格林公式及其應(yīng)用(35).ppt

第三節(jié),一、格林公式,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價條件,格林公式及其應(yīng)用,第十章,區(qū)域 D 分類,單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 ),多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)域 ),域 D 邊界L 的正向: 域的內(nèi)部靠左（P141）,定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有,( 格林公式 ),函數(shù),在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),或,一、 格林公式,證明:,1) 若D 既是 X - 型區(qū)域 , 又是 Y - 型區(qū)域 , 且,則,即,同理可證,、兩式相加得:,2) 若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割,為有限個上述形式的區(qū)域 , 如圖,證畢,例+.,設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明,證: 令,則,利用格林公式 , 得,推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積,格林公式,例如, 橢圓,所圍面積,例1.計(jì)算,的圓弧在第一象限的部分,解：引入輔助線,則,例1 續(xù),則,則,例2. 計(jì)算,其中L為一無重點(diǎn)且不過原點(diǎn),的分段光滑正向閉曲線.,解: 令,設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,由格林公式知,在D 內(nèi)作圓周,取逆時,針方向, 對區(qū)域,應(yīng)用格,記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)?林公式 , 得,例3 .計(jì)算由星形線:L,所圍區(qū)域的面積,解：由公式,練習(xí). 計(jì)算,其中L 為上半,從 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 為了使用格林公式, 添加輔助線段,它與L 所圍,原式,圓周,區(qū)域?yàn)镈 , 則,二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件,定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有,與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān).,函數(shù),則以下四個條件等價:,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,即,說明: 積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為,證明 (1) (2),設(shè),為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲,線,則,(根據(jù)條件(1),證明 (2) (3),在D內(nèi)取定點(diǎn),因曲線積分,則,同理可證,因此有,和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān),有函數(shù),證明 (3) (4),設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得,則,P, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有,證明 (4) (1),設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,(如圖) ,利用格林公式 , 得,所圍區(qū)域?yàn)?證畢,說明:,根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),則,2) 求曲線積分時, 可利用格林公式簡化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):,及動點(diǎn),或,則原函數(shù)為,若積分路徑不是閉曲線, 可添加輔助線;,取定點(diǎn),1) 計(jì)算曲線積分時, 可選擇方便的積分路徑;,解,原式=,原積分與路徑無關(guān).,例,例4 計(jì)算,解法1： 因?yàn)?所以,例4續(xù),曲線只要繞過原點(diǎn)，積分就與路徑無關(guān),因此可選簡單折線路徑,例4續(xù),例5. 驗(yàn)證,是某個函數(shù)的全微分, 并求,出這個函數(shù). 并求,證: 設(shè),則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使,。,。,例5續(xù) ，所以,練習(xí). 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場,作用下沿曲線 L :,由,移動到,求力場所作的功W,解:,令,則有,可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).,思考: 積分路徑是否可以取,取圓弧,為什么？,注意, 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑,無關(guān) !,三、求解全微分方程,若一階微分方程寫成,為微分方程(3)的通解,由例5知道全微分方程的通解有三種求法,由,例,可知:,都是,分別是上面的,原函數(shù).,全微分式.,例6 求微分方程,的通解,解：微分方程可整理為,設(shè),方程是全微分方程,則,三種不同方法來求,例6續(xù),(1) 曲線積分法,(2) 湊微分法,則,因,又,則,微分方程的通解,(3) 不定積分法,練習(xí). 驗(yàn)證,在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函,數(shù) , 并求出它.,證: 令,則,由定理 2 可知存在原函數(shù),或,內(nèi)容小結(jié),1. 格林公式,2. 等價條件,在 D 內(nèi)與路徑無關(guān).,在 D 內(nèi)有,對