2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(北京卷)試題及點(diǎn)評(píng)

【本文作者】 姓 名：丁益祥 工作單位：北京市陳經(jīng)綸中學(xué)2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學(xué)（必修+選修）本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分第I卷共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑第I卷一、選擇題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2已知向量a，b不共線，cab,dab,如果cd，那么( ) A且c與d同向 B且c與d反向 C且c與d同向 D且c與d反向3為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)( ) A向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 B向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 C向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度 D向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度4若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為( ) A B1 C D5“”是“”的( ) A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件6若為有理數(shù)），則 ( ) A45 B55 C70 D807用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A324 B328 C360 D6488點(diǎn)在直線上，若存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是( ) A直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)” B直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)” C直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)” D直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)” 第卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上9_ W（10若實(shí)數(shù)滿足則的最小值為_11設(shè)是偶函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，則該曲線在處的切線的斜率為_12橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則_；的小大為_ 13若函數(shù) 則不等式的解集為_14已知數(shù)列滿足：則_；=_三 、解答題：本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程15（本小題共13分）在中，角的對(duì)邊分別為，（）求的值；（）求的面積16（本小題共14分）如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由17（本小題共13分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望.18（本小題共13分）設(shè)函數(shù)（）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍19（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.w20（本小題共13分）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列.k.s.5.2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）理科數(shù)學(xué)（必修+選修）試題答案及解讀一、選擇題1B【解讀與點(diǎn)評(píng)】由于，故復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因此選B.本題源于數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修，2006年11月第2版，下同）P168 練習(xí)中第21題以及P164習(xí)題4.1中第32題，主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算以及復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.求解中容易出錯(cuò)的地方是誤得“”，進(jìn)而誤選A2D【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法1： 取a，b，若，則cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd，且c與d反向，排除C，因此選D.解法2：因?yàn)閏d，所以，則，此時(shí)而，故c與d反向，因此選D.本題源于數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下，2003年12月第1版，下同）P107練習(xí)42，主要考查向量的加減運(yùn)算和向量的數(shù)乘運(yùn)算，考查兩向量共線（平行）的充要條件及其判定等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，涉及的數(shù)學(xué)思想主要有特殊與一般的思想以及方程的思想應(yīng)當(dāng)指出的是通過特殊化法所得的結(jié)論可以否定與之不一致的選項(xiàng)，進(jìn)而才能肯定正確的選項(xiàng)例如解法1中，只有否定了A、B、C，才能肯定D3C【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法1：把函數(shù)的圖象按A中要求變換所得圖象的解析式是，按 B中要求變換所得圖象的解析式是，按 C中要求變換所得圖象的解析式是，按 D 中要求變換所得圖象的解析式是，因此選C.解法2：由于，故要得到的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度即可，因此選C.本題主要考查對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算以及對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象變換.求解中常常因?yàn)橛涘e(cuò)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則或弄錯(cuò)函數(shù)圖象的平移規(guī)則而失誤4D【解讀與點(diǎn)評(píng)】如圖，由題意得 ，因此選D本題和數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下A.2006年6月第2版，下同）P39習(xí)題9.5中第7題相仿，主要考查正四棱柱的概念及其性質(zhì)、直線與平面所成的角以及直線到平面的距離等概念.5A【解讀與點(diǎn)評(píng)】當(dāng)時(shí)， 反之，當(dāng)時(shí)，有， 或，因此選A.