在恒定電場作用下電子的運動.ppt

見黃昆書5.2節(jié)p245,本節(jié)以一維緊束縛近似下能帶論的結果為例，進一步討論晶體中電子在恒定外電場作用下的運動規(guī)律，以加深對Bloch 電子的理解。,在 k 空間中的運動圖象 在實空間中的運動圖象,7.2 在恒定電場作用下電子的運動,一維緊束縛近似：,i 為某原子能級。設 J1 0，則 k0 點為能帶底； k/a 為能帶頂。,在能帶底 k = 0 和能帶頂 k= /a 處，電子速度 v(k)=0； 而在 k= /2a 處， v(k)分別為極大和極小。,一維緊束縛近似下的 E(k), v(k), m*隨 k 值的變化如上圖。圖中只畫出一個能帶，且只是繪出第一布里淵區(qū)。從圖中明顯看出在帶底和帶頂處，電子速度為零。中間有極大和極小值，帶底處：m*0，帶頂處：m*0，中間處 m*。 我們從該圖出發(fā)討論恒定電場作用下電子的運動。,在準經(jīng)典運動中，電子在同一能帶中運動。因此，電 子在 k 空間中的勻速運動意味著電子的能量本征值沿 E(k) 函數(shù)曲線周期性變化，即電子在 k 空間中做循環(huán)運動。 可從下頁布里淵區(qū)圖來理解。,一. 在 k 空間中的運動圖象,當有電場加在固體上時，固體中的電子被加速，在 k 空間研究它的運動是很方便的。若沿 x 方向加一恒定電 場 ，則電子受到的力： F = e 沿 +x 方向。 由于： ， 得. 這表明電子在 k 空間中做勻速運動。,見黃昆書p247,電子在 k 空間的勻速運動，意味著電子的本征能量沿E(k) 函數(shù)曲線周期性變化，當電子運動到布里淵區(qū)邊界 處， 由于 和 相差一個倒格矢 ，實際代表同一 狀態(tài)，所以電子從 移出等于又從 移進來。形成 循環(huán)運動。,電子在 k 空間的循環(huán)運動，表現(xiàn)在電子速度上是 v 隨時間 的振蕩變化，假設 t = 0 時，電子處在帶底，k =0，m*0， 外力作用使電子加速，v 增大，當?shù)竭_ 時， m*，速度 v 到達極大，k 超過該點后，m*0，使反向速 度減小，直至 k = 0 處，v = 0。這就是在恒定外場作用下 速度的振蕩。（見前面圖）,二. 在實空間中的運動圖象,E,x,=0,受電場作用，能帶傾斜,電子速度的振蕩，意味著電子在實空間（坐標空間）的振蕩，因為 E(k) 表示的是電子在周期場中的能量本征值，當有外電場時，會附加一個靜電位能 ,使能帶發(fā)生傾斜，如圖所示。,電子速度的周期性振蕩也就是電子在實空間中的振蕩。設 t = 0 時電子在較低的能帶底 A 點，在電場力的作用下，電子從（能 帶底）AB C（能帶頂），對應于電子從k = 0 運動到 在 C 點電子遇到能隙，相當于存在一個勢壘。在準經(jīng)典運動 中，電子被限制在同一能帶中運動，因此電子遇到勢壘后將全 部被反射回來，電子從CB A，對應于k=/a到 k = 0的運 動，完成一次振蕩過程。,電場作用下，電子在實空間的運動示意圖（黃昆書p248),有兩點必須指出： 上述的振蕩現(xiàn)象實際上很難觀察到。由于電子在運動過程中不斷受到聲子、雜質和缺陷的散射，若相鄰兩次散射（碰撞）間的平均時間間隔為，如果很小，電子還來不及完成一次振蕩過程就已被散射。而電子完成一次振蕩所需的時間為：,為了觀察到電子的振蕩過程，要求 T。 在晶體中， 1014 s，a 31010 m，由此可估算出若要觀察到振蕩現(xiàn)象，需加的電場 2105 V/cm。對金屬，無法實現(xiàn)高電場；對絕緣體，將被擊穿。,注：一般情況 T 10-5s，10-14s，一個周期內(nèi)碰撞 109次??？ 振蕩現(xiàn)象完全被“沖掉”了,2. 在準經(jīng)典運動中，當電子運動到能隙時，將全部被 反射回來。而根據(jù)量子力學，電子遇到勢壘時，將 有一定幾率穿透勢壘，而部分被反射回來。電子穿 透勢壘的幾率與勢壘的高度（即能隙Eg）和勢壘的 長度（由外場決定）有關。,對于絕緣體或導電很差的半導體，材料內(nèi)部會建立很強的電場，導致電子的帶間隧穿，稱為電擊穿，或者齊納擊穿。 相應于電場產(chǎn)生電擊穿，強磁場也會造成磁擊穿。,在有靜電場存在時，Bloch電子在真實空間做周期性振蕩，完全與自由電子不同，這是晶體中電子動力學的一個驚人結論。