線性方程與非線性方程的概述與運(yùn)用.pptVIP

線性方程與非線性方程的概述與運(yùn)用,問題背景和研究目的,解方程（代數(shù)方程）是最常見的數(shù)學(xué)問題之一，也是眾多應(yīng)用領(lǐng)域中不可避免的問題之一。,求解一般非線性方程沒有通用的解析方法，但如果 在任意給定的精度下，能夠解出方程的近似解，則 可以認(rèn)為問題已能夠解決，至少可以滿足實(shí)際需要。,本節(jié)主要介紹一些有效的求解方程的數(shù)值方法：二分法，迭代法 （ 牛頓法）。同時(shí)要求大家學(xué)會(huì)如何利用Matlab 來求方程的近似解。,2.6 非線性方程近似根,相關(guān)概念,如果 f(x) 是一次多項(xiàng)式，稱上面的方程為線性方程； 否則稱之為非線性方程。,線性方程 與 非線性方程,問題： 如何求連續(xù)的非線性方程 實(shí)根的近似值。,根的隔離,若函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且 f(a)f(b)0，則 f(x)在開區(qū)間 (a,b)內(nèi)至少存在一個(gè)根。通過根的隔離，可假設(shè)此區(qū)間內(nèi)存在唯一根 x*。,基本思想,二分法,將隔離區(qū)間進(jìn)行對(duì)分，判斷出解在某個(gè)子區(qū)間內(nèi)，然后再對(duì)該子區(qū)間對(duì)分，依次類推，直到滿足給定的精度為止。,算法,二分法,設(shè)方程在區(qū)間 a,b 內(nèi)連續(xù)，且 f(a)f(b)0，給定精度要求 ，若有 |f(x)| ，則 x 就是f(x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的 近似根。,收斂性分析,二分法收斂性,設(shè)方程的根為 x* (an , bn ) ，又 ，所以,根據(jù)上面的算法，我們可以得到一個(gè)每次縮小一半的區(qū)間序列 an , bn ，在 (an, bn ) 中含有方程的根。,二分法總是收斂的,二分法的收斂速度較慢 通常用來給出根的一個(gè) 較為粗糙的近似。,簡單迭代法, (x) 的不動(dòng)點(diǎn),f (x) = 0,x = (x),f (x) 的零點(diǎn),(x) 稱為迭代函數(shù),若 收斂，即 ，假設(shè) (x) 連續(xù)，則,收斂性分析,迭代法的收斂性,即,注：若得到的點(diǎn)列發(fā)散，則迭代法失效！,迭代法的收斂性判據(jù),定理2.1：全局收斂,定理2.2：全局發(fā)散,定理2.3：局部收斂與發(fā)散,定理2.4：收斂速度,定義：,迭代法收斂性判斷,如果存在 x* 的某個(gè)鄰域 =(x*- , x* + ), 使得對(duì) x0 開始的迭代 xk+1 = (xk) 都收斂, 則稱該迭代法在 x* 附近局部收斂。,迭代法收斂性判斷,L 越小，迭代收斂越快,收斂階,為了進(jìn)一步研究收斂速度問題，引入階的概念： 記 ，如果 ( p=1時(shí)還要求01時(shí)稱為超線性收斂。 p越大收斂越快。,牛頓迭代法,令：,設(shè)非線性方程 f (x)=0 , f (x) 在 xk 處作 Taylor 展開,牛頓迭代公式,k = 0, 1, 2, . .,牛頓迭代公式,牛頓法的優(yōu)點(diǎn),牛頓法是目前求解非線性方程 (組) 的主要方法,對(duì)于單重根迭代2階收斂，收斂速度較快， 特別是當(dāng)?shù)c(diǎn)充分靠近精確解時(shí)。,在實(shí)際計(jì)算中，如果要求高精度，可以先用其它方法（如二分法）獲得精確解的一個(gè)粗糙近似，然后再用牛頓法求解。,牛頓迭代法大范圍收斂性,Matlab 解方程的函數(shù),roots(p)：多項(xiàng)式的所有零點(diǎn)，p 是多項(xiàng)式系數(shù)向量。,fzero(f,x0)：求 f=0 在 x0 附近的根，f 可以使用 inline、字符串、或 ，但不能是方程或符號(hào)表達(dá)式！,solve(f,x)：求方程關(guān)于指定自變量x的解， f 可以是用字符串表示的方程、符號(hào)表達(dá)式或符號(hào)方程； solve 也可解方程組(包含非線性)； 得不到解析解時(shí)，給出數(shù)值解。,Ab：解線性方程組Ax=b。,其他 Matlab 相關(guān)函數(shù),g=diff(f,x)：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于 x 的導(dǎo)數(shù) g=diff(f)：求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù) g=diff(f,x,n)：求 f 關(guān)于 x 的 n 階導(dǎo)數(shù),diff,f 是符號(hào)表達(dá)式，也可以是字符串,默認(rèn)變量由 findsym(f,1) 確定, syms x f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x), g=diff(sin(x)+3*x2,x),作業(yè),每題分別用兩種一步迭代法（要求寫出迭代格式）： 1） Newton迭代法； 2）自己構(gòu)造的非牛頓切線或割線法迭代格式（需討論收斂性） 根據(jù)迭代格式用計(jì)算機(jī)（器）求下列非線性方程的根：,迭代法的加速,設(shè)迭代 xk+1 = (xk) ，第 k 步和第 k+1 步得到的 近似根分別為 xk 和 (xk) ，令,其中 wk 稱為加權(quán)系數(shù)或權(quán)重。得新迭代 xk+1 = (xk),松弛迭代法,松弛法迭代公式：,松弛法具有較好的加速效果，甚至有些不收斂的迭代格式，通過加速后也能收斂。,缺點(diǎn)：每次迭代都需計(jì)算導(dǎo)數(shù),Altken 迭代法,Al