2016屆福建省福州三中高三最后模擬數(shù)學(xué)(理)試題(解析版).doc

2016屆福建省福州三中高三最后模擬數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題1若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】試題分析：為純虛數(shù)，所以，故選D.【考點】復(fù)數(shù)的四則運算.2已知集合,，則等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析：,，所以.【考點】集合的并集運算.3執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的的值為1，則輸出的的值為( )（A）4 （B）13 （C）40 （D）121【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)輸入時，第一次循環(huán)后的結(jié)果是；第二次循環(huán)后的結(jié)果是；第三次循環(huán)后的結(jié)果是；此時，所以結(jié)果為40，故答案為C.【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu).4我國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金箠，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上題的已知條件，若金箠由粗到細(xì)是均勻變化的，問中間3尺的重量為( )（A）斤 （B）斤 （C）斤 （D）斤【答案】B【解析】試題分析：此問題是一個等差數(shù)列，設(shè)首項為，則，中間尺的重量為斤故選：B【考點】等差數(shù)列的通項公式5已知，則等于( )（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】試題分析：，又，所以.【考點】1.誘導(dǎo)公式；2.三角恒等變換.6若命題 ，命題，則下列命題為真命題的是( )（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析： ，所以命題是真命題；命題，所以對任意的恒成立，所以命題是假命題，所以為真命題.【考點】命題的真假判斷；2.邏輯連詞.7為保證青運會期間比賽的順利進(jìn)行，4名志愿者被分配到3個場館為運動員提供服務(wù)，每個場館至少一名志愿者，在甲被分配到場館的條件下，場館有兩名志愿者的概率為( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：甲被分配到場館的條件下，場館有兩名志愿者的安排種數(shù)有種，場館有一名志愿者的安排種數(shù)有種，所以甲被分配到場館的條件下，其他志愿者安排的情況共有種；故在甲被分配到場館的條件下，場館有兩名志愿者的概率為.【考點】1.排列組合；2.古典概型.8已知實數(shù)，滿足若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）（A） （B） （C）或 （D）【答案】D【解析】試題分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分） 由目標(biāo)函數(shù)得，則直線的截距最大，最大，直線的截距最小，最小目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，取得最大，當(dāng)經(jīng)過點時，取得最小值，目標(biāo)函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)的斜率滿足比的斜率小，比的斜率大，即，故選D.【考點】簡單線性規(guī)劃【方法點睛】一般地，在解決簡單線性規(guī)劃問題時，如果目標(biāo)函數(shù)，首先，作直線，并將其在可行區(qū)域內(nèi)進(jìn)行平移；當(dāng)時，直線在可行域內(nèi)平移時截距越高，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越低，目標(biāo)函數(shù)值越??；當(dāng)時，直線在可行域內(nèi)平移時截距越低，目標(biāo)函數(shù)值越大，截距越高，目標(biāo)函數(shù)值越小.9一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是( )（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】試題分析：該三視圖的直觀圖，如下圖所示，四棱錐，其中底面是直角梯形，由此可知該幾何體的體積為，故選B.【考點】空間幾何體的三視圖.10在平行四邊形中，為平行四邊形內(nèi)一點，若（），則的最大值為( )（A）1 （B） （C） （D）【答案】A【解析】試題分析：，即，又，的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號【考點】平面向量數(shù)量積的運算11已知從點出發(fā)的三條射線，兩兩成角，且分別與球相切于，三點若球的體積為，則，兩點間的距離為( )（A） （B） （C）3 （D）【答案】B【解析】試題分析：連接交平面于，由題意可得：和為正三角形，所以因為，所以，所以又因為球的體積為，所以半徑，所以【考點】點、線、面間的距離計算【思路點睛】連接交平面于，由題意可得：由可得 ，根據(jù)球的體積可得半徑，進(jìn)而求出答案12已知點是雙曲線：（，）的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，點在雙曲線的右支上，且滿足，則雙曲線的離心率的取值范圍為( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：由 ，可得 ，即有 為直角三角形，且，可得 ，由雙曲線定義可得 ，又 ，可得，即有 ，化為，即有 ，可得 ，由 可得 ，故選：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)【思路點睛】由直角三角形的判定定理可得 為直角三角形，且PF1PF2，運用雙曲線的定義，可得，又 ，可得 ，再由勾股定理，即可得到，運用離心率公式，即可得到所求范圍二、填空題13已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時，則_【答案】【解析】試題分析：，又，可得，若，又.