創(chuàng)新教育數(shù)學(xué)大課堂案例.doc

【創(chuàng)新教育數(shù)學(xué)大課堂案例】與學(xué)生談數(shù)學(xué)湖北省羅田縣三里畈中學(xué)“初中創(chuàng)新教育的研究與實(shí)踐”課題組何國(guó)炎 晏紹安 范美良 何先忠李怡書 何群科 鄂盛林 豐軍明(此系列鄂東晚報(bào)2005年春陸續(xù)選載) 目錄1.數(shù)學(xué)課文也要閱讀 2. 數(shù)學(xué)世界的奇、妙、趣、美3. 大局思想，整體方法 4. 淺談數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的整合5.數(shù)形結(jié)合 開啟思維的航船 6.分類討論，放飛思維7. 逆向思維與應(yīng)用 8. 數(shù)學(xué)解題原則9.談“空間與圖形”的入門學(xué)習(xí) 10. 談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法11.由一個(gè)學(xué)生課堂錯(cuò)誤想到的 12.類比與聯(lián)想，展開思維的翅膀【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之一】數(shù)學(xué)課文也要閱讀羅田縣三里畈初中 范美良“讀課文”似乎是語文學(xué)科的專利，中間加上“數(shù)學(xué)”二字，乍一聽覺得有點(diǎn)別扭，其實(shí)靜靜地想一想，數(shù)學(xué)課文不僅要認(rèn)真地讀，而且要仔細(xì)地讀。數(shù)學(xué)課本是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的依據(jù)，它是由文字、數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、表達(dá)式等有機(jī)構(gòu)成，千姿百態(tài)，變化無窮。其中蘊(yùn)含了十分豐富的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)原理、方法，小史等知識(shí)，字字有含義，處處存邏輯，抽象而嚴(yán)密。在學(xué)習(xí)中若有毫厘之疏忽，其結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生千里之謬誤。所以同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)只聽老師的講是不夠的，還需要自己逐字、逐行、全面準(zhǔn)確地讀數(shù)學(xué)課本原文，以便正確學(xué)，學(xué)正確。這也是同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種方法閱讀法。認(rèn)真地讀數(shù)學(xué)課文對(duì)提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)成績(jī)是無可非議的，無怪乎，數(shù)學(xué)教材中專門為同學(xué)們?cè)鲈O(shè)了“讀一讀”的“短文”，但我認(rèn)為同學(xué)們絕對(duì)不能僅限于只讀這些“短文”，還要讀各章節(jié)的“引言”、“小結(jié)復(fù)習(xí)”、“新穎的刊頭圖語”，對(duì)于每章節(jié)的內(nèi)容更應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：一、 課前初讀，自悟其意“學(xué)貴自悟”，有目的預(yù)習(xí)讀書是學(xué)好數(shù)學(xué)的良好開端。同學(xué)們通過初讀，要能大致理解每章節(jié)所學(xué)內(nèi)容，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，要掌握什么？有哪些重要概念、法則、公式？是否能夠初步運(yùn)用？并結(jié)合這些問題書寫簡(jiǎn)明讀書筆記，且做到堅(jiān)持不懈，這樣才能讀有所悟。二、 課堂精讀，悟出要點(diǎn)課堂學(xué)習(xí)是同學(xué)們學(xué)習(xí)過程的主陣地，通過自己的初讀，結(jié)合課堂上教師的講解，使自己在初讀時(shí)的疑難問題得到逐步解決，通過精讀、深鉆，準(zhǔn)確把握各章節(jié)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)與關(guān)鍵，使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化，從中悟出知識(shí)要點(diǎn)。三、 課后復(fù)讀，鞏固提高讀數(shù)學(xué)課文不能淺嘗輒止，如果這樣，易于返生，課后復(fù)讀正是突破這一障礙的主要途徑，因此課后復(fù)讀一遍本章節(jié)的主要內(nèi)容，研究一下例題的解題過程和分析方法，提高解決問題的能力，同時(shí)堅(jiān)持寫一寫課后讀書筆記，總結(jié)每章節(jié)學(xué)習(xí)的得失，談?wù)剬W(xué)習(xí)體會(huì)，都能夠收到良好的效果?？傊?，讀數(shù)學(xué)課文要貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過程的始終。課前讀，以作預(yù)習(xí)，課中讀，以作學(xué)習(xí)，課后讀，以作復(fù)習(xí)。讀書的方式，可以默讀，也可以朗讀，但要邊讀邊想，弄通其中的道理；邊讀邊記，記憶有關(guān)概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)；邊讀邊解，掌握解題、證題的方法等基本技能，邊讀邊畫，達(dá)到既會(huì)作圖，又會(huì)識(shí)圖的要求【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之二】數(shù)學(xué)世界的奇、妙、趣、美羅田縣三里畈中學(xué) 何國(guó)炎數(shù)學(xué)是人類文明的結(jié)晶。從表面看，數(shù)學(xué)符號(hào)單調(diào)，數(shù)學(xué)公式枯燥，數(shù)學(xué)證明繁復(fù)，數(shù)學(xué)運(yùn)算麻煩，然而正是這些，構(gòu)成了數(shù)學(xué)大廈的美麗與壯觀，使一代代學(xué)子為之深鉆苦讀，一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)家如醉如癡，為之貢獻(xiàn)畢生的心血。是什么力量支配看他們？因?yàn)閿?shù)學(xué)的魅力。只要潛心于數(shù)學(xué)世界，就會(huì)發(fā)現(xiàn)它的新奇，它的巧妙，它的情趣，它的美麗。如果你深入數(shù)學(xué)世界，就能勇敢地獵“奇”，大膽地探“妙”，多角度地賞“趣”，創(chuàng)造性地審“美”。人們常說大千世界，無奇不有，而數(shù)學(xué)世界更是千奇百妙，變化萬千。就從學(xué)習(xí)代數(shù)式來看，神奇的變化就讓人嘖嘖稱嘆。請(qǐng)看下列代數(shù)式：（）；可變?yōu)椤?shù)字不變，可表達(dá)方式卻不一樣。數(shù)的立方還會(huì)出現(xiàn)“黑洞”，詭異難測(cè)。