材料力學(xué)能量法.ppt

材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,1,一、外力功與應(yīng)變能,1、外力功W,載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功。,(1) 常力作功,彈性固體的應(yīng)變能,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,2,對于一般彈性體,FD圖下方面積,(2) 靜載作功,靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性 體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,3,對于線彈性體,2、應(yīng)變能Ve,彈性體因變形而儲存的能量，稱為應(yīng)變能。,由能量守恒定律，儲存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Ve 在數(shù)值上等于外力所作的功W。（忽略能量損失）,即 Ve =W,F為廣義力，D為與力對應(yīng)的廣義位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,4,二、線彈性體的應(yīng)變能,1、軸向拉壓,FN為變量時(shí),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,5,2、扭 轉(zhuǎn),T為變量時(shí),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,6,3、平面彎曲,橫力彎曲時(shí)忽略剪力對應(yīng)變能的影響，如矩形截面，當(dāng) l /b=10時(shí)，剪力的應(yīng)變能只占彎矩應(yīng)變能的3。,純彎曲,橫力彎曲M(x)為變量,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,7,應(yīng)變能Ve是內(nèi)力（FN、T、M）的二次 函數(shù)，應(yīng)變能一般不符合疊加原理。但若幾 種載荷只在本身的變形上作功，而在其它載 荷引起的變形上不作功，則應(yīng)變能可以疊加。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,8,一、能量法 利用能量原理解決力學(xué)問題的方法。 可用來求解變形、靜不定、動(dòng)載荷、穩(wěn)定等問題。,第十章 能量法,10.1 概 述,二、外力功與應(yīng)變能,1、外力功W,載荷在其作用點(diǎn)位移上所作的功，屬于變力作功。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,9,彈性體因載荷引起的變形而儲存的能量。,2、應(yīng)變能,三、功能原理,條 件：（1）彈性體（線彈性、非線彈性） （2）靜載荷 可忽略彈性體變形過程中的 能量損失。 原 理：外力功全部轉(zhuǎn)化成彈性體的應(yīng)變能。 Ve = W,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,10,解：建立坐標(biāo)系,求外力功W 和應(yīng)變能Ve,列彎矩方程 M =Fx （ 0 x l ）,僅僅只能求力作用點(diǎn)與力相對應(yīng)的位移， 其它位移的求解有待進(jìn)一步研究功能原理。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,11,解：A點(diǎn)的位移等于桿的變形Dl3。,由功能原理有 （1）,由平衡方程和對稱條件有 （2）,（3）,（2）、（3）代入（1）得,變形幾何方程,（1）考慮物理方程得,（2）、（3）代入上式并化簡得得,幾何方程和物理方程的聯(lián)立,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,12,Fi 為集中力，Di為該力作用點(diǎn)沿力方向的線位移； Fi為力偶，則Di為該力偶作用面內(nèi)沿力偶轉(zhuǎn)向的角 位移（轉(zhuǎn)角）。,Di 簡稱為與力Fi (相)對應(yīng)的位移。,10.2 互等定理,Fi 廣義力（集中力，力偶） Di 廣義位移（線位移，角位移）,一、外力功的計(jì)算,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,13,對于一般彈性體,FD 圖下方面積,靜載是指從零開始逐漸地、緩慢地加載到彈性 體上的載荷，靜載作功屬于變力作功。,外力功屬于靜載作功。,對于線彈性體,F為廣義力，D為廣義位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,14,二、外力功與變形能的特點(diǎn),如果外力功和變形能與加載順序有關(guān)，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果？ 按一種順序加載，按另一種順序卸載，能量還能守恒么？反證法！,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,15,先加F1后加F2,先加F2后加F1,不同加載次序外力功均相同，若按比例同時(shí)加載， 外力同時(shí)達(dá)到最終值，即比例加載，外力功不變。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,16,注意：各載荷和位移都是指最終值，所以是常數(shù)。