控制系統(tǒng)的根軌跡分析法.pptVIP

1,第五節(jié) 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,2,利用根軌跡，可以對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析和校正 由給定參數(shù)確定閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)的位置； 分析參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響； 分析系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能； 根據(jù)性能要求確定系統(tǒng)的參數(shù)； 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,3,一、 條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析,例4-11：設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,試?yán)L制根軌跡，并討論使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) 的取值范圍。,開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：0,4,6,0.7j0.714，零點(diǎn)：1j1.732,實(shí)軸上根軌跡區(qū)間：,漸近線(xiàn)：與實(shí)軸的交點(diǎn)：,傾角：,解根據(jù)繪制根軌跡的步驟，可得：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,4,分離會(huì)合點(diǎn)：,Kgd的最大值為9.375，這時(shí)s=2.5，是近似分離點(diǎn)。,用Matlab可算出分離點(diǎn)s=2.3557 ; 另一根為5.1108(略)。,另外可以根據(jù) 求實(shí)軸分離點(diǎn)的近似值。 求出-4，0之間的增益如下表所示,分離角：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,5,由圖可知：當(dāng) 和 時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；,畫(huà)出根軌跡如圖所示，該圖是用Matlab工具繪制的。,出射角： ， 入射角：,與虛軸的交點(diǎn)和 對(duì)應(yīng)的增益值：,當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,這種情況稱(chēng)為條件穩(wěn)定系統(tǒng),4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,6,條件穩(wěn)定系統(tǒng)：參數(shù)在一定的范圍內(nèi)取值才能使系統(tǒng)穩(wěn)定，這樣的系統(tǒng)叫做條件穩(wěn)定系統(tǒng)。,具有正反饋的環(huán)節(jié)。,下面的系統(tǒng)就是條件穩(wěn)定系統(tǒng)的例子：,開(kāi)環(huán)非最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡必然有一部分在s的右半平面；,條件穩(wěn)定系統(tǒng)的工作性能往往不能令人滿(mǎn)意。在工程實(shí)際上，應(yīng)注意參數(shù)的選擇或通過(guò)適當(dāng)?shù)男Ｕ椒ㄏ龡l件穩(wěn)定問(wèn)題。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,7,例非最小相位系統(tǒng)： ，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的增益值。,解：根軌跡如右：,有閉環(huán)極點(diǎn)在右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。顯然穩(wěn)定臨界點(diǎn)在原點(diǎn)。該點(diǎn)的增益臨界值為 。,閉環(huán)特征方程為： ，當(dāng)s=0時(shí)， ，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,8,二、瞬態(tài)性能分析和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定,利用根軌跡可以清楚的看到開(kāi)環(huán)根軌跡增益或其他開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)位置及其瞬態(tài)性能的改變情況。,以二階系統(tǒng)為例：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,閉環(huán)傳遞函數(shù)為,共軛極點(diǎn)為：,在s平面上的分布如右圖：,閉環(huán)極點(diǎn)的張角 為：,所以 稱(chēng)為阻尼角。斜線(xiàn)稱(chēng)為等阻尼線(xiàn)。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,9,我們知道閉環(huán)二階系統(tǒng)的主要的性能指標(biāo)是超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間。這些性能指標(biāo)和閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系如下：,的關(guān)系如下圖,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,10,例4-12單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 若要求閉環(huán)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量 ，試確定開(kāi)環(huán)放大系數(shù)。,當(dāng) 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,根據(jù)計(jì)算知道：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 ，這時(shí)的臨界增益,解：首先畫(huà)出根軌跡如圖。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,11,這是一個(gè)三階系統(tǒng)，從根軌跡上看出，隨著 的增加，主導(dǎo)極點(diǎn)越顯著。所以可以用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)近似計(jì)算。,在根軌跡圖上畫(huà)兩條與實(shí)軸夾角為 的直線(xiàn)，與根軌跡交于A、B兩點(diǎn)。 則A、B兩點(diǎn)就是閉環(huán)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)，這時(shí)系統(tǒng)的超調(diào)量小于18%。通過(guò)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可以確定這時(shí)的根軌跡增益 ，進(jìn)而求得開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,12,由于閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)之和，所以另一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為： 。該極點(diǎn)是共軛復(fù)極點(diǎn)實(shí)部的6倍多。,解得：,實(shí)部方程 虛部方程,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,13,例：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為,畫(huà)出根軌跡 能否通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足最大超調(diào)量%5%的要求？ 