高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：7.2空間圖形的基本關(guān)系與公理.ppt

第二節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理,三年9考 高考指數(shù): 1理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義； 2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理； 3能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題,1點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系是本節(jié)的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn) 2.從考查形式看，以考查點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系為主，同時(shí)考查邏輯推理能力和空間想象能力. 3從考查題型看，多以選擇題、填空題的形式考查，有時(shí)也出現(xiàn)在解答題中，一般難度不大，屬低中檔題.,1.空間圖形的基本位置關(guān)系 (1)空間點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系有兩種：_和_ _. (2)空間點(diǎn)與平面的位置關(guān)系有兩種：_和_ _.,點(diǎn)在直線(xiàn)上,點(diǎn)在直,線(xiàn)外,點(diǎn)在平面內(nèi),點(diǎn)在平,面外,(3)空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系有三種： 平行直線(xiàn)：在_內(nèi)，而且沒(méi)有_的兩條直線(xiàn). 相交直線(xiàn)：_的兩條直線(xiàn). 異面直線(xiàn)：_的兩條直線(xiàn). (4)空間直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系有三種： 直線(xiàn)在平面內(nèi)：直線(xiàn)和平面有_公共點(diǎn). 直線(xiàn)和平面相交：直線(xiàn)和平面_公共點(diǎn). 直線(xiàn)和平面平行：直線(xiàn)和平面_公共點(diǎn).,同一個(gè)平面,公共點(diǎn),只有一個(gè)公共點(diǎn),不同在任何一個(gè)平面內(nèi),無(wú)數(shù)個(gè),只有一個(gè),沒(méi)有,(5)空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種： 平行平面：兩個(gè)平面_公共點(diǎn). 相交平面：兩個(gè)平面不重合，并且_公共點(diǎn).,沒(méi)有,有,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：若a ,b ,則a,b就一定是異面直線(xiàn)嗎？ 提示：不一定，可能存在平面,使a ，b . (2)思考：垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是怎樣 的？ 提示：可能平行，可能相交，也可能異面.,(3)兩個(gè)不重合的平面可把空間分成_部分 【解析】當(dāng)兩平面平行時(shí)可分為3部分；當(dāng)兩平面相交時(shí)分為4部分 答案：3或4,2.空間圖形的公理及等角定理,文字語(yǔ)言,圖形語(yǔ)言,符號(hào)語(yǔ)言,公理1,如果一條直線(xiàn)上的 _在一個(gè)平面內(nèi), 那么這條直線(xiàn)上 _都在這個(gè) 平面內(nèi)（即直線(xiàn) _）,公理2,經(jīng)過(guò)不在同一條直線(xiàn) 上的三點(diǎn)，_ 一個(gè)平面（即可以確 定一個(gè)平面）,若A、B、C三點(diǎn)不共 線(xiàn),則_一 個(gè)平面使A, B,C,兩點(diǎn),所有的點(diǎn),在平面內(nèi),有且只有,有且只有,l ,如果兩個(gè)不重合的 平面_, 那么它們_ 一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的 公共直線(xiàn),有一個(gè)公共點(diǎn),有且只有,若A,A, 則_,=l且Al,平行于同一條直線(xiàn) 的兩條直線(xiàn)_,平行,若ab，bc, 則_,ac,空間中，如果兩個(gè) 角的兩條邊分別對(duì) 應(yīng)平行，那么這兩 個(gè)角相等或互補(bǔ),若AOAO, BC_,則 AOB=AOB， AOC和AOB 互補(bǔ),BO,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：公理1、2、3的作用分別是什么？ 你能說(shuō)出公理2的幾個(gè)推論嗎？ 提示：公理1的作用：()判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)；()由直線(xiàn)在平面內(nèi)判斷直線(xiàn)上的點(diǎn)在平面內(nèi) 公理2的作用：確定平面的依據(jù)，它提供了把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的條件,公理3的作用：()判定兩平面相交；()作兩平面的交線(xiàn)；()證明點(diǎn)共線(xiàn) 公理2的三個(gè)推論為： ()經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面； ()經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面； ()經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面,(2)判斷下列說(shuō)法是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“”或“”) 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面 ( ) 梯形可以確定一個(gè)平面 ( ) 兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面 ( ) 如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合 ( ),【解析】經(jīng)過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，不正確；兩條平行線(xiàn)可以確定一個(gè)平面，正確； 兩兩相交的三條直線(xiàn)可以確定一個(gè)或三個(gè)平面， 正確；命題中沒(méi)有說(shuō)清三個(gè)點(diǎn)是否共線(xiàn)， 不正確. 