例如：；這些奇妙的數(shù)字稱為“水仙花”數(shù)。它們的新奇，肯定會(huì)你躍躍欲試。只要你“從代數(shù)式中找規(guī)律，列代數(shù)式表示”，就會(huì)自覺去獵“奇”，就具備了探索精神和歸納能力。數(shù)學(xué)來源于生活，產(chǎn)生于生產(chǎn)實(shí)踐，是生活中奇的濃縮，是實(shí)踐中妙的結(jié)晶。數(shù)學(xué)的運(yùn)算，妙趣橫生。請(qǐng)你觀察這幾個(gè)數(shù)字，看出缺哪一個(gè)數(shù)字嗎？回答是缺“”。而乘以的運(yùn)算結(jié)果你知道是多少？回答是：。有的是“”吧！表面無“”，而結(jié)果都是“”。再看一個(gè)算式：。這么整齊的對(duì)稱數(shù)字，你說妙不妙？數(shù)學(xué)與生活，誰也離不開誰。、，一個(gè)星期接著一個(gè)星期，周而復(fù)始。而一個(gè)月的周歷表中，任意三橫三列排成正方形的個(gè)數(shù)的和，總是等于中的哪個(gè)數(shù)的倍。這難道不妙？數(shù)字還能變?yōu)槊烂畹囊魳?。用、七個(gè)數(shù)字，體現(xiàn)多、來、米的聲音高低與變化，組合成變化無窮的樂曲，表達(dá)人們喜、怒、哀、樂的豐富情感。按素質(zhì)教育和新課改的要求，學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)減輕了，有了充足的富余的時(shí)間。如果養(yǎng)成了自學(xué)的習(xí)慣，走進(jìn)數(shù)學(xué)的奇妙世界，在生活、生產(chǎn)中尋找數(shù)學(xué)的妙用，有利于培養(yǎng)智力和能力。如果能夠大膽探“妙”，哪怕是“異想天開”，對(duì)于開發(fā)數(shù)學(xué)思維、培養(yǎng)想象能力來說，必然是收效顯著。在開放的課外活動(dòng)中，你要去品賞數(shù)學(xué)之“趣”，讓興趣伴隨自己學(xué)習(xí)、鉆研、探索的全過程。閱讀數(shù)學(xué)家故事，能激發(fā)我們學(xué)習(xí)先哲們的鉆研奉獻(xiàn)精神，繼承先人的科學(xué)成就。參加數(shù)學(xué)辨論會(huì)，能培養(yǎng)我們的探索精神，訓(xùn)練思維的嚴(yán)密、細(xì)致和敏捷。參加智力賽和擂臺(tái)賽，能鍛煉我們的數(shù)學(xué)運(yùn)用能力，發(fā)揚(yáng)敢于爭(zhēng)先的精神。通過各種充滿情趣的活動(dòng)，養(yǎng)成愛數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣，全面提高數(shù)學(xué)能力，應(yīng)該成為同學(xué)們必要的方式和方法。數(shù)學(xué)是人類從生產(chǎn)生活和大自然中結(jié)晶出來的，其結(jié)構(gòu)、圖形、布局和形式，無一不體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，連數(shù)學(xué)的方法也是與美相對(duì)應(yīng)的。閱讀邏輯美；演算精確美；觀察布局美；思考潛在美；類比相似美；聯(lián)想和諧美；猜想啟示美；探索成功美；轉(zhuǎn)化變換美；發(fā)現(xiàn)奇異美；構(gòu)造創(chuàng)造美。數(shù)學(xué)不但體現(xiàn)了科學(xué)美，也體現(xiàn)了藝術(shù)美。例如，用電化手段作幾何圖形的旋轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ練習(xí)，用塑泥制作各種形體，用卡紙或電線制作各種圖形，通過作圖畫出美麗的圖案等。“六月飛雪”就是把一個(gè)等邊三角形的邊分為三等份，以中間一等份為邊向形外作等邊三角形，如此繼續(xù)下去，所得圖形就象一個(gè)六角形的“雪花”?！把蚰昙椤笔且哉叫蔚囊贿厼樾边?，向外作正方形，依此畫下去，所得圖形就象一個(gè)“羊頭”。這些圖形，都體現(xiàn)了對(duì)稱的藝術(shù)美。由動(dòng)腦到動(dòng)手，在親手制作體會(huì)數(shù)學(xué)美，繼而利用數(shù)學(xué)來設(shè)計(jì)創(chuàng)造美，這是數(shù)學(xué)美的升華。在獵奇中培養(yǎng)探索發(fā)現(xiàn)能力，在探妙中培養(yǎng)創(chuàng)造的靈感，在賞趣中培養(yǎng)熱愛數(shù)學(xué)的情感，在審美中培養(yǎng)創(chuàng)新的本領(lǐng)。數(shù)學(xué)的神秘世界等待著無數(shù)的志士仁人去開發(fā)。【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之三】大局思想，整體方法 羅田三里畈初中 何國(guó)炎華人諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者楊振寧博士說：“做物理就像作一幅大的畫，你要有本領(lǐng)把局部結(jié)構(gòu)畫得很精細(xì)，但是更要能總體把握，這兩點(diǎn)都要做到才行。”解數(shù)學(xué)題也是這樣，在加強(qiáng)對(duì)局部基本知識(shí)的學(xué)習(xí)、研究、分析的基礎(chǔ)上，從大局著眼，整體上把握問題，即所謂整體達(dá)到，它就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，觀察和發(fā)現(xiàn)問題的整體的結(jié)構(gòu)和特征，把一些式子和圖形看成一個(gè)整體，把握他們之間的聯(lián)系，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理，起到事半功倍而意想不到的效果。一、代數(shù)式化簡(jiǎn)求值中的整體代入法求代數(shù)式的值，就是把代數(shù)式中的每一個(gè)字母用數(shù)字代替后，再計(jì)算出結(jié)果。但是有些代數(shù)式求值不知道某個(gè)字母的取值，而另一些字母取值不知，這就要用整體代入的方法。如：已知，當(dāng)x=-2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+1的值為6，那么當(dāng)x=2時(shí)，代數(shù)式ax3+bx+1的值_。將x=-2代入式中得-8a-2b+1=6,8a+2b=-5,當(dāng)x=2時(shí)，ax3+bx+1=8a+2b+1=-5+1=-4 ,而有些求值，則只有一些字母的關(guān)系式，這就更要有縱觀大局思想，運(yùn)用整體代入的方法求值。如：x+2y+3z=10, 4x+3y+2z=15,則100-(10x+10y+10z)=_,觀求式系數(shù)相同，察已知兩式系數(shù)也有關(guān)系，故兩式相加得5x+5y+5z=25。 等式兩邊同乘以2后整體代入即能簡(jiǎn)單的求出值來。二、解方程中的整體換元法在解方程中，用上了整體的方法，使分式方程、無理方程換元后化難為易，求解簡(jiǎn)單、快捷、準(zhǔn)確。而解方程組和不定方程中，整體疊加疊乘處理，換元整體構(gòu)造方程，更是整體方法的妙用。如：求系數(shù)a、b、c間的關(guān)系式，使方程組有實(shí)數(shù)解。