碰撞與沖擊動(dòng)力學(xué)-3-2.ppt

二 O O 五 年 二 月,碰撞與沖擊動(dòng)力學(xué) Impact and Shock Dynamics,3-3 彈性桿的共軸碰撞 兩桿的共軸碰撞是應(yīng)力波產(chǎn)生并發(fā)生相互作用的典型問(wèn)題，本節(jié)先對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)桿之間的碰撞問(wèn)題進(jìn)行求解，包括橫截面相等和不等兩種情況，再針對(duì)有限長(zhǎng)桿的問(wèn)題進(jìn)行求解。,3-3-1 兩半無(wú)限長(zhǎng)桿的共軸碰撞 例3-3-1如圖，兩截面完全相同的半無(wú)限長(zhǎng)桿，其聲阻抗分別為 和 ，撞擊前桿中應(yīng)力均為零且無(wú)初始應(yīng)變，兩桿分別以速度v1、v2（ v1）發(fā)生碰撞（如圖所示），畫(huà)出波系圖、 圖，求解兩桿碰撞后桿中的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖。,解兩桿初始應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榱?，但初始質(zhì)點(diǎn)速度不為零，分別為v1和v2，撞擊后，在兩桿中分別形成了方向相反的強(qiáng)間斷彈性波，根據(jù)碰撞界面上壓力相等（等截面時(shí)應(yīng)力也相等）、質(zhì)點(diǎn)速度相等條件，兩桿從碰撞面開(kāi)始應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度逐漸分別由 和 變?yōu)?。 根據(jù)波的傳播情況可直接畫(huà)出波系圖和 圖，波系圖中設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在兩桿碰撞面處。,圖 3-3-1 圖3-3-2 波系圖中特征線(xiàn)OA和OB的方程分別為 和 。,根據(jù)波陣面上的動(dòng)量守恒條件，有： 某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖略。,討論： （1）若v1=0，相當(dāng)于對(duì)靜止桿的碰撞，有,（2）當(dāng)兩材料波阻抗相等時(shí)， 此時(shí)若v1=0有 若v1=- v20，相當(dāng)于兩桿發(fā)生迎面碰撞，有,圖3-3-3,（3）若v1=0， ，相當(dāng)于彈性桿對(duì)剛體的碰撞，有 圖3-3-4,（4）若 ，相當(dāng)于剛體對(duì)彈性桿的碰撞，有 圖3-3-5,例3-3-2兩截面面積分別為A01和A02的半無(wú)限長(zhǎng)桿，其聲阻抗分別為 和 ，撞擊前桿中應(yīng)力均為零且無(wú)初始應(yīng)變，兩桿分別以速度v1、v2（ v1）發(fā)生碰撞（如圖所示），畫(huà)出波系圖、 圖，求解兩桿碰撞后桿中的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖。,解根據(jù)碰撞界面上壓力相等、質(zhì)點(diǎn)速度相等條件，由于兩桿橫截面不等，故界面處速度相等但應(yīng)力不相等，兩桿從碰撞面開(kāi)始應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度分別由 和 變?yōu)?和 。 同樣，根據(jù)波的傳播情況可直接畫(huà)出波系圖和 圖，波系圖中仍設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)在兩桿碰撞面處。 圖中所給中的對(duì)應(yīng)于 的情況。,圖3-3-6 波系圖中特征線(xiàn)OA和OB的方程同前兩桿截面相同時(shí)的情況，分別為 和 。,根據(jù)波陣面上的動(dòng)量守恒條件，有： 某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖略。,討論： （1）當(dāng)兩材料波阻抗相等時(shí)，,（2）若v1=0， ，相當(dāng)于彈性桿對(duì)剛體的碰撞，有 圖3-3-7 （圖中對(duì)應(yīng)于A01A02）,（3）若 ，相當(dāng)于剛體對(duì)彈性桿的碰撞，有 圖3-3-8,3-3-2 有限長(zhǎng)桿對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)桿的碰撞 對(duì)于有限長(zhǎng)桿來(lái)說(shuō)，應(yīng)力波傳播到桿端會(huì)發(fā)生反射，反射后的波通過(guò)碰撞界面時(shí)發(fā)生反射和透射的情況與兩桿的波阻抗之間的關(guān)系息息相關(guān)。