數(shù)學(xué)建模案例分析第13講插值.ppt

2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,1,數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),插 值,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,2,實(shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,1了解插值的基本內(nèi)容,1一維插值,2二維插值,3實(shí)驗(yàn)作業(yè),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,3,拉格朗日插值,分段線性插值,三次樣條插值,一 維 插 值,一、插值的定義,二、插值的方法,三、用MATLAB解插值問題,返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,4,返回,二維插值,一、二維插值定義,二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法,三、用MATLAB解插值問題,最鄰近插值,分片線性插值,雙線性插值,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,5,一維插值的定義,節(jié)點(diǎn)可視為由,產(chǎn)生,表達(dá)式復(fù)雜,或無封閉形式,或未知.,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,6,返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,7,稱為拉格朗日插值基函數(shù),已知函數(shù)f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 求一n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解決此問題的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下,其中Li(x) 為n次多項(xiàng)式：,拉格朗日(Lagrange)插值,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,8,拉格朗日(Lagrange)插值,特別地:,兩點(diǎn)一次(線性)插值多項(xiàng)式:,三點(diǎn)二次(拋物)插值多項(xiàng)式:,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,9,拉格朗日多項(xiàng)式插值的 這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象,采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：選取不同插值節(jié)點(diǎn)n+1個(gè)，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時(shí)，繪出插值結(jié)果圖形.,例,返回,To MATLAB lch(larg1),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,10,分段線性插值,計(jì)算量與n無關(guān); n越大，誤差越小.,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,11,To MATLAB xch11，xch12，xch13， xch14,返回,例,用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.,1.在-6,6中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(xch11),4.在-6,6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(xch14),2.在-6,6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(xch12),3.在-6,6中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值(xch13),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,12,比分段線性插值更光滑,在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性 光滑性的階次越高，則越光滑是否存在較低次的分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子,三次樣條插值,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,13,三次樣條插值,g(x)為被插值函數(shù),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,14,例,用三次樣條插值選取11個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值(ych),返回,To MATLAB ych(larg1),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,15,用MATLAB作插值計(jì)算,一維插值函數(shù)：,yi=interp1(x，y，xi，method),nearest 最鄰近插值；linear 線性插值； spline 三次樣條插值； cubic 立方插值； 缺省時(shí) 分段線性插值,注意：所有的插值方法 都要求x是單調(diào)的，并且xi不 能夠超過x的范圍,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,16,例：從1點(diǎn)12點(diǎn)的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度的數(shù)值依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值,To MATLAB (temp),hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的) plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,17,例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時(shí)的y值,To MATLAB(plane),返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,18,二維插值的定義,第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,19,已知 mn個(gè)節(jié)點(diǎn),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,20,第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,21,返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,22,注意：最鄰近插值一般不連續(xù)具有連續(xù)性的最簡單的插值是分片線性插值,最鄰近插值,二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的 節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求,返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,23,將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次簡記為：,分片線性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,24,插值函數(shù)為：,第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足,插值函數(shù)為：,注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；,分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：,第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足,返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,25,雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成 雙線性插值函數(shù)的形式如下：,其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù),雙線性插值,返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,26,要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍,z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,nearest 最鄰近插值； linear 雙線性插值； cubic 雙三次插值； 缺省時(shí) 雙線性插值.,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,27,例：測(cè)得平板表面35網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形,輸入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; mesh(x,y,temps),1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲線圖.,2以平滑數(shù)據(jù),在 x、y方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值.,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,28,再輸入以下命令: xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic); mesh(xi,yi,zi) 畫出插值后的溫度分布曲面圖.,To MATLAB (wendu),2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,29,通過此例對(duì)最近鄰點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進(jìn)行比較,To MATLAB (moutain),返回,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,30,插值函數(shù)griddata格式為:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算,要求cx取行向量，cy取為列向量,nearest最鄰近插值 linear 雙線性插值 cubic 雙三次插值 v4- MATLAB提供的插值方法 缺省時(shí), 雙線性插值,2019/7/14,數(shù)學(xué)建模,31,例 在某海域測(cè)得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）（-50，150）里的哪些地方船要避免