解：將三個(gè)方程疊加，得（a+b+c)x2+(a+b+c)x+a+b+c=0，即(a+b+c)(x2+x+1)=0,而 x2+x+1（x+）2+0 a+b+c=0；當(dāng)a+b+c=0時(shí)，方程組有實(shí)數(shù)解x=1.此解法既有整體疊加，又有a+b+c=0整體討論求解。而解方程組更是將x+=, y+=，整體換元后，以、為兩根，構(gòu)造一元二次方程為z2-10z+24=0,求解更易。三、幾何中大局構(gòu)造思想和整體方法幾何是培養(yǎng)邏輯思維能力和空間想象能力的學(xué)科，因此大局思想，整體方法更是解決復(fù)雜幾何問題茶館用的方法。由“殘部”想“整體”補(bǔ)復(fù)雜的圖形為悉知的圖形，是幾何中整體方法的具體表現(xiàn)。如圖，在四邊形ABCD中A135，BD90，BC2，AD2，則四邊形ABCD的面積為_。解本題，如果只在四邊形內(nèi)想辦法作輔助線后計(jì)算，不但不能簡(jiǎn)單解決，現(xiàn)飯作輔助線后反而把已知角的條件破壞不能用。如果從整體上觀察，BD90，ABCDEC180A45，聯(lián)想到直角三角形，并補(bǔ)形延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E，則為兩個(gè)等腰直角三角形。BCE和ADE，問題非常簡(jiǎn)單的得到解決，充分的體現(xiàn)整體方法的奇效。大局思想，整體方法，不但能使解題簡(jiǎn)單明了，而且真正理解掌握知識(shí)，更重要的是開闊了眼界，發(fā)散了思維，培養(yǎng)了能力?！尽芭c學(xué)生談數(shù)學(xué)”之四】淺談數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的整合羅田縣三里畈中學(xué) 晏紹安 數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是一個(gè)將平時(shí)所學(xué)的知識(shí)、解題方法、思維進(jìn)行的鞏固，再熟練強(qiáng)化，形成一種穩(wěn)定習(xí)慣為再創(chuàng)造提供知識(shí)和技能意識(shí)基礎(chǔ)的過程。而知識(shí)、解題方法，思維的鞏固，必須通過題目這一載體，運(yùn)用解題這種形式來實(shí)現(xiàn)，要達(dá)到再熟悉強(qiáng)化的目的，必須將題目根據(jù)知識(shí)、方法和思維訓(xùn)練的要求進(jìn)行相對(duì)的集中，重新組合，打破平時(shí)教學(xué)的時(shí)限性、階段性的限制，這就是整合。一是知識(shí)點(diǎn)的整合。理解掌握基本的知識(shí)是最起碼的要求，也是運(yùn)用知識(shí)解決問題，遷移知識(shí)的前提條件。牽涉到某一問題的知識(shí)不可能在某一章節(jié)全部出現(xiàn)，而是分散在不同年級(jí)不同章節(jié)中，學(xué)生不可避免地有蔬漏，復(fù)習(xí)的目的是要把這些分散的知識(shí)集中串起來，根據(jù)不同的題目條件運(yùn)用不同的知識(shí)解決不同的問題，在比較中理解、掌握、運(yùn)用知識(shí)。如：對(duì)于線段中點(diǎn)這一知識(shí)點(diǎn)涉及到的知識(shí)有：（）中點(diǎn)兩等分線段；（）三角形的中線；（）中位線定理；（）垂經(jīng)定理；（）中垂線定理。如圖：（）在DABC中，ABAC，D、E在BC上，且DEEC，過D作DFAB交AE于點(diǎn)F，DFAC，求證：AE平分BAC。（2）如圖：DABC中，AD是高，CE是中線，DCBE，DGCE，G是垂足。求證：(1)G是CE的中點(diǎn)；(2)B2BCE。（3）如圖，AB是圓O的直徑，直線L切圓O于E，過A、B分別作直線L的垂線，垂足分別是C、D，求證CODO，ABACBD。求證：CODO。第題，過點(diǎn)作的平行線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，利用中點(diǎn)兩等分線段可構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而證明對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)線段相等或是轉(zhuǎn)化為其他的相等關(guān)系；第題連結(jié)，利用中點(diǎn)結(jié)合直角，利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”；結(jié)合已知條件和定理“到中線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，”可以證明，。第題運(yùn)用“過梯形一腰的中點(diǎn)平行于兩底的直線必平分另一腰”，梯形中位線定理，線段中垂線性質(zhì)定理，同時(shí)可穿插復(fù)習(xí)三角形中位線定理。這樣可以通過復(fù)習(xí)具體的知識(shí)，讓知識(shí)系統(tǒng)化、細(xì)密化，在運(yùn)用中將知識(shí)深化、活化，有效化。二是解題方法規(guī)律的整合訓(xùn)練。初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的內(nèi)容多，如果運(yùn)用簡(jiǎn)單重復(fù)的題海戰(zhàn)術(shù)，不光效率低下，枯燥單調(diào)，而且極易使學(xué)生疲勞，解題的效果反復(fù)無常，甚至是以前解對(duì)的題目也很費(fèi)力才能解答，焦慮不安，喪失信心。要從題海跳出來，提高效率，達(dá)到舉一反三的目的，必須掌握同類型題目解法的內(nèi)部規(guī)律并形成自覺的運(yùn)用的習(xí)慣。如：題一，AB為圓O的直徑，BC切圓于點(diǎn)，AC交于圓O于P，E在BC上，且CEBE，求證：PE是圓O的切線。題二，在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，垂足為A，以腰BC為直徑半圓O切AD于E點(diǎn)，連結(jié)BE，若BC6，EBC30，求梯形ABCD的面積。 這兩個(gè)題都涉及到直經(jīng)和切線問題，而解決有關(guān)直徑的問題常常作輔助線構(gòu)成直徑所對(duì)的圓周角；解決有關(guān)切線的問題常常作過切點(diǎn)的半徑。運(yùn)用到這兩個(gè)規(guī)律，這兩個(gè)題目就會(huì)迎刃而解。訓(xùn)練自覺運(yùn)用規(guī)律，可以養(yǎng)成學(xué)生最后不自覺的運(yùn)用規(guī)律甚至主動(dòng)總結(jié)規(guī)律的良好習(xí)慣，最終學(xué)生會(huì)站在更高的角度，以高屋建瓴的思維，更開闊的思維審視題目，能夠不需要詳細(xì)的解題，而知道題目如何解答，極大地提高復(fù)習(xí)效率，產(chǎn)生更大的成功感和濃厚的興趣，樹立起堅(jiān)定的自信心，應(yīng)考時(shí)能夠正常發(fā)揮甚至是超常發(fā)揮。三是思維整合訓(xùn)練。中學(xué)生的思維訓(xùn)練主要是轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，發(fā)散思維創(chuàng)新思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練。轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想是解答靈活多變的題目的前提條件。如：在RtABC中，ACB90，AD平分CAB交BC于D。過作CEAD，垂足為E，CE的延長(zhǎng)線交AB于F。求證EFCE。根據(jù)題目條件可知將證明EFCE轉(zhuǎn)化成三角形三角形，根據(jù)條件按這種轉(zhuǎn)化思路問題是能夠得到證明的。如：中，于，是上點(diǎn)。于，于。求證：。這個(gè)問題可以運(yùn)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的輔助線來解決。但考慮、都是垂線段，是高，、可以轉(zhuǎn)化成三角形的高，而三角形的高與面積有關(guān)。連結(jié)，因此轉(zhuǎn)化成、的面積問題解決。發(fā)散思維的訓(xùn)練關(guān)鍵是對(duì)題目已知條件進(jìn)行發(fā)散，如：四邊形ABCD中，BD平分ABC，與互補(bǔ)，那么和是否相等?先假設(shè)ADCD。在尋求證明該結(jié)論時(shí)根據(jù)題目的兩個(gè)條件，發(fā)散不同的條件就可以得到不同的證明方法：根據(jù)BD平分ABC可以考慮運(yùn)用角平分線性質(zhì)定理來證明，過D點(diǎn)分別作BA、BC的垂線，垂足分別為E、F，證明。根據(jù)互補(bǔ)這一條件，考慮到圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，因此A、B、C、D四點(diǎn)共圓。因此、兩相等的圓周角所對(duì)的兩弦、相等。發(fā)散題目條件可以讓學(xué)生更好地熟悉題目，更有效地將題目條件和發(fā)散結(jié)論重新配置、組合，更快地解決問題。創(chuàng)新思維沒有固定的訓(xùn)練方法，在某種程度上說主要來自于靈感。靈感源于平時(shí)基本知識(shí)的熟練靈活運(yùn)用和創(chuàng)新意識(shí)。因此在平常訓(xùn)練中要有意引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新。如已知滿足方程，則。聯(lián)想到原方程可化為，、互為倒數(shù)，若一元二次方程abc（a）的兩根之積X1X2，則兩根互為倒數(shù)，因此、可以看成是方程X27的兩根，所以7/2；這是一種聯(lián)想創(chuàng)新。 如：X2有幾個(gè)解，可以用解方程的方法解答，但比較繁瑣，考慮到求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化成解方程的問題，因此這個(gè)問題就可變成拋物線yX2與雙曲線y的交點(diǎn)問題，通過分析圖象可以解答，這是一種將數(shù)與形結(jié)合的創(chuàng)新。【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之五】數(shù)形結(jié)合 開啟思維的航船 羅田縣三里畈初中 何國(guó)炎“數(shù)無形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘：幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！比A羅庚關(guān)于數(shù)形結(jié)合的這一段精辟論述，正是我們要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想和開啟思維的好方法。一、以形助數(shù)，簡(jiǎn)明直觀數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)，用形幫助解決數(shù)的問題，我們?cè)缫咽熘?，?yīng)用題中用畫線段圖幫助分析理解數(shù)量關(guān)系，就是數(shù)行結(jié)合的初現(xiàn)。例1：修一條公路，現(xiàn)已完成全長(zhǎng)的離中點(diǎn)還有16.5千米，問已修完多少米？解法一：（算術(shù)法）16.5 （ ） 33 （千米）解法二：（代數(shù)法）設(shè)已修公路為x千米，則列方程為 xx16.5,解得x33解法三：（數(shù)形結(jié)合法） 16.52=33 （千米）將全長(zhǎng)畫為線段AB看作“1”，將其三等份，每段為，E為AB中點(diǎn) ，也為CD中點(diǎn)，即CF=ED=16.5，所以全長(zhǎng)的即已修成為16.5233（千米）。三種方法，數(shù)形結(jié)合既直觀明了，又簡(jiǎn)單易算，足見形助數(shù)的奇效。個(gè)人所得稅是一個(gè)分段計(jì)稅的問題，不易理解，很容易算錯(cuò)，如果畫出下列這樣的線段圖就直觀簡(jiǎn)單。二、用數(shù)解形，細(xì)致入微幾何直觀形象，但代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算，全面、精辟、入微，而“形題數(shù)解”往往可以使求解思路新穎，且?guī)缀沃卸嘟鈫栴}可以通過轉(zhuǎn)化為解方程或方程組求出來，而不必進(jìn)行分類討論，這就是數(shù)形結(jié)合優(yōu)越性的再現(xiàn)。例2：等腰三角形的面積為2，腰長(zhǎng)為5 ，底角為 ，求tan 。此題為一幾何求值題，用幾何方法解，必須以頂角為銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類討論，才不漏解，但用下面的代數(shù)方法求解就全面細(xì)致且不漏解。解：過A作ADBC 于D，設(shè)BDx,ADy,則有x2y2() 2 又有SABC BCAD 2xy2，即xy2 ，由組成方程組，求解并檢驗(yàn)后得 tan 或2，詳細(xì)求出多解。 ( 例2圖) （例3圖）三、數(shù)形結(jié)合顯神奇形助數(shù)，數(shù)解形，數(shù)形結(jié)合見神奇。看：一個(gè)實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而平面上的點(diǎn)可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）表示。通過平面直角坐標(biāo)系這個(gè)數(shù)形結(jié)合的橋梁，一條直線就可以用數(shù)式y(tǒng)kxb(k0)表示，而函數(shù)yax2bxc（c0）的圖象則是 一條拋物線，數(shù)形在此成為一體。數(shù)形結(jié)合，既可以將數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形，也可以將幾何圖形的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。例3：已知：ABC中， C90，CD是高，求證：AC2ADAB證明：如圖，設(shè)A , cos,AC2ADAB這本是一道“用相似三角形”知識(shí)來證明的幾何問題，但通過設(shè)“元” ，利用三角函數(shù)，將幾何問題代數(shù)化，更顯出數(shù)形結(jié)合的神奇。如果說數(shù)學(xué)是知識(shí)海洋中的一艘船，若數(shù)是舵，那么三角形，四邊形不正像船上的帆，掌好數(shù)的舵，揚(yáng)起形的風(fēng)帆，數(shù)形結(jié)合開啟思維的航船，駛向知識(shí)的大洋。 