高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1橢圓2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案.docx

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)第1課時橢圓的簡單幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.能根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形知識點(diǎn)一橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)思考在畫橢圓圖形時，怎樣才能畫的更準(zhǔn)確些？答案在畫橢圓時，可先畫一個矩形，矩形的頂點(diǎn)為(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)梳理橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)(0，c)對稱性關(guān)于x軸，y軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)范圍|x|a，|y|b|x|b，|y|a長軸、短軸長軸A1A2長為2a，短軸B1B2長為2b知識點(diǎn)二橢圓的離心率橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，記作e.因?yàn)閍c，故橢圓離心率e的取值范圍為(0,1)，當(dāng)e趨近于1時，橢圓越扁，當(dāng)e趨近于0時，橢圓越圓1橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與它的對稱軸的交點(diǎn)()2橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為ac.()3橢圓的離心率e越接近于1，橢圓越圓()4橢圓1(ab0)的長軸長等于a.()類型一橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1設(shè)橢圓方程mx24y24m(m0)的離心率為，試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)解橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為1，且e.(1)當(dāng)0m4時，由e，解得m，所以橢圓的長軸長和短軸長分別為，4，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1，F(xiàn)2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1，A2，B1(2,0)，B2(2,0)反思與感悟解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量跟蹤訓(xùn)練1(1)橢圓x21的焦點(diǎn)在x軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為()A.B.C2D4考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案A解析橢圓x21的焦點(diǎn)在x軸上，a21，b2m，則a1，b，又長軸長是短軸長的兩倍，24，即m.(2)對橢圓C1：1(ab0)和橢圓C2：1(ab0)的幾何性質(zhì)的表述正確的是()A范圍相同B頂點(diǎn)坐標(biāo)相同C焦點(diǎn)坐標(biāo)相同D離心率相同考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案D解析橢圓C1：1(ab0)的范圍是axa，byb，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(a,0)，(a,0)，(0，b)，(0，b)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(c,0)，(c,0)，離心率e；橢圓C2：1(ab0)的范圍是aya，bxb，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(b,0)，(b,0)，(0，a)，(0，a)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)，(0，c)，離心率e，只有離心率相同類型二求橢圓的離心率命題角度1利用焦點(diǎn)三角形性質(zhì)求橢圓的離心率例2橢圓1(ab0)的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求橢圓離心率的值答案1解析方法一如圖，DF1F2為正三角形，N為DF2的中點(diǎn)，F(xiàn)1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1.方法二在焦點(diǎn)NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290，由離心率公式和正弦定理，得e1.反思與感悟涉及到焦點(diǎn)三角形注意利用橢圓的定義找到a與c的關(guān)系或利用e求解跟蹤訓(xùn)練2設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求橢圓離心率的值答案C解析如圖，設(shè)直線x交x軸于D點(diǎn)，因?yàn)镕2PF1是底角為30的等腰三角形，則有|F1F2|F2P|.因?yàn)镻F1F230，所以PF2D60，DPF230，所以|DF2|F2P|F1F2|，即c2c，即2c，即，所以橢圓的離心率為e.命題角度2利用a，c的齊次式，求橢圓的離心率(或其取值范圍)例3(1)設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F2作x軸的垂線與C相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1B與y軸相交于點(diǎn)D，若ADF1B，則橢圓C的離心率為_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求橢圓離心率的值答案解析直線AB：xc，代入1，得y，設(shè)A，B.，直線BF1：y0(xc)，令x0，則y，D，kAD.由于ADBF1，1，3b44a2c2，b22ac，即(a2c2)2ac，e22e0，e，e0，e.(2)若橢圓1(ab0)上存在一點(diǎn)M，使得F1MF290(F1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點(diǎn))，則橢圓的離心率e的取值范圍是_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求離心率的取值范圍答案解析橢圓1(ab0)，byb.由題意知，以F1F2為直徑的圓與橢圓至少有一個公共點(diǎn)，則cb，即c2b2，所以c2a2c2，所以e21e2，即e2.又0e1，所以e的取值范圍是.反思與感悟若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范圍跟蹤訓(xùn)練3設(shè)A，B是橢圓C：1長軸的兩個端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足AMB120，則橢圓C的離心率的取值范圍是_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求離心率的取值范圍答案解析由題意知，e，eb0)，由橢圓的對稱性，知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2為等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc.|FA|，即ac，且a2b2c2，將上面三式聯(lián)立，得解得所求橢圓方程為1.反思與感悟此類問題應(yīng)由所給的幾何性質(zhì)充分找出a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b.在求解時，需注意當(dāng)焦點(diǎn)所在位置不確定時，應(yīng)分類討論跟蹤訓(xùn)練4如圖，OFB，ABF的面積為2，則以O(shè)A為長半軸，OB為短半軸，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)的橢圓方程為_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程答案1解析設(shè)所求橢圓方程為1(ab0)，由題意知，|OF|c，|OB|b，|BF|a.OFB，a2b.SABF|AF|BO|(ac)b(2bb)b2，解得b22，則a2b2.所求橢圓的方程為1.1橢圓25x29y21的范圍為()A|x|5，|y|3B|x|，|y|C|x|3，|y|5D|x|，|y|考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)橢圓范圍的簡單應(yīng)用答案B解析橢圓方程可化為1，所以a，b，又焦點(diǎn)在y軸上，所以|x|，|y|.