（理論物理專業(yè)論文）原子分子玻色愛因斯坦凝聚系統(tǒng)的量子動力學(xué)研究.pdf

原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚系統(tǒng) 的量子動力學(xué)研究 理論物理專業(yè) 研究生郭俊杰指導(dǎo)教師謝征微 摘要隨著稀薄堿金屬原子氣體中玻色一愛因斯坦凝聚( b o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o n ，縮寫為b e c ) 現(xiàn)象的實現(xiàn)，原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚系統(tǒng) 已經(jīng)引起了人們的極大興趣。通過磁場f e s h b a c h 共振技術(shù)，人們可以有效調(diào)節(jié) 原子間的相互作用從而達到操控該系統(tǒng)的目的；特別地，在共振磁場附近，系 統(tǒng)會呈現(xiàn)出豐富的物理性質(zhì)。 在理論研究方面，已有的工作大多只考慮了初態(tài)處于?？藨B(tài)時系統(tǒng)的動力 學(xué)行為，對相干態(tài)系統(tǒng)的關(guān)注不夠。本論文將采用量子方法和相空間的準(zhǔn)幾率 分布函數(shù)一q 函數(shù)來研究一個二分量玻色原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚體系統(tǒng) 當(dāng)初態(tài)處于福克態(tài)和相干態(tài)時的演化行為。 本篇論文的內(nèi)容分為兩章。第一章主要介紹了b e c 的基礎(chǔ)內(nèi)容、實現(xiàn)b e c 的相關(guān)技術(shù)、g r o s s p i t a e v s k i i 方程( 簡稱g - p 方程) 以及已有的一些重要的 理論工作。第二章是對一個二分量玻色原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚體系統(tǒng)動 力學(xué)性質(zhì)的研究。我們首先將描述系統(tǒng)的哈密頓量直接數(shù)值對角化，然后借鑒 前人關(guān)于激光與冷原子相互作用系統(tǒng)的研究成果，利用相空間的準(zhǔn)幾率分布函 數(shù)一q 函數(shù)分別研究了初態(tài)處于?？藨B(tài)和相干態(tài)兩種情況下系統(tǒng)的演化行為，比 較了二者的差別，并探討了粒子間非線性相互作用對系統(tǒng)演化的影響。此外我 們還討論了系統(tǒng)中原子一分子轉(zhuǎn)化效率的問題。由于粒子間的非線性相互作用可 通過外場調(diào)節(jié)，所以該研究除了可以加深對原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚體系 統(tǒng)中非線性現(xiàn)象的理解外，還可以為操控該系統(tǒng)及其在精密測量上的應(yīng)用提供 有用的信息。 關(guān)鍵詞：原子分子玻色一愛因斯坦凝聚體準(zhǔn)幾率分布函數(shù)非線性相 互作用 u q u a n t u md y n a m i c si naa t o m - - m o l e c u l e b o s e - - e i n s t e i n c o n d e n s a t e m a j o r i nt h e o r e t i c a ip h y s i c s p o s t g r a d u a t eg u oj u n j i es u p e r vis o rp r o f e s s o rx i ez h e n g w e i a b s t r a c tw i t ht h ee x p e r i m e n t nr e a l 【i z a t i o no fab o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e ( b e c ) i nd i l u t ea l k a l ig a s e s ，t h es y s t e mo fa t o m m o l e c u l eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e sh a ss t i m u l a t e dg r e a ti n t e r e s ti nt h ef i e l do fu l t r a c o l dp h y s i c s r e s o r tt om a g n e t i c f e s h b a c hr e s o n a n c e ，p h y s i c i s t sh a v eb e e na b l et om a n i p u l a t et h es y s t e mb yc o n t r o l i n gt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na t o m s p a r t i c u l a r l y , t h es y s t e ms h o w sv e r yr i c hp r o p e r t y n e a rt h em a g n e t i cf i e l do fr e s o n a n c e a sf o rt h e o r e t i c a lr e s e a r c h ，m o s te f f o r t sp a ya t t e n t i o nt ot h es y s t e mo ff o c k s t a t e s ，a n df e wa r t i c l e sr e f e rt ot h es i t u a t i o no fc o h e r e n ts t a t e s b yq u a n t u mm e a n s a n dt h eqf u n c t i o no fp h a s es p a c e ，t h i st h e s i sw i l ls t u d yt h ee v o l u t i o nd y n a m i c so fa t w o - - m o d ea t o m - m o l e c u l eb o s e - - e i n s t e i nc o n d e n s a t es y s t e mw h o s ei n i t i a ls t a t ei si na f o c ks t a t ea n dac o h e r e n ts t a t er e s p e c t i v e l y t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri sar e v i e wa b o u tt h e b a s i cc o n t e n t so fb e c ，r e l e v a n te x p e r i m e n t a lt e c h n i q u e s ，g r o s s p i t a e v s k i ie q u a t i o n ( g pe q u a t i o n ) a n ds o m ei m p o r t a n tt h e o r e t i c a lj o b s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t u d y t h ed y n a m i c a lp r o p e r t yo fat w o - m o d ea t o m m o l e c u l eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s y s t e m w ed i a g o n a l i z et h eh a m i l t o n i a nf i r s t u s i n gt h eqf u n c t i o n ，w es t u d yt h e t e m p o r a le v o l u t i o nd y n a m i c so ft h es y s t e mf o rt w od i f f e r e n ti n i t i a ls t a t e s ，af o c k s t a t ea n dac o h e r e n ts t a t e c o m p a r et h ed i f f e r e n c ea