高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考大題增分課三數(shù)列中的高考熱點(diǎn)問題教學(xué)案文含解析北師大版.docx

三 數(shù)列中的高考熱點(diǎn)問題 命題解讀數(shù)列在數(shù)學(xué)中既具有獨(dú)立性，又具有較強(qiáng)的綜合性，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)，從近五年全國卷高考試題來看，本專題的熱點(diǎn)題型有：一是等差、等比數(shù)列的綜合問題；二是數(shù)列的通項(xiàng)與求和；三是數(shù)列與不等式的交匯，難度中等等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算解決等差、等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩種數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系，并注重方程思想的應(yīng)用，等差(比)數(shù)列共涉及五個(gè)量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”【例1】(2016天津高考)已知an是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)若對任意的nN*，bn是log2an和log2an1的等差中項(xiàng)，求數(shù)列(1)nb的前2n項(xiàng)和解(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由題意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列設(shè)數(shù)列(1)nb的前n項(xiàng)和為Tn，則T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.規(guī)律方法1.若an是等差數(shù)列，則ban(b0，且b1)是等比數(shù)列；若an是正項(xiàng)等比數(shù)列，則logban(b0，且b1)是等差數(shù)列2對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系，以便實(shí)現(xiàn)等差、等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化 (2019南昌模擬)已知各項(xiàng)均為正數(shù)且遞減的等比數(shù)列an滿足：a3，a4，2a5成等差數(shù)列，前5項(xiàng)和S531.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若等差數(shù)列bn滿足b1a41，b2a31，求數(shù)列abn的前n項(xiàng)和解(1)由a3，a4，2a5成等差數(shù)列得3a4a32a5，設(shè)an的公比為q，則2q23q10，解得q或q1(舍去)，所以S531，解得a116.所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an16.(2)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由b1a41，b2a31得b11，da3a4422，所以bn2n1，abn，數(shù)列abn的前n項(xiàng)和Tn.數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考的必考題型，求通項(xiàng)屬于基本問題，常涉及等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、基本量的運(yùn)算；求和問題關(guān)鍵在于分析通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，選擇適當(dāng)?shù)那蠛头椒ǔ？嫉那蠛头椒ㄓ校汗椒?、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等【例2】(本小題滿分12分)(2019青島模擬)已知等差數(shù)列an，公差d2，S1，S2，S4成等比數(shù)列(1)求an；(2)令bn(1)n，求bn的前n項(xiàng)和Tn.信息提取看到條件中S1，S2，S4成等比數(shù)列，想到SS1S4；看到(2)中(1)n想到n為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況規(guī)范解答(1)S1，S2，S4成等比數(shù)列SS1S4，1分(2a12)2a1，解得a11，3分an12(n1)2n1.4分(2)bn(1)n(1)n(1)n.6分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn的前n項(xiàng)和Tn1，8分當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn的前n項(xiàng)和Tn1.11分故Tn12分易錯(cuò)與防范易錯(cuò)誤區(qū)：(1)在解答第(2)問時(shí)，不會處理bn的表達(dá)式；(2)求Tn時(shí)，沒有對n進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致解答錯(cuò)誤防范措施：(1)對于常見式子的裂項(xiàng)要心中有數(shù)，要根據(jù)分子的結(jié)構(gòu)特征來確定裂成兩項(xiàng)之和還是兩項(xiàng)之差(2)出現(xiàn)(1)n求和時(shí)，一般要分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況通性通法(1)一般求數(shù)列的通項(xiàng)往往要構(gòu)造數(shù)列，此時(shí)從要證的結(jié)論出發(fā)，這是很重要的解題信息(2)根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法，常用的求和方法有錯(cuò)位相減法、分組轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)相消法等 已知遞增數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn1an1Sn2an(nN*且n2)，且a2a421，a1a510.(1)證明：數(shù)列an是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若bn，試求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由Sn1an1Sn2an可得Sn1Sn2anan1，an1ananan1(n2)不妨令anan1d(n2)，易知d0，數(shù)列an是首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列又a2a421，a1a510，解得或又d0，故ana1(n1)d2n1.(2)由(1)知，an2n1，bn，Tn1.數(shù)列與不等式的交匯問題【例3】(2019哈爾濱模擬)已知數(shù)列an滿足a13，an12ann1，數(shù)列bn滿足bnann.(1)證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列cn滿足cn，且數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn.證明(1)an12ann1，an1(n1)2(ann)，即bn12bn.又b1a112，數(shù)列bn是以2為首項(xiàng)、2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知，bn22n12n，cn.Tn.規(guī)律方法解決數(shù)列與不等式的綜合問題時(shí)，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；如果是解不等式問題要使用不等式的各種不同解法，如列表法、因式分解法等總之解決這類問題把數(shù)列和不等式的知識巧妙結(jié)合起來綜合處理就行了 (2019貴州模擬)已知數(shù)列an滿足2an1an2an(nN*)，且a3a720，a2a514.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：Sn.解(1)由2an1an2an得an為等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a3a720，a2a514，解得d2，a12，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)證明：bn ，Sn，故當(dāng)nN*，Sn.大題增分專訓(xùn)1(2017北京高考)已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，因?yàn)閎2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n23n1.從而b1b3b5b2n113323n1.2已知數(shù)列an是等差數(shù)列，滿足a11，公差d0，且aa2a22.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列cn對任意正整數(shù)n均有an1成立，其中bn4n1，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)因?yàn)閍21d，a615d，a22121d，所以(15d)2(1d)(121d)，結(jié)合公差d0，得d3，所以an1(n1)33n2.(2)因?yàn)閍n1，所以當(dāng)n2時(shí)，an，兩式作差可得，an1an3，所以cn3bn34n1(n2)當(dāng)n1時(shí)，c1b1a24，故cn于是，當(dāng)n2時(shí)，Sn434134234n143(41424n1)434n，當(dāng)n1時(shí)，S14.綜上，Sn4n.3(2019蒲田模擬)已知等差數(shù)列an的公差d0，其前n項(xiàng)和為Sn，若S312，且2a1，a2,1a3成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公