拓廣平面上的齊次坐標(biāo).ppt

The class is begin !, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),上次課：,一、n 維實向量類,二、齊次點坐標(biāo),RPn-1,(RPn-1)*,一維齊次點坐標(biāo),二維齊次點坐標(biāo),歸納,齊次點坐標(biāo) = 雙射：拓廣平面上的點坐標(biāo)映射,拓廣直線的線束模型,拓廣平面的線叢模型,三、直線的齊次坐標(biāo)方程,定理 1.2,在齊次坐標(biāo)下，直線的方程為,(1.1),反之，(1.1)表示直線. 稱(1.1)為直線的齊次方程.,注2,定理1.2：通常直線的齊次、非齊次方程互化., 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),推論 1.1,過原點的直線的齊次方程為u1x1+u2x2=0. 特別地, x軸: x2=0, y軸: x1=0, l: x3=0.,注1,定理1.2的證明中, 從(2)到(3)的“即”, 由x30到可以x3=0, 已經(jīng)將通常直線拓廣.,改變一下你的幾何學(xué)觀點,點,直線,曲線,坐標(biāo),方程,點的軌跡,點幾何學(xué),線幾何學(xué),方程,坐標(biāo),直線族的包絡(luò),四、齊次線坐標(biāo), 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),線幾何學(xué)：以直線為基本幾何元素去表達(dá)其他幾何對象,四、齊次線坐標(biāo),1. 定義,將直線l：,中的系數(shù)稱為l的齊次線坐標(biāo)，記作,注2,齊次線坐標(biāo)與齊次點坐標(biāo)有完全相同的代數(shù)結(jié)構(gòu)和性質(zhì).,注3,y軸：,x軸：,過原點的直線：,思考：注3中這些直線的齊次坐標(biāo)分別與哪些點的齊次坐標(biāo)相同(忽略括號差別)？,注4,由定義,方程,系數(shù),坐標(biāo),實現(xiàn)互化, 故由誘導(dǎo).,注1,齊次線坐標(biāo)是一個雙射, 稱為拓廣平面上的線坐標(biāo)映射, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),定理1.3 在齊次線坐標(biāo)下，點x在直線u上,2. 點的齊次方程, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),定義1.7 在齊次線坐標(biāo)下，若方程 f(u1,u2,u3)=0 能且僅能被過點P的直線的齊次坐標(biāo)所滿足，則稱 f=0 為點 P 的齊次方程.,定理1.4 在齊次線坐標(biāo)下，一點 a=(a1,a2,a3) 的齊次方程為,反之，關(guān)于流動線坐標(biāo)的一次齊次方程表示點.,2. 點的齊次方程, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),四、齊次線坐標(biāo),注,對(1.4)的新理解.,(1.4),變 (流動),不變(常數(shù)),直線u的方程,幾何意義,動點x在定直線u上；,定直線u為動點x的軌跡,點幾何觀點,線幾何觀點,不變(常數(shù)),變 (流動),點x的 方程,動直線u過定點x；,定點x為動直線u的包絡(luò),因此，一般地，稱(1.4)為點與直線的齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系. 點、直線統(tǒng)稱為幾何元素.,給定齊次方程,四、齊次線坐標(biāo),2. 點的齊次方程,例 2,求下列各點的齊次方程.,(1). x軸上的無窮遠(yuǎn)點,(2). y軸上的無窮遠(yuǎn)點,(3). 原點,(4). 點(1,2,2),(5). 方向為,的無窮遠(yuǎn)點,(6). 無窮遠(yuǎn)直線上的點,思考：本例中這些點的齊次方程分別與哪些直線的齊次方程形式上相同？, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),(3,1,0),五、非齊次線坐標(biāo),定義1.8 對于直線u=u1,u2,u3, 若u30,則定義其非齊次坐標(biāo)為U,V其中U=u1/u3, V=u2/u3.,注1,哪些直線沒有非齊次坐標(biāo)？,注2,將點與直線的齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系(1.4)兩邊同時除以u3x3, 得到,點與直線的非齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系為,(1.5),顯然，得到(1.5)的基礎(chǔ)是u3x30. 因此，無窮遠(yuǎn)直線上的點和過原點的直線均不滿足非齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系.,從非齊次關(guān)聯(lián)關(guān)系角度：過原點的直線、無窮遠(yuǎn)直線上的點沒有非齊次坐標(biāo)，也沒有非齊次方程！, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),過原點的直線u1,u2,0.,六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),(1). 兩點a, b重合,(1). 兩直線a, b重合, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),(2). 相異兩點a, b連線方程為,(2). 相異兩直線a, b交點方程為,坐標(biāo)為,坐標(biāo)為,(3). 相異三點a,b,c共線,(3). 