本題主要考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)以及終邊相同的角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查簡易邏輯中充要條件的判斷.記錯(cuò)誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)，混淆條件的充分性和必要性，是這類問題出錯(cuò)的重要原因6C【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法1：因?yàn)?， 由此知，所以 .因此選C.解法2：，所以 .因此選C.本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式，考查多項(xiàng)式的乘法等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)的形式化求解本題容易出錯(cuò)的地方有三處：一是記錯(cuò)二項(xiàng)式的展開式，二是運(yùn)算出錯(cuò)，三是缺乏對(duì)數(shù)學(xué)形式化的認(rèn)識(shí)，在正確算出后，看不出的關(guān)系，進(jìn)而得不出正確結(jié)果事實(shí)上，注意到是有理數(shù)，而是無理數(shù)，因此當(dāng) 時(shí)，必有，這是由實(shí)數(shù)理論以及數(shù)學(xué)形式化所決定的7B【解讀與點(diǎn)評(píng)】分兩類： 0在個(gè)位時(shí)，有（個(gè)）， 0不在個(gè)位時(shí)，個(gè)位數(shù)只能從除0以外的其他4個(gè)偶數(shù)中任選一個(gè)；注意到百位數(shù)不能排0，個(gè)位數(shù)已排掉一個(gè)數(shù)，因此百位數(shù)只能從剩下的其他8個(gè)數(shù)中任選一個(gè)；百位、個(gè)位各排掉一個(gè)數(shù)，于是十位數(shù)只能從剩下的其他8個(gè)數(shù)中任選一個(gè)，故有（個(gè)）由分類計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有 個(gè)，因此選B.本題源于數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下A）P128復(fù)習(xí)參考題十B組第41題主要考查有限制條的排列、排列數(shù)的計(jì)算以及分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能本題求解中，“0”的特殊性給求解帶來了一定的困難，因而常常出錯(cuò)一般地，分類與整合思想的運(yùn)用是解決這類問題的關(guān)鍵，應(yīng)當(dāng)倍加注意8A【解讀與點(diǎn)評(píng)】如圖，設(shè)，因?yàn)?，由中點(diǎn)公式得注意到在拋物線上，故 消去，整理得 （*）由于恒成立，所以方程（*）恒有實(shí)數(shù)解，即對(duì)于直線上的任意一點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)都存在，因此選A.本題具有鮮明的創(chuàng)新性，著意考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力考查的知識(shí)主要有直線與拋物線的位置關(guān)系以及中點(diǎn)公式，涉及的數(shù)學(xué)思想主要有方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想解題的最大障礙是缺乏閱讀理解能力，讀不懂關(guān)于“點(diǎn)”的定義這里，能稱為“點(diǎn)”的點(diǎn)必須滿足三個(gè)條件：點(diǎn)在直線上，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，只有讀懂關(guān)于“點(diǎn)”的定義，并且能夠正確地將其進(jìn)行量化處理，才能有效地解決問題顯然，這是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的有力考查本題盡管新穎，但難度不大，體現(xiàn)了“新題不難”的命題要求二、填空題W9【解讀與點(diǎn)評(píng)】.本題源于數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修）P94例2，主要考查分子和分母都含有“零因子”的極限的求法將分子分母分解因式，再約去“零因子”是解決問題的關(guān)鍵本題求解中常常因?yàn)槿狈υ趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式的意識(shí)和技能，不知道可以分解成而使求解無從下手應(yīng)當(dāng)明了的是當(dāng)時(shí)，這里，“趨向于零”并非 “等于零”，因而仍然可以施行約分運(yùn)算，這是對(duì)有限與無限思想的有力考查10【解讀與點(diǎn)評(píng)】 可行域如圖所示，當(dāng) 時(shí)，取得最小值，并且本題源于數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上，2004年6月第1版，下同）P64練習(xí)題第1題，主要考查簡單的線性規(guī)劃問題以及數(shù)形結(jié)合的思想正確畫出可行域，弄清的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵11【解讀與點(diǎn)評(píng)】不妨設(shè)，畫出它的圖象由圖象的對(duì)稱性易得該曲線在處的切線的斜率為.本題主要考查曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率，體現(xiàn)了對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的考查，涉及的數(shù)學(xué)思想主要有函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想這里，只要是偶函數(shù)，結(jié)論都是一致的因此，取一個(gè)具體的偶函數(shù)（如這里的）作代表進(jìn)行研究即可，這是特殊與一般的思想在解題中的重要作用12【解讀與點(diǎn)評(píng)】 又 ，故，又由余弦定理，得，所以 .本題源于數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）P95練習(xí)題第2題以及P132復(fù)習(xí)參考題八第6題主要考查橢圓的定義、參數(shù)之間的關(guān)系以及利用余弦定理求三角形的內(nèi)角等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，涉及的數(shù)學(xué)思想主要有數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想利用余弦定理求時(shí)容易弄錯(cuò)符號(hào)而使結(jié)果出錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)引起注意13【解讀與點(diǎn)評(píng)】 解法1： 當(dāng)時(shí)， 即 ，解得當(dāng)時(shí)， 即 ，也即，解得. 綜上，不等式的解集為，即 .解法2：在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù) 以及的圖象由圖象可看出，當(dāng) 或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在的圖象上方，即，綜上，不等式的解集為本題主要考查分段函數(shù)和簡單的絕對(duì)值不等式的解法、分式不等式的解法、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等眾多基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及蘊(yùn)涵在其中的函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想.