數(shù)學建模第一數(shù)模概論.ppt

,數(shù)學建模 課件,出 品 哈爾濱工程大學理學院應用數(shù)學系 數(shù)學建模教練組 （沈繼紅 張曉威 高振濱 施久玉 羅躍生 ） 年月,數(shù)學建模(模型)概述 近半個世紀以來，數(shù)學的形象有了很大的變化，數(shù)學已經(jīng)不再單純是數(shù)學家與少數(shù)物理家、天文學家、力學家手中的神秘武器，它越來越深入地應用到各行各業(yè)之中，幾乎在人類社會生活的每個角落都在顯示它的無窮威力。這一點尤其表現(xiàn)在生物、政治、經(jīng)濟等數(shù)學應用的非傳統(tǒng)領域。 利用數(shù)學方法解決實際問題時，首先要進行的工作是建立數(shù)學模型，然后才能在此模型的基礎上對實際問題進行理論求解、分析的研究。,數(shù)學模型概念 或許我們對客觀實際中的模型并不陌生。敵對雙方在某區(qū)作戰(zhàn)時，都務必需要這個地區(qū)的主體作戰(zhàn)地形模型；在采煤開礦或打井時，我們需要描述本地區(qū)的地質結構的地形圖；出差或旅游到外地，總要買一張注明城市中各種地名及交通路線的交通圖。 一般地說，模型是我們所研究的客觀事物有關屬性的模擬，它應當具有事物中我們關心和需要的主要特性。 數(shù)學模型是運用數(shù)學的語言或工具，對部分現(xiàn)實世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等等）加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學模型經(jīng)過演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學上的分析、預報、決策或控制，再經(jīng)過翻譯和解釋，回到現(xiàn)實世界之中。,最后，這些推斷或結果必須經(jīng)過實際的檢驗，完成實踐理論實踐這一循環(huán)。如果檢驗的結果是正確的或基本正確的，即可用來指導實際，否則，要重新考慮翻譯、歸納的過程，修改數(shù)學模型。 下面，我們看一個簡單的例子！ 一個簡單的數(shù)學模型實例 一輛汽車在拐彎時急剎車，結果沖到路邊的溝里（見下圖），交通警察立即趕到了事故現(xiàn)場。司機申辯說，當他進入彎道時剎車失靈，他還一口咬定，進入彎道其車速為每小時英里（這是該路的速度上限，約合每秒.米）。警察驗車時證實該車的制動器在事故發(fā)生時確實失靈，然而，司機所說的車速是否真實可信呢？,現(xiàn)在，讓我們幫警察計算一下司機所報速度的真實性。 連接剎車痕跡的初始點和終點，用x表示沿連線汽車橫向所走出的距離，用y表示豎直的距離，如下圖,上面的表中，我們給出了外側剎車痕跡的有關值，而且，經(jīng)過測量還 發(fā)現(xiàn)，該車并沒有偏離它所行駛的轉彎路線，也就是說，它的車頭一直指 向切線方向。可以假設，該車的重心是沿一個半徑為r的圓做圓周運動。 假設磨擦力作用在該車速度的法線方向上，并設汽車的速度v是一個常 數(shù)。顯然，磨擦力提供了向心力，設磨擦系數(shù)為, 則,其中m為汽車質量.由上式易得,如何計算圓周半徑r？假設已知弦的長度為c，弓形的高度為h，其圖如 下所示，由勾股定理知,由前面的表中代入近似數(shù)據(jù)c=33.27, h=3.55后，得 r=40.75米 根據(jù)實際路面與汽車輪胎的情況，可以測量出磨擦系數(shù)，經(jīng)過實際測試得到 g=8.175米秒 將此結果代入我們上面利用第二定律所得到的式子中，得 v18.25米秒 此結果比司機所報速度（17.92米秒）略大。但是，我們不得不考慮計算半徑r及測試時的誤差。如果誤差允許在以內，無疑，此計算結果對司機是相當有利的。,建立模型的方法、步驟和模型的分類 建立數(shù)學模型主要采用機理分析與統(tǒng)計分析兩種方法。 .建模準備 要了解問題的實際背景、明確建立模型的目地，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征。 、模型假設 根據(jù)實際對象的特性和建立模型的目地，對問題進行必要的簡化。要善于辨別問題的主要和次要方面，抓住主要因素，拋棄次要因素，盡量將問題均勻化、線性化。,。建立模型 根據(jù)所做的假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，建立各個量之間的等式或不等式之間的關系，列出表格，畫出圖形或確定其它數(shù)學結構。建模時還有一個原則，即盡量采用簡單的數(shù)學工具，以便使更多的人能對你所建立的數(shù)學模型有所理解并且能夠使用它。 、模型求解 對上述建立的數(shù)學模型進行數(shù)學上的求解，包括解方程、畫出圖形、證明定理以及邏輯運算等等，會用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，特別是有關計算機技術。 、模型分析 對上邊求得的模型結果進行數(shù)學上的分析，有時是根據(jù)問題的性質，分析各變量之間的依賴關系或穩(wěn)定性態(tài)；有時則根據(jù)所得的結果給出數(shù)學上的預測；有時我們則給出數(shù)學上的最優(yōu)決策或控制。 、模型檢驗 這一步是把模型分析的結果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗模型的合理性與實用性。,如果檢驗的結果不符合或部分不符合實際情況，那么，我們必須回到建模之初，修改、補充假設，重新建模，即按上面步驟做到模型檢驗這一步；如果檢驗結果與實際情況相符，則可進行最后的工作模型應用。 按照變量的情況，可分為離散型和連續(xù)型模型，也可分為確定型模型和隨機模型等等；按照時間變化對模型的影響，可分為靜態(tài)模型和動態(tài)模型；按照研究方法和對象的特征，有初等模型、優(yōu)化