（江蘇專用）2020版高考數(shù)學復(fù)習第四章三角函數(shù)、解三角形4.6正弦定理和余弦定理教案.docx

4.6正弦定理和余弦定理考情考向分析以利用正弦、余弦定理和三角形面積公式解三角形為主，常與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角恒等變換、三角形中的幾何計算交匯考查，加強數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識題型多樣，中檔難度1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容(1)2R(2)a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC變形(3)a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；(4)sinA，sinB，sinC；(5)abcsinAsinBsinC；(6)asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA(7)cosA；cosB；cosC2在ABC中，已知a，b和A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absinAbsinAab解的個數(shù)一解兩解一解一解3.三角形常用面積公式(1)Saha(ha表示邊a上的高)；(2)SabsinCacsinBbcsinA；(3)Sr(abc)(r為三角形內(nèi)切圓半徑)概念方法微思考1在ABC中，AB是否可推出sinAsinB?提示在ABC中，由AB可推出sinAsinB.2如圖，在ABC中，有如下結(jié)論：bcosCccosBa.試類比寫出另外兩個式子提示acosBbcosAc；acosCccosAb.題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個內(nèi)角之比()(2)當b2c2a20時，三角形ABC為銳角三角形()(3)在ABC中，.()(4)在三角形中，已知兩邊和一角就能求三角形的面積()題組二教材改編2P9T2在ABC中，AB，A75，B45，則AC.答案2解析C180754560，由正弦定理得，即，解得AC2.3P11T6在ABC中，A60，b1，面積為，則邊長c.答案4解析A60，b1，面積為bcsinA1c，c4.4P11T7ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosBacosCccosA，則B.答案解析由正弦定理可得，2cosBsinBsinAcosCsinCcosAsin(AC)sinB，sinB0，cosB，0B，B.題組三易錯自糾5在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cbcosA，則ABC的形狀為三角形答案鈍角解析由已知及正弦定理得sinCsinBcosA，sin(AB)sinBcosA，sinAcosBcosAsinBsinBcosA，即sinAcosB0，cosB0，B為鈍角，故ABC為鈍角三角形6在ABC中，已知a2，b，A45，則滿足條件的三角形有個答案2解析bsinA，bsinAab.滿足條件的三角形有2個7設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，則C.答案解析由3sinA5sinB及正弦定理，得3a5b.又因為bc2a，所以ab，cb，所以cosC.因為C(0，)，所以C.題型一利用正弦、余弦定理解三角形例1(2018天津)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bsinAacos.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsinAasinB.又由bsinAacos，得asinBacos，即sinBcos，所以tanB.又因為B(0，)，所以B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，得b2a2c22accosB7，故b.由bsinAacos，可得sinA.因為ac，所以cosA.因此sin2A2sinAcosA，cos2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB.思維升華 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素(2)正弦定理、余弦定理的另一個作用是實現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系跟蹤訓練1(1)在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)，則A.答案解析在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosA，bc，a22b2(1cosA)，又a22b2(1sinA)，cosAsinA，tanA1，A(0，)，A.(2)如圖所示，在ABC中，D是邊AC上的點，且ABAD,2ABBD，BC2BD，則sinC的值為答案解析設(shè)ABa，ABAD,2ABBD，BC2BD，ADa，BD，BC.在ABD中，cosADB，sinADB，sinBDC.在BDC中，sin C.題型二和三角形面積有關(guān)的問題例2在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acosB.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小(1)證明由正弦定理得sinBsinC2sinAcosB，故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，于是sinBsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)解由S，得absinC，故有sinBsinCsinAsin2BsinBcosB，由sinB0，得sinCcosB.又B，C(0，)，所以CB.當BC時，A；當CB時，A.綜上，A或A.