數(shù)學教學技術支持下的數(shù)學課程標準的十大理念.pptVIP

1,數(shù)學教學技術支持下的數(shù)學課程標準的十大理念,華南師范大學數(shù)學科學學院 吳躍忠,2,1用技術構建共同基礎，用技術提供發(fā)展平臺,實現(xiàn)這一理念的具體措施是為所有學生提供一個必修系列，再為繼續(xù)升學的學生提供若干選修系列 必修系列中的內容則需要對技術提出一個具體的要求 如果我們把共同基礎理解為： (1)對于高中畢業(yè)后從事技工的學與繼續(xù)上大學升造的學生有一個共同基礎 (2)將來學體育、藝術、歷史等人文學科與學理科的或數(shù)學的學生有一個共同的基本要求,3,實現(xiàn)這個基礎的技術要求： (1)學生要掌握基本常用軟件的數(shù)學處理 例1 word文檔的數(shù)學公式編輯器 例2 excel的基本統(tǒng)計功能和回歸曲線功能 例3數(shù)學教育軟件的使用,4,卡氏幾何,5,6,7,8,代數(shù)運算系統(tǒng)（CAS）,9,10,11,12,作圖工具,13,14,15,16,(2)能夠用技術解決數(shù)學基本運算 例4 已知函數(shù) （1）求這個函數(shù)的導數(shù)； （2）求這個函數(shù)在點x=1處切線。 解（1）求導函數(shù),17,（2）求點x=1的導數(shù),18,求切點,求切線,20,21,(3)能夠用技術作出數(shù)學基本圖形 例5 函數(shù) 需要考慮技術條件下作圖的一些要求，例如 （1）如何設計屏幕使得圖形看起來更好。 （2）技術上如何表示一個圖形的一部分。,22,作,23,我們想使得曲線變得粗一些,24,如果只想作出函數(shù)的一部分曲線,25,(4)用技術理解數(shù)學技巧 第一步：求動點滿足的等式,26,第二步：整理,27,兩邊平方,28,將平方式子展開,29,移項,30,化為標準型,31,對于進一步發(fā)展的學生，技術將作為不可或缺的工具伴隨學生終生 解：第一步：作出這兩個函數(shù)的圖象,32,第二步：求這兩個函數(shù)的交點的橫坐標。,33,第三步：寫出解答。 (1,1 3)(3 9,+),34,例8設常數(shù) 實數(shù) 滿足 求二元函數(shù) 的最大值。 解：第一步：化簡,35,第二步：代入,36,第三步；求取最值點,37,第四步：代入函數(shù),38,第五步：展開,39,(五)技術將超越靜態(tài)的知識 例9 在一個小島上安裝了一只探照燈，其發(fā)射的光速能照亮距離小島1公里的海面。探照燈以T=1分鐘轉一圈的速度繞其軸均勻地旋轉?，F(xiàn)有一艘摩托艇必須駛達小島，但又不能被探照燈光速所發(fā)覺。試問這艘摩托艇行駛的速度v的最小值應該是多少？,40,第一種方案：摩托艇走直線。 設探照燈掃過的面積稱為 “搜索圓”摩托艇應該是探照燈 一過A點，就進“搜索圓”,41,第二種方案： 由于在OP上的每一點的線速度不同，所以 設想，小艇的速度高于線速度就可以了。,42,小艇只要達到安全圓（半徑為a）就可以。,43,第三種方案： 達到安全圓以前，小艇所走的安全區(qū)域為下圖的陰影部分點集D,44,45,46,47,2技術體現(xiàn)多樣性并強調個性,課標的第二個理念是“提供多樣課程、適應個性選擇” 課程標準提供了五個必修模塊、四個選修系列，提供的內容比較多，為數(shù)學教學技術提供了廣泛的空間 如，圓錐曲線與方程、 導數(shù)與應用、計數(shù)原理、幾何證明選講等，技術都可以與這些內容結合起來,48,新課標提供了許多的課程，雖然在課標的實施過程中有些課程對于學生而言有名無實，但是，技術介入，確實有利于張揚學生個性 例1 直線與圓錐曲線交點,49,（1）,50,51,第二步：求的距離（用表示）， 第三步：同理可得（在中將換成，得）， 第四步：解方程組： ,求出 ,繼而求出方程.,52,（2）,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,由此設計一個程序，解決直線與圓錐曲線的 交點。 (1)求直線 與圓 的交點.,63,64,65,（2）,66,67,（3） 求直線：,68,第二步：求雙曲線：,69,第三步：作圖：,70,第四步：求交點：,71,3數(shù)學教學技術有助于形成積極主動、勇于探索的學習方式,接受、記憶模仿和練習在數(shù)學教學中的比重非常大，有實驗研究表明，只有在初中時達到一定的基本運算速度，才有可能在高考中考出好的成績 操作性訓練過多， 勢必造成一種定勢，形成考慮問題的固定模式桑代克早已證明，練習并不總能使人的成績提高，李士奇也認為“熟不一定能生巧”，或許會熟能生厭 技術將可能代替所有的重復性訓練，這就給學生提供了時間來積極主動地自主探索、學習數(shù)學建模和數(shù)學探究,72,73,難點： 1。