非齊次泊松過程與復(fù)合泊松過程.ppt

1,非齊次泊松過程 復(fù)合泊松過程,主講人：崔東旭 制作人：崔東旭 高旭 劉濤 2012.11.02,2,一、泊松過程的定義 二、齊次泊松過程,三、非齊次泊松過程 四、復(fù)合泊松過程,3,一、泊松過程的定義,泊松過程是一類較為簡單的時(shí)間連續(xù)狀態(tài)離散的隨機(jī)過程。 一種累計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生次數(shù)的最基本的獨(dú)立增量過程。,4,一、泊松過程的定義,泊松過程是由法國著名數(shù)學(xué)家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（17811840）證明的。 1943年C.帕爾姆在電話業(yè)務(wù)問題的研究中運(yùn)用了這一過程。 辛欽于50年代在服務(wù)系統(tǒng)的研究中又進(jìn)一步發(fā)展了它。,5,二、齊次泊松過程,1.齊次泊松過程的定義： 稱計(jì)數(shù)過程X(t)0為具有參數(shù)0的泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0; X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程; 在任意長度為t的區(qū)間內(nèi)，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)0的泊松分布， 即對任意s ,t0，有 PX(t+s) -X(s)=n= ,n=0,1,2,6,二、齊次泊松過程,解釋： 獨(dú)立增量過程：是指在每一個(gè)時(shí)間段內(nèi)事件A發(fā)生的次數(shù)是相互獨(dú)立的。 平穩(wěn)增量過程：是指計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)在(t,t+s) 內(nèi)(s0)，事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t) 僅與時(shí)間差有關(guān)，而與時(shí)間段的起始時(shí)間無關(guān)。 因此，齊次泊松過程是平穩(wěn)增量過程且E X(t)= t。 由于= 單位時(shí)間內(nèi)事A發(fā)生的平均個(gè)數(shù)， 故稱為此過程的速率或強(qiáng)度。,7,二、齊次泊松過程,齊次泊松過程的解釋： 稱計(jì)數(shù)過程X(t)，t0為具有參數(shù)0的泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0; X(t)是獨(dú)立、平穩(wěn)增量過程; X(t)滿足下列兩式： PX(t+h) -X(t)=1=ho(h), PX(t+h) -X(t)=2=o(h). 以上定義說明，在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的事件同時(shí)發(fā)生。也就是說，要么事件發(fā)生一次，要么事件不發(fā)生。這是泊松過程的核心概念。,8,三、非齊次泊松過程,例: 設(shè)電話總機(jī)在早晨8時(shí)接到的電話呼叫數(shù)為20個(gè)；8時(shí)至11時(shí)接到的電話呼叫數(shù)線性增加，接到的電話呼叫數(shù)為50個(gè);11時(shí)至15 時(shí)保持平均到呼叫數(shù)不變; 15時(shí)到18時(shí)接到的電話呼叫數(shù)線性下降,到18時(shí)為20個(gè)。接到的呼叫在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的,求9時(shí)至11時(shí)有30個(gè)呼叫數(shù)的概率,9,三、非齊次泊松過程,從這個(gè)例子可以看出，它符合泊松過程，即符合獨(dú)立增量過程，且在充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，最多只有一個(gè)事件發(fā)生，而不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的事件同時(shí)發(fā)生。