人教版九年級數(shù)學第24章圓24.1圓的有關性質 圓心角講義

合作探究探究點1 圓周角的概念知識講解頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角.注意 圓周角必須滿足兩個條件:頂點在圓上，角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可。典例剖析例1 如下圖，關于圓周角的個數(shù)的說法正確的是( ）A.有3個 B.有2個 C.有1個 D.有0個解析 第一個圖中的角的頂點不在圓周上，不是圓周角；第二個圖、第三個圖中的角也不是；第四個圖中的角符合圓周角的兩個條件，是圓周角；第五個圖中的角的一條邊與圓不相交，第六個圖中的角的兩條邊都不與圓相交，故后兩個都不是圓周角。故符合圓周角定義的角只有1個。答案 C類題突破1 如圖，A、B、C、D、E 是上的五個點，則圖中共有_個圓周角。答案 6點撥 共有6個圓周角.探究點2 (高頻考點)圓周角定理情景激疑如圖，(1)所對的兩個圓周角的度數(shù)有什么關系?比較一下，再變動一下C點在圓周上的位置，有何變化?你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎?把你的結論與同伴交流一下。(2)所對的兩個圓周角與圓心角的度數(shù)有什么關系?你有什么發(fā)現(xiàn)?由此，你能得出什么結論？知識講解 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的半。這是與圓相關的一個重要性質圓周角定理，在這里注意:定理中的圓周角和圓心角是通過它們所對的同一條弧聯(lián)系在一起的，故不能把“同一條弧”這一前提省略，而說成“圓周角等于圓心角的一半”。也不能說成“一條弦所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半”，因為圓的一條弦對著兩種情況的圓周角。典例剖析例2 如右圖，弦AB把圓周分成1：5的兩部分,那么劣弧所對的圓周角的度數(shù)為_。解析 要求所對的圓周角的度數(shù)，可先求的度數(shù)，進而求出所對的圓心角的度數(shù)。再利用圓周角定理,就可求出所對的圓周角的度數(shù)。答案 30類題突破2 如圖，將三角板的直角頂點放在O的圓心上，兩條直角邊分別交0于A、B兩點，點P在優(yōu)弧上，且與點A、B不重合，連接PA、PB,則的大小為_。答案 45點撥 所對的圓心角為90. 根據(jù)同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，即可得到.探究點3 (高頻考點)圓周角定理的推論知識講解同弧或等弧所對的圓周角相等.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑。典例剖析例3 如圖,在0中,弦 ,圓周角，求0的直徑。解析 要求O的直徑，必須構造出一條直徑，此直徑與AB構造成直角三角形，問題就。容易解決了。答案 如圖，連接BO,并延長作出直徑BD.連接AD,則，由D與ACB都對可知所以.又因為所以.類題突破3 如圖,已知AB是O的直徑，D是圓上任意一點(不與A、B重合)，連接BD并延長到C，使,連接AC.試判斯的形狀。答案 如圖，連接AD，是O的直徑，,即.又,為等腰三角形。 點撥 連接AD,由AB為0的直徑。利用直徑所對的圓周角為直角得到，再由，得到AD是垂直平分BC，利用線段垂直平分線定理得到,可得結論.探究點4 圓內接四邊形的性質知識講解 圓內接四邊形的對角互補.典例剖析 例4 在圓內接四邊形ABCD中A、B、C的度數(shù)的比是3:2:7,求四邊形ABCD各內角的度數(shù)。 解析 若設A、B、C的度數(shù)分別為，由圓內接四邊形的性質可知，解得，于是可求出各角的度數(shù)。答案 由題意可設A、B、C的度數(shù)分別為.