【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之六】分類討論，放飛思維羅田縣三里畈初中邊 何國(guó)炎你會(huì)化簡(jiǎn)x-1嗎？你會(huì)求出 的值嗎？很多同學(xué)一定都會(huì)回答，解這些題一定要分類討論才能完成。確實(shí)如此，在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，要將問題中的對(duì)象按一定的標(biāo)準(zhǔn)，分成若干類，然后逐類討論，最后總結(jié)得出正確的結(jié)論，這就是分類討論法。怎樣運(yùn)用分類討論法解題呢？關(guān)鍵是如何正確分類，重點(diǎn)做到分類既不重復(fù)，又不遺漏，這就需要我們根據(jù)所學(xué)知識(shí)，按下列常見形式分類討論。一、根據(jù)范圍或條件的限制進(jìn)行分類討論一般的定義、定理、公式和法則都有一定的范圍或條件的要求，因此，按要求分類討論，才能正確完整解答問題。如：絕對(duì)值的法則中分為正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三方面討論，而等比性質(zhì)中 ，如：嚴(yán)重abc0,并且 p,求p的值，由等比性質(zhì)得， p,當(dāng)a+b+c0時(shí)，p2；當(dāng)a+b+c0時(shí)，即abc,p1.是按a+b+c0和a+b+c0兩種情況分類討論 。二、根據(jù)題設(shè)條件中含有字母的不同取值進(jìn)行分類討論。分類討論中含有變量或字母系數(shù)，必須按不同的取值進(jìn)行分類討論。字母系數(shù)的一元一次方程ax+b=0和一元一次不等式axb中，系數(shù)的不同取值，直接影響解答的方法和結(jié)果，一般按數(shù)的正、零、負(fù)進(jìn)行討論。而一元二次方程解的討論，也是按判別式的正、零、負(fù)進(jìn)行討論。而是否什么方程，則看系數(shù)為零不為零決定方程的次數(shù)來討論。如：求滿足如下條件的所有k值，使關(guān)于x的方程kx2+(k+1)x+(k1)0的根都是整數(shù)。此題含字母系數(shù)的方程是關(guān)于x的二次方程，還是一次方程直接受系數(shù)的影響，應(yīng)分類討論。當(dāng)k0且不等于0.5時(shí)，為一次方程；當(dāng)k0時(shí)為二次方程，還要考慮判別式，再分類討論，這是一個(gè)雙重討論的問題，分類方法更為重要。三、根據(jù)圖形位置或形狀不確定進(jìn)行分類討論幾何中圖形形狀、大小、位置是研究的對(duì)象，當(dāng)這些對(duì)象不確定時(shí)，只有通過討論才能定形定性，誰結(jié)論完整正確。三角形根據(jù)銳角、直角、鈍角分類而高有形內(nèi)、直角邊上、形外三種類型；等腰三角形由于底、腰的不確定而周長(zhǎng)需要分類討論得出；全等、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊不確定要分類討論；點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系由于相互間距離與半徑的不定關(guān)系也都分為三種類型討論；而圓中的兩條平行弦間的距離，則根據(jù)兩弦在圓的同側(cè)還是兩側(cè)而分類得出兩種不同的距離。四、根據(jù)問題條件沒有明確給出或結(jié)論不唯一進(jìn)行分類討論這類問題，只有通過分類討論，才能保證解答的嚴(yán)密性和結(jié)論的完整性。如：已知為銳角，比較sin,cos的大小。條件中的銳角又不明確，根據(jù)正弦與余弦隨角度大小變化規(guī)律，當(dāng)45，兩函數(shù)值相等為界，分為045、45、4590分類討論得出sincos、sincos 、sincos.而在坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的不確定，致使結(jié)論的不唯一，更要通過分類討論來保證結(jié)論的完整。如：已知x軸上有點(diǎn)A（-2，0），B（4，0），點(diǎn)P為直線y x+2上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，問：若APB為直角三角形，則m為何值？此題中APB的邊AB位置已定，而使APB為直角三角形，則需要考慮到哪個(gè)角為直角，故分APB90、ABP90、BAP90三類進(jìn)行討論即可。此外，對(duì)于自然數(shù)問題可按奇，偶分類或剩余類分類討論；而中考?jí)狠S題經(jīng)常用到的分類有：由點(diǎn)的不確定引起分類討論；由圖形全等或相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系不確定性引起分類討論；由圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論。分類討論既是一種重要的教學(xué)思想，更是一種常用的解題方法。它不但考察我們掌握基本概念和基本技能的程度，而且能培養(yǎng)我們思維的周密性和靈活性，使我們思考問題更加全面、嚴(yán)謹(jǐn)、周密，且靈活準(zhǔn)確 。【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之七】逆向思維與應(yīng)用羅田縣三里畈初中 李怡書在初中數(shù)學(xué)教材中有許多互逆關(guān)系的內(nèi)容，學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過程中應(yīng)該經(jīng)常用逆向思維的方法去幫助理解，學(xué)會(huì)分析解答，鞏固所學(xué)知識(shí)與方法，養(yǎng)成勤檢查的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，對(duì)自己充滿信心。在學(xué)習(xí)計(jì)算法則時(shí)，如減法法則、除法法則、開方法則分別是加法法則、乘法法則和乘方法則的應(yīng)用逆運(yùn)算。學(xué)習(xí)理解它們時(shí)，新知識(shí)建立在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合互逆的關(guān)系，學(xué)習(xí)起來淺顯易懂。如224 （2）24 那么什么數(shù)的平方等于4？4的平方根有哪些？象這樣反復(fù)對(duì)比、舉例，就不會(huì)掉解。再如計(jì)算 ，若直接通分非常復(fù)雜，甚至不可解。但如果逆用減法法則，計(jì)算起來就較為簡(jiǎn)便。即原式象這樣根據(jù)這種互逆關(guān)系計(jì)算起來簡(jiǎn)便，學(xué)習(xí)起來便可順理成章了。在學(xué)習(xí)運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，要靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行恒等變形，注意性質(zhì)的運(yùn)用與反用，還要活用。如乘法的分配律與反分配律、冪的運(yùn)算、二次根式的運(yùn)算性質(zhì)等。