數(shù)學(xué)問題的根基本質(zhì)是方程的解集.doc

數(shù)學(xué)問題的根基本質(zhì)是方程的解集 四川省瀘縣二中(646106)熊福州 四川省汶川中學(xué)(623100)張龍躍 在教學(xué)中，認(rèn)真讀了文1P111閱讀與思考笛卡爾與解析幾何中的一段：他(笛卡爾)曾計(jì)劃寫一本書思想的指導(dǎo)法則，在書中他大但地提出了一個(gè)解決一切問題的方案：把一切問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，把一切數(shù)學(xué)問題歸結(jié)為代數(shù)問題，把一切代數(shù)問題歸結(jié)為方程，最后得到關(guān)于一個(gè)數(shù)的方程?？赡懿痪盟约喊l(fā)現(xiàn)這個(gè)設(shè)想過于大膽，根本無法實(shí)現(xiàn)，這本書沒寫完就擱下了（在他去世后人們將它出版），他的這個(gè)方案雖然失敗了，但確有很多問題可以用列方程的方法來解決。 在讀這段話以前,已在一些期刊上見過相似的敘述,如文2的表述:“一切問題都可數(shù)學(xué)化,化歸為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可化歸為代數(shù)問題,一切代數(shù)問題都可化歸為方程問題，有了方程理論就可解決一切問題”,于是順著這個(gè)理論,根據(jù)自己在數(shù)學(xué)教學(xué)中的探究,得出了文3的結(jié)論,即把笛卡爾的“最后得到關(guān)于一個(gè)數(shù)的方程”推廣為“最后得到關(guān)于一個(gè)數(shù)或多個(gè)數(shù)的方程”,那么,笛卡爾的解題理論至少在中學(xué)數(shù)學(xué)是正確而不失敗的。因此,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)返樸歸真于基本的方程中。 實(shí)際上,在中學(xué)數(shù)學(xué)中,任何表示實(shí)數(shù)的字母(數(shù))進(jìn)入方程(組)或不等式(組),其取值(實(shí)解)范圍就是自然確定了的,只要能解出一個(gè)字母(分離變量)就得到一些顯函數(shù)(顯函數(shù)就是代數(shù)式,即多元方程實(shí)解的表達(dá)式),求顯函數(shù)的定義域(列不等式(組)解不等式(組),好想不好做)或值域(直接求代數(shù)式值的范圍,好做不好想)就可求得字母的取值范圍,也就可判定方程有無實(shí)解,有多少實(shí)解,實(shí)解的分布等,反映在與之等價(jià)的圖像(方程的圖像就是方程解集的另一等價(jià)表現(xiàn)形式)上,就是平行于x軸的直線與圖像有無交點(diǎn)，有多少交點(diǎn)，交點(diǎn)分布的那部分函數(shù)值域問題,因此,數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)是方程的解集,在坐標(biāo)系上就是方程的圖像。其它的都是方程解集的衍生物,如均值不等式等。 例1(xx年全國高考浙江文16)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值是。 分析:本題是三個(gè)數(shù)兩個(gè)方程,數(shù)多于方程個(gè)數(shù),但次數(shù)不高,易消元化為兩個(gè)數(shù)的方程,就可求出解集(取值范圍)。 解:由a+b+c=0得c=(a+b),代入a2+b2+c2=1得a2+b2+(a+b)2=1,即2b2+(2a)b+2a21=0,解得b=a23a22,求定義域得23a20,解得63a63。 注:判別式法實(shí)質(zhì)是求分離變量得到的函數(shù)的定義域。 例2(xx年全國高考浙江理16)設(shè)x,y是實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是。 