專(zhuān)題2-導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用含詳細(xì)答案.doc

專(zhuān)題2 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用刷難題1. 已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，。（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)，時(shí)，求證：。答案（1）因?yàn)椋?，?3分所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即。.6分（2）設(shè)，則。.8分設(shè)，則。因?yàn)椋?，。所以在?nèi)單調(diào)遞增。所以當(dāng)時(shí)，即。.10分因?yàn)?，所以。所以?dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增。所以當(dāng)，時(shí)，即。.12分解析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用。（1）因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線(xiàn)的斜率，求出的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合題中條件，即可求得切線(xiàn)方程；（2）令，對(duì)二次求導(dǎo)，結(jié)合題中所給條件“，”，即可證得結(jié)論。2. 已知函數(shù),的圖象在處的切線(xiàn)方程為(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;(2)若存在,使恒成立,求k的最大值.解:(1)f(x),f(1),根據(jù)題意得f(1)=3,又,綜上:,(2)(x),設(shè),g(x),;,是減函數(shù);,是增函數(shù);,又,恒成立,所以又,所以3. 已知函數(shù).()討論的單調(diào)性;()若有兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.解:(1),不妨設(shè),則關(guān)于x的方程的判別式,當(dāng)時(shí),故,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),方程有兩個(gè)不相等的正根,不妨設(shè),則當(dāng)及時(shí),當(dāng)時(shí),在,遞減,在遞增;(2)由(1)知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有極小值和極大值,且,是方程的兩個(gè)正根,則,令,當(dāng)時(shí),在內(nèi)單調(diào)遞減,故,.解析:(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)表示出,通過(guò)求導(dǎo)進(jìn)行證明.4.已知函數(shù)（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1）處的切線(xiàn)方程；（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)a與b，恒有答案（1）先求出函數(shù)f（x）的定義域，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)和駐點(diǎn)，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值（2）欲求在點(diǎn)（1，f（1）處的切線(xiàn)方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率從而問(wèn)題解決（3）所證不等式等價(jià)為，而，設(shè)t=x+1，則，由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+）單調(diào)遞增，從而得到證明解析（1）函數(shù)，由f（x）0x0；由f（x）0-1x0；f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+），單調(diào)減區(qū)間（-1，0）（2），當(dāng)x=1時(shí)，y=得切線(xiàn)的斜率為，所以k=；所以曲線(xiàn)在點(diǎn)（1，f（1）處的切線(xiàn)方程為：y-ln2+=（x-1），即x-4y+4ln2-3=0故切線(xiàn)方程為x-4y+4ln2-3=0（3）所證不等式等價(jià)為而，設(shè)t=x+1，則，由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+）單調(diào)遞增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）F（1）=0即，記代入得：得證5已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若對(duì)任意恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍(e為自然常數(shù)).解:(),當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;()令,則,若,即,在上是增函數(shù),無(wú)解.若,即,在上是減函數(shù);在上是增函數(shù),即.,即,.若,即,在上是減函數(shù),即,綜上所述,.解析:(1)先求導(dǎo),再分類(lèi)討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)令,從而求導(dǎo),再由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論確定函數(shù)的單調(diào)性,從而求函數(shù)的最大值,從而化恒成立問(wèn)題為最值問(wèn)題即可.6. 已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)有極大值與極小值時(shí),求證函數(shù)在定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn).解:(1)根據(jù)題意得,f(x),由f(x)=0,得,當(dāng),即,令f(x),又,可得或;令f(x),可得,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是;當(dāng),即時(shí),f(x),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),f(x)=0,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù);當(dāng),即時(shí),令f(x),又,可得或;令f(x),可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是;當(dāng),即時(shí),令f(x),計(jì)算得出:,令f(x),計(jì)算得出:,在遞減,在遞增.(2)有極大值與極小值,由(1)可以知道,或,當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是,若,無(wú)零點(diǎn),若,則,有一個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)時(shí),有唯一的零點(diǎn),當(dāng)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是;若,有,則,則,即在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),若,則,即在有一個(gè)零點(diǎn),則當(dāng)時(shí),有唯一的零點(diǎn),綜上所述函數(shù)在