本題求解中有三處容易出錯(cuò)：一是漏掉絕對(duì)值符號(hào)，把不等式看成了；二是求解時(shí)，由于對(duì)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性認(rèn)識(shí)不正確，因而無論是利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解還是通過指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求解，常常誤以為；三是利用數(shù)形結(jié)合的思想解題時(shí)，常常因?yàn)楫嬪e(cuò)圖形而出錯(cuò)141，0【解讀與點(diǎn)評(píng)】因?yàn)?，所以 又， 故 .本題主要考查數(shù)列的周期性以及特殊與一般的思想求解時(shí)由于想不到將所求式中的下標(biāo)改寫成條件式中的下標(biāo)的形式，因而常常使求解陷入困境本題體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)形式化的考查要求，當(dāng)欲求的式子的形式與條件中相關(guān)式子的形式完全一致時(shí)，結(jié)果也必然是一致的這既是對(duì)數(shù)學(xué)形式化的追求，也是特殊與一般思想的反映三 、解答題15【解讀與點(diǎn)評(píng)】（）因?yàn)闉榈膬?nèi)角，且，所以 ，故 .（）由（）知， 又 ，所以 在ABC中，由正弦定理，得.所以 的面積.本題與數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）P134習(xí)題5.9中第3題相仿，著重考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式、兩角差的正弦公式、正弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查三角形中的三角函數(shù)變換與求值的基本技能本題難度不大，然而在誘導(dǎo)公式的應(yīng)用中若不注意符號(hào)，也常常出錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)引起注意 16【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法1：第（）問很容易由底面，知.又，故.注意到，所以 平面.（）由（）知，平面，又，從而平面，垂足為點(diǎn)，所以是與平面所成的角由于底面，所以又，故為等腰直角三角形，因此注意到Rt中，所以.由為的中點(diǎn)，易得于是在Rt中，所以與平面所成的角的大小為（）在（）中已證得平面注意到平面，平面，所以，于是 為二面角的平面角因?yàn)榈酌妫蕿橹苯侨切未藭r(shí)，過作，設(shè)垂足為，則點(diǎn)必在上，故存在點(diǎn)使得二面角是直二面角.解法2：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)，由已知可得（）易得，故，所以.又，故.注意到，所以 平面.（）由（）知，平面因?yàn)?，從而平面，垂足為點(diǎn)，所以是與平面所成的角因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，故得，于是，所以.所以與平面所成的角的大?。ǎ┩夥?本題通過直線和平面垂直的判定、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成的角、二面角及其平面角等眾多知識(shí)載體，著意考查空間直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系，考查空間向量及其坐標(biāo)運(yùn)算、兩向量垂直的充要條件，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力一般說來，解決空間問題的關(guān)鍵在于空間圖形的處理，其主要形式是空間圖形平面化以及平面圖形空間化相比之下前者更常見一般地，較為復(fù)雜的空間圖形問題常常是通過化歸為平面圖形來處理的本題求解中容易出錯(cuò)的是：在解法1中，常常因?yàn)橛洸磺逑嚓P(guān)定理的條件和結(jié)論而使推理缺乏依據(jù)；在解法2中，常常因?yàn)樽鴺?biāo)系的建立不恰當(dāng)造成繁瑣的運(yùn)算而出錯(cuò)，或因弄錯(cuò)坐標(biāo)而使最后結(jié)果出錯(cuò)17【解讀與點(diǎn)評(píng)】（）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，它等價(jià)于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，所以事件A的概率為（）由題意，知 可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）事件“”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈”（0，1，2，3，4），所以 ， 即的分布列是02468所以 的期望是.此題源于數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修）P9P10習(xí)題11第6題和第8題，主要考查相互獨(dú)立事件的概率、幾何分布、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.涉及的數(shù)學(xué)思想有或然與必然的思想以及分類與整合的思想求解本題容易出錯(cuò)的有兩處：一是問題（）的求解中未能關(guān)注“首次”兩字的含義，導(dǎo)致問題復(fù)雜化；二是問題（）的求解中，未能建立起“停留的總時(shí)間與遇到紅燈次數(shù)”的關(guān)系而導(dǎo)致求解失誤事實(shí)上，“第三個(gè)路口首次遇到紅燈”與“第三個(gè)路口遇到紅燈”是不一樣的，前者表明“在第一和第二個(gè)路口都沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口才（首次）遇到紅燈”，而后者強(qiáng)調(diào)的是，“第三個(gè)路口必須遇到紅燈，而第一、第二兩個(gè)路口是否遇到紅燈都有可能”問題（）本質(zhì)上考查了離散型隨機(jī)變量期望的性質(zhì)：對(duì)于離散型隨機(jī)變量，若存在常數(shù)，使得，則也是隨機(jī)變量，并且這里，所以，的期望也可以由求得18【解讀與點(diǎn)評(píng)】（）， 曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）由，得若，則；若，則由，得若，則；若，則綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間是（）由（）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 綜上可知，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是本題可看作由數(shù)學(xué)第三冊(cè)（選修）P137練習(xí)題第14題、P123例4以及P158復(fù)習(xí)參考題三B組第2題改編整合而成，主要考查指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、求導(dǎo)法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的求解等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類與整合的思想以及思維能力、分析和解決問題的能力本題求解中容易出錯(cuò)的是第（）和第（）問，常常因?yàn)槲茨荜P(guān)注對(duì)的情況討論而使結(jié)果不完整，或因解錯(cuò)不等式而使結(jié)果不正確值得一提是第（）問，本質(zhì)上是“恒成立問題”一般地，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立本題中，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，即在區(qū)間內(nèi)恒成立故，即，所以同理當(dāng)時(shí)，由在區(qū)間內(nèi)恒成立，得兩者取并即得的取值范圍是19【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法1 ：（）由題意，得 解得 所以 ，所求雙曲線的方程為.