(好資料)2007年高考“概率與統(tǒng)計(jì)”題--高考數(shù)學(xué)試題全解

2007年高考“概率與統(tǒng)計(jì)”題1(全國) 某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為123450.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為300元表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn)（）求事件：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率；（）求的分布列及期望解：（）由表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”，（）的可能取值為元，元，元，的分布列為（元）2(全國II) 在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布若在內(nèi)取值的概率為0.4，則在內(nèi)取值的概率為 解：在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果x服從正態(tài)分布N（1，s2）（s0），正態(tài)分布圖象的對(duì)稱軸為x=1，x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，可知，隨機(jī)變量在(1，2)內(nèi)取值的概率于x在(0，1)內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，這樣隨機(jī)變量在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.8。從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列解：（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”， 表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”則互斥，且，故于是解得（舍去）（2）的可能取值為若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故 所以的分布列為012 123 10 20 30 4050參加人數(shù)活動(dòng)次數(shù)3（北京卷）某中學(xué)號(hào)召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會(huì)公益活動(dòng)（以下簡(jiǎn)稱活動(dòng)）該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動(dòng)的次數(shù)統(tǒng)計(jì)如圖所示（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)；（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望解：由圖可知，參加活動(dòng)1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40（I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動(dòng)的人均次數(shù)為（II）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動(dòng)次數(shù)恰好相等的概率為（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加2次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加2次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件，“這兩人中一人參加1次活動(dòng)，另一人參加3次活動(dòng)”為事件易知；的分布列：012的數(shù)學(xué)期望：4（天津卷）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球.現(xiàn)在從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球.(I)求取出的4個(gè)球均為黑色球的概率；(II)求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；(III)設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：(I)設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨎.由于事件A，B相互獨(dú)立，且.故取出的4個(gè)球均為黑球的概率為.(II)解：設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅紅，1個(gè)是黑球”為事件C，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件D.由于事件C，D互斥，且.故取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為.(III)解：可能的取值為.由(I)，(II)得又 從而.的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望.5(上海卷) 在五個(gè)數(shù)字中，若隨機(jī)取出三個(gè)數(shù)字，則剩下兩個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率是 （結(jié)果用數(shù)值表示） 解： =6（重慶卷）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（ ）A B C D解：可從對(duì)立面考慮，即三張價(jià)格均不相同， 選C某單位有三輛汽車參加某種事故保險(xiǎn)，單位年初向保險(xiǎn)公司繳納每輛900元的保險(xiǎn)金.對(duì)在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的每輛汽車，單位獲9000元的賠償（假設(shè)每輛車最多只賠償一次）。設(shè)這三輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故的概率分別為且各車是否發(fā)生事故相互獨(dú)立,求一年內(nèi)該單位在此保險(xiǎn)中：（1）獲賠的概率；(4分)（2）獲賠金額的分別列與期望。(9分)解：設(shè)表示第輛車在一年內(nèi)發(fā)生此種事故，由題意知，獨(dú)立，且，（）該單位一年內(nèi)獲賠的概率為（）的所有可能值為，綜上知，的分布列為求的期望有兩種解法：解法一：由的分布列得（元）解法二：設(shè)表示第輛車一年內(nèi)的獲賠金額，則有分布列故同理得，綜上有（元）7（遼寧卷）一個(gè)壇子里有編號(hào)為1，2，12的12個(gè)大小相同的球，其中1到6號(hào)球是紅球，其余的是黑球. 若從中任取兩個(gè)球，則取到的都是紅球，且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的概率是（ ）ABCD解： 從中任取兩個(gè)球共有種取法，其中取到的都是紅球，且至少有1個(gè)球的號(hào)碼是偶數(shù)的取法有種取法，概率為，選D.