n dr e s e a r c ht h ee f f e c t so ft h e n o n l i n e a ri n t e r a c t i o nt ot h ee v o l u t i o nd y n a m i c so ft h es y s t e m e l s e ，w er e f e rt ot h e c o n v e r s i o ne f f i c i e n c yb e t w e e na t o m sa n dm o l e c u l e s a st h en o n l i n e a ri n t e r a c t i o n i i i c a l lb ea d j u s t e de a s i l y , t h es t u d yc o u l dg i v eu ss o m eu s e f u li n f o r m a t i o nf o ru n d e r - s t a n d i n gt h en o n l i n e a rp h e n o m e n ai na t o m m o l e c u l eb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n s y s t e m s ，m a n i p u l a t i n gb e cs y s t e m sa n dp r e c i s em e a s u r e m e n t k e yw o r d s ：a t o m - m o l e c u l eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s q u a s i p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o nf u n c t i o n sn o n l i n e a ri n t e r a c t i o n i v 四川師范大學(xué)學(xué)位論文獨創(chuàng)性及 使用授權(quán)聲明 本人聲明：所呈交學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師進延徵塾捶指導(dǎo)下，獨立進 行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其 他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品或成果。對本文的研究做出重要貢獻的 個人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān)。 本人承諾：已提交的學(xué)位論文電子版與論文紙本的內(nèi)容一致。如因不符而 引起的學(xué)術(shù)聲譽上的損失由本人自負。 本人同意所撰寫學(xué)位論文的使用授權(quán)遵照學(xué)校的管理規(guī)定： 學(xué)校作為申請學(xué)位的條件之一，學(xué)位論文著作權(quán)擁有者須授權(quán)所在大學(xué)擁 有學(xué)位論文的部分使用權(quán)，即：1 ) 已獲學(xué)位的研究生必須按學(xué)校規(guī)定提交印刷 版和電子版學(xué)位論文，可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫供檢 索；2 ) 為教學(xué)、科研和學(xué)術(shù)交流目的，學(xué)?？梢詫⒐_的學(xué)位論文或解密后的 學(xué)位論文作為資料在圖書館、資料室等場所或在有關(guān)網(wǎng)絡(luò)上供閱讀、瀏覽。 本人授權(quán)中國科學(xué)技術(shù)信息研究所將本學(xué)位論文收錄到中國學(xué)位論文全 文數(shù)據(jù)庫，并通過網(wǎng)絡(luò)向社會公眾提供信息服務(wù)。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名：亨fc 是王 導(dǎo)師簽名：；玳氣工 犰 簽字目期：2 。，年r 月多 日 簽字日期：如【年月 日 第一章玻色一愛因斯坦凝聚 1 1 玻色一愛因斯坦凝聚( b e e ) 簡介 玻色一愛因斯坦凝聚開始于印度物理學(xué)家s b o s e 對p l a n c k 黑體輻射問題 的研究。