相異三直線a,b,c共點,(4). 以相異兩點a,b連線為底的點列中點的齊次坐標(biāo)能且僅能表示為la+mb(l,m不全為零)., 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),(4). 以相異兩直線a,b交點為束心的線束中直線的齊次坐標(biāo)能且僅能表示為la+mb(l,m不全為零).,六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),由此引出：點列的參數(shù)表示,注：若三點(直線)a, b, c不共線(點), 則上述矩陣滿秩.,注,關(guān)于點列的參數(shù)表示,齊次參數(shù)表示,將(4)中的c=la+mb的形式稱為以相異二點a,b為,基點的點列的齊次參數(shù)表示或雙參數(shù)表示.,非齊次參數(shù)表示,令,則有,稱為以a,b為基點,的非齊次參數(shù)表示或單參數(shù)表示.,拓廣的實數(shù)集,并規(guī)定,對于,當(dāng),即,時，,于是，點列的非齊次參數(shù)表示給出了點列中的點(拓廣直線上的點)到拓廣的實數(shù)集之間的一個雙射.,由于a,b都有無窮多組成比例的齊次坐標(biāo)，因此對其齊次坐標(biāo)的選取必須加以某種約束. 由此將引出單位點概念., 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),例 3,已知共線三點 a=(3,1,1), b=(7,5,1), c=(6,4,1), 求, 使得,解,令,其中為非零比例常數(shù).,可解得=3.于是，可適當(dāng)選取 a, b, c 的齊次坐標(biāo)，使得 c=a+3b.,注,的存在是齊次性的體現(xiàn). 對于相異的共線三點a,b,c, 必可適當(dāng)選取其齊次坐標(biāo), 使得c=a+b., 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),(5). 相異三點a,b,c共線存在p,q,r(pqr0)使得,即可適當(dāng)選取a,b,c的齊次坐標(biāo)使得, 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),(5). 相異三直線a,b,c共點存在p,q,r(pqr0)使得,即可適當(dāng)選取a,b,c的齊次坐標(biāo)使得,例 4,關(guān)于教材P.17例1.4結(jié)論的解釋.,(1). 設(shè)a, b, c為平面上不共線三點. 則平面上任一點 d 的齊次坐標(biāo)可以表示為,(2). 設(shè)a, b, c, d為平面上四點，其中任意三點不共線. 則可適當(dāng)選取這四點的齊次坐標(biāo)，使得,或者,注,由此例, 給定平面上不共線三點, 可以表示平面上任意一點的坐標(biāo)., 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),坐標(biāo)三點形概念,關(guān)于坐標(biāo)三點形,在拓廣平面上任取定一個笛氏坐標(biāo)系. 記原點為A3, x軸上的無窮遠(yuǎn)點為A1, y軸上的無窮遠(yuǎn)點為A2, 則A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1)不共線., 1.2 拓廣平面上的齊次坐標(biāo),六、有關(guān)齊次坐標(biāo)的基本結(jié)論(Thm.1.51.9;1.51.9),考慮到齊次性, 另取定點I(1,1,1), 以規(guī)定當(dāng)A1, A2, A3取不同齊次坐標(biāo)時, 上式總表示同一點P(x1,x2,x3). 即I規(guī)定了當(dāng)A1, A2, A3取不同齊次坐標(biāo)時必須滿足下式,坐標(biāo)三點形：A1A2A3 ；單位點：I；笛氏齊次坐標(biāo)系：(A1A2A3 | I).,平面上任一點P(x1,x2,x3)可表為, 1.3 射影平面,一、實射影平面(二維實射影空間),無定義基本元素：點，直線,約定1.2 點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系,定義1.9 設(shè),P 的元素稱為點.,L的元素稱為直線.,P 與L的元素之間有一個關(guān)系稱為關(guān)聯(lián)關(guān)系, 滿足下列公理,公理P 存在一對雙射,對于任意的點PP 和任意的直線lL, 若,則P與l相關(guān)聯(lián)u1x1+u2x2+u3x3=0.,則稱為一個以P為點集, L為直線集的實射影平面(二維實射影空間), 記作=(P, L). 上述一對雙射(,)稱為上的一個射影坐標(biāo)映射, 分別稱為點坐標(biāo)映射; 為線坐標(biāo)映射., 1.3 射影平面,一、實射影平面(二維實射影空間),注2 定義1.9在敘述上不同于Hilbert公理系統(tǒng), 實際上隱含了承認(rèn)實數(shù)公理等.,定理1.10 在實射影平面上, 方程,表示直線或點. 當(dāng)xi為流動變量而ui為常數(shù)時表示直線u1,u2,u3；反之表示點(x1,x2,x3).,注1 上述集合P, L是一般的. 其中元素稱為點、直線, 而定義1.9則對=(P, L)給予了實射影空間結(jié)構(gòu).,由定理1.10, 線坐標(biāo)映射可以由點坐標(biāo)映射誘導(dǎo)., 1.3 射影平面,二、實射影平面的模型,所謂模型(實現(xiàn))是對一般集合P, L的元素賦予具體意義, 使之滿足定義1.9. 我們可以在任何模型上展開射影幾何研究.,幾何的模型：拓廣平面用綜合的方法研究射影幾何.,代數(shù)的模型：算術(shù)平面：R=(RP2, (RP2)*) 用代數(shù)法研究.,拓廣平