高考數(shù)學(xué)第1節(jié)坐標(biāo)系教學(xué)案文（含解析）北師大版選修4_4.docx

第一節(jié)坐標(biāo)系考綱傳真1.了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換2極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫作極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫作極軸，選定一個(gè)單位長度和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向)這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系(2)極坐標(biāo)極徑：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，用表示線段OM的長，叫作點(diǎn)M的極徑極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫作點(diǎn)M的極角，記為.極坐標(biāo)：有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)3極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)，則它們之間的關(guān)系為：4圓的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn)，半徑為r的圓r(02)圓心為(r,0)，半徑為r的圓2rcos 圓心為，半徑為r的圓2rsin (00)5.直線的極坐標(biāo)方程(1)直線l過極點(diǎn)，且極軸到此直線的角為，則直線l的極坐標(biāo)方程是(R)(2)直線l過點(diǎn)M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為cos a.(3)直線過M且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為sin_b(0)基礎(chǔ)自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點(diǎn)與坐標(biāo)也是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系()(2)若點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點(diǎn)P的一個(gè)極坐標(biāo)是()(3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的()(4)極坐標(biāo)方程(0)表示的曲線是一條直線()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改編)在極坐標(biāo)系中，圓2sin 的圓心的極坐標(biāo)是()ABC(1,0)D(1，)B法一：由2sin ，得22sin ，化成直角坐標(biāo)方程為x2y22y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21，圓心坐標(biāo)為(0，1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為.法二：由2sin 2cos，知圓心的極坐標(biāo)為，故選B.3(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A，0B，0Ccos sin ，0Dcos sin ，0Ay1x(0x1)，sin 1cos (0cos 1)，.4在極坐標(biāo)系中，曲線C1和C2的方程分別為sin2 cos 和sin 1.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線C1和C2的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(1,1)由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，聯(lián)立故曲線C1和C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)5在極坐標(biāo)系中，圓8sin 上的點(diǎn)到直線(R)距離的最大值是_6圓8sin 即28sin ，化為直角坐標(biāo)方程為x2(y4)216，直線，則tan ，化為直角坐標(biāo)方程為xy0，圓心(0,4)到直線的距離為2，所以圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值為246.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換1求橢圓y21經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程解由得到將代入y21，得y21，即x2y21.因此橢圓y21經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是x2y21.2將圓x2y21變換為橢圓1的一個(gè)伸縮變換公式為：求a，b的值解由得代入x2y21中得1，所以a29，b24，即a3，b2.規(guī)律方法伸縮變換后方程的求法，平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，得f，整理之后得到y(tǒng)h(x)，即為所求變換之后的方程易錯(cuò)警示：應(yīng)用伸縮變換時(shí)，要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的互化【例1】(2019合肥質(zhì)檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系曲線C的極坐標(biāo)方程為cos1(02)，M，N分別為曲線C與x軸，y軸的交點(diǎn)(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程，并求M，N的極坐標(biāo)；(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的極坐標(biāo)方程解(1)由cos1得cos sin 1.從而曲線C的直角坐標(biāo)方程為xy1，即xy20.當(dāng)0時(shí)，2，所以M(2,0)當(dāng)時(shí)，所以N.(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)，N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為.所以直線OP的極坐標(biāo)方程為(R)規(guī)律方法極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化方法(1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程：將公式xcos 及ysin 直接代入直角坐標(biāo)方程并化簡即可(2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程：通過變形，構(gòu)造出形如cos ，sin ，2的形式，再應(yīng)用公式進(jìn)行代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形技巧 已知圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為2，22cos2.(1)把圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線的極坐標(biāo)方程解(1)由2知24，所以圓O1的直角坐標(biāo)方程為x2y24.因?yàn)?2cos2，所以222，所以圓O2的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標(biāo)方程相減，得經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的直線方程為xy1.化為極坐標(biāo)方程為cos sin 1，即sin.極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【例2】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為(R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求C2MN的面積解(1)因?yàn)閤cos ，ysin ，所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2，C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40.(2)將代入22cos 4sin 40，得2340，解得12，2.故12，即|MN|.由于C2的半徑為1，所以C2MN的面積為.規(guī)律方法在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時(shí)，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，有助于增加對(duì)方程所表示的曲線的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 (2019廣州調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，求直線sin2被圓4截得的弦長解由sin2，得(sin cos )2，可化為xy20.圓4可化為x2y216，圓心(0,0)到直線xy20的距離d2，由圓中的弦長公式，得弦長l224.故所求弦長為4.1(2018全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos 30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn)綜上，所求C1的方程為y|x|2.2(2017全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB的面積S|OA|BsinAOB4cos 22.當(dāng)時(shí)，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.3(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a0)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a.解(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2