在假設(shè)光子可以被看作是全同粒子的基礎(chǔ)上，b o s e 于1 9 2 4 年重新考 慮了p 1 a n c k 黑體輻射問題并精確推導(dǎo)出p l a n c k 公式【l 】；e i n s t e i n 意識到b o s e 工作的重要性并把這種方法推廣到了全同粒子理想氣體【2 】，這就是著名的 b o s e e i n s t e i n 統(tǒng)計。在此基礎(chǔ)上，e i n s t e i n 于1 9 2 5 年指出在溫度足夠低的情 況下理想玻色氣體中的原子會聚集在基態(tài)，這種現(xiàn)象稱為玻色一愛因斯坦凝聚。 在此后的半個世紀內(nèi)，由于找不到降低原子溫度的有效方法，有關(guān)b e g 的 實驗研究進展緩慢。直到二十世紀八十年代，華裔物理學(xué)家朱棣文( s c h u ) 等 人發(fā)展起來的激光冷卻技術(shù) 3 叫終于開啟了超冷原子物理研究的大門；他所在的 小組首次把鈉原子冷卻到了2 4 0 肚，讓人們看到了b e c 的曙光。隨后發(fā)明的 磁光阱( m o t ) 【7 j 技術(shù)和氣室m o t 8 】技術(shù)進一步促進了超冷原子物理研究的迅速發(fā) 展。1 9 9 5 年，美國科羅拉多大學(xué)和美國國家標(biāo)準(zhǔn)局的聯(lián)合天體物理實驗室 ( j i l a ) 、r i c e 大學(xué)和m i t 的研究小組先后成功地將稀薄堿金屬原子氣體冷卻 到了量子簡并狀態(tài)，從而在實驗室里真正實現(xiàn)了b e c 9 - l l 】。 下面分三小節(jié)介紹玻色一愛因斯坦凝聚的基礎(chǔ)內(nèi)容。 1 1 1 玻色子和費米子 按照自旋的不同，基本粒子可以被分為玻色子和費米子。自旋為整數(shù)倍h 的 粒子稱為玻色子，最常見的玻色子是光子，它的自旋是h 。自旋為半整數(shù)倍h 的 粒子稱為費米子，如質(zhì)子、中子、電子等都是費米子，它們的自旋為忽2 。那 么如何判斷一個復(fù)合粒子到底是玻色子還是費米子呢? 比如說要判斷一個堿金 屬原子屬于玻色子還是費米子，就要看它所包含的基本粒子的自旋之和是殼的 整數(shù)倍還是半整數(shù)倍，如果是整數(shù)倍，這個粒子就是玻色子；反之，如果和是 半整數(shù)倍，它就是費米子。因為原子核內(nèi)的質(zhì)子數(shù)等于核外的電子數(shù)，也就是 說質(zhì)子的自旋與電子自旋的和是整數(shù)倍的殼，所以原子核內(nèi)中子的數(shù)目就決定 了這個原子是玻色子還是費米子；因為中子本身就是費米子，所以中子數(shù)為偶 數(shù)的原子是玻色子，中子數(shù)是奇數(shù)的原子為費米子。 玻色子和費米子遵守完全不同的統(tǒng)計規(guī)律。費米子受泡利不相容原理的限 制，服從f e r m i d i r a c 統(tǒng)計規(guī)律，即一個量子態(tài)上最多只能容納一個費米子， 它們在溫度很低時會形成費米海。玻色于滿足b o s e e i n s t e i n 統(tǒng)訓(xùn)，聚集在同 一個量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制，當(dāng)溫度很低時，在無相互作用( 在實際系統(tǒng) 中粒子間會存在微弱的相可作用) 的原子氣體中，眾多的玻色子會同時處在 基態(tài)上，形成b e c 。罔11i 是1 l i ( 玻色原子) 和6 l i ( 費米原子) 氣體在低 溫下的實驗結(jié)糶i i “。從圖中我們可以看出當(dāng)溫度降低時7 f 氣體出現(xiàn)r 凝聚現(xiàn) 象，而6 血氣體的尺寸達到一定值時就不再減小。實際上，只有在非常低的溫 度下( 一般溫度至少要降低到肚量級) ，玻色子體系和費米子體系才會表現(xiàn)出 各自明顯的宏觀量子統(tǒng)計性質(zhì)。 圖111 低溫下7 l i 和6 l i 氣體的統(tǒng)計性質(zhì) 2 簡單的冷原子圖像 微觀粒f 的波粒二象件可以由德布羅意關(guān)系式表達如下： = h p ( 1l _ 1 v = e h( 1 1 2 ) k = h 4 2 7 d 1 4 k 口t ( 1 1 3 ) ( 1 1 3 ) 式中乃。