【考點】1.函數(shù)的周期性；2.對數(shù)的運算.14過拋物線上任意一點向圓作切線，切點為，則的最小值等于_【答案】【解析】試題分析：設(shè) 圓心 ，半徑 ，當(dāng)且僅當(dāng)，即取點 時，取等號故的最小值等于 【考點】拋物線的簡單性質(zhì)15在數(shù)列中，已知，前項和滿足()，則當(dāng)時，_【答案】【解析】試題分析：當(dāng) 時， ， ， ， ，即數(shù)列為等差數(shù)列，又，又，可得，可得，又，所以當(dāng)時，.【考點】1.數(shù)列的遞推公式；2.等差數(shù)列.【思路點睛】運用 ，代入化簡得出：， ，即數(shù)列為等差數(shù)列，又得，又，可得，可得，進(jìn)而求出，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求出結(jié)果.16已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】試題分析：，由題可知，有兩個根，所以有兩根，即有兩根，即函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個交點，由于函數(shù)必過點，設(shè)過點且與函數(shù)相切的直線的切點坐標(biāo)為，所以切線的方程為，所以，故切線方程為，此時直線斜率為，故.【考點】函數(shù)的極值.【方法點睛】用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點，則以的切點的切線方程為：若曲線在點的切線平行于軸（即導(dǎo)數(shù)不存在）時，由切線定義知，切線方程為三、解答題17如圖，點在內(nèi)，設(shè)（）用表示的長；（）求四邊形面積的最大值，并求出此時的值【答案】（） ；（）2【解析】試題分析：(1)在三角形中，由及，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作；在三角形中，由及，利用余弦定理列出關(guān)系式，記作，由消去，得到關(guān)于的方程，整理后可用表示的長；(2)由三角形的面積公式表示出三角形及三角形的面積，兩三角形面積之差即為四邊形 的面積，整理后將表示出的代入，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出四邊形的面積的最大值，以及此時 的值試題解析：解：（）在中，由余弦定理得：， 2分在中，設(shè)，由余弦定理得：， 3分所以， 4分所以，解得. 6分（）四邊形的面積，因為， 7分， 9分所以， 10分所以當(dāng)，即時， 11分四邊形的面積的最大值為 12分.【考點】余弦定理18某商家每年都參加為期5天的商品展銷會，在該展銷會上商品的日銷售量與是否下雨有關(guān)經(jīng)統(tǒng)計，2015年該商家的商品日銷售情況如下表：日期6月18日6月19日6月20日6月21日6月22日天氣小雨小雨多云多云晴日銷售量（單位：件）97103120130125以2015年雨天和非雨天的日平均銷售量估計相應(yīng)天氣的銷售量若2016年5天的展銷會中每天下雨的概率均為，且每天下雨與否相互獨立（）估計2016年展會期間能夠售出的該商品的件數(shù)；（）該商品成本價為90元/件，銷售價為110元/件（）將銷售利潤（單位：元）表示為2016年5天的展銷會中下雨天數(shù)的函數(shù)；（）由于2016年參展總費用上漲到2500元，商家決定若最終獲利大于8000元的概率超過0.6才繼續(xù)參展，請你為商家是否參展作出決策，并說明理由【答案】（）550；（）（）；（）商家應(yīng)決定參加2016年的展銷會【解析】試題分析：（）由該商家的商品日銷售情況表可知：2015年雨天的日平均銷售量為件，非雨天的日平均銷售量為件，可設(shè)2016年5天的展銷會中下雨的天數(shù)為，則，據(jù)此即可求出結(jié)果；（）（）依題意得，銷售利潤=由此即可求出結(jié)果；（）設(shè)商家最終獲利為，則，若最終獲利大于8000元，則，解得，所以，又因為，所以最終獲利大于8000元的概率為： 試題解析：解：（）由2015年該商家的商品日銷售情況表可知：2015年雨天的日平均銷售量為件，非雨天的日平均銷售量為件， 設(shè)2016年5天的展銷會中下雨的天數(shù)為，則， 所以， 4分所以估計2016年5天的展銷會有3天下雨，2天不下雨，所以估計2016年展會期間能夠售出的該商品的件數(shù)為（件）. 5分（）（）依題意得，銷售利潤=， （）設(shè)商家最終獲利為，則， 若最終獲利大于8000元，則，解得，所以，又因為，所以最終獲利大于8000元的概率為： 9分 所以商家應(yīng)決定參加2016年的展銷會注：本小題也可用對立事件的概率計算 所以商家應(yīng)決定參加2016年的展銷會【考點】1.古典概型及其概率計算公式；2.數(shù)學(xué)期望和方差.19如圖，正方形所在的平面與所在的平面交于，且平面（）求證：平面平面；（）若，求二面角的余弦值【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）因為平面，平面，所以，在正方形中，又因為，所以平面， 再由面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（）在平面內(nèi)，過作，由（）知平面，所以，所以，又平面，所以兩兩垂直以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，然后再利用空間向量即可求出結(jié)果.