下面給出二維情況的簡要描述：,開始電子處于任意點 P，受電場作用，它在 k 空間做直線運動，遇到邊界回到對稱點，重新開始。,滿帶電子不導電 未滿帶電子導電 近滿帶和空穴導電 導體、絕緣體和半導體,見黃昆書 5.3節(jié)p250,雖然所有固體都含有大量電子，但卻有導體和絕緣體之分，這一基本事實曾長期得不到嚴格解釋，能帶論首次從理論上做了嚴格說明，是能帶論發(fā)展初期的重大成就，也由此開辟了金屬電導、絕緣體和半導體的現(xiàn)代理論。,7.3 導體、絕緣體和半導體的能帶論解釋,能帶中每個電子對電流密度的貢獻 -ev(k)，因此帶中所有電子的貢獻為：,積分包括能帶中所有被占據(jù)態(tài)。,有電場存在時，由于不同材料中電子在能帶中的填充情況不同，對電場的響應也不同，導電能力也各不相同。我們分三種情況討論： 滿 帶：電子已填滿了能帶中所有的能態(tài)。 導 帶：一個能帶中只有部分能態(tài)填有電子，而其余的能 態(tài)為沒有電子填充的空態(tài)。 近滿帶：一個能帶的絕大部分能態(tài)已填有電子，只有少數(shù) 能態(tài)是空的。,在 k 空間中，對于同一能帶有,容易證明，對于同一能帶，處于k態(tài)和處于k態(tài)的電子具有大小相等方向相反的速度。,當沒有外加電場時，在一定溫度下，電子占據(jù)k態(tài)和k態(tài)的幾率只與該狀態(tài)的能量有關。所以，電子占據(jù) k 態(tài)和k態(tài)的幾率相同，這兩態(tài)的電子對電流的貢獻相互抵消。由于能帶相對于 k是對稱的，所以，電流密度對整條能帶積分后也沒有宏觀電流，即I0。,一. 滿帶電子不導電,當存在外加電場時，由于滿帶中所有能態(tài)均已被電子填滿，外電場并不改變電子在滿帶中的對稱分布，所以不產(chǎn)生宏觀電流，I0。,從速度公式 ，我們可以得到一個重要結果： 一個完全充滿電子的能帶不能形成電流。根據(jù)公式可知：,（見右下圖）,這可以從能量對稱關系中給出。 能帶中所有電子產(chǎn)生的總電流密度是：,由于上面的關系，求和為零。 所以滿帶不能形成電流。,簡易說明：,二. 未滿帶電子導電導帶：,下圖所示部分填充的能帶和滿帶不同，在外電場作用下，可以產(chǎn)生電流。,不存在電場時，由于電子在能帶中的對稱填充，非滿帶也不存在宏觀電流。,當存在電場時，由于導帶中還有部分沒有電子填充的空態(tài)， 因而導帶中的電子在外場的作用下會產(chǎn)生能級躍遷， 從而使導帶中的對稱分布被破壞，產(chǎn)生宏觀電流，I0。,三. 近滿帶和空穴導電,在有外場時，由于近滿帶中仍有少量沒有電子占據(jù)的空態(tài)，所以在外場的作用下，電子也會發(fā)生能級躍遷，導致電子的不對稱分布，所以， I 0。 假設近滿帶中有一個 k 態(tài)中沒有電子，設 I(k) 為這種情況下整個近滿帶的總電流。設想在空的 k 態(tài)中填入一個電子，這個電子對電流的貢獻為ev(k)。但由于填入這個電子后，能帶變?yōu)闈M帶，因此總電流為 0 。,這表明，近滿帶的總電流就如同一個帶正電荷e，其速度 為空狀態(tài) k 的電子速度一樣。,在有電磁場存在時，設想在 k 態(tài)中仍填入一個電子形成滿帶。而滿帶電流始終為0，對任意 t 時刻都成立。,作用在 k 態(tài)中電子上的外力為,電子的準經(jīng)典運動：,而在能帶頂附近，電子的有效質量為負值，m* 0。,為正電荷e在電磁場中所受的力。,所以，在有電磁場存在時，近滿帶的電流變化就如同 一個帶正電荷 e，具有正有效質量 m*的粒子一樣。,定義：當滿帶頂附近有空狀態(tài) k 時，整個能帶中的電流 以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同一個帶正 電荷e、具有正有效質量m*和速度v(k)的粒子的情況一 樣。我們將這種假想的粒子稱為空穴。,兩種載流子導電行為 空穴導電性：滿帶中缺少一些電子所產(chǎn)生的導電性； 電子導電性：導帶底有少量電子所產(chǎn)生的導電性。 引入空穴概念后，在金屬自由電子論中所無法解釋的正Hall系數(shù)問題，就很容易解釋了。在金屬中參與導電的載流子既可以是電子，也可以是空穴。,空穴是一個帶有正電荷，具有正有效質量的準粒子。 