是原子的德布羅意波長。當(dāng)溫度比較高( 比如在室溫下) 時德布羅意波長遠遠小于原子間的平均距離，這時原子就會表現(xiàn)出經(jīng)典粒子的 行為，如圖1 1 2 ( a ) 所示；圖1 1 2 ( b ) 表示的是德布羅意波長會隨著溫度 的降低而逐漸增大，當(dāng)它與原子間的平均距離可比擬時，原子就會表現(xiàn)出波動 性，此時的原子可以被當(dāng)作波包來處理。如果繼續(xù)降低原子的溫度，德布羅意 波長就會進一步增大，這些波包就會交疊起來而無法分辨，原子會表現(xiàn)出明顯 的波動現(xiàn)象，如圖1 1 2 ( c ) 所示。只有在溫度降低到使兩個波包無法分辨的 情況下，粒子的量子統(tǒng)計特性才會強烈地影響粒子的行為，這時玻色子會形成 b e c ，費米子會形成費米海。如圖1 1 3 所示。 g 卜z 幗 ( a ) 如 ， 圖1 1 2 隨著溫度的降低，原子表現(xiàn)出波動性 哥冒 t c 壘_ a 氣體 酶低溫度 圖1 1 3 玻色子與費米子在低溫下不同的量子行為 色子 米子 1 1 3 理想氣體的b e c 在熱平衡狀態(tài)下，考慮溫度為t 時由n 個全同、近獨立的玻色子組成的系 統(tǒng)，如果以t ，表示處于島能級的平均粒子數(shù)，則有瓦，= 1 ( e x p ( 6 - a ) k 占t - i ) 。 其中，k 口是玻耳茲曼常量，為粒子的化學(xué)勢。 在體積v 內(nèi)，能量在占到o o + d 占之間的粒子的可能的狀態(tài)數(shù)為： d ( 占) d 占：_ 2 n f v ( 2 m3 2 e 1 2 d 占 ( 1 1 4 ) 結(jié)合玻色分布公式，可得相應(yīng)的粒子數(shù)為： 柳= 等( 2 礦 ， 對上式積分，可得體積v 內(nèi)系統(tǒng)的總粒子數(shù)： = 等c 2 釅霧篙 “， 由( 1 1 6 ) 式可知，在總粒子數(shù)給定的情況下，降低系統(tǒng)的溫度丁就 會使化學(xué)勢升高。考慮到理想玻色氣體的化學(xué)勢恒小于零，則系統(tǒng)有一個 臨界溫度乏，使得當(dāng)t = 疋時，達到最大值。此時 = 等c 2 霧斃= 一r 萬x 1 2 d x ， 其中 f 。o x = 2 6 1 2 ( 1 1 8 ) ,xld2dxjo e1 、1 1 。7 由式( 1 1 7 ) 可得臨界溫度為： 正= 麗h 2 麗n 萬) 2 3 ( 1 1 9 由于化學(xué)勢。t _ 百d , w r 零，所以當(dāng)系統(tǒng)的溫度t 時，總粒子數(shù)將不再 是一個常數(shù)，這是不合理的。 系統(tǒng)的實際粒子數(shù)應(yīng)為： 4 = 莩恥莩南 實際上，在上面的推導(dǎo)過程中做變換= s od ( 占) 如時，漏掉了能級s = 0 上的粒子數(shù)： = 志 考慮到( 1 1 1 1 ) 式，則實際系統(tǒng)的總粒子數(shù)應(yīng)為： + 等c 2 礦i 高 當(dāng)溫度足夠高時，處在能級占= 0 的粒子非常少，可以忽略。但在低溫下情 況就不同了，特別地，當(dāng)t = 0 時，( 1 1 1 2 ) 式右邊的第二項將變?yōu)榱?，于?有n = n 。，這就意味著玻色子全部集聚在s = 0 的能級上，即系統(tǒng)中出現(xiàn)了玻色 一愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。此外，由式( 1 1 9 ) 我們可以看出，實現(xiàn)b e c 的方法有 兩種：第一種方法是降低系統(tǒng)的溫度丁，使其低于臨界溫度r ；第二種方法是 提高原子云的密度，使其大于給定溫度下的臨界密度。實驗室里產(chǎn)生b e c 通常 采用第一種方法。 1 2 實現(xiàn)b e o 的相關(guān)技術(shù) 實現(xiàn)原子系統(tǒng)的玻色一愛因斯坦凝聚的關(guān)鍵是要將原子氣團的溫度降低到 至少肚量級。1 9 7 5 ，h a n s c h 和s h a w l o w 等人提出了利用共振激光使原子減速 的冷卻方法【l 引。