但是，和齊次泊松過程比有一個(gè)條件變了，不再是常數(shù)了。 在齊次泊松過程的討論中，由于對齊次過程做了時(shí)齊的假設(shè)，其均值函數(shù) E（Xt）=t 與t成正比，但是現(xiàn)實(shí)生活中不可能所有的事情都按齊次泊松過程發(fā)生，因此引入了非齊次泊松過程。,10,三、非齊次泊松過程,非齊次泊松過程的定義： 稱計(jì)數(shù)過程X(t)，t0為具有強(qiáng)度函數(shù)(t)非齊次泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0 X(t)是獨(dú)立增量過程; X(t)滿足下列兩式： PX(t+h) X(t)=1=(t)ho(h), PX(t+h) X(t)2=o(h). 在這里，定義與齊次泊松過程相比，出現(xiàn)了微小的變化。,11,三、非齊次泊松過程,首先，X(t)不再是平穩(wěn)增量過程。也就是說，計(jì)數(shù)過程N(yùn)(t)在(t,t+s)內(nèi)(s0)，事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)N(t)不僅與時(shí)間差有關(guān)，而且還與時(shí)間段的起始時(shí)間有關(guān)。 其次，定義公式里不再是泊松過程的強(qiáng)度，也就是說數(shù)學(xué)期望不再是E X(t)= t，而出現(xiàn)了(t)，叫做強(qiáng)度函數(shù)。 因此，引入累積強(qiáng)度函數(shù)的概念:,12,三、非齊次泊松過程,下面我們將從均值函數(shù)的層面解釋非齊次泊松過程與齊次泊松過程的不同之處： 在齊次泊松過程中，由于齊次性，即它的平穩(wěn)增量過程，過程的強(qiáng)度為，因此，在（s ，ts）內(nèi)，其均值為t。 在非齊次泊松過程中，由于非齊次性，即強(qiáng)度函數(shù)的為（t），因此： 在（0 ，s）內(nèi)，均值為（x）= 在（0 ，ts）內(nèi)，均值為：（tx）= 因此，在（s ，ts）內(nèi)，均值為（tx）-（x）=,13,三、非齊次泊松過程,在齊次泊松過程中，事件A在(s ，ts)內(nèi)發(fā)生n次的概率P為： PX(t+s) X(s)=n= ,n=0,1,2 其中，t為數(shù)學(xué)期望，即均值。 因此，可以想象，在非齊次泊松過程中，事件A在(x ，tx)內(nèi)發(fā)生n次的概率P為： P=,14,三、非齊次泊松過程,證明：對t0,h0及非負(fù)整數(shù)n， 定義 則由獨(dú)立增量性和和非齊次泊松過程的定義知，對任意s0，有,15,三、非齊次泊松過程,于是 用s除上式兩端，并令s0得 由非齊次泊松過程的定義知，以上偏微分方程滿 足下列初始條件,4.1,4.2,16,三、非齊次泊松過程,利用初始條件（4.2）式，對（4.1）積分得 對于n1,由獨(dú)立增量性和非齊次泊松過程的定義知，對任意s0,有,4.3,17,三、非齊次泊松過程,18,三、非齊次泊松過程,于是， 用s除上式兩端，并令s0得,4.4,4.5,19,三、非齊次泊松過程,若令 ,則當(dāng)n=0時(shí)，（4.5）式就變?yōu)?（4.1）式，即（4.5）式對任意非負(fù)整數(shù)n均成立。 下面利用生成函數(shù)法求偏微分方程組（4.5）的解。令,4.6,20,三、非齊次泊松過程,對每一n=0、1、2，將（4.5）式兩端乘以Zn，然后對n求和即得 對(4.7)式積分得,4.7,4.8,21,三、非齊次泊松過程,由非齊次泊松過程的定義知 于是,4.9,4.10,22,三、非齊次泊松過程,由（4.8）式及(4.10)式得,4.11,23,三、非齊次泊松過程,將（4.6）式與（4.11）式比較得 定理證明完畢。,4.12,24,三、非齊次泊松過程,關(guān)于非齊次泊松過程的幾個(gè)實(shí)例： 例: 設(shè)某路公共汽車從早晨5時(shí)到晚上9時(shí)有車發(fā)出。乘客流量是：5時(shí)按平均乘客200人/時(shí)計(jì)算；5時(shí)至8時(shí)乘客平均到達(dá)率線性增加，8時(shí)到達(dá)率為1400人/時(shí)；8時(shí)至18 時(shí)保持平均到達(dá)率不變；18時(shí)到21時(shí)從到達(dá)率1400人/ 時(shí)按線性下降，到21時(shí)為200人/時(shí)。