,三、克拉貝依?。–lapeyron)原理,線彈性體上，作用有載荷F1,F2 , Fi, Fn 與外力方向相應(yīng)的位移為D1, D2, Di, Dn 由線彈性體的疊加原理，各位移是載荷的線性函數(shù),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,17,設(shè)各外載荷有一增量，于是位移亦有一增量。載荷 在位移增量上所作的元功為：,dW=F1*dD1*+Fi*dDi*+Fn*dDn* =lF1d(lD1)+lFid(lDi)+lFnd(lDn) =(F1D1+FiDi+FnDn)ldl,外力作的總功為：,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,18,設(shè)各外載荷按相同的比例，從零開始緩慢增加到最 終值。即任一時(shí)刻各載荷的大小為：,注意：帶星號上標(biāo)的載荷和位移都是中間值，所以是變數(shù)，隨著l的變化而變化。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,19,線彈性體的外力功或變形能等于每一外力與其對應(yīng)位移乘積之半的總和。,圖示撓曲線為所有力共同作用下的撓曲線，各點(diǎn) 位移都不是單個(gè)力引起的，是所有力共同作用下 的位移。D1既有F1的作用，也有F2 ， Fi 的作用。所以Clapeyron原理不符合疊加原理。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,20,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,21,組合變形,整個(gè)桿件的應(yīng)變能為,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,22,Dii和 Dij第一個(gè)下標(biāo)i表示i點(diǎn)的位移，第二個(gè)下標(biāo)i和j分別表示 是由i點(diǎn)和j點(diǎn)的力引起的位移， Dji和 Djj亦可以類推得到。,四、功的互等定理(線彈性體),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,23,先加Fi,后加Fj,外力功為,外力功W 與加載順序無關(guān)，改變加載 順序可得到相同的外力功。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,24,先加Fj,外力功為,后加Fi,先加Fi 后加Fj外力功為,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,25,Clapeyron原理,外力功和變形能不符合疊加原理,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,26,線彈性體上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于 乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，第一組 力在第二組力引起的相應(yīng)位移上所作的功，等于第 二組力在第一組力引起的相應(yīng)位移上所作的功。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,27,抗彎剛度為EI的簡支梁承受均布載荷q，已知其跨中撓度 ，如圖所示。試用功的互等定理求該梁承受跨中 載荷F時(shí)，梁撓曲線與原始軸線所圍成的面積。,解：設(shè)第一組力為F，梁上各點(diǎn)的撓度為w(x)。,撓曲線與原始軸線圍成的面積,第二組力q作用時(shí)，它在梁跨中引起的撓度為wC 。,由功的互等定理,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,28,解：解除C處約束的工件可簡化為懸臂梁，F(xiàn)、FC作為第一組力。懸臂梁在C處加單位力1作為第二組力。,第一組力在第二組力引起的位移上所作的功等于第二組 力在第一組力引起的位移上所作的功為零（C為鉸支）。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,29,解：第一種情況下，A處的約束力為FA1， 第二種情況下，A處的約束力為FA。,由功的互等定理有,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,30,若 Fi = Fj =F,則 Di j = Dj i,線彈性體上作用在 j 處的一個(gè)力引起 i 處的位移，等于它作用在 i 處引起 j 處的位移。,五、位移互等定理,功的互 等定理,解：沿桿件軸線加相同的一對力,下圖中,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,31,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,32,位移互等定理 單位力,若 Fi = Fj =1(無量綱) 稱為單位力,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,33,位移互等定理,注意：(功、位移)互等定理只適用于線彈性小變形體。