（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線的方程為，化簡得.由 及，得 因?yàn)榍芯€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且，所以，且設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則，因?yàn)?，且?于是 ，所以（定值）.w.k.s.5.u.c.o.m 解法2：（）同解法1（）點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線的方程為，化簡得.由 及，得 因?yàn)榍芯€與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且，所以設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則于是，所以 的大小為（定值）.w.k.s.5.u.c.o.m （因?yàn)椋?，所以，從而?dāng)時(shí)，方程和方程的判別式均大于零）本題可看作是由數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）P113習(xí)題8.4 第2題與P75例2整合改編而成主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、圓的切線方程以及直線與雙曲線的位置關(guān)系、平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查坐標(biāo)法等解析幾何的基本思想，考查方程的思想以及思維能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力本題第（）問的求解容易出錯(cuò)，一是向量工具作用的意識(shí)淡漠，想不到利用向量的數(shù)量積來確定的大小，導(dǎo)致運(yùn)算繁瑣而最終半途而廢；二是面對(duì)大量含有字母的式子的運(yùn)算束手無策運(yùn)算能力薄弱是上述兩種情況出錯(cuò)的根本原因近年數(shù)學(xué)科考試大綱及其說明中都明確指出：運(yùn)算不僅包括數(shù)的運(yùn)算，還包括式的運(yùn)算，并且以含字母的式子的運(yùn)算為主而解析幾何是著意考查運(yùn)算能力的題型之一，因此突出對(duì)“含字母的式子的運(yùn)算為主”的考查是必然之舉這無疑啟示我們高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中必須突出以解析幾何為載體，強(qiáng)化運(yùn)算能力的培養(yǎng)本題第（）問是定值問題，這類問題較為典型，應(yīng)當(dāng)熟練掌握20【解讀與點(diǎn)評(píng)】（）由于與均不屬于數(shù)集，所以數(shù)集不具有性質(zhì). 由于都屬于數(shù)集， 所以數(shù)集具有性質(zhì).（）因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以 與中至少有一個(gè)屬于由于，所以 ，故.從而，所以 此時(shí)， 所以 ，故.由具有性質(zhì)可知，.又 ，所以 ，從而，即，所以.（）由（）知，當(dāng)時(shí)，有，即，因?yàn)?，所?，故 ，由具有性質(zhì)可知，.由，得，且，所以 ，所以，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列.k.s.5.本題主要考查集合的意義、等比數(shù)列的定義，考查邏輯思維能力、推理論證能力和式子變形能力，具有較濃的創(chuàng)新味，充滿了思辨性本題屬于難題，困難在于第（）、第（）問的推理論證無論是（）中等式的證明，還是（）中等比數(shù)列的判定，都需要根據(jù)給定集合所具有的性質(zhì)的含義，對(duì)相關(guān)元素進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐錅悾⑦\(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想、對(duì)所得的式子有目的地進(jìn)行變形，才能逐步獲得結(jié)論而這些都需要具有較強(qiáng)的綜合分析和邏輯思辨的能力試卷綜合解讀及評(píng)析一、總體評(píng)價(jià)2009年北京卷考試說明（理科）（以下簡稱2009年考試說明）中明確指出：（數(shù)學(xué)科）命題的指導(dǎo)思想是“有助于高等學(xué)校選拔新生，有助于中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神與實(shí)踐能力”在這一命題思想指導(dǎo)下，提出了“數(shù)學(xué)科高考旨在考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和方法，考查思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力”的考核目標(biāo)2009年北京高考數(shù)學(xué)理科試題（以下簡稱2009年北京理科卷）很好地堅(jiān)持了上述命題的指導(dǎo)思想，遵循了上述命題的原則和要求，在全面考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，突出了重點(diǎn)章節(jié)、重點(diǎn)板塊的考查結(jié)合具體的知識(shí)內(nèi)容，著意檢測了學(xué)生數(shù)學(xué)思想和方法掌握的程度以及相關(guān)的能力水平2009年北京理科卷還命制了一定數(shù)量的創(chuàng)新型試題，以此考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)縱觀全卷，試題平和穩(wěn)定，似曾相識(shí)，穩(wěn)中有變，推陳出新為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特別是高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中真正立足教材，重視雙基，跳出題海，提高素質(zhì)具有很好的導(dǎo)向作用二、突出特點(diǎn)全面檢測雙基，突出主干知識(shí)2009年考試說明中要求“對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，既全面又突出重點(diǎn)”遵照這一要求，2009年北京理科卷，一方面對(duì)高中各章知識(shí)都作了較為全面的考查，另一方面突出了重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考查的命