答案： ,(3)判斷下列說(shuō)法的正誤.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫(xiě)“”或“”) 如果兩個(gè)不重合的平面,有一條公共直線(xiàn)a，就說(shuō)平面,相交，并記作=a ( ) 兩個(gè)不重合的平面,有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō),相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線(xiàn) ( ) 兩個(gè)不重合的平面,有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō),相交于A點(diǎn)，并記作=A ( ) 兩個(gè)不重合的平面ABC與DBC相交于線(xiàn)段BC ( ),【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)公理3可知對(duì)；對(duì)于，其錯(cuò)誤在于“任意”二字上；對(duì)于，錯(cuò)誤在于=A上；對(duì)于，應(yīng)為平面ABC和平面DBC相交于直線(xiàn)BC. 答案： ,(4)平面,相交，在,內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線(xiàn)上，這四點(diǎn)能確定_個(gè)平面 【解析】如果這四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么確定一個(gè)平面；如果這四點(diǎn)不共面，則任意三點(diǎn)可確定一個(gè)平面，所以可確定四個(gè) 答案：1或4,3.異面直線(xiàn)所成的角 (1)定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線(xiàn)a,b的平行線(xiàn) l1,l2，這兩條相交直線(xiàn)所成的_就是異面直線(xiàn)a,b 所成的角. 如果兩條異面直線(xiàn)所成的角是_，則稱(chēng)這兩條直線(xiàn)互相垂 直. (2)范圍： .,銳角(或直角),直角,(0, ,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：不相交的兩條直線(xiàn)是異面直線(xiàn)嗎？不在同一平面內(nèi)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)嗎？ 提示：不一定因?yàn)閮蓷l直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，這兩直線(xiàn)可能平行也可能異面；因?yàn)椴煌谌魏我粋€(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)，故該結(jié)論不一定正確,(2)和兩條異面直線(xiàn)都相交的兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系是_. 【解析】畫(huà)出圖形分析. 圖中，AB、CD與異面直線(xiàn)a、b都相交，此時(shí)AB、CD異面； 圖中，AB、AC與異面直線(xiàn)a、b都相交，此時(shí)AB、CD相交. 答案：異面或相交,平面的基本性質(zhì)及其應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】考查平面基本性質(zhì)的常見(jiàn)題型及解法 (1)判斷所給元素(點(diǎn)或直線(xiàn))是否能確定唯一平面，關(guān)鍵是分析所給元素是否具有確定唯一平面的條件，此時(shí)需要利用公理2及其推論,(2)證明點(diǎn)或線(xiàn)共面問(wèn)題，一般有兩種途徑：首先由所給條件中的部分線(xiàn)(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合 (3)證明點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，一般有兩種途徑：先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上；直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(xiàn)上,(4)證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，常用的方法是：先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn),【例1】(1)(2012太原模擬)給出以下四個(gè)命題 不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)； 若點(diǎn)A、B、C、D共面，點(diǎn)A、B、C、E共面，則點(diǎn)A、B、C、D、E共面； 若直線(xiàn)a、b共面，直線(xiàn)a、c共面，則直線(xiàn)b、c共面； 依次首尾相接的四條線(xiàn)段必共面. 正確命題的個(gè)數(shù)是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3,(2)如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角 梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC= AD，BEAF且BE= AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn). 證明：四邊形BCHG是平行四邊形； C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？,【解題指南】(1)根據(jù)確定平面的公理及推論進(jìn)行判斷. (2)證明BC、GH平行且相等即可；證明EFCH，由此構(gòu)成平面，再證點(diǎn)D在該平面上 【規(guī)范解答】(1)選B.假設(shè)其中有三點(diǎn)共線(xiàn)，則該直線(xiàn)和直線(xiàn)外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面.這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，所以正確.