理論力學(xué)--振動(dòng)基本理論.ppt

17 振動(dòng)基本理論,振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng)，汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。,振動(dòng)（Vibration ）:系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。,振動(dòng)的利弊：,利：振動(dòng)給料機(jī)； 弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩； 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等。 消耗能量，降低精度等。,研究振動(dòng)的目的： 消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)為人類服務(wù)。,單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 按系統(tǒng)的自由度分 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 彈性體的振動(dòng),振動(dòng)的分類：,按振動(dòng)產(chǎn)生的原因分：,自由振動(dòng),強(qiáng)迫振動(dòng),自激振動(dòng),無阻尼的自由振動(dòng),有阻尼的自由振動(dòng)（衰減振動(dòng)）,無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng),有阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng),17.1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng),實(shí)際中的振動(dòng)往往很復(fù)雜，為了便于研究，需簡(jiǎn)化為力學(xué)模型。,質(zhì)量彈簧系統(tǒng),振體,17.1.1 自由振動(dòng)微分方程,如圖17-1所示振動(dòng)系統(tǒng)，設(shè)物塊的質(zhì)量為m，彈簧原長(zhǎng)為 l0，剛度系數(shù)為 k。物塊在平衡位置時(shí)，彈簧的變形為 ，稱為靜變形。平衡時(shí)，重力G與 彈性力相等，即,彈簧的靜變形為,（17-1）,取物塊的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸鉛垂向 下，當(dāng)物塊在任意位置x處時(shí)，彈簧對(duì)物塊的 作用力大小為,（17-2）,根據(jù)牛頓第二定律，物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為,令,（17-3）,單自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)（Free vibration）微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,通解：,（17-4）,任意瞬時(shí)的速度為,當(dāng)t = 0時(shí)，x = x0，v = v0，可求出積分常量,令,式（17-4）可寫成,（17-5）,（17-6）,無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧 振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)圖線如圖 17-2所示。,17.1.2 自由振動(dòng)的特點(diǎn),（17-7）,無阻尼自由振動(dòng)的周期,無阻尼自由振動(dòng)的頻率,（17-8）,（1）周期與頻率。物體的無阻尼自由振動(dòng)是周期運(yùn)動(dòng)，設(shè)周期為T,（17-10）,（17-9）,表示物體在 2p 秒內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，稱為圓頻率（Circular frequency）。 只與系統(tǒng)本身的質(zhì)量m及彈簧剛度k有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)的初始條件無關(guān)，是振動(dòng)系統(tǒng)的固有特性，所以稱為固有圓頻率（固有頻率（Natural frequency）。其單位與頻率 f 相同，為赫茲（Hz）。,A表示物塊偏離振動(dòng)中心的最大距離，稱為振幅 （Amplitude），它反映自由振動(dòng)的范圍和強(qiáng)弱；,稱為振動(dòng)的相位（Phase）（或相位角），單位是弧度（rad），相位決定了物塊在某瞬時(shí)t 的位置，而q 稱為初相位，它決定了物塊運(yùn)動(dòng)的 起始位置。,（2）振幅和初位相,例17-1 求如圖17-3所示單擺的微幅振動(dòng)周期。已知擺球質(zhì)量為m，擺繩長(zhǎng)為l。 解： 單擺的靜平衡位置為鉛垂位置，用擺繩偏離垂線的夾角 j 作為角坐標(biāo)。擺球受到重力 mg和繩拉力 F 的作用。