題要求縱覽理科試卷，主干知識(shí)構(gòu)成了試題的主體全卷對(duì)高中理科數(shù)學(xué)教材各章所涉及的概念、性質(zhì)、公式、法則、定理等等都作了較為全面的檢測共考查了98個(gè)知識(shí)點(diǎn)，占理科知識(shí)點(diǎn)總數(shù)的72%，突出考查了函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、平面向量、不等式、圓錐曲線方程、直線平面簡單幾何體、概率與統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)九大重點(diǎn)章節(jié)的知識(shí)例如第3、9、11、13、18題都涉及了對(duì)函數(shù)的考查；第5、15題，都涉及了對(duì)三角函數(shù)的考查；第8、(12)、19題，都涉及了對(duì)解析幾何的考查；第14、20題，都涉及了對(duì)數(shù)列的考查；第4、16題，都涉及了對(duì)立體幾何的考查；第11、18題都涉及了對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，等等注重知識(shí)交匯，考查數(shù)學(xué)能力2009年考試說明中指出，考查中要“注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合”2009年北京理科卷正是按照這一要求命制的試題將重點(diǎn)知識(shí)整合成了“三角函數(shù)與三角變換、數(shù)列集合與不等式、解析幾何與平面向量、空間圖形與平面圖形、概率統(tǒng)計(jì)與計(jì)數(shù)原理、函數(shù)導(dǎo)數(shù)方程與不等式”六個(gè)知識(shí)板塊，并將這六個(gè)知識(shí)板塊聚焦成六個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)，在每一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處分別設(shè)計(jì)了一道解答題例如第15，圍繞三角形中的三角函數(shù)問題，試題把同角三角函數(shù)之間的關(guān)系、兩角差的正弦公式、正弦定理、三角形面積公式結(jié)合在了一起，既考查了三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，又考查了三角變換的重要技能；第16題，除了涉及直線和平面垂直的判定、直線和平面垂直的性質(zhì)、直線與平面所成的角、二面角及其平面角等眾多立體幾何知識(shí)以外，還涉及了三角形中位線定理、等腰三角形的判定、銳角三角函數(shù)等平面幾何知識(shí)；第17題，盡管核心內(nèi)容是概率與統(tǒng)計(jì)，但處理問題的過程中用到的主要工具卻是分步計(jì)數(shù)原理、分類計(jì)數(shù)原理以及組合數(shù)的計(jì)算公式；第18題是一道既常規(guī)又典型的試題，試題為我們展示了一張函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式以及直線縱橫交錯(cuò)的知識(shí)網(wǎng)，很好地體現(xiàn)了在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題的命題要求第19題是一道解析幾何題，從題面看涉及了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、準(zhǔn)線方程、雙曲線參數(shù)之間的關(guān)系、圓的方程以及圓的切線方程、直線與雙晲線的位置關(guān)系等眾多純解析幾何知識(shí)，但在證明的大小為定值的過程中，標(biāo)準(zhǔn)答案提供的是利用兩向量夾角公式以及兩向量垂直的充要條件來判斷的，平面向量的應(yīng)用體現(xiàn)在解題的具體過程之中，這種解析幾何與平面向量“隱性交匯”的試題，更能考查學(xué)生思維的靈活性和深刻性，對(duì)于檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)能力起到了十分重要的作用當(dāng)然，用解析幾何知識(shí)再利用解三角形的方法也能作出判斷，但其過程要比利用向量工具復(fù)雜得多標(biāo)準(zhǔn)答案之所以提供向量解法，恰恰體現(xiàn)了命題者關(guān)注“解析幾何與平面向量隱性交匯”這一獨(dú)特的命題視角第20題的第（）、（）兩問是數(shù)列與不等式的交匯問題，而要解決第（）、（）兩問，必須考慮所給數(shù)集具有的性質(zhì)數(shù)列與不等式的交匯似乎已眾所周知，但數(shù)列與集合綜合考查還是較為鮮見的，這說明隨著高考命題研究的逐步深入，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)也必將開發(fā)出新的空間強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想，發(fā)展理性思維數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是架設(shè)在知識(shí)與能力之間的一座橋梁2009年北京理科卷命制了不少考查數(shù)學(xué)思想的試題例如第(8)、(10)、13、19題考查了函數(shù)與方程的思想；第(8)、(10)、(12)、13、18題考查了數(shù)形結(jié)合的思想；第7、13、17、18題考查了分類與整合的思想；第12、16、20題考查了化歸與轉(zhuǎn)化的思想；第(2)、(10)、(14)題考查了特殊與一般的思想；第9題考查了有限與無限的思想；第17題考查了或然與必然的思想一份試卷20道試題中有13道試題考查了數(shù)學(xué)思想，并且考遍了所有的七種數(shù)學(xué)思想，這足以說明北京理科卷對(duì)數(shù)學(xué)思想考查的力度之大事實(shí)上，數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程之中對(duì)數(shù)學(xué)思想的考查，必然要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行，并且和題型有關(guān)一般說來，由于選擇題和填空題的解答具有“只需寫出結(jié)果而無需寫出過程”的特點(diǎn)，這為考查數(shù)形結(jié)合的思想、特殊與一般的思想、函數(shù)與方程的思想提供了方便，而在解答題中，需要寫出必要的求解過程，對(duì)推理論證、式子演算等既有思維層次的要求，又有推理嚴(yán)密的要求，因此更多地是考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想、分類與整合的思想重視學(xué)科特點(diǎn)，體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具高度的抽象性、思維的靈活性和應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn)高考中對(duì)雙基和能力的考查必將體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的上述特點(diǎn)，反映在試題中，通常表現(xiàn)為概念的深刻性、思辨的邏輯性、量化的凸顯性、解法的多樣性2009年北京理科卷較好地體現(xiàn)了這一特點(diǎn)例如第18題，涉及了冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、曲線在某點(diǎn)處的切線、函數(shù)單調(diào)性的判斷、函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的意義、不等式的求解等眾多概念盡管這些都是課本中原有的已經(jīng)學(xué)過的概念，