,作用在j 處的單位力引起 i 處的位移， 等于作用在 i 處的單位力引起 j 處的位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,34,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,35,關(guān)于互等定理,? = ?,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,36,關(guān)于互等定理,? = ?,功的互等,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,37,討論,百分表,懸臂梁受力如圖示。現(xiàn)用百分表測量 梁在各處的撓度，請?jiān)O(shè)計(jì)一實(shí)驗(yàn)方案。,移動(dòng)百分表？ 固定百分表？,關(guān)于互等定理,百分表固定在B 處，移動(dòng)載荷。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,38,WC,顯然 余功 WC = WC ( F ) 余能 VC = VC ( F ),FD圖上方面積,一、余功及余能,10.3 余能定理與卡氏定理,定義與外力功及應(yīng)變 能互補(bǔ)的余功及余能,余功和余能均為 廣義載荷的函數(shù)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,39,二、余能定理,設(shè)任意彈性體（可以是非線性彈性體，）上作用廣義載荷 F1，F(xiàn)2， Fi , 對應(yīng)點(diǎn)的位移為 D1，D2， Di ， 無剛性位移。,余能 VC = VC ( F1，F(xiàn)2 Fi ) 是載荷的函數(shù)。 如果只有廣義載荷 Fi 有一個(gè)增量dFi , 余功增量為 dWC = D i dFi,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,40,余能增量為,dWC = dVC,余能（Crotti-Engesser）定理 彈性體（線性和非線性）某載荷作用點(diǎn)處的位移，等于彈性體的余能對該載荷的一階偏導(dǎo)數(shù)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,41,i為正，表示位移方向（轉(zhuǎn)向）和力Fi 的方向 （轉(zhuǎn)向）一致，反之，則相反。,對線彈性體 Ve = VC,三、卡氏第二定理,意大利工程師 阿爾伯托卡斯提格里安諾 (Alberto Castigliano， 18471884),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,42,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,43,若只求某點(diǎn)處位移，該點(diǎn)處載荷在求約束力 前必須與其它各處載荷用不同的符號區(qū)別！,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,44,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,45,對線彈性桿系結(jié)構(gòu),（對線彈性結(jié)構(gòu)）卡氏定理的應(yīng)用 計(jì)算載荷作用點(diǎn)的位移； 計(jì)算無載荷作用點(diǎn)的位移，此時(shí)需在所求點(diǎn)沿 所求方向加一虛力，求導(dǎo)后再令虛力為零； 計(jì)算兩點(diǎn)相對位移，可在此兩點(diǎn)分別加一等值 反向共線力，求導(dǎo)后再令其為零； 同樣可以計(jì)算角位移及相對角位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,46,軸線為水平面內(nèi)四分之一圓周的曲桿如圖所示，在自由端B作用豎直載荷F。設(shè)EI和GIp已知，試用卡氏定理求截面B在豎直方向的位移。,解：在極坐標(biāo)系中截面mn上的彎矩和扭矩分別為：,由卡氏定理,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,47,解：(1)求A點(diǎn)撓度,梁的彎矩方程為 M =Fx （0xl）,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,48,在B處施加與所求撓度方 向相同的力F1 ,彎矩方程為,M1=Fx （0xl /2）,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,49,說明 結(jié)果為正，表明B點(diǎn)位移方向與虛力F1一致, 即向下。 虛力F1應(yīng)在彎矩求完偏導(dǎo)以后再令其為零。 虛力的符號應(yīng)與其它力的符號有所區(qū)別，否 則會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,50,解：系統(tǒng)變形能,C截面的撓度,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,51,解：求A處撓度時(shí) 令A(yù)處集中力 qa=F ，其它不變,M(x)=Fxqx2 / 2qa2,彎矩對F 求完偏導(dǎo) 后，再用qa 代回F,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,52,求A處轉(zhuǎn)角時(shí)令 A處集中力偶 qa2=M1,M(x)=qaxqx2 / 2M1,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,53,用幾何法求解需作變形圖，借助幾何關(guān)系求位移。本題求鉛直位移，直接用卡氏定理求解較簡，若求水平位移用卡氏定理較麻煩，可用莫爾定理求解較方便。