2016屆福建省福州三中高三最后模擬數(shù)學(xué)(理)試題(解析版).doc

2016屆福建省福州三中高三最后模擬數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題1若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】試題分析：為純虛數(shù)，所以，故選D.【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.2已知集合,，則等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析：,，所以.【考點(diǎn)】集合的并集運(yùn)算.3執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的的值為1，則輸出的的值為( )（A）4 （B）13 （C）40 （D）121【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)輸入時(shí)，第一次循環(huán)后的結(jié)果是；第二次循環(huán)后的結(jié)果是；第三次循環(huán)后的結(jié)果是；此時(shí)，所以結(jié)果為40，故答案為C.【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu).4我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問(wèn)題：“今有金箠，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問(wèn)次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問(wèn)依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問(wèn)中間3尺的重量為( )（A）斤 （B）斤 （C）斤 （D）斤【答案】B【解析】試題分析：此問(wèn)題是一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，則，中間尺的重量為斤故選：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式5已知，則等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】試題分析：，又，所以.【考點(diǎn)】1.誘導(dǎo)公式；2.三角恒等變換.6若命題 ，命題，則下列命題為真命題的是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析： ，所以命題是真命題；命題，所以對(duì)任意的恒成立，所以命題是假命題，所以為真命題.【考點(diǎn)】命題的真假判斷；2.邏輯連詞.7為保證青運(yùn)會(huì)期間比賽的順利進(jìn)行，4名志愿者被分配到3個(gè)場(chǎng)館為運(yùn)動(dòng)員提供服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少一名志愿者，在甲被分配到場(chǎng)館的條件下，場(chǎng)館有兩名志愿者的概率為( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：甲被分配到場(chǎng)館的條件下，場(chǎng)館有兩名志愿者的安排種數(shù)有種，場(chǎng)館有一名志愿者的安排種數(shù)有種，所以甲被分配到場(chǎng)館的條件下，其他志愿者安排的情況共有種；故在甲被分配到場(chǎng)館的條件下，場(chǎng)館有兩名志愿者的概率為.【考點(diǎn)】1.排列組合；2.古典概型.8已知實(shí)數(shù)，滿足若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）或 （D）【答案】D【解析】試題分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由目標(biāo)函數(shù)得，則直線的截距最大，最大，直線的截距最小，最小目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值，目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足比的斜率小，比的斜率大，即，故選D.【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【方法點(diǎn)睛】一般地，在解決簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，如果目標(biāo)函數(shù)，首先，作直線，并將其在可行區(qū)域內(nèi)進(jìn)行平移；當(dāng)時(shí)，直線在可行域內(nèi)平移時(shí)截距越高，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越低，目標(biāo)函數(shù)值越??；當(dāng)時(shí)，直線在可行域內(nèi)平移時(shí)截距越低，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越高，目標(biāo)函數(shù)值越小.9一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】試題分析：該三視圖的直觀圖，如下圖所示，四棱錐，其中底面是直角梯形，由此可知該幾何體的體積為，故選B.【考點(diǎn)】空間幾何體的三視圖.10在平行四邊形中，為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，若（），則的最大值為( )（A）1 （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析：，即，又，的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算11已知從點(diǎn)出發(fā)的三條射線，兩兩成角，且分別與球相切于，三點(diǎn)若球的體積為，則，兩點(diǎn)間的距離為( )（A） （B） （C）3 （D）【答案】B【解析】試題分析：連接交平面于，由題意可得：和為正三角形，所以因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)榍虻捏w積為，所以半徑，所以【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【思路點(diǎn)睛】連接交平面于，由題意可得：由可得 ，根據(jù)球的體積可得半徑，進(jìn)而求出答案12已知點(diǎn)是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且滿足，則雙曲線的離心率的取值范圍為( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：由 ，可得 ，即有 為直角三角形，且，可得 ，由雙曲線定義可得 ，又 ，可得，即有 ，化為，即有 ，可得 ，由 可得 ，故選：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【思路點(diǎn)睛】由直角三角形的判定定理可得 為直角三角形，且PF1PF2，運(yùn)用雙曲線的定義，可得，又 ，可得 ，再由勾股定理，即可得到，運(yùn)用離心率公式，即可得到所求范圍二、填空題13已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，則_【答案】【解析】試題分析：，又，可得，若，又.