初一數(shù)學(xué)相交線、平行線知識(shí).doc

相交線、平行線一、知識(shí)要點(diǎn)：1平面上兩條不重合的直線，位置關(guān)系只有兩種：相交和平行。2兩條不同的直線，若它們只有一個(gè)公共點(diǎn)，就說它們相交。即，兩條直線相交有且只有一個(gè)交點(diǎn)。3垂直是相交的特殊情況。有關(guān)兩直線垂直，有兩個(gè)重要的結(jié)論：（1）過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；（2）直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短。4在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線稱為平行線。平行線中要理解平行公理，能熟練地找出“三線八角”圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，并會(huì)運(yùn)用與“三線八角”有關(guān)的平行線的判定定理和性質(zhì)定理。5利用平行公理及其推論證明或求解。二、例題精講例1如圖(1)，直線a與b平行，1(3x+70),2=(5x+22),求3的度數(shù)。解：ab，34（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）1+32+4180(平角的定義)12(等式性質(zhì))則3x+705x+22解得x=24即11423180-138圖(1)評(píng)注：建立角度之間的關(guān)系，即建立方程（組），是幾何計(jì)算常用的方法。例2已知：如圖(2)，ABEFCD，EG平分BEF，B+BED+D=192，B-D=24，求GEF的度數(shù)。解：ABEFCDB=BEF，DEF=D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）B+BED+D=192（已知）即B+BEF+DEF+D=1922（B+D）=192（等量代換）則B+D=96（等式性質(zhì)）B-D=24（已知）圖(2)B=60（等式性質(zhì)）即BEF=60（等量代換）EG平分BEF（已知）GEF=21BEF=30（角平分線定義）例3如圖（3），已知ABCD，且B=40，D=70，求DEB的度數(shù)。解：過E作EFABABCD（已知）32lab4EFCD（平行公理）BEF=B=40DEF=D=70（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）DEB=DEF-BEFDEB=D-B=30評(píng)注：證明或解有關(guān)直線平行的問題時(shí)，如果不構(gòu)成“三線八角”，則應(yīng)添出輔助線。圖（3）例4已知銳角三角形ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，而ha，hb，hc分別為對(duì)應(yīng)邊上的高線長(zhǎng)，求證：ha+hb+hca+b+c分析：對(duì)應(yīng)邊上的高看作垂線段，而鄰邊看作斜線段證明：由垂線段最短知，hac，hba，hcb以上三式相加得ha+hb+hca+b+c研究垂直關(guān)系應(yīng)掌握好垂線的性質(zhì)。1以過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知直線。2垂線段最短。例5如圖（4），直線AB與CD相交于O，EFAB于F，GHCD于H，求證EF與GH必相交。分析：欲證EF與GH相交，直接證很困難，可考慮用反證法。證明：假設(shè)EF與GH不相交。EF、GH是兩條不同的直線EFGHEFABGHAB又因GHCD故ABCD(垂直于同一直線的兩直線平行)圖（4）這與已知AB和CD相交矛盾。所以EF與GH不平行，即EF與GH必相交評(píng)注：本題應(yīng)用結(jié)論：(1)垂直于同一條直線的兩直線平行。(2)兩條平行線中的一條直線垂直于第三條直線，那么另一條直線也平行于第三條直線；例6平面上n條直線兩兩相交且無3條或3條以上直線共點(diǎn)，有多少個(gè)不同交點(diǎn)？解：2條直線產(chǎn)生1個(gè)交點(diǎn)，第3條直線與前面2條均相交，增加2個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上3條直線共有1+2=3個(gè)交點(diǎn)；第4條直線與前面3條均相交，增加3個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)平面上4條直線共有1+2+3=6個(gè)交點(diǎn)；則n條直線共有交點(diǎn)個(gè)數(shù)：1+2+3+(n-1)=21n(n-1)評(píng)注：此題是平面上n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的情形，需要仔細(xì)觀察，由簡(jiǎn)及繁，深入思考，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例76個(gè)不同的點(diǎn)，其中只有3點(diǎn)在同一條直線上，2點(diǎn)確定一條直線，問能確定多少條ABCDEFGHObacha直線？解：6條不同的直線最多確定：5+4+3+2+1=15條直線，除去共線的3點(diǎn)中重合多算的2條直線，即能確定的直線為15-2=13條。另法：3點(diǎn)所在的直線外的3點(diǎn)間最多能確定3條直線，這3點(diǎn)與直線上的3點(diǎn)最多有33=9條直線，加上3點(diǎn)所在的直線共有：3+9+1=13條評(píng)注：一般地，平面上n個(gè)點(diǎn)最多可確定直線的條數(shù)為：1+2+3+(n-1)=21n(n-1)例810條直線兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？