勾股定理的證明方法(精選多篇).doc

勾股定理的證明方法(精選多篇) 勾股定理的證明方法 緒論 勾股定理是世界上應(yīng)用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數(shù)學(xué)、幾何中的重要且基本的工具。而數(shù)千年來，許多、許多個(gè)人對(duì)于這個(gè)定理之證明數(shù)不勝數(shù)，達(dá)三百余種?？梢?，勾股定理是人類利用代數(shù)思想、數(shù)學(xué)思想解決幾何問題、生活實(shí)際問題的共同智慧之結(jié)晶，也是公理化證明體系的開端。 第一節(jié)勾股定理的基本內(nèi)容 文字表述：在任何一個(gè)的直角三角形中，兩條直角邊的長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方。數(shù)學(xué)表達(dá)：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2=c2事實(shí)上，它是余弦定理之一種特殊形式。 第二節(jié)勾股定理的證明 2.1歐洲 在歐洲,相傳最早證明勾股定理的是畢達(dá)哥拉斯，故在歐洲該定理得名畢達(dá)哥拉斯定理；又因畢達(dá)哥拉斯在證畢此定理后宰殺一百頭牛慶祝，故亦稱百牛定理。 歐洲最早記載這一定理之書籍，屬歐幾里得幾何原本。 畢達(dá)哥拉斯的證明方法（相傳）： 一說采用拼圖法，一說采用定理法。 做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個(gè)正方形。 從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a+b，所以面積相等。 a2+b2+41/2ab=c2+41/2ab，即可得到。 定理法就是幾何原本當(dāng)中的證法： 設(shè)abc為一直角三角形，其中a為直角。從a點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。 在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方(本文：)形。 2.2中國(guó) 周髀算經(jīng)、九章算術(shù)當(dāng)中都有相關(guān)問題的記載。 周髀算經(jīng)的證明方法： “數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五，兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩。”以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據(jù)矩的弦外面再畫一個(gè)矩（曲尺，實(shí)際上用作直角三角），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環(huán)繞復(fù)制形成一個(gè)大正方形，可看到其中有邊長(zhǎng)三勾方、邊長(zhǎng)四股方、邊長(zhǎng)五弦方三個(gè)正方形。驗(yàn)算勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等從圖形上來看，大正方形減去四個(gè)三角形面積后為弦方，再是大正方形減去右上、左下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積后為勾方股方之和。因三角形為長(zhǎng)方形面積的一半，可推出四個(gè)三角形面積等于右上、左下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積，所以勾方+股方=弦方。趙爽弦圖或許是中國(guó)人最著名的一種證法。 趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形abde是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則 面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2; 化簡(jiǎn)后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=（a2+b2） 可見，中國(guó)古人主要采取拼圖法進(jìn)行證明。后來美國(guó)總統(tǒng)加菲爾德也曾采用拼圖法，利用面積巧妙的證明了勾股定理，他用了兩個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)梯形，利用面積法進(jìn)行證明，非常巧妙。 2.3其他方法 最快：射影定理法，利用相似形來證明。 面積思想：利用三角形五心的性質(zhì)，利用面積來證明。 綜上所述，勾股定理的證明是人類智慧的結(jié)晶。 勾股定理證明方法 勾股定理是初等幾何中的一個(gè)基本定理。所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。這個(gè)定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國(guó)（希臘、中國(guó)、埃及、巴比倫、印度等）對(duì)此定理都有所研究。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。 中國(guó)古代對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)的開頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：周公問：我聽說您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒有梯子可以上去，地也沒法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？商高回答說：數(shù)的產(chǎn)生對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形矩得到的一條直角邊勾等于3，另一條直角邊股等于4的時(shí)候，那么它的斜邊弦就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來的呵。如果說大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無法確切考證的話，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理是非常恰當(dāng)?shù)摹?在九章算術(shù)一書中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書中的勾股章說；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來，再進(jìn)行開方，便可以得到弦?！本耪滤阈g(shù)系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢以來的數(shù)學(xué)成就，共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題和各個(gè)問題的解法，列為九章，可能是所有中國(guó)數(shù)學(xué)著作中影響最大的一部。 中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”， 用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。 上中間的那個(gè)小正方形組成的。 每個(gè)直角三角形的面積為ab/2； 中間的小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。 