【考點(diǎn)】1.函數(shù)的周期性；2.對(duì)數(shù)的運(yùn)算.14過(guò)拋物線上任意一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則的最小值等于_【答案】【解析】試題分析：設(shè) 圓心 ，半徑 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即取點(diǎn) 時(shí)，取等號(hào)故的最小值等于 【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)15在數(shù)列中，已知，前項(xiàng)和滿足()，則當(dāng)時(shí)，_【答案】【解析】試題分析：當(dāng) 時(shí)， ， ， ， ，即數(shù)列為等差數(shù)列，又，又，可得，可得，又，所以當(dāng)時(shí)，.【考點(diǎn)】1.數(shù)列的遞推公式；2.等差數(shù)列.【思路點(diǎn)睛】運(yùn)用 ，代入化簡(jiǎn)得出：， ，即數(shù)列為等差數(shù)列，又得，又，可得，可得，進(jìn)而求出，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出結(jié)果.16已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析：，由題可知，有兩個(gè)根，所以有兩根，即有兩根，即函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，由于函數(shù)必過(guò)點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與函數(shù)相切的直線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線的方程為，所以，故切線方程為，此時(shí)直線斜率為，故.【考點(diǎn)】函數(shù)的極值.【方法點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，則以的切點(diǎn)的切線方程為：若曲線在點(diǎn)的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義知，切線方程為三、解答題17如圖，點(diǎn)在內(nèi)，設(shè)（）用表示的長(zhǎng)；（）求四邊形面積的最大值，并求出此時(shí)的值【答案】（） ；（）2【解析】試題分析：(1)在三角形中，由及，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作；在三角形中，由及，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作，由消去，得到關(guān)于的方程，整理后可用表示的長(zhǎng)；(2)由三角形的面積公式表示出三角形及三角形的面積，兩三角形面積之差即為四邊形 的面積，整理后將表示出的代入，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出四邊形的面積的最大值，以及此時(shí) 的值試題解析：解：（）在中，由余弦定理得：， 2分在中，設(shè)，由余弦定理得：， 3分所以， 4分所以，解得. 6分（）四邊形的面積，因?yàn)椋?7分， 9分所以， 10分所以當(dāng)，即時(shí)， 11分四邊形的面積的最大值為 12分.【考點(diǎn)】余弦定理18某商家每年都參加為期5天的商品展銷會(huì)，在該展銷會(huì)上商品的日銷售量與是否下雨有關(guān)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2015年該商家的商品日銷售情況如下表：日期6月18日6月19日6月20日6月21日6月22日天氣小雨小雨多云多云晴日銷售量（單位：件）97103120130125以2015年雨天和非雨天的日平均銷售量估計(jì)相應(yīng)天氣的銷售量若2016年5天的展銷會(huì)中每天下雨的概率均為，且每天下雨與否相互獨(dú)立（）估計(jì)2016年展會(huì)期間能夠售出的該商品的件數(shù)；（）該商品成本價(jià)為90元/件，銷售價(jià)為110元/件（）將銷售利潤(rùn)（單位：元）表示為2016年5天的展銷會(huì)中下雨天數(shù)的函數(shù)；（）由于2016年參展總費(fèi)用上漲到2500元，商家決定若最終獲利大于8000元的概率超過(guò)0.6才繼續(xù)參展，請(qǐng)你為商家是否參展作出決策，并說(shuō)明理由【答案】（）550；（）（）；（）商家應(yīng)決定參加2016年的展銷會(huì)【解析】試題分析：（）由該商家的商品日銷售情況表可知：2015年雨天的日平均銷售量為件，非雨天的日平均銷售量為件，可設(shè)2016年5天的展銷會(huì)中下雨的天數(shù)為，則，據(jù)此即可求出結(jié)果；（）（）依題意得，銷售利潤(rùn)=由此即可求出結(jié)果；（）設(shè)商家最終獲利為，則，若最終獲利大于8000元，則，解得，所以，又因?yàn)?，所以最終獲利大于8000元的概率為： 試題解析：解：（）由2015年該商家的商品日銷售情況表可知：2015年雨天的日平均銷售量為件，非雨天的日平均銷售量為件， 設(shè)2016年5天的展銷會(huì)中下雨的天數(shù)為，則， 所以， 4分所以估計(jì)2016年5天的展銷會(huì)有3天下雨，2天不下雨，所以估計(jì)2016年展會(huì)期間能夠售出的該商品的件數(shù)為（件）. 5分（）（）依題意得，銷售利潤(rùn)=， （）設(shè)商家最終獲利為，則， 若最終獲利大于8000元，則，解得，所以，又因?yàn)椋宰罱K獲利大于8000元的概率為： 9分 所以商家應(yīng)決定參加2016年的展銷會(huì)注：本小題也可用對(duì)立事件的概率計(jì)算 所以商家應(yīng)決定參加2016年的展銷會(huì)【考點(diǎn)】1.古典概型及其概率計(jì)算公式；2.數(shù)學(xué)期望和方差.19如圖，正方形所在的平面與所在的平面交于，且平面（）求證：平面平面；（）若，求二面角的余弦值【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）因?yàn)槠矫?，平面，所以，在正方形中，又因?yàn)椋云矫妫?再由面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（）在平面內(nèi)，過(guò)作，由（）知平面，所以，所以，又平面，所以兩兩垂直以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后再利用空間向量即可求出結(jié)果.