然而，只要其中有一個(gè)概念未能很好理解，那么就不可能使問題得到圓滿解決又如第8題中關(guān)于“點(diǎn)”的定義以及第20題中關(guān)于“數(shù)集具有性質(zhì)”的定義，這些都是課本中原先沒有的從未見過的新概念要解決這類問題，必須讀懂并領(lǐng)悟這些全新的概念由此看出，無論是原有概念還是全新概念的理解和掌握，都是解決問題的關(guān)鍵這類試題的命制，既考查了概念的深刻性，又考查了思辨的邏輯性關(guān)注數(shù)學(xué)應(yīng)用，檢測實(shí)踐能力2009年考試說明中在關(guān)于能力的考查要求中指出：要能夠解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題，并能用數(shù)學(xué)語言正確地加以表述根據(jù)這一要求，北京理科卷第17題，以某學(xué)生在上學(xué)路上經(jīng)過4個(gè)路口時(shí)是否遇到紅綠燈為背景材料，命制了一個(gè)概率與統(tǒng)計(jì)問題通過相互獨(dú)立事件的概率、幾何分布、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望的求解，有效地考查了學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力. 適度彰顯創(chuàng)新，考查潛在能力2009年考試說明把“有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神”作為命題的指導(dǎo)思想之一，據(jù)此命制了一定數(shù)量的創(chuàng)新型問題，例如第8題、第14題、第20題（比2008年增加了一道）都給人以耳目一新的感覺第8題和第20題主要新在全新概念的定義上，第14題主要新在形式化的呈現(xiàn)方式上試題盡管新穎，但新而不難，一改過去“面對(duì)新題望而生畏”的局面，為高考創(chuàng)新試題的命制提供了較好的范例，有效地考查了學(xué)生的潛能2009年是北京用大綱版教材考試的最后一年，2010年開始將使用課標(biāo)版教材考試課標(biāo)版教材十分關(guān)注學(xué)生的探究與發(fā)現(xiàn)，關(guān)注學(xué)生潛能的開發(fā)，2009年北京理科卷創(chuàng)新試題量與質(zhì)的變化，一定程度上為2010年向課標(biāo)版教材考試平穩(wěn)過渡奠定了良好的基礎(chǔ)重視依托課本，發(fā)揮教材功能由于高考試題所涉及的知識(shí)內(nèi)容大多必須來自于課本，因此數(shù)學(xué)高考命題歷來有“依據(jù)課本，但不拘泥于課本”的要求2009年北京理科卷很好地貫徹了這一精神，許多試題都出自于課本例如第1、2、4、7、9、10、11、15、17、18、19題都可以在課本中找到它的原型，因而給學(xué)生以似曾相識(shí)的感覺這對(duì)于高考復(fù)習(xí)重視依托課本，發(fā)揮教材功能，遏制題海戰(zhàn)術(shù)，不搞高度加深，反對(duì)加班加點(diǎn)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)都具有十分積極的導(dǎo)向作用三、復(fù)習(xí)建議分析2009年北京理科卷試題的特點(diǎn)，結(jié)合課標(biāo)課程內(nèi)容的變化與高考要求，在2010年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，建議做到以下幾點(diǎn)：1注重雙基，突出重點(diǎn)注重雙基，突出重點(diǎn)歷來是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主旋律.事實(shí)上，重點(diǎn)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容的核心，由重點(diǎn)知識(shí)構(gòu)成的重點(diǎn)板塊是數(shù)學(xué)內(nèi)容的主體而基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能是學(xué)生走向社會(huì)從事各項(xiàng)工作的基礎(chǔ)，同時(shí)也是眾多知識(shí)綜合、重點(diǎn)板塊展示的根基隨著課程改革的不斷深入，雙基的內(nèi)涵在不斷豐富因此，我們應(yīng)當(dāng)與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)新雙基，加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的落實(shí)和基本技能的訓(xùn)練，努力使學(xué)生真正理解概念、法則、公式、定理、公理等知識(shí)的內(nèi)容并掌握其應(yīng)用.在此基礎(chǔ)上，既要注意章內(nèi)知識(shí)的縱向發(fā)展，又要注意章節(jié)之間的橫向聯(lián)系；既要注意重點(diǎn)知識(shí)的凸顯，又要注意典型方法的歸類；既要注意知識(shí)個(gè)體的作用，又要注意知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值努力使突出重點(diǎn)板塊成為在同一個(gè)學(xué)習(xí)過程中落實(shí)雙基后的自然延伸. 2提煉思想，發(fā)展思維目前，中學(xué)數(shù)學(xué)界達(dá)成共識(shí)的數(shù)學(xué)思想有七種：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想由于數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)含在代數(shù)、幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、微積分初步等知識(shí)內(nèi)容之中，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，對(duì)數(shù)學(xué)思想的教學(xué)和應(yīng)用的訓(xùn)練，應(yīng)當(dāng)和數(shù)學(xué)內(nèi)容的教學(xué)同步進(jìn)行善于從數(shù)學(xué)問題本身挖掘和提煉數(shù)學(xué)思想，發(fā)展理性思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力3關(guān)注課本，適度延拓 多年來，高中數(shù)學(xué)教學(xué)一直存在著一個(gè)普遍現(xiàn)象，那就是很少引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本不少教師和學(xué)生甚至認(rèn)為教材中的例題尤其是練習(xí)題和部分習(xí)題“簡單”而把課本扔到一邊，高三復(fù)習(xí)更是大搞課外習(xí)題的推證演練.事實(shí)上，這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)誤區(qū).