取j 的增大方向?yàn)檎颍罁?jù)動(dòng)量矩定理，得,微幅振動(dòng),固有圓頻率,周期為,例17-2 滑輪重量為 G，重物 M1，M2重量為 G1， G2。彈簧的剛度系數(shù)為k，如圖17-4所示。設(shè)滑輪為 均質(zhì)圓盤，略去彈簧與繩子的質(zhì)量，求重物垂直振動(dòng) 的周期。,解： 以滑輪偏離其平衡位置的轉(zhuǎn)角j 為確定系統(tǒng)位置的坐標(biāo)。設(shè)滑輪半徑為r。 當(dāng)系統(tǒng)在任意位置j 時(shí)，彈簧的變形量 為,依據(jù)動(dòng)量矩定理，有,系統(tǒng)對(duì)點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,系統(tǒng)在平衡位置時(shí)彈性力對(duì)點(diǎn)O之矩與重物重力對(duì) 點(diǎn)O之矩相互抵消，即,（1）彈簧并聯(lián)。圖17-5表示剛性系數(shù)為k1，k2 的彈簧組成的兩種并聯(lián)系統(tǒng)。,17.1.3 彈簧的并聯(lián)與串聯(lián),在物塊重力作用下，每個(gè)彈簧產(chǎn)生的靜變形相等，由物塊的平衡條件可得,將并聯(lián)彈簧看成為一個(gè)彈簧，其剛度 系數(shù) ，稱為等效剛度系 數(shù)（Equivalent stiffness）。,（17-11）,并聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)等于各彈簧剛度系數(shù)之 和。 這一結(jié)果說明彈簧并聯(lián)后總的剛度系數(shù)增大了。該系統(tǒng)的固有圓頻率為,（2）彈簧串聯(lián)。 圖17-6表示兩個(gè)彈簧串聯(lián)，兩個(gè)彈簧的剛度系數(shù)分別為k1，k2。在物塊重力作用下每個(gè)彈簧所受的拉力相同，因此每個(gè)彈簧的靜變形為,將串聯(lián)彈簧看成為一個(gè)彈簧，其等效剛度系數(shù)為keq， 則有,彈簧總的靜變形為,（17-12）,表明串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各彈 簧剛度系數(shù)的倒數(shù)之和。,串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的固有頻率為,（17-13）,17.2 計(jì)算固有頻率的能量法,求系統(tǒng)固有頻率的方法：,（1）運(yùn)動(dòng)微分方程法,（2）靜變形法,（3）能量法。能量法是從機(jī)械能守恒定律出發(fā)，對(duì)于計(jì)算較復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，用能量法來求更為簡(jiǎn)便。,對(duì)于如圖17-1所示無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)，物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為,速度：,動(dòng)能：,選靜平衡位置為零勢(shì)能位置，系統(tǒng)的勢(shì)能：,物塊處于靜平衡位置時(shí)，勢(shì)能為零，動(dòng)能最大，即,物塊距振動(dòng)中心最遠(yuǎn)時(shí)，動(dòng)能為零，勢(shì)能最大，即,無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒,對(duì)于質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，固有頻率為：,這種求振動(dòng)系統(tǒng)固有頻率的方法稱為能量法。,例17-3 如圖17-7所示系統(tǒng)中，圓柱 體半徑為 r，質(zhì)量為 m，在水平面上滾 而不滑；彈簧剛度系數(shù)為 k。試求系統(tǒng) 的固有頻率。 解： 以彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)圓柱圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以圓柱圓心偏離原點(diǎn)的距離 x為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)作自由振動(dòng)，坐標(biāo) x 的變化規(guī)律為,動(dòng)能：,最大動(dòng)能：,勢(shì)能：,最大勢(shì)能：,機(jī)械能守恒，有,例17-4 用能量法計(jì)算例17-2題，如圖17-4所示。 解： 以滑輪偏離其平衡位置的轉(zhuǎn)角j為系統(tǒng)的坐標(biāo)。設(shè)系統(tǒng)作自由振動(dòng)，振動(dòng)規(guī)律為,當(dāng)系統(tǒng)在任意位置j 時(shí)，其動(dòng)能為,最大動(dòng)能：,系統(tǒng)在任意位置j 時(shí)，其勢(shì)能為,最大勢(shì)能：,17.3 單自由度系統(tǒng)有阻尼自由振動(dòng),自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，振幅不隨時(shí)間而變。但實(shí)際中振動(dòng)的振幅幾乎都是隨時(shí)間逐漸減小的，這是由于阻尼（Damping）的存在。