高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第2節(jié)平面向量的線性運算（第3課時）向量數(shù)乘運算及其幾何性質(zhì)教案.docx

第3課時向量數(shù)乘運算及其幾何意義核心必知1預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P87P90的內(nèi)容，回答下列問題(1)已知非零向量a，根據(jù)向量的加法，作出aaa和(a)(a)(a)，你認(rèn)為它們與a有什么關(guān)系？提示：aaa3a的長度是a長度的3倍，且方向相同；(a)(a)(a)3a的長度是a長度的3倍，且方向相反(2)a與a(0，a0)的方向、長度之間有什么關(guān)系？提示：當(dāng)0時，a與a方向相同；當(dāng)0時，a與a方向相反，且a的長度是a長度的|倍(3)若ab，則a與b共線嗎？提示：共線2歸納總結(jié)，核心必記(1)向量數(shù)乘運算一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：|a|a|；a(a0)的方向特別地，當(dāng)0或a0時，0a0或00.(2)向量數(shù)乘的運算律設(shè)，為實數(shù)，則(a)()a；()aaa；(ab)ab.特別地，()a(a)(a)，(ab)ab.(3)共線向量定理向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使ba.(4)向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算對于任意向量a、b，以及任意實數(shù)、1、2，恒有(1a2b)1a2b.問題思考(1)向量與實數(shù)可以求積，那么向量和實數(shù)可以進行加減運算嗎？提示：不可以，向量與實數(shù)不能進行加減運算，如a，2b無法運算(2)數(shù)乘向量與實數(shù)的乘積等同嗎？提示：不等同數(shù)乘向量的結(jié)果仍然是一個向量，既有大小又有方向?qū)崝?shù)相乘運算的結(jié)果是一個實數(shù)，只有大小沒有方向(3)0時，a0；a0時，a0，這兩種說法正確嗎？提示：不正確，a0中的“0”應(yīng)寫為“0”課前反思(1)向量數(shù)乘的概念： ；(2)向量數(shù)乘的運算律： ；(3)共線向量定理： ；(4)向量的線性運算： .知識點1向量的線性運算思考向量的線性運算與代數(shù)多項式的運算有什么類似之處？名師指津：向量的線性運算類似于多項式的運算，具有實數(shù)與多個向量和的乘積形式，計算時應(yīng)先去括號共線向量可以“合并同類項”“提取公因式”，這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)講一講1化簡下列各式：(1)3(6ab)9； (2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.嘗試解答(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.類題通法向量數(shù)乘運算的方法(1)向量的數(shù)乘運算類似于多項式的代數(shù)運算，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當(dāng)運用運算律，簡化運算練一練1(1)設(shè)向量a3i2j，b2ij，求(2ba)(2)已知向量a，b，x，y滿足關(guān)系式3x2ya，4x3yb，試用向量a，b表示向量x，y.解：(1)原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.(2)由題知3x2ya，4x3yb.由32，得x3a2b.代入，得3(3a2b)2ya，所以y4a3b.知識點2用已知向量表示未知向量講一講2.已知在ABCD中，M，N分別是DC，BC的中點若e1，e2，試用e1，e2表示，.嘗試解答M，N分別是DC，BC的中點，MN綊BD.e2e1，22e22e1.又AO是AMN的中線，()e2e1.類題通法用已知向量表示未知向量的方法用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示，其實質(zhì)是向量線性運算的反復(fù)應(yīng)用練一練2.如圖所示，四邊形OADB是以向量a，b為鄰邊的平行四邊形又BMBC，CNCD，試用a，b表示，.解： ()(ab)，babab.，()(ab)(ab)abab.知識點3共線向量定理的應(yīng)用思考1如何證明向量a與b共線？名師指津：要證向量a與b共線，只需證明存在實數(shù)，使得ba(a0)即可思考2如何證明A，B，C三點在同一條直線上？名師指津：證明與或與共線即可講一講3(1)已知e1，e2是兩個不共線的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求證：A，B，D三點共線(2)已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若xy，求xy的值嘗試解答(1)證明：e13e2，2e1e2，e14e2.又2e18e22(e14e2)，2，.AB與BD有交點B，A，B，D三點共線(2)由于A，B，P三點共線，所以向量，在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實數(shù)使，即()，所以(1) ，故x1，y，即xy1.類題通法用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行；(2)若ba(a0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合例如，若向量，則，共線，又與有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法練一練3(1)已知P，A，B，C是平面內(nèi)四點，且，則下列向量一定共線的是()A與 B與C與 D與(2)設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，2e1ke2，e13e2，2e1e2，若A，B，D三點共線，求實數(shù)k的值解析：(1)因為，所以0，即2，所以與共線(2)若A，B，D三點共線，則與共線設(shè) (R)，2e1e2(e13e2)e14e2，2e1ke2e14e2.