應(yīng)當(dāng)明了，一方面，數(shù)學(xué)課本是嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)教學(xué)大綱、數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫的，它是最規(guī)范、最科學(xué)的教學(xué)藍(lán)本，另一方面，即便象高考這樣的國家級(jí)考試，許多試題都源于課本，其題量（分值）通常占總題量（分值）的50%左右堅(jiān)持命制一定數(shù)量源于課本的試題，一向是北京試題的一個(gè)鮮明特色，這類試題命制既有力地發(fā)揮了課本中例題、練習(xí)題、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題的教學(xué)功能，又有效地調(diào)控了試題的總體難度因此，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)重視課本，研究課本，講透、講活課本不僅使學(xué)生牢牢掌握課本中的有關(guān)知識(shí)，而且還要使學(xué)生掌握課本中解決問題所采用的方法和技巧在此基礎(chǔ)上，將課本內(nèi)容作恰當(dāng)?shù)胤纸饣蛘希m度地延伸或拓展，那么，課本知識(shí)必將更加豐富、鮮活4把握特點(diǎn)，返璞歸真數(shù)學(xué)學(xué)科具有概念性強(qiáng)、思辨味濃、量化突出、解法多樣、應(yīng)用廣泛的特點(diǎn)因此高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循數(shù)學(xué)規(guī)律，把握學(xué)科特點(diǎn)，倡導(dǎo)返璞歸真.在定義、法則、公式、定理、公理的教學(xué)中，要通過概念的辨析、特征的揭示和規(guī)律的總結(jié)，使學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的具體內(nèi)容理解更加深刻，掌握更加全面，應(yīng)用更加靈活；通過知識(shí)形成過程的再現(xiàn)，向?qū)W生揭示這些知識(shí)產(chǎn)生的原始背景；通過定量研究，使學(xué)生對(duì)這些知識(shí)（特別是基本運(yùn)算）的認(rèn)識(shí)更加清晰，更加具體；通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性；通過知識(shí)的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)要回歸數(shù)學(xué)本源，要以學(xué)科思想統(tǒng)領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程，著意在知識(shí)的產(chǎn)生、應(yīng)用和發(fā)展上作研究，在知識(shí)的深刻理解、全面掌握上下功夫，在思維的發(fā)展和能力的培養(yǎng)上花力氣，逐步把“數(shù)學(xué)教學(xué)即為解題教學(xué)和題型訓(xùn)練”這種扭曲了的課堂教學(xué)校正過來，使國家倡導(dǎo)多年的素質(zhì)教育真正落實(shí)到課堂5培養(yǎng)能力，適度創(chuàng)新現(xiàn)行數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)都把培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)作為重要的能力目標(biāo)，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)還強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識(shí)，”為此，大綱版課程各章節(jié)后一般配有“研究性課題”，或配有“閱讀材料”、“實(shí)習(xí)作業(yè)”，課標(biāo)版教材設(shè)計(jì)了不少“思考”、“閱讀與思考”、“探究”、“觀察”、“實(shí)習(xí)作業(yè)”等欄目，以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)能力與此相呼應(yīng)，近年來，北京市數(shù)學(xué)高考命制了不少立意深刻、情境新穎、具有較高思維價(jià)值的創(chuàng)新性、研究性試題這些試題的求解通常沒有現(xiàn)成的公式、法則、定理等可以直接套用，需要通過對(duì)問題的閱讀理解，從中學(xué)習(xí)并領(lǐng)悟出解決問題的知識(shí)，自行設(shè)計(jì)解決問題的思路和方法，體現(xiàn)了對(duì)思維深度和廣度的考查，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的考查為此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)創(chuàng)新型問題的教學(xué)力度對(duì)于教材中的上述欄目，應(yīng)采用研究性學(xué)習(xí)方式，鼓勵(lì)和支持學(xué)生自主探索、合作交流，逐步培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、創(chuàng)造性地解決問題的能力以及進(jìn)一步發(fā)展的潛能2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文科數(shù)學(xué)（必修+選修）本試卷分第I卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第I卷共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的參考公式：如果事件互斥，那么 球的表面積公式 如果事件相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑第I卷一、選擇題1設(shè)集合，則( ) A B C D2已知向量，如果，那么( ) A且與同向 B且與反向 C且與同向 D且與反向3若為有理數(shù)），則( )A33B29C23D194為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)( ) A向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m B向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度 C向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度 D向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度.w5用數(shù)字1，2，3，4，5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為( )A8B24C48D120（6“”是“”的( )A充分而不必要條件B必要而不充分條件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C充分必要條件 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m D既不充分也不必要條件7若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60角，則到底面的距離為( )Aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m B1CD8設(shè)D是正及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)是的中心，若集合，則集合表示的平面區(qū)域是( )A三角形區(qū)域 B四邊形區(qū)域C五邊形區(qū)域 D六邊形區(qū)域第卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上9若，則 .10若數(shù)列滿足：，則 ；前8項(xiàng)的和 .（用數(shù)字作答）11若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為 .12已知函數(shù)若，則 . 13橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則 ；的大小為 .14設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果，且，那么稱是的一個(gè)“孤立元”，給定，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 個(gè).