分析:本題的基本思路是從4x2+y2+xy=1中解出一個(gè)數(shù)如y=x415x22，代入2x+y得2x+y=2x+x415x22,求這兩個(gè)函數(shù)的值域之并,很繁難,換元2x+y=t得方程組4x2+y2+xy=1， 2x+y=t，則問題就為三個(gè)數(shù)兩個(gè)方程,消去一數(shù)就是兩個(gè)數(shù)一個(gè)方程,利用換元產(chǎn)生的方程,代入消元就變得簡單易行。 解法1:令2x+y=t,則y=t2x代入4x2+y2+xy=1得4x2+(t2x)2+x(t2x)=1， 即6x23tx+t21=0,解出x=3t2415t212,求定義域得2415t20,解得2105t2105。 解法2:令2x+y=t,4x2+y2+xy=1為(2x+y)23xy=1,即(2x+y)232(2xy)=1, 即(2x+y)232(2x+y)2(2xy)24=1,即5(2x+y)2+3(2xy)2=8,即5t2+3(2xy)2=8,即3(2xy)2=85t2,3(2xy)20,85t20,解得2105t2105。 注:此解法2就是均值不等式法,柯西不等式法等的源。 例3關(guān)于x的方程x2+(m3)x+m=0的二實(shí)根滿足下列條件,分別求m的取值范圍。 (1)有二正根;(2)有二負(fù)根;(3)有一正根一負(fù)根;(4)二根都小于1;(5)二根都大于12; (6)一根大于1一根小于1。 分析:一元二次方程實(shí)根的分布一般都有四個(gè)解法,二次函數(shù)圖像性質(zhì)法;根與系數(shù)關(guān)系法;分離主元法和分離參數(shù)法(通稱分離變量法,分離變量后就求是函數(shù)定義域和值域問題)。二次函數(shù)圖像性質(zhì)法最好做,但不好想,要注意數(shù)與形的等價(jià),或熟悉常見分布結(jié)論;根與系數(shù)關(guān)系法比較麻煩,既不好想,也不好做,也要注意等價(jià)；分離主元法,最好想,但要解無理不等式,不好做,但只要會(huì)解無理不等式也好做,分離參數(shù)就既好想,也好做,下面用分離參數(shù)法解。 解:由x2+(m3)x+m=0解出m=3xx2x+1=5(x+1+4x+1),作出圖像(如圖1), 由圖1得(1)0 圖1圖2 例4解關(guān)于x的不等式(a1)x24x+a10。 解:方程(a1)x24x+a1=0的根為x=23+2aa2a1(a1),解出a4xx2+1+1,令f(x)=4xx2+1+1,其圖像如圖2,由圖像知： (1)當(dāng)a1時(shí),解集為?; (2)當(dāng)1 (2+3+2aa2a1,23+2aa2a1); (3)當(dāng)a=1時(shí),解集為(,0); (4)當(dāng)1 23+2aa2a1)(2+3+2aa2a1,+); (5)當(dāng)a=3時(shí),解集為(,1)(1,+); (6)當(dāng)a3時(shí),解集為(,+)。 例5（xx年全國高考湖北理13）設(shè)x,y,zR，且滿足x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14,則x+y+z=。 解：設(shè)x+y+z=t，與x+2y+3z=14，聯(lián)立解出x=z+2t14,y=2z+t14，消去x,y得 (z+2t14)2+(2z+t14)2+z2=1，即6z2+(8t614)z+(2t14)2+(t14)21=0， z= 6148t(8t614)224(2t14)2+(t14)2126 =3144t14(t3147)26，由14(t3147)20得(t3147)20，所以t=3147，即x+y+z=3147。 注:換元使問題進(jìn)入方程(組),消元使問題在一個(gè)盡量少元的方程中,在中學(xué)一般是一元方程或二元方程,一個(gè)元的方程一般是求值（有限解集）,兩個(gè)元的方程一般是求取值范圍（無限解集）,這是最自然的解題思路。它不但能避免技巧,還能發(fā)現(xiàn)技巧。如在例5的解中,當(dāng)t=3147時(shí)，x=1414，y=21414，z=31414，所以已知方程組 x2+y2+z2=1， x+2y+3z=14等價(jià)于三元(x,y,z)方程(x1414)2+(y21414)2+(z31414)2=0，即命題者就是由此設(shè)計(jì)出例5的，