解：2條直線最多將平面分成2+2=4個(gè)不同區(qū)域；3條直線中的第3條直線與另兩條直線相交，最多有兩個(gè)交點(diǎn)，此直線被這兩點(diǎn)分成3段，每一段將它所在的區(qū)域一分為二，則區(qū)域增加3個(gè)，即最多分成2+2+3=7個(gè)不同區(qū)域；同理：4條直線最多分成2+2+3+4=11個(gè)不同區(qū)域；10條直線最多分成2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56個(gè)不同區(qū)域推廣：n條直線兩兩相交，最多將平面分成2+2+3+4+n=1+21n(n+1)=21(n2+n+2)塊不同的區(qū)域思考：平面內(nèi)n個(gè)圓兩兩相交，最多將平面分成多少塊不同的區(qū)域？例9平面上n條直線兩兩相交，求證所成得的角中至少有一個(gè)角不大于n0180證明：平面上n條直線兩兩相交最多得對(duì)頂角2)1(nn2n(n-1)對(duì)，即2n(n-1)個(gè)角平面上任取一點(diǎn)O，將這n條直線均平行移動(dòng)過點(diǎn)O，成為交于一點(diǎn)O的n條直線，這n條直線將以O(shè)為頂點(diǎn)的圓周角分為2n個(gè)（共n對(duì)）互不重疊的角：1、2、3、2n由平行線的性質(zhì)知，這2n個(gè)角中每一個(gè)都和原來n條直線中的某兩條直線的交角中的一個(gè)角相等，即這2n個(gè)角均是原2n(n-1)個(gè)角中的角。若這2n個(gè)角均大于n0180，則1+2+3+2n2nn0180=360,而1+2+3+2n=360,產(chǎn)生矛盾故1、2、3、2n中至少有一個(gè)小于n0180，Ol3l2ln即原來的2n(n-1)中至少有一個(gè)角不小于n0180評(píng)注：通過平移，可以把原來分散的直線集中交于同一點(diǎn)，從而解決問題。例10（a）請(qǐng)你在平面上畫出6條直線（沒有三條共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，并簡(jiǎn)單說明畫法。（b）能否在平面上畫出7條直線（任意3條都不共點(diǎn)），使得它們中的每條直線都恰與另3條直線相交，如果能請(qǐng)畫出一例，如果不能請(qǐng)簡(jiǎn)述理由。解：（a）在平面上任取一點(diǎn)A。過A作兩直線m1與n1。在n1上取兩點(diǎn)B，C，在m1上取兩點(diǎn)D，G。過B作m2m1，過C作m3m1，過D作n2n1，過G作n3n1，這時(shí)m2、m3、n2、n3交得E、F、H、I四點(diǎn)，如圖所示。由于彼此平行的直線不相交，所以，圖中每條直線都恰與另3條直線相交。（b）在平面上不能畫出沒有3線共點(diǎn)的7條直線，使得其中每條直線都恰與另外3條直線相交。理由如下：假設(shè)平面上可以畫出7條直線，其中每一條都恰與其它3條相交，因兩直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)，又沒有3條直線共點(diǎn)，所以每條直線上恰有與另3條直線交得的3個(gè)不同的交點(diǎn)。根據(jù)直線去計(jì)數(shù)這些交點(diǎn)，共有3721個(gè)交點(diǎn)，但每個(gè)交點(diǎn)分屬兩條直線，被重復(fù)計(jì)數(shù)一次，所以這7條直線交點(diǎn)總數(shù)為22110.5個(gè)，因?yàn)榻稽c(diǎn)個(gè)數(shù)應(yīng)為整數(shù)，矛盾。所以，滿足題設(shè)條件的7條直線是畫不出來的。三、鞏固練習(xí)選擇題1平面上有5個(gè)點(diǎn)，其中僅有3點(diǎn)在同一直線上，過每2點(diǎn)作一條直線，一共可以作直線（）條A6B7C8D92平面上三條直線相互間的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A3B1或3C1或2或3D不一定是1，2，33平面上6條直線兩兩相交，其中僅有3條直線過一點(diǎn)，則截得不重疊線段共有（）A36條B33條C24條D21條4已知平面中有n個(gè)點(diǎn)CBA,三個(gè)點(diǎn)在一條直線上，EFDA,四個(gè)點(diǎn)也在一條直線上，除些之外，再?zèng)]有三點(diǎn)共線或四點(diǎn)共線，以這n個(gè)點(diǎn)作一條直線，那么一共可以畫出38條不同的直線，這時(shí)n等于（）（A）9（B）10（C）11（D）125若平行直線AB、CD與相交直線EF、GH相交成如圖示的圖形，則共得同旁內(nèi)角（）A4對(duì)B8對(duì)C12對(duì)D16對(duì)6如圖，已知FDBE，則1+2-3=()A90B135C150D180m1n1m2m3n2n3ABCDEFGHIABCDEFGH第5題312ABCDEFG第6題第7題7如圖，已知ABCD，1=2，則E與F的大小關(guān)系；8平面上有5個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)都連一條直線，問除了原有的5點(diǎn)之外這些直線最多還有交點(diǎn)9平面上3條直線最多可分平面為個(gè)部分。10如圖，已知ABCDEF，PSGH于P，F(xiàn)RG=110，則PSQ。11已知A、B是直線L外的兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是。12平面內(nèi)有4條直線，無論其關(guān)系如何，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過個(gè)。13已知：如圖，DECB，求證：AED=A+B14已知：如圖，ABCD，求證：B+D+F=E+G第13題第14題15如圖，已知CBAB，CE平分BCD，DE平分CDA，EDC+ECD=90，求證：DAAB16平面上兩個(gè)圓三條直線，最多有多少不同的交點(diǎn)？1