思維升華 (1)對于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個角就使用哪一個公式(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進行邊和角的轉(zhuǎn)化跟蹤訓練2(1)在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.若c2(ab)26，C，則ABC的面積是答案解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcosa2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsinC6.(2)(2019江蘇省淮海中學測試)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosA，b5c.求sinC的值；若ABC的面積SsinBsinC，求a的值解a2b2c22bccosA26c210c218c2，a3c.cosA，0A0)則cosC0，C為鈍角ABC為鈍角三角形引申探究1本例(1)中，若將條件變?yōu)?sinAcosBsinC，判斷ABC的形狀解2sinAcosBsinCsin(AB)，2sinAcosBsinAcosBcosAsinB，sin(AB)0.又A，B為ABC的內(nèi)角AB，ABC為等腰三角形2本例(1)中，若將條件變?yōu)閍2b2c2ab，且2cosAsinBsinC，判斷ABC的形狀解a2b2c2ab，cosC，又0Cc，可得30B180，B60或B120.3在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2AsinA，bc2，則ABC的面積為答案解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，解得sin A(負值舍去)，由bc2，可得ABC的面積Sbcsin A2.4在ABC中，cos，則ABC的形狀是三角形答案等腰解析由已知得cos2，2cos21cosB，cosAcosB，又0A，0B，AB，ABC為等腰三角形5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若(a2c2b2)tanBac，則角B的值為答案或解析由余弦定理，得cosB，結(jié)合已知等式得cosBtanB，sinB，又0B，B或.6設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sinB，C，則b.答案1解析因為sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.7已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，則ABC的外接圓面積為答案9解析因為bcos Aacos B2，所以由余弦定理得ba2，解得c2(c0舍去)由cos C，得sin C，再由正弦定理可得2R6(R為ABC外接圓半徑)，所以R3，所以ABC的外接圓面積為R29.8在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若SABC2，ab6，2cosC，則c.答案2解析2cosC，由正弦定理，得sinAcosBcosAsinB2sinCcosC，sin(AB)sinC2sinCcosC，由于0C，sinC0，cosC，C，SABC2absinCab，ab8，又ab6，解得或c2a2b22abcosC416812，c2.9ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2，B，C，則ABC的面積為答案1解析b2，B，C.由正弦定理，得c2，A，sinAsinsincoscossin.則SABCbcsinA221.10若E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點，則tanECF.答案解析如圖，設(shè)AB6，則AEEFFB2.因為ABC為等腰直角三角形，所以ACBC3.在ACE中，A，AE2，AC3，由余弦定理可得CE.同理，在BCF中可得CF.在CEF中，由余弦定理得cosECF，sinECF，所以tanECF.11在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知acb，sinBsinC.(1)求cosA的值；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由及sin Bsin C，可得bc，又由acb，得a2c，所以cos A.(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.于是cos 2A2cos2A1，sin 2A2sin Acos A.所以coscos 2Acos sin 2Asin .12(2018北京)在ABC中，a7，b8，cosB.(1)求A；(2)求AC邊上的高解(1)在ABC中，因為cosB，所以sinB.由正弦定理得sinA.由題設(shè)知B，所以0A，所以A.(2)在ABC中，因為sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，所以AC邊上的高為asinC7.13已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，a3，則ABC的周長的最大值為答案9解析a2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A，A(0，)，A.a3，由正弦定理得2，b2 sin B，c2 sin C，則abc32sin B2 sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin，B，當B時周長取得最大值9.14(2018如皋聯(lián)考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，成等差數(shù)列，則cosC的最小值為答案解析，成等差數(shù)列，即，可得，cosC，則，化簡得2(a2b2)3c2，cosC(當且僅當a2b2時等號成立)15若AB2，ACBC，則SABC的最大值為答案2解析設(shè)BCx，則ACx.根據(jù)三角形的面積公式，得SABCABBCsinBx.根據(jù)余弦定理，得cosB.將代入，得SABCx.由三角形的三邊關(guān)系，得解得22x22，故當x2時，SABC取得最大值2.16在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2