能否通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足調(diào)節(jié)時(shí)間ts2秒的要求？ 能否通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足位置誤差系數(shù)Kp10的要求？,解：畫(huà)根軌跡 實(shí)軸無(wú)根軌跡 漸近線(xiàn) s=-2.5，q=45, 135 與虛軸交點(diǎn)w=2，Kgp=100,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,14,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,15,能否通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足最大超調(diào)量%5%的要求？,當(dāng)取阻尼角為45的主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)， %5%的要求。 由根軌跡可見(jiàn)阻尼角為45的線(xiàn)與根軌跡相交，可求得主導(dǎo)極點(diǎn)為s=0.8+0.8j，另一對(duì)極點(diǎn)為s=4.2+0.8j 相差5.25倍，滿(mǎn)足主導(dǎo)極點(diǎn)的要求。,能否通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足調(diào)節(jié)時(shí)間ts2秒的要求？,能否通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足位置誤差系數(shù)Kp10的要求？,要求ts2秒，即要求3/s2， s1.5。由根軌跡可知主導(dǎo)極點(diǎn)的實(shí)部1，所以不能通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足ts2秒的要求。,所以不能通過(guò)選擇Kg滿(mǎn)足Kp10的要求。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,16,問(wèn)題 增加開(kāi)環(huán)零點(diǎn)改變根軌跡，因而改變閉環(huán)極點(diǎn)。那么是否改變閉環(huán)零點(diǎn)？ 當(dāng)兩個(gè)系統(tǒng)的根軌跡相同并選擇相同的閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)，這兩個(gè)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是否一樣？,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,17,例4-15：設(shè)系統(tǒng)A和B有相同的被控對(duì)象，且有相同的根軌跡，如下圖所示。已知系統(tǒng)A有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，系統(tǒng)B沒(méi)有閉環(huán)零點(diǎn)。試求系統(tǒng)A和B的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和它們所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)方塊圖。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,18,系統(tǒng)A和B的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別為：,解：由于兩系統(tǒng)的根軌跡完全相同，因而它們對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)特征方程式也完全相同。由上頁(yè)圖可知系統(tǒng)A和B的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 特征方程為：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,19,由此可知，系統(tǒng)A是一單位反饋系統(tǒng)，前向通路的傳遞函數(shù) 為： 。系統(tǒng)B的前向通路傳遞函數(shù)為： ，反饋通路傳遞函數(shù)為： 。由于系統(tǒng)A和B有相同的被控對(duì)象，因此， 系統(tǒng)的A的前向通路傳遞函數(shù)可寫(xiě)為： ，閉環(huán)方塊圖如下圖（a）所示，系統(tǒng)B的閉環(huán)方塊圖如下圖（b）所示。,根軌跡相同的系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)極點(diǎn)都相同，但閉環(huán)零點(diǎn)卻不一定相同。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,20,三、利用根軌跡求解代數(shù)方程的根,例 求如下代數(shù)方程的根,解：為了將此題作為一個(gè)根軌跡問(wèn)題來(lái)考慮，應(yīng)將上式變換成根軌跡方程的形式。因式中無(wú)根軌跡增益，變換結(jié)果不唯一。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,21,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,22,四、開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響,開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s左半平面增加一個(gè)極點(diǎn)將使原根軌跡右移。從而降低系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性，增加系統(tǒng)的調(diào)整時(shí)間。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,1、增加極點(diǎn)：,23,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,24,若在開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中增加一個(gè)零點(diǎn)，則原根軌跡向左移動(dòng)。從而增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減小系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,2、增加零點(diǎn):,25,Matlab參考書(shū)推薦： 現(xiàn)代控制工程，美Katsuhiko Ogats,盧伯英譯， 電子工業(yè)出版社 MATLAB控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，歐陽(yáng)黎明著， 國(guó)防工業(yè)出版社,五、用Matlab繪制根軌跡,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,26,num=0 0 0 1;%開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)，降冪排列 den=1 3 2 0; %開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分母系數(shù)，降冪排列 r=rlocus(num,den);,例子系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試?yán)肕atlab畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡。,解打開(kāi)Matlab,創(chuàng)建一個(gè)m文件，輸入下列程序片段：,執(zhí)行之，可得到根軌跡。