由e1與e2不共線可得2，k8.答案：(1)B課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點是向量的數(shù)乘運算及共線向量定理，難點是共線向量定理的應(yīng)用2掌握與向量數(shù)乘運算有關(guān)的三個問題(1)向量的線性運算，見講1；(2)用已知向量表示未知向量，見講2；(3)共線向量定理及應(yīng)用，見講3.3本節(jié)課的易錯點當(dāng)A、B、C、D四點共線時，與共線；反之不一定成立4要掌握用已知向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程5注意以下結(jié)論的運用(1)以AB，AD為鄰邊作ABCD，且a，b，則對角線所對應(yīng)的向量ab，ab.(2)在ABC中，若D為BC的中點，則( )(3)在ABC中，若G為ABC的重心，則0.課下能力提升(十六)學(xué)業(yè)水平達標(biāo)練題組1向量的線性運算1.等于()A2ab B2baCba Dab解析：選B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b2ba.2已知m，n是實數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，則ab；若mana，則mn.A BC D解析：選B和屬于數(shù)乘對向量與實數(shù)的分配律，正確；中，若m0，則不能推出ab，錯誤；中，若a0，則m，n沒有關(guān)系，錯誤題組2用已知向量表示未知向量3在ABC中，c，b，若點D滿足2，則等于()A.bc B.cbC.bc D.bc解析：選A依題意2，() bc，選A.4在ABC中，點P是AB上一點，且，又t ，則t的值為()A. B. C. D.解析：選A由題意可得() ，又t ，t.5設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點，ADAB，BEBC.若1 2 (1，2R)，則12的值為_解析：由() ，得1，2，從而12.答案：6.如圖所示，已知ABCD的邊BC、CD的中點分別為K、L，且e1，e2，試用e1，e2表示，.解：法一：設(shè)x，則x，e1x，e1x，又x，由得xe1xe2，解方程，得xe2e1，即e2e1，由，e1x，得e1e2.法二：設(shè)x，y，則x，y.由，得2得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)e2e1，同理得y(2e1e2)，即e1e2.法三：如圖所示，BC與AL的延長線相交于點E.則DLACLE，從而2，由，得2e2e1，即(2e2e1)e2e1.同理可得(2e1e2)e1e2.題組3共線向量定理的應(yīng)用7對于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共線的有()A BC D解析：選A對于，ab；對于，ab；對于，a4b；對于，若ab(0)，則e1e2(2e12e2)，即(12)e1(12)e20，所以12120，矛盾，故中a與b不共線8設(shè)D，E，F(xiàn)分別是ABC的三邊BC，CA，AB上的點，且2，2，2，則與 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：選A由2()，得 .同理可得，所以，故選A.9已知e1，e2是兩個不共線的向量，而ak2e1e2與b2e13e2是兩個共線向量，則實數(shù)k_.解析：由題設(shè)知，所以3k25k20，解得k2或.答案：2或10已知e，f為兩個不共線的向量，若四邊形ABCD滿足e2f，4ef，5e3f.(1)用e，f表示；(2)證明：四邊形ABCD為梯形解：(1) (e2f)(4ef)(5e3f)(145)e(213)f8e2f.(2)證明：因為8e2f2(4ef)2，所以與方向相同，且的長度為BC長度的2倍，即在四邊形ABCD中，ADBC，且ADBC，所以四邊形ABCD是梯形能力提升綜合練1設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點，3，則()A B C D 解析：選A() .2已知向量a，b是兩個非零向量，在下列四個條件中，一定可以使a，b共線的是()2a3b4e且a2b2e；存在相異實數(shù)，使ab0；xayb0(其中實數(shù)x，y滿足xy0)；已知梯形ABCD，其中a，b.A BC D解析：選A由2a3b2(a2b)得到b4a，故可以；ab0，ab，故可以；xy0，有xayb0，但b與a不一定共線，故不可以；梯形ABCD中，沒有說明哪組對邊平行，故不可以3已知ABC和點M滿足0.若存在實數(shù)m使得m成立，則m()A2 B3C4 D5解析：選B如圖，在ABC中，以BM，CM為鄰邊作平行四邊形MBDC，依據(jù)平行四邊形法則可得，又0，則，兩向量有公共點M，則A，M，D三點共線，設(shè)BCMDE，結(jié)合MD是平行四邊形MBDC的對角線可知，AE是ABC的中線，同理可證BM，CM也在ABC的中線上，即M是ABC的重心以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABFC，依據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得223，則3.4如圖所示，兩射線OA與OB交于O，則下列選項中哪些向量的終點落在陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)()2；.A BC D解析：選A依題意，在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)任取點E，連接OE交AB于點F，則有x(1x) x(1x)，其中0x1，1，注意到x(1x)1；注意到1231，1，1，1，故選A.5在四邊形ABCD中，3e，5e，且|，則四邊形ABCD的形狀為_解析：由已知可得，所以，且| |.又|，所以四邊形ABCD為等腰梯形答案：等腰梯形6如圖，在ABC中，延長CB到D，使BDBC，當(dāng)點E在線段AD上移動時，若，則t的最大值是_解析：設(shè)k,0k1，則k(2)k2()2k k，t3k.又0k1，當(dāng)k1時，t取最大值3.故t的最大值為3.答案：37如圖，已知在平行四邊形ABCD中，