,解：由平衡方程求得兩桿的軸力分別為,對F求偏導(dǎo),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,54,解：在截面B處附加力偶矩M并求支座約束力,列外伸梁各段的彎矩方程及其對M的偏導(dǎo)數(shù),AB段,CB段,求截面B的轉(zhuǎn)角 根據(jù)卡氏定理，截面B的轉(zhuǎn)角為,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,55,AB段,CB段,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,56,解：求支座約束力，令D點(diǎn)的 載荷為F1，這時(shí)支座約束力為,F1=,列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導(dǎo)數(shù),AC段,CB段,DB段,計(jì)算D點(diǎn)撓度,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,57,解：在中間鉸B兩側(cè) 虛設(shè)一對外力偶MB。,各約束力如圖,AB段彎矩方程,CB段彎矩方程,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,58,由卡氏第二定理得,結(jié)果符號為正，說明相對轉(zhuǎn)角DB的轉(zhuǎn)向與圖中虛加外力偶MB的轉(zhuǎn)向一致。,若計(jì)算懸臂梁的轉(zhuǎn)角和撓度會(huì)更簡單。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,59,解：張開位移,求相對轉(zhuǎn)角q，虛加一對力偶M1。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,60,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,61,若僅求D1或D2 又如何計(jì)算？,？,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,62,解：求支座約束力 由圖可知， A、D點(diǎn)載荷同為F，為便于區(qū)分 起見，令A(yù)點(diǎn)載荷為F1，D點(diǎn)載荷 為F2，這時(shí)支座約束力為,列出剛架各段的彎矩方程及其對F1的偏導(dǎo)數(shù)。由于是求A點(diǎn)的水平位移，則應(yīng)該對該位移方向的力F1求偏導(dǎo)數(shù)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,63,ED段,DC段,CB段,AB段,GA段,計(jì)算A點(diǎn)水平位移 注意求完導(dǎo)后，可令 F1=F2=F。根據(jù)卡氏定理A點(diǎn)水平位移為,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,64,如何消除消除不便之處？,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,65,以彎矩為例，探討彎矩對某廣義力求偏導(dǎo)的含義。,式中M(x)是所有載荷共同作用下的彎矩方程。,線彈性小變形情況下，內(nèi)力符合疊加原理。,M(x) = M(F1 ， F2 ， Fi ， Fn ) =M1(x) + + Mi(x) + Mn(x) 其中Mi(x) 是Fi 單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩,對線彈性桿系結(jié)構(gòu),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,66,其中 是Fi =1，即i處單獨(dú) 作用一個(gè)單位力時(shí)引起的彎矩。,因?yàn)镸i(x) 是Fi 單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)時(shí)引起的彎矩,于是,簡記為,所以,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,67,是所求位移處單獨(dú)作用一個(gè)與 位移對應(yīng)的單位力時(shí)引起的彎矩,莫爾 積分,若K 處無載荷作用， 附加一個(gè)載荷FK ， 附加載荷后的彎矩,即無論所求位移處是否有載荷，只要在原結(jié)構(gòu)單獨(dú)加一個(gè)與所求位移對應(yīng)的單位力，單位力作用下求得的內(nèi)力方程便是原所有載荷作用下的內(nèi)力方程對廣義力的偏導(dǎo)數(shù)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,68,一、虛位移D,約束允許的（滿足約束條件）； 滿足連續(xù)條件的 ； 在平衡位置上增加的（不是唯一的）； 任意微小位移。,10.4 虛功原理,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,69,（1） 可以是與真實(shí)位移有關(guān)的位移，也可以與真實(shí)位移無關(guān)；,虛位移,（2）可以是真實(shí)位移的增量；,（3）可以是另外一個(gè)與之相關(guān)系統(tǒng)的真實(shí)位移；,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,70,w1(x)可作為集中力作用下的虛位移， w2(x)也可作為分布載荷作用下的虛位移。