掌握性質(zhì)的靈活多變，反復(fù)運(yùn)用，體會(huì)到數(shù)學(xué)的靈活性與多變性。如xn=2,求x3n. 若想求出x和n來，此題不可解。若運(yùn)用冪的性質(zhì)，可化險(xiǎn)為夷。即x3n（x3n）3=23=8 .再如二次根式的乘法、除法法則與積商的運(yùn)算性質(zhì)剛好互逆。有時(shí)靈活運(yùn)用也可使計(jì)算簡(jiǎn)便。如計(jì)算如果直接采取分子、分母同乘以分母的有理化因式比較麻煩。若仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)題中隱含有條件：x0,y0.所以x=,y= .從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。即原式。象這樣仔細(xì)觀察，恰當(dāng)合理地運(yùn)用一些性質(zhì)，能夠走出困境，嘗到柳暗花明、成功的喜悅。在幾何中有許多定理也存在看互逆的關(guān)系，如平行線的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)等。注意分清定理和逆定理。體會(huì)它們之間的區(qū)別，不能魚目混珠，分辨不清。甚至經(jīng)常思考一些命題的逆命題該怎樣敘述并判斷真假，引起認(rèn)知的沖突，有利于幫助他們對(duì)知識(shí)的理解和掌握，培養(yǎng)思維的深刻性和發(fā)散性，有利于發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。在解答幾何題中，我們經(jīng)常采取執(zhí)果索因法（分析法）去分析和尋找解題途徑。甚至貫穿在代數(shù)中，這也是逆向思維的具體體現(xiàn)。如“已知關(guān)于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出k的值。如果不存在請(qǐng)說明理由.”解題時(shí)，我們也是先假設(shè)存在符合要求的根，然后順著這條思路往下找。最后看是否有符合題意（包括隱含條件），還有諸如反證法，做選擇時(shí)用到的排除法。題目做完后倒過來檢查時(shí)，也是逆向思維的應(yīng)用?？傊?，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們要進(jìn)行一些反思，多學(xué)一點(diǎn)數(shù)學(xué)的思想方法，多一點(diǎn)分析的方法、多一點(diǎn)刨根問底的精神、多一點(diǎn)檢查的習(xí)慣，定會(huì)收到事半功倍的良好效果?！尽芭c學(xué)生談數(shù)學(xué)”之八】數(shù)學(xué)解題原則 三里畈初中 何群科 解數(shù)學(xué)題，就其本身而言，也要有明確的目的性-實(shí)現(xiàn)題目的要求，始終想著目標(biāo)，圍繞目標(biāo)，進(jìn)行變換，要抓住條件，緊扣目標(biāo)，廣泛聯(lián)想，全面考慮問題，注意思維的廣闊性，多角度多側(cè)面的思考問題，若從一個(gè)方面看問題思路受阻，就應(yīng)調(diào)整觀察分析問題的角度，從另一個(gè)側(cè)面思考問題，從不同的方向探索思路?！笆炷苌伞?，要想解決問題，必須深刻熟練地掌握知識(shí)，對(duì)知識(shí)形成條件反射，看到問題條件和目標(biāo)，就能聯(lián)想到與此有關(guān)的知識(shí)，這是分析問題的基礎(chǔ)。 解數(shù)學(xué)題，實(shí)質(zhì)上就是應(yīng)用數(shù)學(xué)中各種思維方法與知識(shí)，對(duì)問題作出一系列恰當(dāng)?shù)?、巧妙的轉(zhuǎn)換。這種轉(zhuǎn)換，要由具體問題決定，可變換題目的條件，導(dǎo)出目標(biāo)；也可變換題目的目標(biāo)，逆向追溯題設(shè)條件；也可同時(shí)變換題目的條件和目標(biāo)，在變換中求得一致，得到解決。在轉(zhuǎn)化方向上，我們總是遵循一些原則。如簡(jiǎn)單化原則、熟悉化原則、同一化原則、模式化原則等。自覺地遵循這些原則，能使我們更好地把解題方向，少走彎路，更快地打開解題思路。（一）簡(jiǎn)單化原則 所謂簡(jiǎn)單，就是把比較復(fù)雜的問題，通過變換，變成比較簡(jiǎn)單的問題的問題，把解決復(fù)雜問題歸結(jié)為解決簡(jiǎn)單的問題，或通過問題的簡(jiǎn)單化，獲得解決復(fù)雜問題的思路。（二）熟悉化原則 在解題中，我們常常碰到非常陌生的問題，與所學(xué)的知識(shí)很難聯(lián)系，無從插手，在這種情況下，我們就要考慮能否將此問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的、會(huì)解的問題，通過熟悉問題的解決，得到原問題的解決。（三）同一化原則 在解題中，常常需要減少不同元素，縮短條件和目標(biāo)的距離，以此探索解題思路，這就是轉(zhuǎn)換的同一化原則。這種轉(zhuǎn)化，在數(shù)學(xué)中經(jīng)常見到。如代數(shù)中解多元方程組，要消元，變成一元方程求解；解一元二次方程，要降冪，變成一元一次方程求解；解一元高次方程，可通過因式分解，變成一元一次方程或一元二次方程求解。在三角函數(shù)中，常常將不同名三角函數(shù)，變成同名三角函數(shù)，或盡量減少不同名三角函數(shù)的種數(shù)。將不同角變成相同角，或盡量減少不同角的種數(shù)。將高次變低次，盡量為使用三角公式創(chuàng)造條件?？傊诮忸}中，將元素統(tǒng)一，將條件和目標(biāo)統(tǒng)一，將新問題和會(huì)解的問題統(tǒng)一，是更重要的解題思考方法。（四）模式化原則 在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用過程中，對(duì)知識(shí)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想逐漸形成數(shù)學(xué)模式。利用已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模式，不斷去認(rèn)識(shí)新事物，解決新問題，反過來又會(huì)不斷豐富、完善以至改變?cè)械臄?shù)學(xué)模式，一個(gè)人的解題思路是否開闊，在很大程度上取決于這個(gè)人建立數(shù)學(xué)模式的多少和運(yùn)用數(shù)學(xué)模式的熟練程度。很多習(xí)題，只要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題型結(jié)構(gòu)，或只須稍加變換，便可把它納入到某個(gè)統(tǒng)一的模式，思路明朗化，問題得到解決。 數(shù)學(xué)具有和諧美的特征，美與真在數(shù)學(xué)命題和數(shù)學(xué)解題中常常是統(tǒng)一的，因此，我們?cè)跀?shù)學(xué)解題，可以根據(jù)數(shù)、式、形的和諧美，去思考問題、猜測(cè)問題，幫助我們打開解題思路，指明解題方向?！