某企業(yè)準(zhǔn)備投產(chǎn)一批特殊型號(hào)的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為該種產(chǎn)品的市場(chǎng)前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：市場(chǎng)情形概率價(jià)格與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式好0.4中0.4差0.2設(shè)分別表示市場(chǎng)情形好、中、差時(shí)的利潤(rùn)，隨機(jī)變量，表示當(dāng)產(chǎn)量為而市場(chǎng)前景無法確定的利潤(rùn)（I）分別求利潤(rùn)與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式；（II）當(dāng)產(chǎn)量確定時(shí)，求期望；（III）試問產(chǎn)量取何值時(shí)，取得最大值 ()解:由題意可得L1= (q0).同理可得 (q0)(q0) 4分 () 解:由期望定義可知 8分() 解:由()可知是產(chǎn)量q的函數(shù),設(shè)得0解得(舍去).由題意及問題的實(shí)際意義(或當(dāng)0q10時(shí),0;當(dāng)q10時(shí), 可知,當(dāng)q=10時(shí), f(q)取得最大值,即最大時(shí)的產(chǎn)量q為10. 12分8（江蘇卷）某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為，計(jì)算（結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位）（1）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；（4分）（2）5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；（4分）（3）5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率；（4分）解：（1）次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確的概率為（2）次預(yù)報(bào)中至少有次準(zhǔn)確的概率為（3）“次預(yù)報(bào)中恰有次準(zhǔn)確，且其中第次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為9(廣東卷) 甲、乙兩個(gè)袋子中均裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球、5個(gè)白球?，F(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機(jī)抽取一個(gè)球，則取出的兩球是紅球的概率為_(答案用分?jǐn)?shù)表示)解：P=下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)（） 請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（） 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（） 已知該廠技術(shù)改造前噸甲產(chǎn)品能耗為噸標(biāo)準(zhǔn)煤.試根據(jù)（）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)據(jù): 325+43+54+64.5=66.5）【命題意圖】考查線性回歸的應(yīng)用【參考答案】(1)如下圖(2)=32.5+43+54+64.5=66.5=4.5 ， =3. 5=+=86故線性回歸方程為y=0.7x+0.35(3)根據(jù)回歸方程的預(yù)測(cè)，現(xiàn)在生產(chǎn)100噸產(chǎn)品消耗的標(biāo)準(zhǔn)煤的數(shù)量為0.7100+0.35=70.35故耗能減少了90-70.35=19.65(噸)10(福建卷) 如圖，三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是（ ）ABCD解： 從中任取三個(gè)數(shù)共有種取法，沒有同行、同列的取法有，至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是，選D.兩封信隨機(jī)投入三個(gè)空郵箱，則郵箱的信件數(shù)的數(shù)學(xué)期望 解：的取值有0，1，2， 所以E=11(安徽卷) 以表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在區(qū)間（）內(nèi)取值的概率，若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則概率等于 （A）-（B） （C）（D）解：=，選B。在醫(yī)學(xué)生物學(xué)試驗(yàn)中，經(jīng)常以果蠅作為試驗(yàn)對(duì)象.一個(gè)關(guān)有6只果蠅的籠子里，不慎混入了兩只蒼蠅（此時(shí)籠內(nèi)共有8只蠅子：6只果蠅和2只蒼蠅），只好把籠子打開一個(gè)小孔，讓蠅子一只一只地往外飛，直到兩只蒼蠅都飛出，再關(guān)閉小孔.以表示籠內(nèi)還剩下的果蠅的只數(shù).（）寫出的分布列（不要求寫出計(jì)算過程）；（）求數(shù)學(xué)期望E；（）求概率P（E）.解：（）的分布列為：0123456（）數(shù)學(xué)期望為（）所求的概率為12(湖南卷) 設(shè)隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=（ ）A0.025B0.050C0.950D0.975解：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 選C某地區(qū)為下崗人員免費(fèi)提供財(cái)會(huì)和計(jì)算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項(xiàng)培訓(xùn)、參加兩項(xiàng)培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)的有60%，參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)的有75%.假設(shè)每個(gè)人對(duì)培訓(xùn)項(xiàng)目的選擇是相互獨(dú)立的，且各人的選擇相互之間沒有影響（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求的分布列和期望解：任選1名下崗人員，記“該人參加過財(cái)會(huì)培訓(xùn)”為事件，“該人參加過計(jì)算機(jī)培訓(xùn)”為事件，由題設(shè)知，事件與相互獨(dú)立，且，（I）解法一：任選1名下崗人員，該人沒有參加過培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是解法二：任選1名下崗人員，該人只參加過一項(xiàng)培訓(xùn)的概率是該人參加過兩項(xiàng)培訓(xùn)的概率是所以該人參加過培訓(xùn)的概率是（II）因?yàn)槊總€(gè)人的選擇是相互獨(dú)立的，所以3人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)服從二項(xiàng)分布，即的分布列是01230.0010.0270. 