四邊形ABCD是圓內接四邊形，,即，又.類題突破4 如圖，已知 A、B、C、D四點共圓，且.求證:DC平分BDE.答案四點共圓，又,又，又，即DC平分.點撥 根據(jù)圓周角定理和圓內接四邊形的性質得到，由等腰三角形的性質得到，等量代換得到,于是得到結論。重點難點重難點1 圓周角定理的應用(1)圓周角是繼圓心角之后學習的又一個和圓有關的角。它和圓心角一樣在圓中經(jīng)常出現(xiàn)，它與圓心角的關系緊密，有許多與圓有關的問題，需要通過它來解決。這兩個角容易弄混，這是需要注意的地方，要根據(jù)兩者特征加以區(qū)分。(2)在解決與圓有關的問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握。(3)定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角。(4)注意:圓周角和圓心角的轉化可通過作圓的半徑構造等腰三角形，利用等腰三角形的頂角和底角的關系進行轉化；圓周角和圓周角的轉化可利用其“橋梁”圓心角轉化。 例1 如圖，AB是O的直徑,C是的中點,于D,交AE于F,連接AC.試說明.解析一 欲說明,只需說明,其中是所對的圓周角。而由條件知因此只需找出所對的圓周角與ACF相等即可，而構造所對的圓周角，需連接BC,此時恰好構造了直徑AB所對的圓周角ACB.答案 連接BC,如圖.AB是直徑,即,是的中點，,解析二 欲說明,只需說明.因為對著,只需找出所對的弧與相等即可，延長CD交圓于H，利用垂徑定理，可得，從而得到,則問題得解. 答案 如圖所示，延長CD交圓于點H, AB是直徑, 又C是AE的中點，AC= CE,AH=CE.類題突破1 如下圖所示，已知AB是半圓O的直徑，,D是AC的中點,則 的度數(shù)是( ) A.25 B.29 C.30 D.32答案 B點撥:,則的度數(shù)為64，的度數(shù)為.D是的中點，的度數(shù)為 重難點2 圓周角定理的推論的應用(1)圓周角定理的推論:同弧或等弧所對的圓周角相等；半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。(2)圓內接四邊形的性質是證明與圓有關的兩角相等或互補關系的重要依據(jù). 例2 已知:如下圖，AB是0的一條弦，點C為的中點，CD是0的直徑，過C點的直線交AB所在直線于點E.交0于點F.(1) (2) （3）(1)試判定圖中CEB與FDC的數(shù)量關系，并寫出結論；(2)將直線繞C點旋轉(與CD不重合)，在旋轉過程中，E點、F點的位置也隨之變化，請你在兩個備用圖中分別畫出在不同位置時，使(1)的結論仍然成立的圖形，標上相應字母，選其中一個圖形給予說明。解析 直線與AB的交點E的位置可以分為三類；(1)E在AB上；(2)E在BA的延長線上；(3)E在AB的延長線上，故要進行分類討論.答案 (1). (2)如圖(2),CD是O的直徑，點C是的中點，是0的直徑，, 方法歸納根據(jù)同角的余角相等，所以直線在旋轉過程中，始終保持著這一不變的結論.類題突破2 如圖,AB是0的直徑，點C、D都在0上，連接CA,CB,DC,DB.已知D=30, BC=3,則AB的長是_。 答案 6點撥 求出結果。易錯指導易錯點1 對于圓周角定理掌握不好例1 如圖，0是的外接圓，已知,則的大小為( ) A. 40 B. 30 C.45 D.50錯解 A 錯因分析 沒有掌握同弧所對的圓周角和圓心角之間的關系，認為與的大小相等導致出錯。正解 D 糾錯心得 解決本類題主要是明確圓周角和圓心角的定義，要理解圓周角和圓心角所對的弧是同一條弧時，該弧所對的圓周角才是圓心角的一半，它們之間的關系是倍半關系，而不是相等。易錯點2 忽略弦所對的圓周角有兩個而致錯例2 已知O中弦AB 的長等于半徑,求弦AB所對的圓心角和圓周角的度數(shù).錯解 如圖，AB的長等于半徑，為等邊三角形，,即弦AB所對的圓心角為60，圓