尽芭c學(xué)生談數(shù)學(xué)”之九】談“空間與圖形”的入門學(xué)習(xí)三里畈初中 何先忠 豐軍明我們生活在三維空間，豐富多彩的圖形世界給“空間與圖形”的學(xué)習(xí)提供了大量現(xiàn)實(shí)有趣的素材，在學(xué)習(xí)時(shí)空要充分利用現(xiàn)實(shí)世界的物體，通過觀察大量豐富的立體、平面圖形，加強(qiáng)對(duì)圖形的直觀認(rèn)識(shí)和感受，從中發(fā)現(xiàn)幾何圖形，歸納出常見幾何體的基本特征，從而更好地把握?qǐng)D形。在初學(xué)“空間與圖形”這部分內(nèi)容時(shí)應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：一、 注意概念間的聯(lián)系，在對(duì)比中加深理解在初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，涉及的概念比較多，大多數(shù)概念，前兩個(gè)學(xué)段我們都接觸過，許多概念之間都有著密切的聯(lián)系和區(qū)別，把握了這些聯(lián)系和區(qū)別，就能更好地理解這些概念。例如，直線、射線、線段三個(gè)概念聯(lián)系密切，它們是直的；同時(shí)它們之間又有區(qū)別，端點(diǎn)個(gè)數(shù)不同，因而長(zhǎng)度有有限與無限之分。在學(xué)習(xí)線段的和、差、中點(diǎn)與研究角的和、差、角平分線，其內(nèi)容方法都很相似，學(xué)習(xí)時(shí)把它們進(jìn)行對(duì)比。例如，“點(diǎn)是線段的中點(diǎn)”可以寫成AMMB12AB；在學(xué)習(xí)角平分線時(shí)，可以寫出OB是AOC的平分線的式子AOBBOC12AOC，這樣在對(duì)比中學(xué)習(xí)可以更好地理解和掌握相關(guān)知識(shí)。二、 注意三種語言的互譯AMMmmmmMB數(shù)學(xué)語言是在數(shù)學(xué)思維中產(chǎn)生和發(fā)的，是數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，通常數(shù)學(xué)語言可以分為三種：文字語言、符號(hào)語言和圖形語言。圖形是將幾何模型第一次抽象后的產(chǎn)物，是形象、直觀的語言；文字語言是對(duì)圖形的描述、理解與討論；符號(hào)語言是對(duì)文字語言的簡(jiǎn)化和再次抽象。在學(xué)習(xí)時(shí)要注意它們之間的互化。例如：在一段直跑道上取中點(diǎn)，其圖形語言為PA可以將其譯為文字語言：點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)；用幾何語言表述：AMMB12AB。如AOPBOP，譯成圖形語言如圖：BO轉(zhuǎn)化為文字語言：OP是AOB的角平分線。三、 注意推理能力的訓(xùn)練在學(xué)習(xí)的時(shí)候不僅要通過觀察、思考、探究等活動(dòng)歸納出圖形的概念和性質(zhì)，還要“說點(diǎn)兒理”，把它作為通過實(shí)驗(yàn)探究得到結(jié)論的自然延續(xù)。AOBCDE例如：OB是AOC的平分線，OD是COE的平分線，如果AOB400，DOE300，那么BOD是多少度？在這里不僅會(huì)求出BOD的度數(shù)，還應(yīng)明白這樣做的理由，能用數(shù)學(xué)語言表述出來。如果同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)的時(shí)候，能加強(qiáng)以上幾個(gè)方面的訓(xùn)練，就不愁學(xué)不好幾何噢！【“與學(xué)生談數(shù)學(xué)”之十】談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法羅田縣三里畈初級(jí)中學(xué) 鄂盛林剛剛步入初中的學(xué)生對(duì)如何學(xué)好數(shù)學(xué)，如何適應(yīng)初中教師的課堂教學(xué)感到很困惑，往往因?yàn)橐婚_始沒有調(diào)整好學(xué)習(xí)方法，或者是不適應(yīng)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了興趣，導(dǎo)致了學(xué)習(xí)成績(jī)的下降。針對(duì)這種情況，我就根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的幾個(gè)環(huán)節(jié)（預(yù)習(xí)、上課、復(fù)習(xí)鞏固與作業(yè)、總結(jié)），從宏觀上談?wù)剶?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法。一、課前預(yù)習(xí)方法初一學(xué)生往往不善于預(yù)習(xí)，也不知道預(yù)習(xí)起什么作用，預(yù)習(xí)僅是流于形式，草草看一遍，看不出問題和疑點(diǎn)。我認(rèn)為學(xué)生在預(yù)習(xí)時(shí)應(yīng)該做到：一讀，先粗略瀏覽教材的有關(guān)內(nèi)容，掌握本節(jié)知識(shí)的概貌。二分析，對(duì)重要概念、公式、 法則、定理反復(fù)閱讀、體會(huì)、思考，注意知識(shí)的形成過程，對(duì)難以理解的概念作出記號(hào)，以便帶著疑問去聽課。三準(zhǔn)備，在課前就要做好上這堂課的準(zhǔn)備，如學(xué)習(xí)用具（包括文具和自制的一些學(xué)具）、相關(guān)學(xué)習(xí)資料等等。例如：我們?cè)趯W(xué)習(xí)幾何第一章平面圖形和立體圖形這一節(jié)課前，就可以先將教材瀏覽一遍，初步了解這一節(jié)知識(shí)是要學(xué)會(huì)認(rèn)識(shí)一些平面圖形和立體圖形，以及平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，然后就需要分析一下這一節(jié)課的知識(shí)要點(diǎn)應(yīng)該是平面圖形與立體圖形的認(rèn)識(shí)，而難點(diǎn)則是平面圖形與立體圖形的聯(lián)系，最后就是要為上課做好準(zhǔn)備，如收集一些平面圖形和立體圖形的圖案和模型等等?？傊覀冎挥凶龊昧苏n前的預(yù)習(xí)，做到有的放矢，上起課來就會(huì)覺得很輕松。實(shí)踐證明，養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，能使我們變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，同時(shí)能逐漸培養(yǎng)自學(xué)能力。二、課堂學(xué)習(xí)方法課堂學(xué)習(xí)主要是要做到“聽講”、“思考”、“探究”、“記筆記”相結(jié)合?！奥犞v”包括聽老師講和聽同學(xué)講。聽老師講主要是聽知識(shí)的引入過程，對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的要求，以及對(duì)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)的點(diǎn)撥。聽同學(xué)講就是要了解別人對(duì)問題的分析和解法，或者是對(duì)新知識(shí)學(xué)習(xí)的疑問。“思考”就是思維。沒有思維，就不能真正的參與課堂學(xué)習(xí)。