之前，l e t o h o v 等人也于1 9 6 8 年發(fā)現(xiàn)共振散射的偶極作用力可 以減慢原子的速度從而將原子俘獲在光束之中。然而，真正突破性的技術(shù)是 1 9 8 5 年朱棣文( s c h u ) 等人發(fā)展起來的激光冷卻技術(shù)，通過這種技術(shù)，朱棣 文等人首次把鈉原子冷卻到了2 4 0 以。1 9 8 6 年，d a li b a r d 和p r i t c h a r d 發(fā)展 了磁場和光結(jié)合的冷卻技術(shù)。在此基礎(chǔ)上，朱棣文等人和c o h e n t a n n o u d j i 的 研究小組提出的冷卻方案可以把氦原子在一個方向上冷卻到1 肚。最終在1 9 9 5 年，w e i m a n 的研究小組成功地把稀薄銣原子氣體冷卻到0 1 7 肚，從而首次在 實驗室里實現(xiàn)了原子的玻色一愛因斯坦凝聚。 1 2 1 激光冷卻與磁光阱技術(shù) 根據(jù)多譜勒效應(yīng)，我們知道當(dāng)原子在頻率稍微低于其躍遷能級差且相向傳 播的激光束中運動時，原子一般會吸收與它作相向運動的光子，而很少吸收與 它運動方向相同的光子。光子被原子吸收后隨即就會自發(fā)輻射，所以平均看來， 就產(chǎn)生了一個阻礙原子運動的作用力，使原子減速，從而將原子冷卻下來。在 實驗室里，通常將三對相對傳播的激光束安置在三個互相垂直的方向，就形成 所謂的“光學(xué)粘團”，這一裝置可以在三維方向上冷卻原子。這就是激光冷卻 技術(shù)。 a 三維的情況 圖1 2 1 范螢 用 ： b ) 一維晌滸況 磁光阱原理圖 s ；l s z o 圖1 2 1 是磁光阱的原理圖。三對偏振方向相反( 盯+ 光和仃一光) 且相向 傳播的激光束同時射向裝有樣品的真空氣室中心。將兩個通有反向電流的線圈 如上圖所示安置好，這樣的設(shè)計會使線圈周圍空間產(chǎn)生非均勻磁場，且在坐標(biāo) 原點處，磁場為零?；鶓B(tài)原子的自旋s = 0 ；而激發(fā)態(tài)原子的自旋s = 1 ，能級 有三個：m = 0 ，l 。調(diào)節(jié)激光頻率國使其略低于原子的躍遷頻率，那么根 據(jù)選擇定則，我們知道a = + 1 的躍遷只與盯+ 光有關(guān)而a = - 1 的躍遷只與 仃一光有關(guān)；于是在z 軸下方的原子更多吸收仃+ 光，而在z 軸上方的原子更多 6 吸收盯一光，它們都受到指向原點處的力。x 軸和y 軸情況也是如此。這樣，原 子最終被冷卻并囚禁到氣室的中心。 1 2 2 蒸發(fā)冷卻技術(shù)h 4 1 h e s s 在1 9 8 6 年發(fā)表的一篇文章中首先提出將原子蒸發(fā)冷卻的方法【1 5 】，此 后不久人們就用該方法成功冷卻了自旋極化的氫原子。蒸發(fā)冷卻技術(shù)就是剔除 掉磁阱中能量較高的原子，使得剩余的原子在通過頻繁的彈性碰撞之后達到熱 平衡，當(dāng)然這時系統(tǒng)的溫度比原來要低。然后繼續(xù)剔除高能量的原子，使磁阱 中剩下的原子再達到溫度更低的熱平衡，反復(fù)采用這種方法就可以逐漸降低原 子氣體的溫度。 實驗室通常采用一個射頻磁場來實現(xiàn)蒸發(fā)冷卻。當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)纳漕l場頻率 時，磁阱中能量較高的原子就會逸出磁阱，然后逐漸調(diào)低射頻場頻率，將更多 的能量較高的原子從磁阱中剔除，系統(tǒng)的溫度也就逐漸降低。蒸發(fā)冷卻技術(shù)的 關(guān)鍵是：( 1 ) 極高的背景真空度，這是為了保證原子能夠被長時間地囚禁在勢阱 里以便于完成蒸發(fā)冷卻的過程；( 2 ) 縮短系統(tǒng)重新達到熱平衡所需的時間，這 就要求磁阱中原子的密度較高且具有較大的彈性碰撞截面。 1 2 3 靜磁阱技術(shù)n 4 1 根據(jù)電磁理論，我們知道磁場可以將具有固有磁矩的粒子囚禁在磁場極小 點處。設(shè)磁場強度為b ，粒子的磁偶極矩為西，則磁場對該粒子的作用力 b = 一v ( 豆b ) ，所以靜磁阱可以被用來囚禁中性原子。實驗室里通常采用的靜 磁阱是由一對通有反向電流且半徑相等的線圈形成的四極阱( 線圈間距等于其 半徑的i 2 5 倍) ，這樣的設(shè)計會使得靜磁阱中心處的場強為零。利用這種磁阱， n i s t 小組把激光冷卻后的原子囚禁了l s 以上【1 6 】。