,阻尼有多種形式：如黏性阻尼、干摩擦阻尼、結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生的內(nèi)阻尼等。這里只討論黏性阻尼。,阻尼：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。,當(dāng)振動(dòng)速度不大時(shí)，阻力近似地與速度成正比，方向與速度相反。這樣的阻尼稱為黏性阻尼（Viscous damping）。設(shè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度為 v ，黏性阻尼的阻尼力可表示為,（17-14）,其中比例常數(shù) C 稱為阻尼系數(shù)（Coefficient of damping），負(fù)號(hào)表示阻力與速度的方向相反。,（17-16）,17.3.1 振動(dòng)微分方程 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在黏性阻尼。取靜平衡位置為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸 x 向下為正（見圖17-8）。物塊的運(yùn)動(dòng)微分方程為,有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,（17-17）,17.3.2 微分方程的通解：,（1）小阻尼情形,（ ）阻尼系數(shù),有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率,分三種情況討論：,由小阻尼情形下的自由振動(dòng)表達(dá)式式（17-17） 知 ，振幅隨時(shí)間不斷衰減，所以又稱為衰減振 動(dòng)（Damped Vibration）。運(yùn)動(dòng)圖線如圖17-9所示。,衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：,振幅在曲線,與,之間逐次遞減。這種振動(dòng)已不是周期振動(dòng)，但仍然是圍繞平衡位置的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，仍然具有振動(dòng)的特點(diǎn)。,（17-19）,瞬時(shí)振幅,衰減振動(dòng)的圓頻率,x 稱為阻尼比（Damping ratio）。,（17-20）,相同的質(zhì)量及剛度系數(shù)條件下，衰減振動(dòng)的周期比無阻 尼自由振動(dòng)的周期長(zhǎng)。,（17-21）,（17-22）,振幅減縮率：兩個(gè)相鄰振幅之比,任意兩個(gè)相鄰振幅之比為一常數(shù)。衰減振動(dòng)的振幅呈幾何級(jí)數(shù)減小 。,對(duì)數(shù)減縮率 ：,（17-23）,阻尼很小時(shí)：,（17-24）,（17-25）,（2）大阻尼情形（ ）,積分常數(shù)由C1、C2由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。,系統(tǒng)不具備振動(dòng)特性。,（3）臨界阻尼情形（ ）,臨界阻尼系數(shù),積分常數(shù)由C1、C2由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。,系統(tǒng)不具備振動(dòng)特性。,綜上所述，系統(tǒng)受粘滯阻尼作用時(shí)，只有在nn的情況下才發(fā)生振動(dòng)，振動(dòng)的周期較無阻尼時(shí)略長(zhǎng)，而振幅則按幾何級(jí)數(shù)遞減。在臨界阻尼和大阻尼情形下，系統(tǒng)已不振動(dòng)。,例17-5 一有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如圖17-10（a）所示。測(cè)得 ，如圖17-10（b）所示。已知質(zhì)量塊m = 450 kg， 振動(dòng)周期為 1 s。求 此系統(tǒng)的彈性系數(shù) k 及阻尼系數(shù)C。,解： 振幅的對(duì)數(shù)減縮率為,Td =1s,將 、 代入,17.4 單自由度系統(tǒng)無阻尼受迫振動(dòng),由于阻尼的存在，自由振動(dòng)的振幅逐漸衰減，最后，系統(tǒng)的振動(dòng)停止。但實(shí)際中，振動(dòng)系統(tǒng)常常會(huì)受到激振力的作用。由激振力所引起的振動(dòng)稱為受迫振動(dòng)（Forced vibration）。例如，電機(jī)轉(zhuǎn)子的偏心引起的振動(dòng) 。,簡(jiǎn)諧激振力是一種典型的周期變化的激振力，簡(jiǎn)諧激振力 FS 隨時(shí)間變化的關(guān)系為,H 稱為激振力的力幅，即激振力的最大值；w 是激 振力的圓頻率,（17-26）,17.4.1 振動(dòng)微分方程,如圖17-11（a）所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，物塊質(zhì)量為m。取重物的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x 軸鉛垂向下。當(dāng)物體在離原點(diǎn) x 處時(shí)，作用于物體上的力有重力G，彈性力 F 和激振力 FS，如圖17-11（b）所示。