數(shù)學閱讀困難； 2。由函數(shù)組成的集合比較少見； 3。函數(shù)集合滿足兩條件； 4。李普希茲條件； 5。不動點理論。,74,第（I）問的兩種解答,75,76,第（II）問解法的三種水平 水平一：最為初等解法是放縮法，此乃標準解法，故略去如果能和幾何意義聯(lián)系起來，則有如下兩個水平。,77,78,79,這一題顯然不能靠熟能生巧解決，這里的 抽象數(shù)學符號表述需要通過其它的方法來 培養(yǎng)。 這里培養(yǎng)的應該是一種精神，一種探索的 精神，如果學生能象玩游戲機那樣熟練地 使用技術，他們的探索精神和能力將會得 到發(fā)展。,80,例2 冪極數(shù)的和,81,82,83,84,85,我們來看看這些級數(shù)的和：,86,4技術提高數(shù)學思維質量,技術本身不能代替思維，而數(shù)學思維也是隱性的，我們只能給學生一些思維的方法，如，觀察、發(fā)現(xiàn)、類比等，學生不斷地使用這些方法的過程中，提高數(shù)學思維的能力 人們在思維時，有時需要運算來驗證自己的想法、有時需要作圖來實現(xiàn)思考的對象 如果用技術，則可以消除運算和作圖帶來的可能的、潛在的錯誤，也可以使我們用運算驗證的范圍更廣，也可以使我們更清晰地觀察我們思考的對象 ,87,例1 “函數(shù) 的圖象與它的反函數(shù)的圖象都過點 ，則上述原函數(shù)與它的反函數(shù)圖象共有幾個交點？” 解答結果： 函數(shù)： 和 交點：,88,有學生認為 和 有無數(shù)個交點，理由是它們的圖象有一段重 合。,89,在區(qū)間 上局部放大圖象：,90,例2筆直的公路旁有一幢宮殿，旅行車停在哪里車內游客才能很好地看到宮殿的正面？ （1）探求最大角： 拖動點時，隨點位置的改變而變大或變小，經過多次調整，可尋找到取最大值時點的位置，此時就是停車地點,91,（2）挑出合適的圓 把看成某圓的周角，由同弧上所立的圓周角相等，知角度的大小依賴于圓的大小，解題者的任務是要找出與直線相交且周角最大的圓想象用無數(shù)個以為弦的圓覆蓋整個平面，電腦算出，圓的直徑越大，上所立的圓周角越小，由此推知與相切的那個圓具有最大視角（幾何證明略去），因而切點就是停車點,92,（3）繪出散點圖 設線段與直線的交點為，電腦量出到的距離作為橫坐標，及相應的張角為縱坐標，當點移動時，電腦記錄下點的所有坐標，然后繪出點的“足跡”（散點圖）： 從散點圖易知，確實存在一個最大值,93,（4）散點圖的方程 假設該函數(shù)是一個四次多項式，根據(jù)上面收集的坐標，求出這個四次多項式為：,94,（5）輔助計算 以上的方法都是從問題解決的角度來尋求解答，下面按照傳統(tǒng)方法，求出張角隨距離變化的函數(shù)如圖建立直角坐標系：,95,5技術有利于學生發(fā)展數(shù)學應用意識,數(shù)學應用的一大障礙是計算量太大、圖形較為復雜，即使熟悉應用所需的數(shù)學知識，也不能處理，這種情況下，技術的符號和圖形功能有較大的作用空間 數(shù)學應用的主要表現(xiàn)在于構造數(shù)學模型，構造數(shù)學模型通常有兩種情況，其一是用學生已知的、十分熟悉的數(shù)學模型擬合題設條件；其二是學生根據(jù)題條件尋求不太熟悉的數(shù)學型對于前一種情況，數(shù)學教學技術通常都會有常用 的函數(shù)可供擬合，對于第二種情況，有時也可用計算來求得一些復合函數(shù),96,例1 交通標志 “反相轉彎”標志函數(shù) f 1 (x) = 1 , 1 x 56 f 2 (x) = 1.672466x 0.749472, 1 x 28 f 3 (x) = 1.602855x +90.792158 , 28 x 56 f 4 (x) =0.109496 x +11.445349 , 24.5 x 42 f 5 (x) = 0.129741x + 15.509483 , 14.5 x 31.5 f 6 (x) = 1.096577 x +33.424505 , 14.5 x 26.5 f 7 (x) = x 22 , 26 x 30.5 f 8 (x) = 1.012295 x + 38.913934 , 24.5 x 30.5 f 9 (x) = 1.043689 x + 51.762136, 24 x 33 f 10 (x) = 1.055882 x + 60.141176 , 28 x 41 f 11 (x) = x +3 , 24 x 28.5,97,“反相轉彎”標志圖案,98,例2 flash軟件商標 擬合曲線,99,模擬圖形,100,例3。 