試題解析：解：（）因為平面，平面，所以， 2分在正方形中，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面平面（）在平面內(nèi)，過作，由（）知平面，所以，所以，又平面，所以兩兩垂直 以，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 因為，所以，又，所以，所以，所以平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，所以由，得，令，則， 10分所以，設(shè)二面角為，所以 【考點】1.線面垂直的判定定理；2.面面垂直的判定定理；3，,空間向量；4.二面角.【方法點睛】利用空間向量法求二面角的一般方法，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量的夾角為，則有（圖1）或 （圖2）其中.20、分別是橢圓：的左、右焦點，為坐標(biāo)原點，是上任意一點，是線段的中點已知的周長為，面積的最大值為（）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）過作直線交于兩點，以為鄰邊作平行四邊形，求四邊形面積的取值范圍【答案】（）；（）【解析】試題分析：（）連接，由橢圓定義知，是線段的中點，是線段的中點，周長為，可得，又 面積，可得，由即可求出橢圓方程；（）設(shè)，顯然直線的斜率不能為0，故設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得， ， ， 9分設(shè)，則，然后再利用基本不等式即可求出結(jié)果.試題解析：解：（）連接，由橢圓定義知，是線段的中點，是線段的中點，周長為，即， 2分又 面積，所以當(dāng)時，最大，所以， 4分由解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （）設(shè)，顯然直線的斜率不能為0，故設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得， ， ， 設(shè)，則，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立， 所以， 四邊形面積的取值范圍 【考點】1.橢圓方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.21已知，函數(shù)，曲線與軸相切（）求的單調(diào)區(qū)間；（）是否存在實數(shù)使得恒成立？若存在，求實數(shù)的值；若不存在，說明理由【答案】（）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（）【解析】試題分析：（）設(shè)切點為，依題意解得 所以，即可求出結(jié)果（） 等價于或令，則，然后再對進(jìn)行分類討論，即可求出結(jié)果. 試題解析：解：（）設(shè)切點為，依題意即解得 3分所以，當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 5分（）存在，理由如下： 6分等價于或令，則，若，當(dāng)時，所以；當(dāng)時，所以，所以在單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增為，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，從而在上單調(diào)遞增，又，所以或即成立 9分若，因為，所以存在，使得，因為在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，在上遞增，又，所以當(dāng)時，從而在上遞減，又，所以當(dāng)時，此時不恒成立； 11分若，同理可得不恒成立綜上所述，存在實數(shù) 12分.【考點】1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；2.分類討論.22選修4-1：平面幾何選講如圖，分別為邊，的中點，直線交的外接圓于點，且（）證明： ；（）過點作圓的切線交的延長線于點，若，求的長【答案】（）見解析；（）見解析【解析】試題分析：（）因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD，而CFAD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.因為CFAB，所以BCAF，即可證明結(jié)果.（）因為是圓的切線，所以，又因為，所以，所以，因為A，B，C，F(xiàn)四點共圓，所以，所以，所以，因為，又由（）知，可得，因為是圓的切線，所以根據(jù)切割線定理可得：，即可求出結(jié)果.試題解析：解：（）因為D，E分別為AB，AC的中點，所以DEBC.又已知CFAB，故四邊形BCFD是平行四邊形，所以CFBDAD而CFAD，連結(jié)AF，所以四邊形ADCF是平行四邊形，故CDAF.因為CFAB，所以BCAF，所以CDBC. 5分（）因為是圓的切線，所以，又因為，所以，所以，因為A，B，C，F(xiàn)四點共圓，所以，所以，所以，因為，又由（）知，所以，所以，因為是圓的切線，所以根據(jù)切割線定理可得：，所以 10分.【考點】與圓有關(guān)的線段問題.【一題多解】（）同解法一 （）因為是圓的切線，所以，又因為，所以，所以，因為A，B，C，F(xiàn)四點共圓，所以，所以，所以，過點C作CMAB于M，由（）知：，所以M是BD中點，又因為所以，由（）知：，所以，所以，所