假定乘客數(shù)在不相重疊時(shí)間間隔內(nèi)是相互獨(dú)立的，求12時(shí)至14時(shí)有2000人 來站乘車的概率，并求這兩小時(shí)內(nèi)來站乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。,25,三、非齊次泊松過程,解: 將時(shí)間5時(shí)至21時(shí)平移為0到16時(shí),依題意得乘客到達(dá)率為： 乘客到達(dá)率與時(shí)間關(guān)系如圖所示.,26,三、非齊次泊松過程,由題意,乘客數(shù)的變化可用非齊次泊松過程描述. 從 知：在12時(shí)至14時(shí)有2000名乘客到達(dá)的概率 12時(shí)至14時(shí)有2000名乘客的數(shù)學(xué)期望是 mX(9)-mX(7)=2800(人).,27,三、非齊次泊松過程,例: 某商店每日8時(shí)開始營業(yè)，從8時(shí)到11時(shí)平均顧客到達(dá)率線性增加，在8時(shí)顧客平均到達(dá)率為5人/時(shí)，11時(shí)到達(dá)率達(dá)最高峰20人/時(shí)。從11時(shí)到13時(shí)，平均顧客到達(dá)率維持不變，為20人/時(shí)，從13時(shí)到17時(shí)，顧客到達(dá)率線性下降，到17時(shí)顧客到達(dá)率為12人。假定不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)是相互獨(dú)立的，問在8：30到9:30無顧客到達(dá)商店的概率是多少，在這段時(shí)間內(nèi)到達(dá)商店的顧客數(shù)學(xué)期望是多少？,28,三、非齊次泊松過程,解: 將時(shí)間5時(shí)至21時(shí)平移為0到9時(shí),依題意得顧客到達(dá)率為： 乘客到達(dá)率與時(shí)間關(guān)系如圖所示.,29,三、非齊次泊松過程,由題意,顧客的變化可用非齊次泊松過程描述. 從 知：在0:30時(shí)至1:30時(shí)無顧客到達(dá)商店的概率概率 8:30至9:30有2000名乘客的數(shù)學(xué)期望是,30,四、復(fù)合泊松過程,在人們的日常生活中，泊松過程往往不是單獨(dú)存在的。 比如顧客到商店，不會只是在商店轉(zhuǎn)一圈，往往會購物(當(dāng)然，進(jìn)去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)不買也是有的)。 生產(chǎn)線的機(jī)器壞了，維修的時(shí)候會有維修費(fèi)用。 參加保險(xiǎn)公司的醫(yī)療保險(xiǎn)人生病，保險(xiǎn)公司會對其作出賠償?shù)取?這一系列的泊松過程都會有累積的事件參雜在其中。如果我們能夠?qū)⑦@些累積的事件和泊松過程聯(lián)系起來，找出一定的規(guī)律，也許就能成為解決某些生活規(guī)律的工具。例如，算出商店一天的營業(yè)額，生產(chǎn)線一年的機(jī)器維修費(fèi)用，保險(xiǎn)公司的預(yù)備賠償金的存儲額等。 因此，可以看出，前面多考慮的泊松過程，并未涉及到“泊松過程質(zhì)點(diǎn)”的大小，確定這些泊松過程質(zhì)點(diǎn)的累積效果的隨機(jī)過程及其概率結(jié)構(gòu)是有實(shí)際意義的。,31,四、復(fù)合泊松過程,下面我們引入復(fù)合泊松過程的定義： 定義3.5 設(shè)N(t),t0是強(qiáng)度為的泊松過程，Yk,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量,且與N(t),t0獨(dú)立, 令 則稱X(t),t0為復(fù)合泊松過程 。,32,四、復(fù)合泊松過程,例: 設(shè)N(t)是在時(shí)間段(0,t 內(nèi)到某商店的顧客人數(shù)，N(t),t0是泊松過程.若Yk是第k個(gè)顧客在商店所花的錢數(shù),則 Yk,k=1,2,是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列,且與N(t),t0 獨(dú)立。 