故選B.2已知橢圓C1：1，C2：1，則()AC1與C2頂點(diǎn)相同BC1與C2長軸長相同CC1與C2短軸長相同DC1與C2焦距相等考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)答案D解析由兩個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，0)，(0，2)，長軸長為4，短軸長為4，焦距為4；C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，(0，2)，長軸長為8，短軸長為4，焦距為4.故選D.3若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為()A.1B.1C.1或1D以上都不對考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程答案C解析由2a2b18，ab9,2c6，c3，c2a2b29，ab1，得a5，b4，橢圓方程為1或1.4.已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點(diǎn)是(0,13)，另一個頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案(0，)解析由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)5已知橢圓E的短軸長為6，焦點(diǎn)F到長軸的一個端點(diǎn)的距離等于9，則橢圓E的離心率為_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求橢圓離心率的值答案解析根據(jù)題意得2b6，ac9或ac9(舍去)又因?yàn)閍2b2c2，所以a5，c4，故e.1已知橢圓的方程討論性質(zhì)時，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式，應(yīng)先化成標(biāo)準(zhǔn)形式2根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，可以求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系數(shù)法在橢圓的基本量中，能確定類型的量有焦點(diǎn)、頂點(diǎn)，而不能確定類型的量有長軸長、短軸長、離心率e、焦距3求橢圓的離心率要注意函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.一、選擇題1已知橢圓1與橢圓1有相同的長軸，橢圓1的短軸長與橢圓1的短軸長相等，則()Aa225，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案D解析因?yàn)闄E圓1的長軸長為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓1的短軸長為6，所以a225，b29.2已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓y21，其離心率為，則實(shí)數(shù)m的值是()A4B.C4或D.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案B解析焦點(diǎn)在y軸上，a21，b2m，e，m.3焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為4，則橢圓的方程為()A.1B.1C.1D.1考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求方程答案A解析依題意得c2，ab10，又a2b2c2，從而解得a6，b4.所以所求橢圓的方程為1.4橢圓(m1)x2my21的長軸長是()A.B.C.D考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案C解析橢圓方程可簡化為1，由題意知m0，b0)，則c.又2b2，即b1，所以a2b2c26，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.6直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()A.B.C.D.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求橢圓離心率的值答案B解析如圖，由題意得，BFa，OFc，OBb，OD2bb.在RtOFB中，|OF|OB|BF|OD|，即cbab，代入解得a24c2，故橢圓離心率e，故選B.7設(shè)AB是橢圓1(ab0)的長軸，若把線段AB分為100等份，過每個分點(diǎn)作AB的垂線，分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1，P2，P99，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則|F1A|F1P1|F1P2|F1P99|F1B|的值是()A98aB99aC100aD101a考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓對稱性的應(yīng)用答案D解析由橢圓的定義及其對稱性可知，|F1P1|F1P99|F1P2|F1P98|F1P49|F1P51|F1A|F1B|2a，|F1P50|a,502a|F1P50|101a.8已知橢圓1上有一點(diǎn)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若F1PF2為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有()A3個B4個C6個D8個考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)橢圓對稱性的應(yīng)用答案C解析當(dāng)PF1F2為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點(diǎn)P有2個；同理當(dāng)PF2F1為直角時，這樣的點(diǎn)P有2個；當(dāng)點(diǎn)P為橢圓的短軸端點(diǎn)時，F(xiàn)1PF2最大，且為直角，此時這樣的點(diǎn)P有2個故符合要求的點(diǎn)P共有6個故選C.二、填空題9已知橢圓的短半軸長為1，離心率0e，則長軸長的取值范圍是_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)由橢圓的幾何特征求參數(shù)答案(2,4解析e，0，得1a2，2b0)的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若BAOBFO90，則橢圓的離心率是_考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求橢圓離心率的值答案解析BAOBFO90，BAOFBO，tanBAOtanFBO，即，得b2ac，a2c2ac，即e2e10，0e0)的離心率e，求實(shí)數(shù)m的值及橢圓的長軸長和短軸長，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)橢圓的幾何性質(zhì)題點(diǎn)通過所給條件研究橢圓的幾何性質(zhì)解橢圓方程可化為1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c，由e，得，解得m1.于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，則a1，b，c.所以橢圓的長軸長為2，短軸長為1；兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；四個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，.四、探究與拓展14.如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，A1，A2，B1，B2為橢圓頂點(diǎn)，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，延長B1F2與A2B2交于點(diǎn)P，若B1PB2為鈍角，則該橢圓離心率的取值范圍是()A.B.C.D.考點(diǎn)橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用題點(diǎn)求離心率的取值范圍答案C解析B1PB2為與的夾角，設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距的長度分別為a，b，c，則(a，b)，(c，b)，當(dāng)向量的夾角為鈍角時，0，acb20，不等式兩邊同除以a2，得1ee20，即e2e10，解得e，又0e1，0eb0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A