從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線(xiàn)，則結(jié)論不正確；不正確；不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形.,(2)由題設(shè)知，F(xiàn)G=GA，F(xiàn)H=HD， 所以GHAD且GH= AD, 又BCAD且BC= AD， 故GHBC且GH=BC， 所以四邊形BCHG是平行四邊形 C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面理由如下： 由BEAF且BE= AF，G是FA的中點(diǎn)知，,BEGF且BE=GF， 所以四邊形EFGB是平行四邊形， 所以EFBG. 由知BGCH，所以EFCH， 故EC，F(xiàn)H共面. 又點(diǎn)D在直線(xiàn)FH上，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.,【互動(dòng)探究】本例第(2)題的條件不變，如何證明“FE，AB， DC交于一點(diǎn)”？ 【證明】由例題可知，四邊形EBGF和四邊形BCHG都是平行四邊 形，故可得四邊形ECHF為平行四邊形 ECHF，且EC= DF 四邊形ECDF為梯形 FE，DC交于一點(diǎn)，設(shè)FEDC=M,MFE，F(xiàn)E 平面BAFE， M平面BAFE 同理M平面BADC 又平面BAFE平面BADC=BA， MBAFE,AB,DC交于一點(diǎn),【反思感悟】點(diǎn)共線(xiàn)和線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題，都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)在直線(xiàn)上的問(wèn)題來(lái)處理，實(shí)質(zhì)上是利用公理3，證明點(diǎn)在兩平面的交線(xiàn)上，解題時(shí)要注意這種轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,【變式備選】如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CD上的點(diǎn)，設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P求證：P、A、C三點(diǎn)共線(xiàn),【證明】EGFH=P，PEG，EG 平面ABC， P平面ABC同理P平面ADC. P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn) 又平面ABC平面ADC=AC. PAC.P、A、C三點(diǎn)共線(xiàn),空間中兩直線(xiàn)的位置關(guān)系 【方法點(diǎn)睛】判定直線(xiàn)位置關(guān)系的方法 空間中兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線(xiàn)，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線(xiàn)，可利用三角形(梯形)中位線(xiàn)的性質(zhì)及線(xiàn)面平行的性質(zhì)；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)來(lái)解決 【提醒】在空間中兩直線(xiàn)的三種位置關(guān)系中，驗(yàn)證異面直線(xiàn)及其所成角是考查的熱點(diǎn).,【例2】如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下 列命題中，錯(cuò)誤的為( ) (A)ACBD (B)AC截面PQMN (C)AC=BD (D)異面直線(xiàn)PM與BD所成的角為45,【解題指南】結(jié)合圖形，根據(jù)有關(guān)的知識(shí)逐一進(jìn)行判斷注意 本題選擇的是錯(cuò)誤選項(xiàng)！ 【規(guī)范解答】選C.因?yàn)樗倪呅蜳QMN為正方形，所以PQMN，又 PQ 平面ADC，MN 平面ADC，所以PQ平面ADC. 又平面BAC平面DAC=AC，所以PQAC. 同理可證QMBD.由PQAC，QMBD，PQQM可得ACBD，故A 正確；由PQAC可得AC截面PQMN，故B正確；異面直線(xiàn)PM與 BD所成的角等于PM與PN所成的角，故D正確；綜上知C錯(cuò)誤.,【反思感悟】解決此類(lèi)問(wèn)題常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是不善于挖掘題中的條件，不能將問(wèn)題適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)化；另外，圖形復(fù)雜、空間想象力不夠、分析問(wèn)題不到位等，也是常出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因,【變式訓(xùn)練】1.設(shè)A，B，C，D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命題中，不正確的是（ ） (A)若AC與BD共面，則AD與BC共面 (B)若AC與BD是異面直線(xiàn)，則AD與BC是異面直線(xiàn) (C)若AB=AC，DB=DC，則ADBC (D)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC,【解析】選D.對(duì)于A，易知點(diǎn)A，B， C，D共面，故AD與BC共面，所以A 正確；對(duì)于B，假設(shè)AD與BC不異面， 則可得AC與BD共面，與題意矛盾， 故B正確；對(duì)于C，如圖，E為BC中點(diǎn)，易證得直線(xiàn)BC平面ADE，從而ADBC，故C正確； 對(duì)于D，當(dāng)四點(diǎn)構(gòu)成空間四面體時(shí)，只能推出ADBC，但二者不一定相等，故D錯(cuò)誤.,2.（2012寶雞模擬）若P是兩條異面直線(xiàn)l，m外的任意一點(diǎn)，則下列命題中假命題的序號(hào)是_. 