記X(t)為該商店在(0,t 時(shí)間段內(nèi)的營業(yè)額,則 是一個(gè)復(fù)合泊松過程.,33,四、復(fù)合泊松過程,例: 令X(t)表示在時(shí)間段(0,t)內(nèi)抵達(dá)某港口船舶的艘數(shù)，他們到達(dá)的時(shí)刻為 012n 在通常情況下，X=Xt，t0,是一個(gè)泊松過程，在時(shí)刻n到達(dá)的船舶的載貨噸數(shù)為Yn是一個(gè)隨機(jī)變量，若要考慮(0,t)內(nèi)抵達(dá)該港口船舶的總載重噸數(shù)Zt，則需要研究隨機(jī)過程,34,四、復(fù)合泊松過程,定理3.6 設(shè)是復(fù)合泊松過程,則 (1) X(t),t0是獨(dú)立增過程; (2) X(t)的特征函數(shù)為 式中g(shù)Y(u)是隨機(jī)變量Y1的特征函數(shù),是事件的到達(dá)率. (3)若 ,則 EX(t)=tEY1,DX(t)=tEYI2,35,證明： (1)令0t0t1tm ,則 由于Yk,k=1,2,是一列獨(dú)立同分布隨機(jī)變量, 所以X(t)具有獨(dú)立增量性。 (2),36,由條件期望的性質(zhì)EX(t)=EEX(t)|N(t)及假設(shè)知： 所以， 類似的，,37,四、復(fù)合泊松過程,復(fù)合泊松過程由一列隨機(jī)變量Yn的和而構(gòu)成， 當(dāng)Yn1時(shí),X(t)=N(t)，X(t)即為通常的泊松過程。 復(fù)合泊松過程的定義要求,分析具體問題時(shí)，首先要確定一個(gè)泊松過程與一個(gè)隨機(jī)變量序列，然后要驗(yàn)證隨機(jī)變量序列以及隨機(jī)變量序列與泊松過程的獨(dú)立性。只有在這些條件都具備后，方可對該問題進(jìn)行處理或計(jì)算.,38,四、復(fù)合泊松過程,例: 設(shè)移民到某地定居的戶數(shù)是一泊松過程，已知平均每周有2戶定居。設(shè)每戶的人口數(shù)是一隨機(jī)變量，而且一戶有4人的概率為1/6，有3人的概率是1/3,有2人的概率為1/3，有1人的概率是1/6。且知各戶的人口數(shù)相互獨(dú)立。 求0,t周內(nèi)到該地定居的移民人數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。,39,四、復(fù)合泊松過程,解: 記Yi為第i戶的人口數(shù),Yi相互獨(dú)立,移民總?cè)藬?shù) X(t)= 是一復(fù)合泊松過程. 依題意,=2. EY1=41/6+31/3+21/3+11/6=5/2; EY12=421/6+321/3+221/3+121/6=43/6; 所以, EX(t)=tEY1=2t5/2=5t; DX(t)=tEY12=2t43/6=43t/3.,40,四、復(fù)合泊松過程,例: 考慮保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備支付保險(xiǎn)總金額的金錢儲備。 假設(shè)保險(xiǎn)單持有者在時(shí)刻012n 死亡；家屬索取的的保險(xiǎn)金額Yn. Yn相互獨(dú)立，都服從U1500-2000均勻分布。 假設(shè)X（t）表示0t時(shí)間段內(nèi)人的死亡數(shù)量。 X（t）為=3的齊次泊松過程。保險(xiǎn)公司準(zhǔn)備 的保險(xiǎn)金額Zt= 求復(fù)合泊松過程的EZ(t), DZ(t),41,四、復(fù)合泊松過程,解：由題意知，=3 由概率論可知，均勻分布的數(shù)學(xué)期望 所以， 因?yàn)?由,42,四、復(fù)合泊松過程,因此， 因此，,43,四、復(fù)合泊松過程,例: 設(shè)某飛機(jī)場到達(dá)的客機(jī)數(shù)服從泊松過程，平均每小時(shí)到達(dá)的客機(jī)數(shù)為5架，客機(jī)共有A、B、C三種類型，他們能承載的乘客數(shù)分別為180人，145人，80人。且這三種飛機(jī)出現(xiàn)的概率相同。求3小時(shí)內(nèi)到達(dá)機(jī)場的最多乘客數(shù)的數(shù)學(xué)期望為多少？方差為多少？,44,四、復(fù)合泊松過