《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》(復(fù)旦大學出版社)第二章習題答案.pdf

鍵入文字 1 習題二習題二 1.一袋中有 5 只乒乓球，編號為 1，2，3，4，5，在其中同時取 3 只，以 X 表示取出的 3 只 球中的最大號碼，寫出隨機變量 X 的分布律. 【解】【解】 3 5 3 5 2 4 3 5 3,4,5 1 (3)0.1 C 3 (4)0.3 C C (5)0.6 C X P X P X P X 故所求分布律為 X345 P0.10.30.6 2.設(shè)在 15 只同類型零件中有 2 只為次品，在其中取 3 次，每次任取 1 只，作不放回抽樣， 以 X 表示取出的次品個數(shù)，求： （1） X 的分布律； （2） X 的分布函數(shù)并作圖； (3) 133 , 1, 1, 12 222 P XPXPXPX. 【解】【解】 3 13 3 15 12 213 3 15 1 13 3 15 0,1,2. C22 (0). C35 C C12 (1). C35 C1 (2). C35 X P X P X P X 故 X 的分布律為 X012 P22 35 12 35 1 35 （2） 當 x0 時 0 0 ( )( )de ded 22 xx xx F xf xxxx 1 1e 2 x 鍵入文字 12 故其分布函數(shù) 1 1e,0 2 ( ) 1 e ,0 2 x x x F x x (2) 由 12 2 01 11 1( )ddd 22 b f xxbx xx x 得b=1 即 X 的密度函數(shù)為 2 ,01 1 ( ),12 0, xx f xx x 其他 當 x0 時 F（x）=0 當 01 時 2 ( )()(21) Y FyP YyPXy 2 111 222 yyy P XPX (1)/2 (1)/2 ( )d y X y fxx 故 d1211 ( )( ) d4122 YYXX yy fyFyff yy (1)/4 121 e,1 212 y y y (3)(0)1P Y 當 y0 時( )()0 Y FyP Yy 當 y0 時( )(|)() Y FyPXyPyXy 鍵入文字 15 ( )d y X y fxx 故 d ( )( )( )() d YYXX fyFyfyfy y 2/22 e,0 2 y y 31.設(shè)隨機變量 XU（0,1） ，試求： （1） Y=eX的分布函數(shù)及密度函數(shù)； （2） Z=2lnX 的分布函數(shù)及密度函數(shù). 【解【解】 （1）(01)1PX 故(1ee)1 X PY 當1y 時( )()0 Y FyP Yy 當 11 ( ) 0,1 Y y yFy y 故 2 1 ,1 ( ) 0,1 Y y yfy y 鍵入文字 24 51.設(shè)隨機變量 X 的密度函數(shù)為 fX(x)= )1 ( 1 2 x , 求 Y=1 3 x的密度函數(shù) fY(y). 【解】【解】 33 ( )()(1)(1) ) Y FyP YyPXyP Xy 3 32 (1) (1) 3 11 darctg (1) 1 arctg(1) 2 y y xx x y 故 2 6 3(1) ( ) 1 (1) Y y fy y 52.假設(shè)一大型設(shè)備在任何長為 t 的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù) N（t）服從參數(shù)為t 的泊松分布. （1） 求相繼兩次故障之間時間間隔 T 的概率分布； （2） 求在設(shè)備已經(jīng)無故障工作 8 小時的情形下， 再無故障運行 8 小時的概率 Q. （1993 研考） 【解【解】 （1） 當 tt與N(t)=0等價，有 ( )()1()1( )0)1 e t T F tP TtP TtP N t 即 1 e,0 ( ) 0,0 t T t F t t 即間隔時間 T 服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 （2） 16 8 8 e (16|8)(16)/(8)e e QP TTP TP T 53.設(shè)隨機變量 X 的絕對值不大于 1，PX=1=1/8，PX=1=1/4.在事件1X1出現(xiàn)的條 件下，X 在1，1內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長度成正比，試求 X 的 分布函數(shù) F（x）=PXx.(1997 研考) 【解】【解】顯然當 x1 時 F（x）=0；而 x1 時 F（x）=1 由題知 115 ( 11)1 848 PX 當1x1 時， 1 (| 11) 2 x P XxX 此時( )()F xP Xx 鍵入文字 25 (, 11)(,1)(,1) (, 11)(,1) (| 11) ( 11)(1) 1 5151 (1) 288168 P XXP Xx XP Xx X P XxXP Xx x P XxXPXP X x x 當 x=1 時， 1 ( )()(1) 8 F xP XxP X 故 X 的分布函數(shù) 0,1 51 ( )(1),-1x1 168 1,1 x F xx x 54. 設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài)分 N（1,12),Y 服從正態(tài)分布 N(2,22)，且 P|X-1|P|Y- 2|1，試比較1與2的大小.(2006 研考) 解：解：依題意 1 1 (0,1) X N ， 2