于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c2 化簡(jiǎn)后便可得：a2+b2=c2 在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形abde是由4個(gè)相等的直角三角形再加 劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用以形證數(shù)的方法，劉徽用了“出入相補(bǔ)法”即剪貼證明法，他把勾股為邊的正方形上的某些區(qū)域剪下來(出)，移到以弦為邊的正方形的空白區(qū)域內(nèi)(入) ， 結(jié)果剛好填滿，完全用圖解法就解決了問題。 1876年4月1日，伽菲爾德在新英格蘭日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法 古代數(shù)學(xué)家們對(duì)于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。 這個(gè)直角梯形是由2個(gè)直角邊分別為、，斜邊為的直角 三角形和1個(gè)直角邊為的等腰直角三角形拼成的。因?yàn)?個(gè)直角三角形的面積之和等于梯形的面積，所以可以列出等式 化簡(jiǎn)得 ，。 勾股定理的證明方法 。 這種證明方法由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明更加簡(jiǎn)潔，它在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。 的平方=3的平方+4的平方 在圖一中，dabc為一直角三角形，其中?a為直角。我們?cè)谶卆b、bc和ac之上分別畫上三個(gè)正方形abfg、bced和ackh。過a點(diǎn)畫一直線al使其垂直於de并交de於l，交bc於m。不難證明，dfbc全等於dabd(s.a.s.)。所以正方形abfg的面積=2?dfbc的面積=2?dabd的面積=長(zhǎng)方形bmld的面積。類似地，正方形ackh的面積=長(zhǎng)方形mcel的面積。即正方形bced的面積=正方形abfg的面積+正方形ackh的面積，亦即是ab2+ac2=bc2。由此證實(shí)了勾股定理。 這個(gè)證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系來進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和的幾何意義，這就是以ml將正方形分成bmld和mcel的兩個(gè)部分! 這個(gè)證明的另一個(gè)重要意義，是在於它的出處。這個(gè)證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。 歐幾里得(euclidofalexandria)約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作幾何原本。幾何原本是一部劃時(shí)代的著作，它收集了過去人類對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)，并利用公理法建立起演繹體系，對(duì)后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書中的第一卷命題47，就記載著以上的一個(gè)對(duì)勾股定理的證明。 圖二中，我們將4個(gè)大小相同的直角三角形放在一個(gè)大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個(gè)正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為c，其余兩邊的長(zhǎng)度為a和b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個(gè)直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有 (a+b)2=4(1/2ab)+c2 展開得a2+2ab+b2=2ab+c2 化簡(jiǎn)得a2+b2=c2 由此得知勾股定理成立。 勾股定理證明方法 勾股定理的種證明方法(部分) 【證法1】(梅文鼎證明) 做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使d、e、f在一條直線上.過c作ac的延長(zhǎng)線交df于點(diǎn)p. d、e、f在一條直線上,且rtgefrtebd, egf=bed， egf+gef=90， bed+gef=90， beg=180?90?=90?. 又ab=be=eg=ga=c， abeg是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形. abc+cbe=90?. rtabcrtebd, abc=ebd. ebd+cbe=90?. 即cbd=90?. 又bde=90?，bcp=90?， bc=bd=a. bdpc是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形. 同理，hpfg是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形. 設(shè)多邊形ghcbe的面積為s，則 , . 【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明) 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(ba)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點(diǎn)在一條直線上. 過點(diǎn)q作qpbc，交ac于點(diǎn)p. 過點(diǎn)b作bmpq，垂足為m;再過點(diǎn) f作fnpq，垂足為n. bca=90?，qpbc， mpc=90?， bmpq， bmp=90?， bcpm是一個(gè)矩形，即mbc=90?. qbm+mba=qba=90?， abc+mba=mbc=90?， qbm=abc， 又bmp=90?，bca=90?，bq=ba=c， rtbmqrtbca. 同理可證rtqnfrtaef. 【證法3】(趙浩杰證明) 做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(ba)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形. 分別以cf，ae為邊長(zhǎng)做正方形fcji和aeig， ef=df-de=b-a，ei=b， fi=a， g,i,j在同一直線上， cj=cf=a，cb=cd=c， cjb=cfd=90?， rtcjbrtcfd， 同理，rtabgrtade， rtcjbrtcfdrtabgrtade abg=bcj, bcj+cbj=90?, abg+cbj=90?, abc=90?, g,b,i,j在同一直線上， 【證法4】(歐幾里得證明) 做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié) bf、cd.過c作clde， 交ab于點(diǎn)m，交de于點(diǎn) l. af=ac，ab=ad， fab=gad， fabgad， fab的面積等于， gad的面積等于矩形adlm 的面積的一半， 矩形adlm的面積=. 同理可證，矩形mleb的面積=. 正方形adeb的面積 =矩形adlm的面積+矩形mleb的面積 ，即. 勾股定理的別名 勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。 我國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國(guó)又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開方除之得邪至日。 在法國(guó)和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國(guó)家稱勾股定理為“平方定理”。 在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