,總之，虛位移是指有可能發(fā)生的無限小位移, 它與載荷無必然關(guān)系。因此，它不是唯一的。,虛位移過程中，物體原有外力和內(nèi)力保持不變。,“虛位移” 一詞，用以區(qū)別物體自身原有外力引 起的真實(shí)位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,71,式中Di是與Fi對應(yīng)的虛位移。,二、虛功W,力在虛位移上所作的功。 一般計(jì)算虛功是在一個(gè)平衡力系上給一個(gè) 虛位移，這時(shí)各力作功是常力作功，因此,三、虛變形能Ve*,彈性體在虛位移過程中增加的變形能。 其數(shù)值等于內(nèi)力虛功,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,72,四、變形體虛功原理,處于平衡狀態(tài)的變形體在虛位移中， 外力所作的虛功等于彈性體的虛變形能。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,73,變形體虛功原理,（1）虛功原理與材料性能無關(guān) 適用線彈性、非線彈性材料； （2）不要求結(jié)構(gòu)位移與力呈線性關(guān)系 也適用位移與力呈非線性的結(jié)構(gòu)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,74,以梁為例證明功的互等定理,第二組力引起的變形 作為第一組力的虛位移,第一組力引起的變形 作為第二組力的虛位移,由虛功原理,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,75,得到功的互等定理。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,76,10.5 單位載荷法與莫爾積分,一、單位載荷法,1、用途：計(jì)算任意點(diǎn)處位移（廣義） 2、方法：利用虛功原理 第一步 構(gòu)造一虛力狀態(tài)： （1）去掉結(jié)構(gòu)全部載荷； （2）在結(jié)構(gòu)所求位移處施加一個(gè)對應(yīng)的 單位力（無量綱）； （3）計(jì)算結(jié)構(gòu)只在此單位力作用下各截 面的內(nèi)力 。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,77,第二步 取結(jié)構(gòu)原載荷作用下的實(shí)際位移狀態(tài) 作為虛力狀態(tài)的虛位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,78,虛功 原理,單位力引起的虛內(nèi)力；,d(Dl)，dq，dj 真實(shí)載荷引起的微段變形； 適用：線性、非線性結(jié)構(gòu)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,79,對線彈性結(jié)構(gòu)，取微段dx計(jì)算,圖中 FN，M，T為 真實(shí)載荷引起的內(nèi)力,二、莫爾積分（Mohr 1874）,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,80,將真實(shí)載荷引起的變形代入上式，得,Mohr定理，式中積分稱為Mohr積分。,計(jì)算Mohr積分步驟： 1、計(jì)算原結(jié)構(gòu)在真實(shí)載荷作用下的內(nèi)力 方程 FN，M，T； 2、計(jì)算原結(jié)構(gòu)只在沿所求位移方向加單 位力(廣義)作用下的內(nèi)力方程,虛功 原理,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,81,必須保證：“分段一致，坐標(biāo)一致， 內(nèi)力正負(fù)規(guī)定一致”。,計(jì)算Mohr積分步驟： 3、計(jì)算Mohr 積分(遍及全部桿件，剛架略FN，F(xiàn)S)； 4、結(jié)果為正，位移方向與單位力相同，負(fù)則相反。,計(jì)算A ，B 兩點(diǎn)之間的相對位移，在A，B 兩點(diǎn)分別加 一對共線反向單位力,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,82,3、加單位力并求單位力引起 內(nèi)力方程,（0j2p）,4、求AB,（沿載荷方向分開）,2、求載荷引起的內(nèi)力方程,解：1、建立坐標(biāo)系,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,83,解：畫單位載荷圖,求內(nèi)力,求變形,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱外力對稱軸處對稱位移不等于零。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,84,求轉(zhuǎn)角，重建坐標(biāo)系（如圖）,對稱結(jié)構(gòu)承受對稱外力對稱軸處反對稱位移等于零。