它是在整個能帶的基礎上提出來的，它代表的是近滿帶中 所有電子的集體行為，因此，空穴不能脫離晶體而單獨存 在，它只是一種準粒子。,引入空穴概念的必要性的進一步說明： 滿帶中缺了少數(shù)電子就會有一定的導電性，這種近滿帶的情形在半導體中特別重要，要描述近滿帶中電子的運動，由于涉及到數(shù)目很大的電子的集體運動，因而在表述上十分不便，為此，引入空穴的概念，將大量電子的集體運動等價地變?yōu)樯贁?shù)空穴的運動，從而大大簡化了有關近滿帶的問題，使?jié)M帶頂附近缺乏一些電子的問題與導帶底有少數(shù)電子的問題十分相似。 還應特別強調(diào)：我們雖然賦予空穴有質量、電荷等屬性，但它不是客觀存在的一種實物粒子，而只是客觀實物粒子電子集體運動的一種等價描述，就像聲子一樣，也是一種”準粒子“或說：元激發(fā),四. 導體、絕緣體和半導體,非導體：電子剛好填滿能量最低的一系列能帶，而能量再 高的各能帶都是沒有電子填充的空帶。 導 體：電子除填滿能量最低的一系列能帶外，在滿帶和 空帶間還有部分填充的導帶。 半導體：其禁帶寬度一般較窄。 常規(guī)半導體：如 Si：Eg 1.1eV； Ge： Eg 0.7 eV；GaAs： Eg 1.5 eV 寬帶隙半導體：如SiC： Eg 2.3 eV； 4HSiC： Eg3 eV 絕緣體：禁帶寬度一般都較寬， Eg 幾個eV。 如Al2O3： Eg8 eV；NaCl： Eg6 eV。,半金屬：介于金屬與半導體之間的中間狀態(tài)。 電子密度：As：2.11020cm-3; Sb： 5.7 1019cm-3; Bi： 2.7 1017cm-3; Cu： 8.45 1022cm-3 電阻率：Bi：c 127 10-6(cm)；c 100 10-6(cm) Sb：c 29.310-6(cm)；c 38.4 10-6(cm) Cu： 1.55 10-6(cm)；Al：2.5 10-6(cm),由于半導體材料的能隙較窄，因而在一定溫度下，有少量電子從價帶頂躍遷到導帶底，從而在價帶中產(chǎn)生少量空穴，而在導帶底出現(xiàn)少量電子。因此，在一定溫度下，半導體具有一定的導電性，稱為本征導電性。電子的躍遷幾率exp(-Eg/kBT)，在一般情況下，由于EgkBT，所以，電子的躍遷幾率很小，半導體的本征導電率較低。T升高，電子躍遷幾率指數(shù)上升，半導體的本征電導率也隨之迅速增大。,在金屬中，其導帶部分填充，導帶中有足夠多的載流子（電子或空穴），溫度升高，載流子的數(shù)目基本上不增加。但溫度升高，原子的熱振動加劇，電子受聲子散射的幾率增大，電子的平均自由程減小。因此，金屬的電導率隨溫度的升高而下降。,如果半導體中存在一定的雜質，其能帶的填充情況將有所改變，可使導帶中出現(xiàn)少量電子或價帶中出現(xiàn)少量空穴，從而使半導體有一定的導電性，稱為非本征導電性。,絕緣體的帶隙寬，在一般情況下，絕緣體沒有可觀察到的導電性。,幾個實例：,堿金屬 晶體結構：體心立方（ bcc）結構，每個原胞中 有一個原子。堿金屬原子基態(tài)：內(nèi)殼層飽和，最外層的 ns態(tài)有一個價電子。Li：1s22s1；Na：1s22s22p63s1 等。 由N個堿金屬原子結合成晶體時，原子的內(nèi)層電子剛好 填滿相應的能帶，而與外層ns態(tài)相應的能帶卻只填充了 一半。因此，堿金屬是典型的金屬導體。 貴金屬（Cu、Ag和Au）的情況（fcc結構）與堿金屬相 似，也是典型的金屬導體。,第三族元素也有類似的情況，只不過這時形成導帶的是np電子，而不是ns電子。所以，第三族元素的晶體絕大多數(shù)為金屬。 對于二價的堿土金屬元素，與堿金屬元素相似，其最外層有兩個ns電子，如Be：1s22s2；Mg：1s22s22p63s2等。若按對堿金屬的討論，N個堿土金屬原子中有2N個ns電子，應剛好填滿其相應的ns能帶而形成非導體。但實際上它們是金屬導體，而不是非導體。這是由于在這些晶體中，與ns態(tài)相應的能帶與上面的能帶發(fā)生重疊，因此，2N個ns電子尚未填滿相應的能帶就已開始填入更高的能帶，結果使得這兩個能帶都是部分填充的。,周期表中第四族及其以上的元素，由于其電子態(tài)和結合形式比較復雜，所以必須經(jīng)過具體計算之后，才能判斷是金屬還是