三、解答題15（本小題共12分）已知函數(shù) （）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最大值和最小值16（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)在棱上（）求證：平面；（）當(dāng)且為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小17（本小題共13分）某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2 min（）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；（）這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間至多是4min的概率 18（本小題共14分）設(shè)函數(shù)（）若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)19（本小題共14分）已知雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為（）求雙曲線的方程；（）已知直線與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在圓上，求m的值 20（本小題共13分）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 數(shù)列定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，是使得不等式成立的所有n中的最小值.（）若，求；（）若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和的公式；（）是否存在p和q，使得？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由.2009年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）文科數(shù)學(xué)（必修+選修）試題答案及解讀一、選擇題1A【解讀與點(diǎn)評(píng)】因?yàn)?，所?，故選A. 本題的原型是數(shù)學(xué)第一冊(cè)（上2000年3月第2版）P22習(xí)題15中第72題，主要考查一元二次不等式的解法、兩個(gè)集合“并”的運(yùn)算2D【解讀與點(diǎn)評(píng)】因?yàn)閍，b，若，則cab，dab， 顯然，a與b不平行，排除A、B. 若，則cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，因此選D.本題源于數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下，2003年12月第1版，下同）P147 小結(jié)與復(fù)習(xí)參考例題例12題，與理科第2題是姊妹題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向量共線（平行）的充要條件本題難度不大，但容易因?yàn)榕e(cuò)符號(hào)而判斷失誤3B【解讀與點(diǎn)評(píng)】解法1：因?yàn)?， 由已知，得，.故選B.k.s.5.u.c.o.m .w 解法2：以下同解法1本題與理科第6題是姊妹題（見理科第6題）4C（同理科第3題）5C【解讀與點(diǎn)評(píng)】2和4排在末位的排法共有種， 其余三位數(shù)應(yīng)從余下的4個(gè)數(shù)中任取3個(gè)，有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有（個(gè)）因此選C.本題源于數(shù)學(xué)第二冊(cè)（下A，2006年6月第2版）P128復(fù)習(xí)參考題十B組第41題主要考查有限制條的排列、排列數(shù)的計(jì)算以及分步計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能注意到偶數(shù)的特征，個(gè)位上只能排2、4之一，其余三個(gè)數(shù)位上的數(shù)可從余下的4個(gè)數(shù)中任選3個(gè)排由于是分步進(jìn)行，故用分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理是處理排列組合問題的必不可少的工具，一般地，處理問題時(shí)需要分類進(jìn)行，則用分類計(jì)數(shù)原理用（也稱加法原理）；若需要分步進(jìn)行，則用分步計(jì)數(shù)原理6A【解讀與點(diǎn)評(píng)】當(dāng)時(shí)，反之，當(dāng)時(shí)，有， 或，因此選A本題與理科第5題是姊妹題（ 見理科第5題）7D同理科第4題8D【解讀與點(diǎn)評(píng)】如圖，為各邊的明三等分點(diǎn)，表示的平面區(qū)域是六邊形事實(shí)上，當(dāng)位于六邊形內(nèi)部時(shí)，當(dāng)位于六邊形的邊界時(shí)，所以集合為六邊形及其內(nèi)部，因此選D本題主要考查集合以及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，考查閱讀理解能力以及數(shù)形結(jié)合的思想這里是點(diǎn)的集合，讀懂中的點(diǎn)所滿足的條件是解決問題的關(guān)鍵此外，六邊形是正六邊形，明確正三角形和正六輹形的特征及其基本性質(zhì)是最終作出正確判斷的重要環(huán)節(jié)在本題求解中，如果心中缺乏基本圖形，那么往往不知從何下手，當(dāng)然也就無法作出正確的判斷本題具有較濃的創(chuàng)新味，但新而不難，既體現(xiàn)了創(chuàng)新問題的命題要求，又起到了考查學(xué)生潛能的目的 二、填空題9【解讀與點(diǎn)評(píng)】由條件式知，的終邊在第三象限，所以 .本題源于數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）P18例4以及P27習(xí)題4.4中第11題，主要考查角的終邊所在象限的判斷、三角函數(shù)的符號(hào)、同角三角函數(shù)之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)本題求解時(shí)常常因?yàn)橛涘e(cuò)符號(hào)法則而使結(jié)果出錯(cuò)，應(yīng)當(dāng)引起注意一般地，利用平方關(guān)系求正弦或余弦（本題中是求余弦），需要進(jìn)行開平方運(yùn)算，結(jié)果當(dāng)然有正負(fù)之分，而取正還是取負(fù)，依賴于角的終邊所在的象限1016；255. 【解讀與點(diǎn)評(píng)】已知條件即，故，本題主要考查等比數(shù)列的判定、通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的公式的應(yīng)用求解時(shí)只要直接套用公式即可119【解讀與點(diǎn)評(píng)】 可行域如圖所示， 當(dāng)時(shí)，取得最大值， 并且本題與理科第10題是姊妹題（見理科第10 題）12【解讀與點(diǎn)評(píng)】當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得，這與矛盾所以本題是已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求自變量的值的問題，本質(zhì)上是解方程問題由于函數(shù)是分段表示的，因此方程的建立需分兩