在思維方法上要注意以下幾點(diǎn)：（1）多思、勤思，隨聽隨思；（2）深思，即追根溯源地思考，善于大膽提出問題；（3）善思,由聽和觀察去聯(lián)想、猜想、歸納；（4）樹立批判意識(shí)，學(xué)會(huì)反思?！疤骄俊本褪且獙W(xué)會(huì)與同學(xué)交流合作。在探究的過程中應(yīng)注意做到：（1）要明確探究的問題；（2）在“思考”的基礎(chǔ)之上要敢于發(fā)表自己的看法，要以理服人；（3）要學(xué)會(huì)聽取別人的意見，做到取長(zhǎng)補(bǔ)短。（4）經(jīng)過探究之后要找到解決問題的最佳方法，使自己的知識(shí)、能力得到升華?！坝浌P記”很多同學(xué)都能做到，但是初一學(xué)生一般不會(huì)合理記筆記，通常是教師黑板上寫什么學(xué)生就抄什么，往往是用“記”代替“聽”和“思”。有的筆記雖然記得很全，但收效甚微。因此我們?cè)谧鞴P記時(shí)應(yīng)該做到：（1）記筆記服從聽講，要掌握記錄時(shí)機(jī)；（2）記要點(diǎn)、記疑問、記解題思路和方法；（3）記小結(jié)、記探究結(jié)論、記課后思考題等?？傊?，只有做好了以上幾個(gè)環(huán)節(jié)，我們?cè)谡n堂學(xué)習(xí)中就會(huì)事半功倍，收到良好的學(xué)習(xí)效果。三、課后復(fù)習(xí)鞏固及完成作業(yè)方法。 初一學(xué)生課后往往容易急于完成書面作業(yè)，忽視必要的鞏固、記憶、復(fù)習(xí)。以致出現(xiàn)照例題模仿、套公式解題的現(xiàn)象，造成為交作業(yè)而做作業(yè)，起不到作業(yè)的練習(xí)鞏固、深化理解知識(shí)的應(yīng)有作用。為此在這個(gè)環(huán)節(jié)我們應(yīng)該每天先閱讀教材，結(jié)合筆記記錄的重點(diǎn)、難點(diǎn)，回顧課堂講授的知識(shí)、方法，同時(shí)記憶公式、定理（記憶方法有類比記憶、聯(lián)想記憶、直觀記憶等）。然后獨(dú)立完成作業(yè)，解題后再反思。在作業(yè)書寫方面也應(yīng)注意“寫法”，在書寫格式上要規(guī)范、條理要清楚。為了作到這一點(diǎn)，我們應(yīng)該注意訓(xùn)練自己的一些做作業(yè)的能力：（1）將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言的能力；（2）將推理思考過程用文字書寫表達(dá)的能力； （3）正確地由條件畫出圖形的能力。這里可以根據(jù)教師的示范有意的模仿、訓(xùn)練，逐步養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣，這對(duì)今后的學(xué)習(xí)和工作都十分 重要。 四、小結(jié)或總結(jié)方法。 在進(jìn)行單元小結(jié)或?qū)W期總結(jié)時(shí)，初一學(xué)生容易依賴?yán)蠋?，?xí)慣教師帶著復(fù)習(xí)總結(jié)。我認(rèn)為從初一開始就應(yīng)培養(yǎng)我們學(xué)會(huì)自己總結(jié)的習(xí)慣。一般要做到以下幾點(diǎn)：一看：看書、看筆記、看習(xí)題，通過看，回憶、熟悉所學(xué)內(nèi)容；二列：列出相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，標(biāo)出重點(diǎn)、難點(diǎn)，列出各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，這相當(dāng)于寫出總結(jié)要點(diǎn)；三做：在此基礎(chǔ)上有目的、有重點(diǎn)、有選擇地解一些各種檔次、類型的習(xí)題，通過解題再反饋，發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，還應(yīng)學(xué)會(huì)將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用于生活，用來解決一些實(shí)際的生活問題。最后歸納出體現(xiàn)所學(xué)知識(shí)的各種題型及解題方法。應(yīng)該說學(xué)會(huì)總結(jié)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最高層次。作為初一年級(jí)的學(xué)生，我們只有掌握了科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，并將這些方法應(yīng)用于平常的學(xué)習(xí)當(dāng)中，我們就一能學(xué)好數(shù)學(xué)?！尽芭c學(xué)生談數(shù)學(xué)”之十一】由一個(gè)學(xué)生課堂錯(cuò)誤想到的羅田縣三里畈中學(xué) 晏紹安題記：教學(xué)分式的基本性質(zhì)分式的分子、分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)整式（不為0），分式的值不變。通過與分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)類比感悟性質(zhì)后，教學(xué)例題：填空YX（ ）X2（X0），一個(gè)同學(xué)填的是Y2。有幾位同學(xué)小聲嗤笑起來，犯錯(cuò)誤的同學(xué)很沒面子。我說：“你犯了一個(gè)很好的錯(cuò)誤。”我突然想到：學(xué)生好的錯(cuò)誤是一種可遇而不可求的教學(xué)資源。課堂教和學(xué)的效果反饋信息有兩個(gè)來源：一是課堂上學(xué)生的解答；二是課后的作業(yè)。課后作業(yè)的反饋信息較為滯后，課堂上學(xué)生解答的反饋信息更及時(shí)一些。因此藝術(shù)地處理課堂上學(xué)生的錯(cuò)誤，是及時(shí)調(diào)整教學(xué)的需要，也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行的挫折教育。一、 讓學(xué)生辨錯(cuò)，教師不要輕易定論錯(cuò)誤。課堂上學(xué)生愿意解答問題除了主動(dòng)學(xué)習(xí)知識(shí)外，從心理上講是一種表現(xiàn)欲望和信心、興趣的體現(xiàn),渴望得到同學(xué)特別是教師的肯定和表?yè)P(yáng)，有的錯(cuò)誤是學(xué)生創(chuàng)新和探索而導(dǎo)致的。教師的否定在某種意義上說是一種傷害，教師所應(yīng)該做的就是迅速而又很客氣地請(qǐng)同學(xué)坐下。其他同學(xué)如果沒有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤教師就用“仔細(xì)看看”之類的話語進(jìn)行提醒。同學(xué)互相指出的錯(cuò)誤更容易被接受，即使犯錯(cuò)誤的同學(xué)不服氣也會(huì)和其他的同學(xué)一起認(rèn)真聽其原因。這樣全體同學(xué)參與，互相辨駁、探討，就會(huì)越辨越明，找到錯(cuò)誤原因，共同提高。二、 讓同學(xué)糾錯(cuò)，教師不要輕易動(dòng)手改錯(cuò)。定論錯(cuò)誤以后，全體同學(xué)渴求的是如何改正錯(cuò)誤才能使解答正確？一般情況下學(xué)生首先想到的是