耐克商標 耐克函數(shù),101,耐克商標圖案,102,6數(shù)學教學技術改變“雙基”的內涵,“雙基”中的基本知識的范圍因為有了技術，而增加 “ 雙基”中的基本技能因有了技術而應該重新認識 “ 雙基”第一個重要基礎就是為了形成的運算能力而反復操練運算技巧，今天對于運算能力的界定需要考慮技術因素，因而對于運算技巧在“ 雙基” 中的地位應該有一個重新的認識 “ 雙基”第二個重要基礎就是為了獲得邏輯思維能力而操練證明技能，由于算法作為技術的一個基本知識進入學生視野，獲得這項能力的來源就多樣化了,103,例1 技巧與推理,104,105,106,107,7數(shù)學教學技術有助于強調本質，淡化形式,復雜的運算是形式化的一種表現(xiàn)形式，前以述及技術可以淡化數(shù)學作為一種形式的化的運算工具 單純地研究函數(shù)的性態(tài)也是一種形式化的要求，我們可以利用技術將這些數(shù)學內部的研究變得簡單 形式化是數(shù)學發(fā)展到一定階段的產物，而形式化的前身則是數(shù)學實質的發(fā)現(xiàn)過程 ，數(shù)學教學技術則可以通過一定教學手段，暴露思維過程,108,例1 某工廠今年一月、二月、三月分別生產了某種產品1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估測以后每個月的產量，以這三個月的產品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產品的月產量y與月份x的關系。 解：看散點圖,109,110,111,112,113,114,115,116,117,局部考查：,118,119,這里的問題是：,選用哪一個函數(shù)能更好地預測產量。,120,8數(shù)學教學技術改變學生對數(shù)學的看法,我們把數(shù)學文化稱為人類文明進步的源泉之一，體現(xiàn)人類思維榮耀和最高智力的代表、也體現(xiàn)人類克服困難的精神 由于應試的需要，學生更多地將數(shù)學看作為公式、技巧的堆積 數(shù)學教學技術可以在一定的程度上消除學生對于數(shù)學的不正確的看法從技術的發(fā)展過程，以及技術與數(shù)學結合的過程，讓學生可以理解數(shù)學實質,121,例1 算盤、數(shù)學計算用表、電腦的發(fā)展 例2 不同時代的數(shù)學問題有著不同的數(shù)學解法,122,9數(shù)學教學技術與數(shù)學課程的整合，促進學生理解,行為心理學認為數(shù)學教學技術是可以有意義地呈現(xiàn)知識的手段 認知心理學認為數(shù)學教學技術促進學習者形成認知結構 建構主義心理學認為數(shù)學教學技術幫助學生主動建構數(shù)學知識和數(shù)學認知結構 隨著心理學對于數(shù)學教學技術的認識加深， 更由于數(shù)學教學技術的不斷發(fā)展和完善 ，數(shù)學教學技術已經不僅僅是一個運算和作圖的工具，而是我們學習數(shù)學、理解數(shù)學、甚至是做數(shù)學不可或缺的工具,123,例1 數(shù)學教學技術在概念教學中的作用 例2 數(shù)學在解題教學中的作用 例3 數(shù)學在數(shù)學探究、建模、實驗中的作用,124,10數(shù)學教學技術改變數(shù)學教育的評價體系,前已述及，數(shù)學教學技術可以從九個方面影響中學數(shù)學教育，從數(shù)學教學中最基本的地方，如概念教學、命題教學，到數(shù)學中十分強調的諸如方法和技巧，幾乎在每一個數(shù)學問題上都有出現(xiàn) 技術還可以做以前教學做不了的事情，或者是不方便做的事情，比如，解方程，利用技術就可以解到高次方程，不必限制條件 技術可以幫助學生節(jié)約時間，把精力投放到數(shù)學思維、做數(shù)學、以及對數(shù)學的理解上 因此，評介就有新的方式和要求，應該立足于學生使用技術這個現(xiàn)實,125,例1一個救生員，在救生站里看到一名游泳者發(fā)生了危險，這名游泳者距岸邊有60米，從海邊到救生站的距離有150米，救生員在岸上的奔跑速度是每秒8米，在水里游泳的速度是每秒2米，救生員應該以什么樣的路線，才能以最短的時間到達那名出危險的游泳者(假設救生站在海岸)？,126,美國學者Charles Vonder Ember博士以“游泳問題” 為例介紹數(shù)學教學技術在美國中學數(shù)學教學中的應用，該問題的目標函數(shù)十分容易建立，但是計算過程較為復雜/ 這位學者用數(shù)學技術替代紙筆做計算，以說明美國學生如何學習數(shù)學問題解決，并介紹美