過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l，m都平行；過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l,m都垂直；過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l,m都相交；過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l,m都異面.,【解析】是假命題，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P不存在一條直線(xiàn)與l,m都平行；是真命題，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線(xiàn)與l,m都垂直，這條直線(xiàn)與兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)平行或重合；是假命題，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P也可能沒(méi)有一條直線(xiàn)與l,m都相交；是假命題，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P可以作出無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與l,m都異面. 答案：,異面直線(xiàn)所成的角 【方法點(diǎn)睛】 1.求異面直線(xiàn)所成的角的方法 一般有三種類(lèi)型：利用圖中已有的平行線(xiàn)平移；利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移；補(bǔ)形平移 2.求異面直線(xiàn)所成角的步驟 (1)作：通過(guò)作平行線(xiàn)，得到相交直線(xiàn)； (2)證：證明相交直線(xiàn)所成的角為異面直線(xiàn)所成的角； (3)算：通過(guò)解三角形，求出該角,【例3】(1)如圖，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn)求證：直線(xiàn)ME與BN是兩條異面直線(xiàn),(2)(2012西安模擬)已知三棱錐ABCD中，AB=CD，且直線(xiàn)AB與CD成60角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求直線(xiàn)AB和MN所成的角. 【解題指南】(1)采用反證法證明；(2)取AC中點(diǎn)P，連接PM，PN，利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)可得PMAB，PNCD，從而得MPN的大小，然后解三角形可得所求角.,【規(guī)范解答】(1)假設(shè)直線(xiàn)ME與BN共面， 則AB 平面MBEN，且平面MBEN與平面DCEF交于EN 由已知，兩正方形不共面，故AB 平面DCEF 又ABCD，所以AB平面DCEF 線(xiàn)EN為平面MBEN與平面DCEF的交線(xiàn)， 所以ABEN又ABCDEF， 所以ENEF，這與ENEF=E矛盾，故假設(shè)不成立 所以ME與BN不共面，它們是異面直線(xiàn).,(2)如圖，取AC的中點(diǎn)P.連接PM、PN， 則PMAB，且PM= AB. PNCD，且PN= CD， 所以MPN為AB與CD所成的角(或所 成角的補(bǔ)角). 則MPN=60或MPN=120, 若MPN=60, 因?yàn)镻MAB，所以PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補(bǔ)角).,A,B,C,D,M,N,P,又因?yàn)锳B=CD，所以PM=PN，則PMN是等邊三角形， 所以PMN=60, 即AB與MN所成的角為60. 若MPN=120,則易知PMN是等腰三角形. 所以PMN=30,即AB與MN所成的角為30. 故直線(xiàn)AB和MN所成的角為60或30.,【互動(dòng)探究】把本例第(2)題中的“直線(xiàn)AB與CD成60角”改為“ABCD”，結(jié)果如何？ 【解析】由題意得MPN=90. MPN是等腰直角三角形.PMN=45， 故直線(xiàn)AB和MN所成的角為45.,【反思感悟】1.證明兩直線(xiàn)為異面直線(xiàn)時(shí)可利用結(jié)論“過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”；也可用反證法，即證明這兩直線(xiàn)共面時(shí)不成立 2.在求異面直線(xiàn)所成的角時(shí)常犯的錯(cuò)誤是忽視角的范圍.,【變式備選】在空間四邊形ABCD中，已知AD=1，BC= 且 ADBC，對(duì)角線(xiàn) 求AC和BD所成的角 【解析】如圖，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連 接EF、FH、HG、GE、GF. 由三角形的中位線(xiàn)定理知,EFAC，且EF= GEBD，且 GE和EF所成的銳角 (或直角)就是AC和BD所成的角. 同理， GHAD，HFBC， 又ADBC，GHF=90， GF2=GH2+HF2=1， 在EFG中，EG2+EF2=1=GF2， GEF=90， 即AC和BD所成的角為90.,【滿(mǎn)分指導(dǎo)】求異面直線(xiàn)所成角主觀題的規(guī)范解答 【典例】(12分)(2011上海高考改編) 已知ABCDA1B1C1D1是底面邊長(zhǎng)為1的正 四棱柱，高AA1=2，求 (1)異面直線(xiàn)BD與AB1所成角的余弦值； (2)四面體AB1D1C的體積.,【解題指南】(1)利用平行平移法得到異面直線(xiàn)所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形的問(wèn)題；(2)利用割補(bǔ)法求體積即可 【規(guī)范解答】(1)連接BD，AB1，B1D1，AD1.1分,BDB1D1,異面直線(xiàn)BD與AB1所成角為AB1D1(或其補(bǔ)角)， 記AB1D1=,3分 由已知條件得AB1=AD1= 在AB1D1中，由余弦定理得 cos= 6分 異面直線(xiàn)BD與AB1所成角的余弦值為 7分,(2)連接AC，CB1，CD1，則所求四面體的體積 12分,【閱卷人點(diǎn)撥】通過(guò)高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：,1.(2011四川高考)l1,l2,l3是空間三條不同的直線(xiàn)，則下列 命題正確的是( ) (A)l1l2,l2l3l1l3 (B)l1l2,l2l3l1l3 (C)l1l2，l2l3l1,l2,l3共面 (D)l1，l2,l3共點(diǎn)l1，l2,l3共面,【解析】選B.對(duì)于A：空間中垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)不 一定平行，如圖 l1,l3可以相交或異面,故命題錯(cuò)誤.對(duì)于B:由異面直線(xiàn)所成的角 可知，l2l3,則l1與l3所成的角與l1與l2所成的角相等，故,l1l3,故命題正確.對(duì)于C:空間中三條互相平行的直線(xiàn)不一定共面，如三棱柱的三條側(cè)棱不