因為靜磁阱中心處的磁場強 度為零，而中心處附近的磁場方向變化劇烈，所以當(dāng)處于定自旋態(tài)的原子經(jīng) 過靜磁阱中心處時，其自旋取向就可能發(fā)生變化，而那些自旋取向發(fā)生反轉(zhuǎn)的 原子就很容易逸出阱外。靜磁阱設(shè)計上的這一特點嚴重地限制了阱中原子密度 的增加。為了克服靜磁阱技術(shù)的這一缺陷，科學(xué)家們提出了“t o p 阱、“i o f f e ” 阱、“光學(xué)塞孔”阱等等。 ( 1 ) “t o p ”阱 將一個以幾m h z 旋轉(zhuǎn)的小的橫向磁場疊加在磁四極阱上就形成了時間平均 軌道勢阱( t i m e a v e r a g e do r b i t i n gp o t e n t i a l ，t o p ) 。橫向磁場旋轉(zhuǎn)頻率的選 擇既要使原子的自旋取向能夠緩慢地跟隨所在點的磁場方向的變化而變化，又 要使外勢場的時間平均能夠決定原子在空間的運動。通過以上設(shè)計而形成的時 間平均軌道勢阱實際上為阱內(nèi)的粒子提供了一個橢球面形簡諧勢場，如圖 1 2 2 所示。由于勢阱最小點附近的場強非零，且變化平緩，所以能夠克服磁 四極阱容易使原子逸出阱外的缺陷。 圖1 2 2“t o p ”阱的形成 ( 2 ) “i o f f e 阱 圖1 2 3 為i o f f e 磁阱的結(jié)構(gòu)示意圖，該磁阱是由六塊兩兩相對的圓柱狀 永久磁鐵組成的，它們沿著x 軸、y 軸、z 軸方向置。這六塊磁鐵按照不同的磁 極有序放置，如圖1 2 3 所示。豎直方向的兩塊磁鐵會產(chǎn)生偶極磁場，而水平 方向的磁鐵則提供了一個磁四極場。這樣設(shè)計而成的“i o f f e ”阱其中心處的磁 場強度不為零。由于中心處場強不為零，所以該磁阱可以減緩?fù)ㄟ^其中心且處 于一定自旋態(tài)的原子的運動速度，從而阻止其逸出勢阱。正是利用“i o f f e ” 阱，h u l e t 實驗小組于1 9 9 7 年成功囚禁了7 f 原子【1 7 】。 圖1 2 3 “i o f f e ”阱的結(jié)構(gòu) 科學(xué)家們?yōu)榱丝朔臉O阱的缺陷還提出了“光學(xué)塞孔”阱和“c l o v e r l e a f ” 阱，它們也可以有效阻止原子的逃逸，從而提高磁阱中原子的密度。 1 2 4b e c 的觀測技術(shù)4 。 目前實驗室通常利用共振吸收成像技術(shù)來觀測b e c 的形成。利用這種技術(shù) 不僅可以確定原子的密度、數(shù)目、溫度還可以探測原子的空間分布。共振吸收 成像技術(shù)的過程為：首先瞬間撤去磁場，于是在低溫下凝聚的原子云就會自由擴 散，然后用共振脈沖光在不同的時刻探測原子云。由于原子能夠吸收共振光， 所以在探測光中會出現(xiàn)一片陰影區(qū)，然后利用c c d 裝置對透射光成像并將得到 的圖像進行數(shù)字化處理，最終會得到原子云在每一點的光學(xué)厚度。逐點校正由 以上手續(xù)所獲得的一系列飛行時間( t i m e o f f l i g h t ，t o f ) 圖像，就可以得 到擴散原子云的二維速度分布( 注：利用共振熒光方法可以測量出距冷原子團中 9 心一定距離處熒光強度的時間演化，從而可以求得冷原子的速度分布，再根據(jù) 量子統(tǒng)計理論可以推出冷原子的溫度。這種方法就是飛行時間測量法) 。 擴散原子云的二維速度分布曲線包含了原子的許多信息：對曲線所包圍面 積作積分，所得結(jié)果正比于總的原子數(shù)；對零速度附近出現(xiàn)的窄特征峰的峰值 曲線所包圍面積作積分，所得結(jié)果正比于基態(tài)的原子數(shù)；通過測量擴散原子云 的平均半徑和擴散時間就可以求得原子的平均擴散速度和平均能量等特征參 量。共振吸收成像技術(shù)也有弊端，原因是原子會強烈地散射共振光子，所以利 用共振光探測原子云會提高原子云的溫度從而在一定程度上破壞b e c 。 1 3b e c 的理論研究 1 3 1g r o s s - p i t a e v s k ii 方程 g r o s s p it a e v s k ii 方程【1 8 乏0 1 ( 簡稱g - p 方程) 是由g r o s s 和p it a e v s k ii 利用平均場理論各自獨立地推導(dǎo)出來的，后來在玻色一愛因斯坦凝聚領(lǐng)域獲得了 廣泛的應(yīng)用。