bezier曲面,設(shè)有pij（i=0,1, ,m;j=0,1, ,n）為（m+1）（n+1）個(gè)空間點(diǎn)列，則可定義一張mn次Bezier曲面：,其中：,為伯恩斯坦基函數(shù)。 依次用線(xiàn)段連接點(diǎn)列pij中相鄰兩點(diǎn)所形成的空間網(wǎng)格，稱(chēng)為Bezier曲面特征多邊形網(wǎng)格。,-105-,Bezier曲面的矩陣表示,-106-,例：雙三次Bezier曲面片,給定由16個(gè)控制頂點(diǎn)組成的特征網(wǎng)格，可定義一張雙三次Bezier曲面片，其參數(shù)表達(dá)式為：,-107-,雙三次Bezier曲面片示意圖,從圖中可以看出，雙三次Bezier曲面片的角點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的特征網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)重合；特征網(wǎng)格四邊的12個(gè)控制點(diǎn)定義了四條Bezier曲線(xiàn)，即為曲面片的邊界線(xiàn)，中央的4個(gè)控制點(diǎn)與邊界曲線(xiàn)無(wú)關(guān)，但控制著曲面片的形狀。,-108-,三、B樣條曲線(xiàn)曲面,提出：盡管Bezier曲線(xiàn)曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：其一，特征多邊形頂點(diǎn)數(shù)決定了Bezier曲線(xiàn)的階次，當(dāng)次數(shù)n較大時(shí)，特征多邊形對(duì)曲線(xiàn)的控制能力將會(huì)削弱；其二，Bezier曲線(xiàn)不能作局部修改，改變一個(gè)控制點(diǎn)的位置對(duì)整條曲線(xiàn)都有影響。B樣條曲線(xiàn)曲面正是基于解決上述問(wèn)題而提出的。,-109-,1、B樣條曲線(xiàn)的定義 2、 B樣條曲線(xiàn)的節(jié) P104P109（自學(xué)） 點(diǎn)矢量和定義域 3、均勻B樣條