高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.4基本不等式第1課時(shí)學(xué)案新人教A版必修.docx

3.4基本不等式:(第1課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解代數(shù)與幾何兩方面背景,用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式.2.掌握從不同角度探索基本不等式的方法.3.從基本不等式的證明過(guò)程中進(jìn)一步體會(huì)不等式證明的常用思路.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年在北京召開(kāi),右面是大會(huì)的會(huì)標(biāo),其中的圖案大家見(jiàn)過(guò)嗎?在此圖中有哪些幾何圖形?你能發(fā)現(xiàn)圖形中隱含的不等關(guān)系嗎?若我們?cè)O(shè)圖中直角三角形的直角邊分別為x,y,你能用x,y表示四個(gè)直角三角形的面積和嗎?你能用x,y表示大正方形的面積嗎?根據(jù)圖形,比較四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關(guān)系,寫(xiě)出不等式.二、信息交流,揭示規(guī)律問(wèn)題1:當(dāng)四個(gè)直角三角形邊長(zhǎng)可以變化時(shí),四個(gè)直角三角形的面積和與大正方形的面積有沒(méi)有可能相等?相等時(shí),圖形產(chǎn)生了怎樣的變化? x,y有什么關(guān)系?問(wèn)題2:以上結(jié)論我們是在幾何圖形中的面積關(guān)系獲得的.同學(xué)們能否運(yùn)用代數(shù)的方法對(duì)這個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明?問(wèn)題3:同學(xué)們對(duì)結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”如何理解?如果我們使用兩個(gè)正數(shù)a,b分別代替x2,y2,那么,以上結(jié)論我們可以寫(xiě)成什么形式?問(wèn)題4:對(duì)這個(gè)結(jié)論,我們能否進(jìn)行證明?問(wèn)題5:結(jié)論(1)我們是在趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)的,那么,我們能不能找到結(jié)論(2)的幾何解釋呢?同學(xué)們來(lái)看這個(gè)問(wèn)題:如圖AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是線段AB(除A、B外)上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE,連接AD,BD.試以a,b表示CD,OD的長(zhǎng)度并比較兩者的大小.問(wèn)題6:什么時(shí)候等號(hào)成立?做出怎樣的解釋呢?問(wèn)題7:對(duì)于一個(gè)公式,我們首先要觀察結(jié)構(gòu)、進(jìn)行記憶。同學(xué)們觀察基本不等式兩邊,你想到了原來(lái)學(xué)過(guò)的哪些知識(shí)?三、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題【例1】下列各式錯(cuò)誤的是()A.(a0,b0)B.x+2(x0)C.+sinx4(0x)D.(0x0,試比較的大小關(guān)系,并給出證明.五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉1.本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法?2.本節(jié)課你能感受到哪些數(shù)學(xué)思想?參考答案一、設(shè)計(jì)問(wèn)題,創(chuàng)設(shè)情境見(jiàn)過(guò).這是趙爽弦圖.在初中曾用它證明過(guò)勾股定理.直角三角形和正方形.三邊的不等關(guān)系. x2+y22xy或x2+y22xy.問(wèn)題1:有可能相等;四個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)會(huì)重合;此時(shí)x=y.結(jié)論(1):重要不等式:對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,我們有x2+y22xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立.問(wèn)題2:證明:(作差法)因?yàn)閤2+y2-2xy=(x-y)20,所以x2+y22xy.當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立.問(wèn)題3:當(dāng)x=y時(shí),并且只有x=y時(shí),等號(hào)成立.結(jié)論(2):基本不等式:若a0,b0,可得a+b2,通常記為,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.問(wèn)題4:能.問(wèn)題5:CD=,OD=,由圖可得:CD=OD=.問(wèn)題6: a=b時(shí),等號(hào)成立;圓內(nèi)半弦不超過(guò)半徑.問(wèn)題7:有的同學(xué)會(huì)回答平均數(shù);有的同學(xué)可能會(huì)回答等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng).是我們平時(shí)求平均數(shù)的方法,我們稱之為算數(shù)平均數(shù);我們稱為幾何平均數(shù).基本不等式我們可以解釋為幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù),這是它的代數(shù)解釋.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問(wèn)題【例1】C【例2】證明:因?yàn)閤,y都是正數(shù),所以2=2.當(dāng)且僅當(dāng),即x=y時(shí),等號(hào)成立.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練:解:顯然成立.因?yàn)閍2+b22ab,所以ab,故.因?yàn)?