2430.729的期望是（或的期望是）13（湖北卷）連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（ ）ABCD解： 由向量夾角的定義，圖形直觀可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線上及其下方時(shí)，滿足，點(diǎn)的總個(gè)數(shù)為個(gè)，而位于直線上及其下方的點(diǎn)有個(gè)，故所求概率，選C某籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是，他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為（用數(shù)值作答） 解：由題意知所求概率分組頻數(shù)合計(jì)在生產(chǎn)過程中，測(cè)得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細(xì)的一種量）共有100個(gè)數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：（I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標(biāo)系 中畫出頻率分布直方圖；（II）估計(jì)纖度落在中的概率及纖度小于的概率是多少？（III）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值 （例如區(qū)間的中點(diǎn)值是）作為代表據(jù)此，估計(jì)纖度的期望解：（）分組頻數(shù)頻率40.04250.25300.30290.29100.1020.02合計(jì)1001.00樣本數(shù)據(jù)頻率/組距1.301.341.381.421.461.501.54（）纖度落在中的概率約為，纖度小于1.40的概率約為（）總體數(shù)據(jù)的期望約為14（江西卷）將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）解： 一骰子連續(xù)拋擲三次得到的數(shù)列共有個(gè)，其中為等差數(shù)列有三類：（1）公差為0的有6個(gè)；（2）公差為1或-1的有8個(gè)；（3）公差為2或-2的有4個(gè)，共有18個(gè)，成等差數(shù)列的概率為，選B某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制，當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制，兩次燒制過程相互獨(dú)立根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平，經(jīng)過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，經(jīng)過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為，（1）求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率；（2）經(jīng)過前后兩次燒制后，合格工藝品的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望解：分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件，（1）設(shè)表示第一次燒制后恰好有一件合格，則（2）解法一：因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過兩次燒制后合格的概率均為，所以，故解法二：分別記甲、乙、丙經(jīng)過兩次燒制后合格為事件，則，所以，于是，15（山東卷）某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與19秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成六組：第一組，成績(jī)大于等于13秒且小于14秒；第二組，成績(jī)大于等于14秒且小于15秒；第六組，成績(jī)大于等于18秒且小于等于19秒右圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖設(shè)成績(jī)小于17秒的學(xué)生人數(shù)占全班總?cè)藬?shù)的百分比為，成績(jī)大于等于15秒且小于17秒的學(xué)生人數(shù)為，則從頻率分布直方圖中可分析出和分別為（ ）013141516171819秒頻率/組距0.360.340.180.060.040.02A0.9，35B0.9，45C0.1，35D0.1，450.360.340.180.060.040.02O 13 14 15 16 17 18 19解：從頻率分布直方圖上可以看出，. 選A.位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)按下列規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位；移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥⑶蚁蛏?、向右移?dòng)的概率都是. 質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)五次后位于點(diǎn)的概率是（ ）ABCD解：質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過程中向右移動(dòng)2次向上移動(dòng)3次，因此質(zhì)點(diǎn)P 移動(dòng)5次后位于點(diǎn)的概率為。選B.設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，用隨機(jī)變量表示方程實(shí)根的個(gè)數(shù)（重根按一個(gè)計(jì)）（）求方程有實(shí)根的概率；（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）求在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程有實(shí)根的概率解：（I）基本事件總數(shù)為，若使方程有實(shí)根，則，即。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，,目標(biāo)事件個(gè)數(shù)為因此方程 有實(shí)根的概率為(II)由題意知，則，故的分布列為012P的數(shù)學(xué)期望(III)記“先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5”為事件M，“方程 有實(shí)根” 為事件N，則，.16(陜西卷) 某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰. 已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、，且各輪問題能否正確回答互不影響.（）求該選手被淘汰的概率；（）該選手在選拔中回答問題的個(gè)數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）解法一：（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）的可能值為，的分布列為123解法二：（）記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為，則，該選手被淘汰的概率（）同解法一17（四川卷）廠家在產(chǎn)品出廠前，需對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn)，廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時(shí)，商家按合同規(guī)定也需隨機(jī)抽取一定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗(yàn)，以決定是否接收這批