本節(jié)僅討論有限長(zhǎng)桿對(duì)半無(wú)限長(zhǎng)桿的碰撞，即只考慮兩桿之一有桿端邊界的反射問(wèn)題。,例3-3-3如圖，兩截面完全相同的一維長(zhǎng)桿，其中有限長(zhǎng)桿長(zhǎng)為L(zhǎng)2，聲阻抗為 ，半無(wú)限長(zhǎng)桿聲阻抗為 ，有限長(zhǎng)桿以速度v2撞擊靜止的半無(wú)限長(zhǎng)桿，兩桿初始應(yīng)力為零且無(wú)初始應(yīng)變，根據(jù)兩桿的波阻抗之間的關(guān)系分析撞擊后應(yīng)力波在桿中傳播的情況，畫(huà)出波系圖、 圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖。,解兩桿撞擊后，由碰撞界面處背向碰撞面方向傳播一次彈性波，為壓縮波。設(shè)兩桿相撞時(shí)刻為 時(shí)刻，當(dāng) 時(shí)左傳播彈性波到達(dá)B2桿左端，在自由端面發(fā)生反射，向右傳播二次波，為稀疏波，使桿中應(yīng)力逐漸卸載為0，在 時(shí)到達(dá)兩桿相接觸的界面，根據(jù)兩桿的波阻抗關(guān)系的不同，應(yīng)力波此后傳播的情況會(huì)不同，下面分別討論。,（1）當(dāng) 時(shí) 兩桿波阻抗相等時(shí)（但兩桿的波速可能不同），波阻抗統(tǒng)一用 表示，兩桿的波速分別用C01和C02表示。從B2桿左端面向右傳播的稀疏波（卸載波）在撞擊面處將無(wú)反射的進(jìn)行傳播。依據(jù)題意可畫(huà)出相應(yīng)的波系圖和 圖。,圖3-3-9 （圖中對(duì)應(yīng)于 ）,區(qū)和 區(qū)由于兩桿橫截面積相等，滿(mǎn)足界面處應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度相等條件，可統(tǒng)一用3區(qū)來(lái)表示。各區(qū)求解過(guò)程如下： 1區(qū)： 2區(qū)： 3區(qū)：,4區(qū)： 或由 （疊加原理） 即 時(shí)，B2桿從左端自由界面開(kāi)始反射右傳卸載波，使桿中應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度逐漸卸載到0， 時(shí)卸載波傳到碰撞界面，使碰撞界面處應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度卸載到0，意味著兩桿的撞擊結(jié)束。,歸納：對(duì)于4區(qū)這種向自由界面?zhèn)鞑ゲl(fā)生反射形成的三個(gè)區(qū)域2、3、4區(qū)之間有這樣的關(guān)系，即 而類(lèi)似的區(qū)域如果是向固定端傳播和反射，則有,5區(qū)：兩桿的撞擊結(jié)束，B1桿左端變成自由界面，卸載波繼續(xù)向B1桿中向右傳播，使桿中應(yīng)力變?yōu)?，則有 根據(jù)前面的分析及求解，當(dāng) 時(shí)，兩桿在 時(shí)刻碰撞結(jié)束，兩桿保持接觸不分離，但桿中應(yīng)力和質(zhì)點(diǎn)速度都變?yōu)?。,由X-t圖可以看出，B1桿中有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在 時(shí)刻后B1桿中的應(yīng)力波形為一矩形波，通常稱(chēng)之為應(yīng)力脈沖，應(yīng)力脈沖的長(zhǎng)度（對(duì)應(yīng)于兩波的間距）由下圖可得為 。 圖3-3-10,當(dāng) ， ，即B1桿中所傳播的矩形應(yīng)力脈沖長(zhǎng)度是B2桿長(zhǎng)度的兩倍，此時(shí)若改變B2桿的長(zhǎng)度就可以獲得不同脈沖長(zhǎng)度的應(yīng)力脈沖，這就是在進(jìn)行有關(guān)的動(dòng)態(tài)力學(xué)實(shí)驗(yàn)中控制脈沖長(zhǎng)度的常用方法。,時(shí)（當(dāng) 時(shí)實(shí)際上對(duì)應(yīng)于兩相同材料）所對(duì)應(yīng)的X-t圖確切來(lái)說(shuō)應(yīng)修正為下圖，但 圖不變。 