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,85,解：畫單位載荷圖,求內(nèi)力,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,86,求變形,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,87,解：1、計(jì)算A點(diǎn)的豎直位移,在A點(diǎn)加一豎直方向的單位力， 列出各段的彎矩方程,AB段,BC段,用莫爾定理求wA,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,88,AB段,BC段,用莫爾定理求qB,在B截面加一單位力偶，列出各段的彎矩方程,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,89,求桿件在外力作用下內(nèi)力和單位載荷作用下的內(nèi)力,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,90,單位載荷法求桿BC的轉(zhuǎn)角,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,91,解：計(jì)算任意q 處橫截面內(nèi)的內(nèi)力,彎矩 Mz=Mesinq ，扭矩 T=Mecosq,在A處加向下的單位力計(jì)算同一截面的內(nèi)力,求A的鉛直位移,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,92,注意到,代入上式并化簡得,所得結(jié)果為負(fù)，表明A處位移實(shí)際向上。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,93,解：在力F的垂直方向加單位力1,建立坐標(biāo)，求原載荷和單位載荷引起的彎矩。,將彎矩代入莫爾積分得：,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,94,用靜力學(xué)平衡方程不能求解出全部未知力（支 座約束力和內(nèi)力）的結(jié)構(gòu)，統(tǒng)稱為靜不定結(jié)構(gòu)，也 稱為超靜定結(jié)構(gòu)。,在靜不定結(jié)構(gòu)中，超過維持靜力平衡所必須的 約束稱為多余約束，多余約束相對應(yīng)的力稱為多余 約束力，多余約束的數(shù)目稱為結(jié)構(gòu)的靜不定次數(shù)。,靜不定結(jié)構(gòu),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,95,靜不定問題分類,分析方法,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,96,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,97,靜不定結(jié)構(gòu),靜定結(jié)構(gòu) (幾何不變),相當(dāng)系統(tǒng),完全等價(jià),求靜不定問題只需對其靜定的相當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算！,解除不同的約 束可得到不同 的靜定基,無任何載荷作 用的靜定結(jié)構(gòu),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,98,解除多余約束的方式：（平面問題）,去掉一個(gè)可動(dòng)鉸或切斷一根鏈桿（二力桿），相 當(dāng)于解除一個(gè)約束； 剛性聯(lián)接改為鉸聯(lián)接，相當(dāng)于解除一個(gè)約束； 去掉一個(gè)單鉸（圓柱鉸或固定鉸），相當(dāng)于解除 兩個(gè)約束； 將剛性聯(lián)接處切斷（或去掉一個(gè)固定端），相當(dāng) 于解除三個(gè)約束。,解除約束后的靜定基必須是幾何不變的靜定結(jié)構(gòu)。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,99,一、卡氏定理求解靜不定結(jié)構(gòu),相當(dāng)系統(tǒng),靜不定結(jié)構(gòu),承受載荷F1，F(xiàn)2Fm 的作用,承受原載荷F1，F(xiàn)2Fm和 多余約束力FR1，F(xiàn)R2FRn 的作用,應(yīng)變能是原載荷與多余約束力的函數(shù)。,Ve= Ve （ F1，F(xiàn)m, FR1，F(xiàn)Rn ）,n為靜不 定次數(shù),10.6 靜不定結(jié)構(gòu)的求解,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,100,相當(dāng)系統(tǒng)和原靜不定結(jié)構(gòu)的變形比較，建立變形協(xié)調(diào)方程,變形比較法,可求解全部未知力，進(jìn)而可求內(nèi)力。,欲求靜不定結(jié)構(gòu)某點(diǎn)的位移，可在相當(dāng)系統(tǒng)上求解。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,101,解：1、求多余未知力,求內(nèi)力,將內(nèi)力對FC求偏導(dǎo),x0.5l,x 0.5l,取相當(dāng)系統(tǒng)如圖,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,102,變形協(xié)調(diào)方程,2、求B點(diǎn)處的撓度wB,求內(nèi)力方程,將內(nèi)力對F 求偏導(dǎo)數(shù),求偏導(dǎo) 之后,卡氏定理求靜 定結(jié)構(gòu)位移處 的載荷與其它 載荷要區(qū)別開,B處加單位力引起的彎矩,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,104,求變形,求原靜不定結(jié)構(gòu)的變形是在其相當(dāng)系統(tǒng)上進(jìn)行的。