試題解析：解：（）因?yàn)槠矫妫矫?，所以?2分在正方形中，又因?yàn)椋云矫?，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面（）在平面?nèi)，過(guò)作，由（）知平面，所以，所以，又平面，所以兩兩垂直 以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，則， 10分所以，設(shè)二面角為，所以 【考點(diǎn)】1.線面垂直的判定定理；2.面面垂直的判定定理；3，,空間向量；4.二面角.【方法點(diǎn)睛】利用空間向量法求二面角的一般方法，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量的夾角為，則有（圖1）或 （圖2）其中.20、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是上任意一點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)已知的周長(zhǎng)為，面積的最大值為（）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，以為鄰邊作平行四邊形，求四邊形面積的取值范圍【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）連接，由橢圓定義知，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，周長(zhǎng)為，可得，又 面積，可得，由即可求出橢圓方程；（）設(shè)，顯然直線的斜率不能為0，故設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得， ， ， 9分設(shè)，則，然后再利用基本不等式即可求出結(jié)果.試題解析：解：（）連接，由橢圓定義知，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，周長(zhǎng)為，即， 2分又 面積，所以當(dāng)時(shí)，最大，所以， 4分由解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)，顯然直線的斜率不能為0，故設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得， ， ， 設(shè)，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立， 所以， 四邊形面積的取值范圍 【考點(diǎn)】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.21已知，函數(shù)，曲線與軸相切（）求的單調(diào)區(qū)間；（）是否存在實(shí)數(shù)使得恒成立？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（）【解析】試題分析：（）設(shè)切點(diǎn)為，依題意解得 所以，即可求出結(jié)果（） 等價(jià)于或令，則，然后再對(duì)進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果. 試題解析：解：（）設(shè)切點(diǎn)為，依題意即解得 3分所以，當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表：所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 5分（）存在，理由如下： 6分等價(jià)于或令，則，若，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以，所以在單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，從而在上單調(diào)遞增，又，所以或即成立 9分若，因?yàn)?，所以存在，使得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，在上遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，從而在上遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)不恒成立； 11分若，同理可得不恒成立綜上所述，存在實(shí)數(shù) 12分.【考點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；2.分類討論.22選修4-1：平面幾何選講如圖，分別為邊，的中點(diǎn)，直線交的外接圓于點(diǎn)，且（）證明： ；（）過(guò)點(diǎn)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)【答案】（）見(jiàn)解析；（）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（）因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD，而CFAD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.因?yàn)镃FAB，所以BCAF，即可證明結(jié)果.（）因?yàn)槭菆A的切線，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)锳，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以，所以，所以，因?yàn)?，又由（）知，可得，因?yàn)槭菆A的切線，所以根據(jù)切割線定理可得：，即可求出結(jié)果.試題解析：解：（）因?yàn)镈，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD而CFAD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.因?yàn)镃FAB，所以BCAF，所以CDBC. 5分（）因?yàn)槭菆A的切線，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)锳，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以，所以，所以，因?yàn)椋钟桑ǎ┲?，所以，所以，因?yàn)槭菆A的切線，所以根據(jù)切割線定理可得：，所以 10分.【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的線段問(wèn)題.【一題多解】（）同解法一 （）因?yàn)槭菆A的切線，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)锳，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，所以，所以，所以，過(guò)點(diǎn)C作CMAB于M，由（）知：，所以M是BD中點(diǎn)，又因?yàn)樗?，由（）知：，所以，所以，?