圖3-3-11,（2）當(dāng) 時(shí)，相當(dāng)于軟硬（軟材料撞擊硬材料） 依據(jù)題意可畫(huà)出相應(yīng)的波系圖和 圖。 圖3-3-12 （圖中對(duì)應(yīng)于 ）,由圖中可以看出，B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，但質(zhì)點(diǎn)速度變?yōu)樨?fù)值，與B1桿脫離，并使B1桿左端變?yōu)樽杂啥?，由B2桿傳入的卸載波使B1桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，速度相應(yīng)也變?yōu)?。兩桿在 時(shí)刻碰撞結(jié)束，并彼此脫離。,3區(qū)： 4區(qū)： 或根據(jù)前面的歸納直接可寫(xiě)出解值 5區(qū)有：,在B1桿中也是有先行的壓縮波和隨后的卸載拉伸波，兩波間距始終不變，在 時(shí)刻后B1桿為一矩形應(yīng)力脈沖，長(zhǎng)度為 。當(dāng) 時(shí)，應(yīng)力脈沖長(zhǎng)度為 。 當(dāng) 時(shí)，相應(yīng)的X-t圖的特征線(xiàn)也要作相應(yīng)修正。,討論：若 ，相當(dāng)于有限長(zhǎng)桿剛體，波形圖和 圖如下。 圖3-3-13,B1桿相當(dāng)于剛體，彈性桿撞擊靜止的半無(wú)限長(zhǎng)剛體，碰撞界面處有 ，應(yīng)力值近似解為 。4區(qū)的質(zhì)點(diǎn)速度為 ，即彈性桿在 時(shí)刻以大小相等的速度反彈。B1桿中在時(shí)間內(nèi)桿中均布著壓力 ，從 時(shí)間開(kāi)始后，剛性桿中應(yīng)力馬上衰減到0，體現(xiàn)剛體受力的瞬時(shí)性。,（3）當(dāng) 時(shí)，相當(dāng)于硬軟 依據(jù)題意可初步畫(huà)出相應(yīng)的波系圖和 圖如下。,圖3-3-14,由圖中可以看出，B2桿中由自由界面向右傳播的卸載波使桿中應(yīng)力逐漸變?yōu)?，但質(zhì)點(diǎn)速度仍為正值，由B2桿傳入B1桿中的卸載波在 圖上是在3、0點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)上，但兩桿是相互脫離、碰撞結(jié)束還是保持接觸相互作用，還須進(jìn)一步進(jìn)行討論。如果兩桿相互作用結(jié)束，B1桿左端將成為自由端，即有 ，則相應(yīng)有 ，而 ，顯然B2桿仍會(huì)對(duì)B1桿發(fā)生進(jìn)一步的碰撞，也就是說(shuō)兩桿仍會(huì)相互作用下去，碰撞不會(huì)結(jié)束。則在兩桿碰撞界面上，由于兩桿波阻抗不相等，在界面上會(huì)有反射和透射，分別向B2桿發(fā)生反射和向B1桿發(fā)生透射。,最終可畫(huà)出波系圖和 圖如下，圖中只畫(huà)到了7區(qū)，實(shí)際上可一直延續(xù)畫(huà)下去，趨近無(wú)窮 。 圖3-3-15,3區(qū)： 4區(qū)：,5區(qū)： 6區(qū)： ,由3-3-15圖以及以上各區(qū)的解可以看出，B2桿對(duì)B1桿的撞擊將進(jìn)行第二次、第三次，直至無(wú)窮次撞擊，不過(guò)撞擊速度和應(yīng)力波的幅值逐次減小，直至趨進(jìn)于0。在 時(shí)刻發(fā)生第n次撞擊。 在B1桿中有先行的壓縮波和隨后幅值逐漸減小的一系列的卸載拉伸波，各相鄰兩波間距相等，為 （當(dāng) 時(shí)，相鄰兩波間距為 ）。 當(dāng) 時(shí)，相應(yīng)的X-t圖的特征線(xiàn)同樣要作相應(yīng)修正。,討論：若 ，相當(dāng)于剛體半無(wú)限長(zhǎng)彈性桿，波形圖和 圖如下。 圖3-3-16,由圖中可以看出， ，即剛體對(duì)彈性桿的撞擊相當(dāng)于進(jìn)行恒速撞擊。界面處有 。實(shí)際上，由于撞擊桿B2本身有初速v2，對(duì)于彈性桿B1，其左側(cè)相當(dāng)于剛壁面，根據(jù)前一節(jié)的討論，接觸面處恒有 ，由此也可得到 。此解是將撞擊短桿作為剛體，實(shí)為近似解。,剛體對(duì)彈性體進(jìn)行碰撞后，作為剛體有 ，作為彈性體有 。界面上應(yīng)力相等，則有 上式整理并積分，有 可得 （a） 上式為撞擊后的精確解，體現(xiàn)出桿中質(zhì)點(diǎn)速度與應(yīng)力都隨時(shí)間有指數(shù)衰減的規(guī)律。