,重物的運(yùn)動(dòng)微分方程為,，,（17-27）,令,得,（17-28）,無阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,解由兩部分組成,齊次通解：,特解：,將x2代入式（17-28），得,（17-29）,全解為,（17-31）,表明：無阻尼受迫振動(dòng)是由兩個(gè)諧振動(dòng)合成的，第一 部分是頻率為固有頻率的自由振動(dòng)；第二部分是頻率 為激振力頻率的振動(dòng)，稱為受迫振動(dòng)。由于振動(dòng)系統(tǒng) 中總有阻尼存在，自由振動(dòng)部分會(huì)很快地衰減下去。 下面著重研究受迫振動(dòng) 。,17.4.2 受迫振動(dòng)的振幅,受迫振動(dòng)的振幅,振幅的大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，與振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率 wn 、激振力頻率 w、激振力力幅 H 有關(guān)。,幅頻 特性曲線：,（1） ，激振力的周期趨于無窮大，激振力為一恒力，此時(shí)并不振動(dòng)。在此恒力作用下的靜變形為,（2） ，振幅 B 隨著激振力頻率w 的增加而增大（見 圖17-12（a）。當(dāng) w 接近于wn時(shí)，振 幅 B 將趨于無窮 大。,縱軸取為 ，為振幅比，振幅比表示由常力H 的靜力作用換成 的作用時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)變形擴(kuò)大的倍數(shù)。橫軸取為 ，稱頻率比。l 和b 的關(guān)系如圖17-12（b）所示。,當(dāng) w = wn 時(shí)，振幅 B 理論上趨向無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振（Resonance）。此時(shí)，式（17-30）所表示的特解失去意義。此時(shí)微分方程的特解應(yīng)為,17.4.3 共振現(xiàn)象,代入微分方程得,故共振時(shí)受迫振動(dòng)的規(guī)律為,（17-32）,振幅為 。共振時(shí)，隨著時(shí)間的增加，振幅不斷 加大，如圖17-13所示。,實(shí)際上，由于系統(tǒng)存在有阻尼，共振時(shí)振幅不可能達(dá) 到無限大。但一般來說共振時(shí)的振幅都是相當(dāng)大的。 如不預(yù)先加以防止，極易造成工程上的危害。,例17-6 電機(jī)質(zhì)量 m = 800 kg，安裝在彈性梁中部，如圖17-14（a）所示。電機(jī)轉(zhuǎn)速n = 1450 r / min，由于轉(zhuǎn)子偏心引起的激 振力幅 H = 600 N，梁 靜變形 dst = 0.4 cm。 不計(jì)梁重及阻尼。求受 迫振動(dòng)的振幅及共振時(shí) 電機(jī)的臨界轉(zhuǎn)速。,解 圖17-14（a）所示的系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為圖17-14（b）所示的模型，系統(tǒng)的剛度系數(shù)為,系統(tǒng)的固有圓頻率為,激振力圓頻率為,單位質(zhì)量的激振力幅為,當(dāng)激振力頻率（即電機(jī)轉(zhuǎn)子的角速度）等于系統(tǒng)的固有頻率 wn 時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生共振，這時(shí)的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。設(shè)臨界轉(zhuǎn)速以nC表示，則有,所以，受迫振動(dòng)的振幅為,17.5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng),選平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸鉛直向下，如圖17-15所示建立質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,（17-33）,有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。,全解：,（17-34）,小阻尼，齊次部分通解：,特解：,e 振動(dòng)的相位落后于激振力的相位角,全解：,兩部分組成：第一部分是有阻尼的自由振動(dòng)，因阻尼影響，其振幅將隨時(shí)間的增加而衰減，一段時(shí)間后便消失。第二部分是有阻尼的受迫振動(dòng)，它是周期變化的激振力引起的振動(dòng)。在持續(xù)簡(jiǎn)諧激振力作用下，受迫振動(dòng)也是一個(gè)持續(xù)進(jìn)行的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，稱為振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)。,（17-35）,穩(wěn)定狀態(tài)下：,代入式（17-33），可得,（17-36）,（1）激振力力幅 H 對(duì)振幅 B 的影響：,H，w 及阻尼對(duì)振幅 B 的影響：,，振幅 B 與激振力力幅成正比。,（2）激振力圓頻率 w 對(duì)振幅 B 的影響：,以 b 為縱軸，以 l為橫軸，對(duì)于每一個(gè)x 值，