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,105,解：1、選取相當(dāng)系統(tǒng)，并求 出其它約束力,由平衡方程SMC = 0，得,2、列出梁的內(nèi)力方程,AC段,BC段,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,106,3、計(jì)算系統(tǒng)應(yīng)變能求與多余 約束力對應(yīng)的位移,根據(jù)卡氏定理，梁B處的撓度為,4、建立補(bǔ)充方程，求解多余約束力,因此,求出B處支座約束力后，其它支座約束力即可由靜力平衡方程求出，梁的內(nèi)力由截面法確定。若解除C處約束得到相當(dāng)系統(tǒng)也比較簡單方便！,由于B處有支座，梁的撓度應(yīng)為零,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,107,二、單位載荷法求解靜不定結(jié)構(gòu),相當(dāng)系統(tǒng),靜不定結(jié)構(gòu),承受載荷F1，F(xiàn)2Fm 的作用,彎矩是原載荷與多余約束力的函數(shù)。,M= M（ F1，F(xiàn)m, FR1，F(xiàn)Rn ）,n為靜不 定次數(shù),規(guī)定,承受原載荷F1，F(xiàn)2Fm和 多余約束力FR1，F(xiàn)R2FRn 的作用,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,108,實(shí)際是靜定基在解除約 束處分別單獨(dú)作用一個(gè) 廣義單位力時(shí)的彎矩。,由于在解除約束處有力作用，單位載荷 法實(shí)質(zhì)上與卡氏定理相同，但單位載荷法求 某點(diǎn)位移時(shí)不需各載荷用不同符號區(qū)分開來。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,109,解：選取相當(dāng)系統(tǒng)，并求相當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)力和靜定基加單位力時(shí)的內(nèi)力。,求得,最大彎矩在A截面處,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,110,解：1、選取相當(dāng)系統(tǒng)，并求相當(dāng)系統(tǒng)的內(nèi)力和靜定基加單位力時(shí)的內(nèi)力。,CB段：,BA段：,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,111,2、計(jì)算多余約束處相應(yīng)的變形位移,由莫爾定理，得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,112,3、 建立補(bǔ)充方程，確定多余約束力,由位移條件，可知C截面的豎直 位移和水平位移都為零，因此，有,求解上列方程組，得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,113,三、用力法求解靜不定結(jié)構(gòu),解：判定多余約束力的數(shù)目 （一個(gè)） 選取并去除多余約束，代 之多余約束力，列出變形 協(xié)調(diào)方程，見圖。,變形協(xié)調(diào)方程,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,114,用莫爾定理計(jì)算D1F 和D1X1,由莫爾定理可得(圖a、b、c),求多余約束力,將上述結(jié)果代入變形協(xié)調(diào)方程得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,115,求其它約束力,由平衡方程可求得A端約束力，其大小和方向見圖。,作彎矩圖，見圖,求梁中點(diǎn)的撓度,選取基本靜定系作為計(jì)算對象，單位載荷如圖。,用莫爾定理可得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,116,注意：對于同一靜不定結(jié)構(gòu)，若選取不同的多余約束，則基本靜定系也不同。本題中若選固定端處的轉(zhuǎn)動(dòng)約束為多余約束，基本靜定系是如圖所示的簡支梁。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,117,力法正則方程,上例中以未知力為未知量的變形協(xié)調(diào)方程可改寫成下式,變形協(xié)調(diào)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，即所謂的力法正則方程。,X1多余未知力； d11靜定基上， X1=1時(shí)引起的1點(diǎn)沿 X1 方向的位移； D1F 靜定基上， 由原載荷引起的與X1對 應(yīng)的位移。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,118,二次靜不定,D1 與 X1 對應(yīng)的位移（1點(diǎn)水平線位移）， 由X1 ，X2 和F 共同作用引起。,D2 與 X2 對應(yīng)的位移（2點(diǎn)豎直線位移）， 由X1 ，X2 和F 共同作用引起。