,下面作近似處理。設(shè)Mt為時(shí)間t內(nèi)彈性波在傳過(guò)彈性長(zhǎng)桿所對(duì)應(yīng)的質(zhì)量，有 ，則（a）式可變?yōu)椋?根據(jù)剛體假設(shè)， ，則上式變?yōu)椋?這與前面討論的結(jié)論一致。,3-3-3 有限長(zhǎng)桿與有限長(zhǎng)桿的碰撞 相碰撞的兩桿均為有限長(zhǎng)桿，則分別會(huì)有壓縮波向兩桿中傳播，并且分別在兩桿的另一端的自由面發(fā)生反射，在一定時(shí)間后（時(shí)間可能相同，也右能不同）回到碰撞面，情形比較復(fù)雜。本小節(jié)將針對(duì)兩類(lèi)特殊的情形進(jìn)行討論，首先是兩桿發(fā)生碰撞，兩桿長(zhǎng)度之間滿(mǎn)足 的關(guān)系，這樣壓縮波傳播到兩桿自由端的時(shí)間以及從自由端回到碰撞端的時(shí)間分別相等，這種情形還比較簡(jiǎn)單。另外，還簡(jiǎn)單討論三根材料及長(zhǎng)度和橫截面完全相等的三根桿的碰撞問(wèn)題。,例3-3-4如圖，兩截面完全相同的一維長(zhǎng)桿，聲阻抗分別為 和 ，長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和為L(zhǎng)2，設(shè)L1L2并滿(mǎn)足 條件。B2桿以速度v2撞擊靜止的B1桿，兩桿初始應(yīng)力為零且無(wú)初始應(yīng)變，根據(jù)兩桿的波阻抗之間的關(guān)系分析撞擊后應(yīng)力波在桿中傳播的情況，畫(huà)出波系圖、 圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖。,解由于 ，L1L2，故有 。設(shè)兩桿發(fā)生碰撞時(shí)刻作為時(shí)間為0時(shí)刻，在 時(shí)刻兩反向傳播的壓縮波分別到達(dá)桿各自的自由端，又在相同的時(shí)刻 時(shí)，從自由端反射的兩拉伸波又回到碰撞面。故可初步畫(huà)出波系圖見(jiàn)圖3-3-17。此后兩桿中的參量值以及彼此的狀態(tài)關(guān)系與材料的波阻抗關(guān)系相關(guān)，下面仍分三類(lèi)情形進(jìn)行討論。,圖3-3-17,（1）當(dāng) 時(shí) 此時(shí)的 圖如下。,圖3-3-18,3區(qū)： 4區(qū)： 或直接可給出結(jié)果 5區(qū)： 或直接可給出結(jié)果,由3-3-17、3-3-18圖和4、5區(qū)解值可知，在 時(shí)刻，B2桿靜止，B1桿以v2飛出，兩桿碰撞結(jié)束并脫離，B2桿的動(dòng)能全部傳遞給B1桿。,（2）當(dāng) 時(shí) 此時(shí)的 圖如下。,圖3-3-19,3區(qū)： 4區(qū)： 5區(qū)：,由圖3-3-19及4、5區(qū)解可知，在 時(shí)，B2桿以v4速度反彈，B1桿以速度v5（ ）向右飛出，兩桿碰撞結(jié)束并脫離，B2桿的動(dòng)能有一部分傳遞給B1桿。,（3）當(dāng) 時(shí) 此時(shí)的波系圖和 圖如下。,圖3-3-20,3區(qū)： 4區(qū)： 5區(qū)：,由圖3-3-20及4、5區(qū)解可知，在 時(shí)，B1桿以速度v5向右飛出（ ），B2桿以較小的正向速度v4（ ）跟隨B1桿之后向右飛行，B2桿的動(dòng)能有一部分傳遞給B1桿。,例3-3-5如圖所示，三根材料相同、橫截面相等的一維長(zhǎng)桿，長(zhǎng)度都為L(zhǎng)，其中B1桿和B2桿初始狀態(tài)為自然靜止?fàn)顟B(tài)，B3桿初始應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)?，以速度v0（v00）撞擊B2桿右端。分析撞擊后應(yīng)力波在桿中傳播的情況，畫(huà)出波系圖、 圖，求解兩桿碰撞后波系圖中各區(qū)域的質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力解值表達(dá)式，畫(huà)出某一時(shí)刻的 圖和某質(zhì)點(diǎn)位置的 圖。,解依題設(shè)B3桿和B2桿發(fā)生碰撞開(kāi)始時(shí)刻為0時(shí)刻，它們碰撞面為坐標(biāo)原點(diǎn)，可畫(huà)出三桿相碰撞后的波系圖和 圖。 圖3-3-21,2區(qū)： 3區(qū)： 4區(qū)：,由3-3-21圖