高中數(shù)學(xué)第二章拋物線課后提升作業(yè)（十七）2.3.2.2拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用檢測（含解析）.docx

課后提升作業(yè) 十七拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.(2016大理高二檢測)過點(diǎn)(0,1)且與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有()A.1條B.2條C.3條D.0條【解析】選C.易知過點(diǎn)(0,1),斜率不存在的直線為x=0,滿足與拋物線y2=4x只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為y=kx+1,再與y2=4x聯(lián)立整理得k2x2+(2k-4)x+1=0,當(dāng)k=0時(shí),方程是一次方程,有一個(gè)解,滿足一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)k0時(shí),由=0可得k值有一個(gè),即有一個(gè)公共點(diǎn),所以滿足題意的直線有3條.2.拋物線y2=3x關(guān)于直線y=x對稱的拋物線方程為()A.y2=xB.x2=3yC.x2=yD.y2=3x【解題指南】利用點(diǎn)(x,y)關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為(y,x)進(jìn)行求解.【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)關(guān)于y=x的對稱點(diǎn)為(y,x),所以y2=3x關(guān)于y=x對稱的拋物線方程為x2=3y.3.拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0距離的最小值是()A.B.C.D.3【解析】選A.設(shè)拋物線y=-x2上一點(diǎn)為(m,-m2),該點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離為,當(dāng)m=時(shí),取得最小值為.【一題多解】選A.設(shè)與4x+3y-8=0平行的直線l方程為:4x+3y+m=0,由消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-.所以l的方程為4x+3y-=0.因此拋物線y=-x2上的點(diǎn)到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是d=.4.(2016成都高二檢測)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為其準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)FPM為等邊三角形時(shí),其面積為()A.2B.4C.6D.4【解析】選D.根據(jù)題意知,FPM為等邊三角形,|PF|=|PM|=|FM|,所以PM拋物線的準(zhǔn)線.設(shè)P,則M(-1,m),等邊三角形邊長為1+,又由F(1,0),|PM|=|FM|,得1+=,得m=2,所以等邊三角形的邊長為4,其面積為4.5.(2015全國卷)已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)重合,點(diǎn)A,B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則=()A.3B.6C.9D.12【解析】選B.設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),右焦點(diǎn)為(c,0),依題意得解得a=4,由b2=a2-c2=16-4=12,所以橢圓E的方程為+=1,因?yàn)閽佄锞€C:y2=8x的準(zhǔn)線為x=-2,將x=-2代入到+=1,解得A(-2,3),B(-2,-3),故=6.6.已知拋物線y2=2px(p0),過其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】選B.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得:-得,(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2).又因?yàn)閥1+y2=4,所以=k=1,所以p=2.所以所求拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1.7.(2016蘭州高二檢測)斜率為1,過拋物線y=x2的焦點(diǎn)的直線被拋物線所截得的弦長為()A.8B.6C.4D.10【解析】選A.設(shè)弦的端點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2),易知直線方程為y=x+1,直線方程與拋物線方程聯(lián)立,消元得:x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦長l=8.8.(2016商丘高二檢測)已知拋物線x2=4y上有一條長為6的動(dòng)弦AB,則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A.B.C.1D.2【解析】選D.由題意知,拋物線的準(zhǔn)線l:y=-1,過A作AA1l于A1,過B作BB1l于B1,設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M,過M作MM1l于M1,則|MM1|=.|AB|AF|+|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn)),即|AF|+|BF|6,|AA1|+|BB1|6,2|MM1|6,|MM1|3,故M到x軸的距離d2.【拓展延伸】“兩看兩想”的應(yīng)用與拋物線有關(guān)的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn),看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”,這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問題的重要途徑.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值為()A.B.3C.D.【解析】選A.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線是l,由拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離等于它到準(zhǔn)線l的距離,因此要求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值,可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)(0,2)的距離與點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離之和的最小值,不難得出相應(yīng)的最小值就等于焦點(diǎn)F到點(diǎn)(0,2)的距離.因此所求的最小值等于=.二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016臨沂高二檢測)直線y=kx+2與拋物線y2=8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則k=_.【解析】當(dāng)k=0時(shí),直線與拋物線有唯一交點(diǎn),當(dāng)k0時(shí),聯(lián)立方程消y得:k2x2+4(k-2)x+4=0,由題意=16(k-2)2-16k2=0,所以k=1.答案:0或110.拋物線y2=x上的點(diǎn)到直線x-2y+3=0的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是_.【解析】設(shè)與直線x-2y+3=0平行的直線方程為x-2y+m=0,與拋物線方程y2=x聯(lián)立成方程組消去x得y2-2y+m=0,令=(-2)2-4m=0,解得m=1,代入y2-2y+m=0中得y2-2y+1=0,解得y=1,把y=1代入y2=x中,解得x=1,則所求點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1).答案:(1,1)三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2016寧波高二檢測)已知拋物線C:y2=4x,F是拋物線C的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)如果l的斜率為1,求以AB為直徑的圓的方程.(2)設(shè)|FA|=2|BF|,求直線l的方程.【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)因?yàn)閥2=4x,所以F(1,0),又因?yàn)橹本€l的斜率為1,所以直線l的方程為y=x-1,代入y2=4x,得x2-6x+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得易得AB的中點(diǎn),即圓心的坐標(biāo)為(3,2),又|AB|=x1+x2+p=8,所以圓的半徑r=4,所以所求的圓的方程為(x-3)2+(y-2)2=16.(2)因?yàn)閨FA|=2|BF|,所以=2,而=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),所以易知直線l的斜率存在,設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-1),代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得因?yàn)閤1-1=2(1-x2),所以或所以k=2,所以直線l的方程為y=2(x-1).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸的拋物線截直線y=x+所得的弦長|P1P2|=4,求此拋物線的方程.【解析】設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p0),把直線方程與拋物線方程聯(lián)立得消元得x2+(3+2p)x+=0,判別式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.綜上,所求拋物線方程為y2=-2x.12.過拋物線y2=2px(p0)上一定點(diǎn)P(x0,y0)(y00)分別作斜率為-k和k的直線l1, l2,設(shè)l1, l2與拋物線y2=2px交于A,B兩點(diǎn),證明直線AB的斜率為定值.【證明】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2-y+-2px0=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y0+y1=,所以y1=-y0.同理y0+y2=-,所以y2=-y0.由,得y1+y2=-2y0,所以kAB=-,即直線AB的斜率為定值.【能力挑戰(zhàn)題】已知拋物線方程為y2=-2px,其準(zhǔn)線方程為x=,直線l:y=k(x+1)與拋物線交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求證:OAOB.(2)當(dāng)OAB的面積等于時(shí),求k的值.【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€y2=-2px的準(zhǔn)線方程為x=,所以=,得p=,即拋物線的方程為y2=-x,聯(lián)立y=k(x+1),消去x后,整理得:ky2+y-k=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)