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,119,對線彈性、小變形材料,上述位移均可用能量法計(jì)算（如單位載荷法）,D11，D12，D1F 分別為X1，X2 和F單獨(dú)作用于靜 定基上引起的1點(diǎn)水平線位移；,D21，D22，D2F 分別為X1，X2 和F單獨(dú)作用于靜 定基上引起的2點(diǎn)豎直線位移；,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,120,將多余未知力分離出來，記 Di j = di j Xj di j Xj =1引起靜定基的i點(diǎn)沿Xi方向 的位移,可用莫爾定理計(jì)算。,力法正則方程,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,121,對于靜不定次數(shù)為 n的結(jié)構(gòu)，正則方程如下：,由位移互等定理知：,d i j 影響系數(shù)，表示在靜定基上Xj=1時(shí)引起的在Xi作用 點(diǎn)沿Xi方向的位移； DiF 自由項(xiàng)，表示在靜定基上， 由原全部載荷（不包括 多余未知力）引起的在Xi 作用點(diǎn)沿Xi 方向的位移。,疊加法求位移,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,122,解：考慮懸臂梁AB，力法正則方程如下,負(fù)號表示此位移與 梁上的X1方向相反,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,123,解：考慮折桿ABC及壓桿CD，解除C處 約束代之以約束力，力法正則方程如下,解得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,124,解：建立相當(dāng)系統(tǒng),以桿CD為多余約束，假設(shè)將桿切 斷(沒有去掉桿)，該桿的軸力X1為 多余約束力，相當(dāng)系統(tǒng)如圖所示。,列力法正則方程,變形幾何條件為桿CD切口兩側(cè)截 面的相對位移為零。,正則方程為,計(jì)算系數(shù),材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,125,求桿內(nèi)力,結(jié)果為負(fù)，表明桿 CD的軸力為壓力。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,126,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,127,解：解除C處約束，代之約束力，得相當(dāng)系統(tǒng)。,正則方程為,代入正則方程解得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,128,解：解除C處約束，代之約束力，得相當(dāng)系統(tǒng)。,正則方程為,代入正則方程解得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,129,解：剛架有兩個(gè)多余約束,選取并去除多余約束，代之多 余約束力，得相當(dāng)系統(tǒng),建立力法正則方程,用莫爾定理求得,計(jì)算系數(shù)di j和自由項(xiàng)DiF,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,130,求多余約束力,將上述結(jié)果代入力法正則方程可得,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,131,求其它支座約束力,由平衡方程求得其它支座 約束力，全部表示于圖中。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,132,四、對稱與反對稱性質(zhì)的利用,結(jié)構(gòu)幾何尺寸、形狀， 構(gòu)件材料及約束條件 均對稱于某一軸,載荷對稱于對稱軸,結(jié)構(gòu)沿對稱軸對折，載荷的分布，大小和方向完全相同。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,133,載荷反對稱于對稱軸,結(jié)構(gòu)沿對稱軸對折，載荷的分布和大小相同，方向相反。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,134,桿件的內(nèi)力可分為 對稱內(nèi)力和反對稱內(nèi)力,彎矩M和軸力FN是對稱內(nèi)力，剪力FS是反對稱內(nèi)力。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,135,對稱結(jié)構(gòu)在對稱載荷作用下， 對稱軸處的反對稱內(nèi)力為零， 結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是對稱的，結(jié)構(gòu) 的變形也是對稱的。,對稱結(jié)構(gòu)在反對稱載荷作用下， 對稱軸處的對稱內(nèi)力為零，結(jié) 構(gòu)的內(nèi)力是亦是反對稱的，結(jié) 構(gòu)的變形也是反對稱的 。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,136,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,137,如作用在對稱結(jié)構(gòu)上的載荷不是對稱的或反對稱的，則可把它分解為對稱的和反對稱的兩種載荷的疊加。分別求出對稱和反對稱兩種情況的解后，疊加起來即為原載荷作用時(shí)的解。,材料力學(xué),中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,138,解：框架承受反對稱載荷，并且 有兩個(gè)對稱軸，對稱軸處的對稱