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,27,小 結(jié),條件穩(wěn)定系統(tǒng)的分析 臨界穩(wěn)定增益的確定； 瞬態(tài)性能分析和開(kāi)環(huán)系統(tǒng)參數(shù)的確定 阻尼角和等阻尼線(xiàn)； 超調(diào)量、調(diào)整時(shí)間與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系； 根據(jù)性能指標(biāo)確定二階及高階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大系數(shù)； 開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)對(duì)根軌跡形狀的影響。 用Matlab繪制根軌跡的方法,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,28,例4-13已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡； （2）計(jì)算使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍； （3）計(jì)算系統(tǒng)對(duì)于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差。,解：（1）畫(huà)根軌跡：,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,29,求出射角：利用輻角條件計(jì)算出射角，得 。 該系統(tǒng)有三條根軌跡，一條從原點(diǎn)起始，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn) -1處；另兩條從原點(diǎn)以 的出射角起始，分別終止于-3和無(wú)窮零點(diǎn)處。,會(huì)合分離點(diǎn)：由方程 得 解得 在根軌跡上，因此是會(huì)合點(diǎn)。 不在根軌跡上，舍去。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,30,求與虛軸交點(diǎn) 系統(tǒng)特征方程為 勞斯表為 當(dāng) 時(shí)，由輔助方程 ，可求出根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為 。 （2）由勞斯表可知當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 （3）系統(tǒng)含有三個(gè)積分環(huán)節(jié)，屬型系統(tǒng)，型系統(tǒng)對(duì)于斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,31,例4-14已知單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （1）畫(huà)出系統(tǒng)的根軌跡；（2）計(jì)算當(dāng)增益k為何值時(shí)，系統(tǒng)的阻尼比 是 ，并求此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征根；（3）分析k對(duì)系統(tǒng)性能的影響，并求系統(tǒng)最小阻尼比所對(duì)應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,32,當(dāng) 時(shí)，阻尼角 ，表示 角的直線(xiàn)為OB,其方程為 ，代入特征方程整理后得： 令實(shí)部和虛部分別為零，有 解得 由圖可知當(dāng) 時(shí)直線(xiàn)OB與圓相切，系統(tǒng)的阻尼比 ，特征根為 。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,33,對(duì)于分離點(diǎn)2.93，由幅值條件可知,由根軌跡圖可知，當(dāng)0k0.858時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈過(guò)阻尼狀態(tài)。 當(dāng)0.858k29.14時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其瞬態(tài)響應(yīng)呈欠阻尼狀態(tài)。 當(dāng)29.14k時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)又有一對(duì)不等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，瞬態(tài)響應(yīng)又呈過(guò)阻尼狀態(tài)。,對(duì)于會(huì)合點(diǎn)17.07，有,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,34,由坐標(biāo)原點(diǎn)作根軌跡圓的切線(xiàn)，此切線(xiàn)就是直線(xiàn)OB，直線(xiàn)OB與負(fù)實(shí)軸夾角的余弦就是系統(tǒng)的最小阻尼比，由上可知，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為 。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,35,例4-16:已知單位反饋系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示。 （1）寫(xiě)出該系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)； （2）試用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ瓜到y(tǒng)在任意K值時(shí)均處于穩(wěn)定的狀態(tài)。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,36,解： 由根軌跡圖知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：,單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,提示： 加入比例微分控制后，系統(tǒng)增加了開(kāi)環(huán)零點(diǎn)。在系統(tǒng)中加入零點(diǎn)后，將使根軌跡左移，有利于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,37,從下圖可以看出：a越小，根軌跡越左，穩(wěn)定性越好。 a6時(shí)，根軌跡有一部分在s右半平面。,clear all; num1=0 0 1 3; den1=1 6 0 0; num2=0 0 1 5; den2=1 6 0 0; num3=0 0 1 7; den3=1 6 0 0; h1=tf(num1,den1); h2=tf(num2,den2); h3=tf(num3,den3); rlocus(h1,h2,h3),4.5 控制系統(tǒng)的根軌跡分析法,38,例 已知控制系統(tǒng)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)分別為：,(1) 繪制當(dāng),從,變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的,值范圍；,(2) 若已知系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn),，試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。,，,39,例 已知控制系統(tǒng)如圖所示 (1) 繪制系統(tǒng)的根軌跡，并確定 時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)； （2）畫(huà)出 時(shí)單位階躍響應(yīng)的草圖；并估算閉環(huán)系統(tǒng)的超調(diào)量%和調(diào)整時(shí)間 。,40,解：,1.,繪制根軌跡步驟： （1）開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：,開(kāi)環(huán)極點(diǎn)：,（2）實(shí)軸上的根軌跡為,（3）漸近線(xiàn)：,，,（4）分離點(diǎn)：,，,，,，,，,41,解得：,為分離點(diǎn)，,為會(huì)合點(diǎn),分離角為,，會(huì)合角也為,，根軌跡如圖所示:,42,當(dāng),時(shí)，特征方程為,即,整理