在這類型的問題中，由g - p 方程可以導(dǎo)出粒子的密度與動量的分 布并能夠與b e c 實驗結(jié)果符合得很好。 稀薄玻色氣體出現(xiàn)玻色一愛因斯坦凝聚后，粒子之間的相互作用是非常微弱 的，當(dāng)溫度非常低時，將熱量和粒子的損耗忽略，可得到描述場算符的非線性 薛定諤方程： 曉掣_ - 蕓v 2 + 晰) + 叭尹力w 吲螄黼力( 1 3 1 ) 其中，p ) 是外囚禁勢，m 為原子質(zhì)量，y p 一尹) 描述兩體之間的相互 作用，表示式為： y ( 尹一尹) = g 。萬( 虧一弓) l3 2 ) i p l 口) = 曇m 盧) 1 2 ( 2 3 3 0 ) = 去e 卅卜m 其中= 0 和時分別得到分子場和原子場的q 函數(shù)。由該式可知，初態(tài) 時分子場q 函數(shù)圖的等高線關(guān)于z 軸旋轉(zhuǎn)對稱，原子場的q 函數(shù)圖的等高線關(guān) 于與z 軸平行的某條直線旋轉(zhuǎn)對稱( 如圖2 3 5 所示) ；平均粒子數(shù)的大小決定 了對稱軸偏離原點的程度；而等高線所及的范圍則代表了相空間中量子漲落的 區(qū)域。因為初始時刻分子場處于真空態(tài)，因此圖2 3 5 顯示準(zhǔn)幾率分布的等高 線為一組以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓；而原子場所對應(yīng)的等高線則為一系列圓 心偏離原點的同心圓，這意味著此時所有粒子均集中于原子場，并且原子場在 相空間中呈現(xiàn)對稱的量子漲落。 ：。滁i l ( i ! 一 圖235 r = 0 時( t = 伊) ，相干態(tài)系統(tǒng)中原于場、分子場的q 幽數(shù)分布圖及等高 線圖。參數(shù)選擇：九= o o l g 、d = - 25 n l 、口。= - , 3 4 ( 即初始時刻平均原于數(shù) ( ) = l “。f = 3 4 ) 。圖中左邊兩囤為原于場的q 函數(shù)分布圖及二維苒高線，右邊兩圖為分 于場的q 函數(shù)分布圖及二維等高線。 隨著時間的演化，當(dāng)t = 0 4 4 時，q 函數(shù)分布如圖23 6 所示。我們可以 看出原子場和分子場所對應(yīng)的等高線的中心相對于各自的初始位置都有了一定 的移動。對于分子場而言，其等高線的中心偏離了原點，這表示經(jīng)過一段作用 時間后，系統(tǒng)中已經(jīng)有分子形成；相應(yīng)地比較圖2 3 5 與圖23 6 中原子場的 等高線對中心的偏離程度可以看出平均原子數(shù)有所減少。兩場之間的這種量子 “交換”來自于哈密頓量中系數(shù)為g 的轉(zhuǎn)化項。另一方面，與圖2 3 5 相比， 圖236 中原于場和分子場的等高線都發(fā)生了一定的形變，即在某些方向被“壓 縮”了，這是?？藨B(tài)系統(tǒng)沒有的現(xiàn)象。這種“壓縮”意味著原子場和分子場量 子漲落分布發(fā)生了變化，物理上它根源于系統(tǒng)中原子一原子、分子一分子和原子一 分于的非線性相互作用，即與( 2 3 1 ) 中系數(shù)為k 、屯和九的非線性項有關(guān)； 這些非線性項可以引起原子場、分子場的自相調(diào)制和互相調(diào)制，自相調(diào)制和百 相調(diào)制最終導(dǎo)致了原于場和分子場量子漲落的變化。 。令_ 令 1 0 r 1 。1 5 if ；。蟪 弋 5 1 3 f 百?。?r “e ) 圈236t = 04 4 時( t = g t ) ，相干態(tài)系統(tǒng)中原于場、分于場的q 函數(shù)分布幽及 等高線圈。參數(shù)選擇同圖235 。 圖237 給出了演化時刻t = 0 , 9 時原于場和分子場的q 函數(shù)分布?？梢?看出與圖23 6 相比，圖2 3 7 中各場的等高線無論從形狀還是其中心的位置 都發(fā)生了進一步的變化，這表明隨著演化時間的增加，原子場和分子場的量子 數(shù)、量子漲落都有了進一步的變化。從原于場、分子場各自對應(yīng)的等高線中心 所在相空間的位置來看，此時原干數(shù)再次多于了分子數(shù)。 從以上的分析可以看出，當(dāng)系統(tǒng)初態(tài)處于相干態(tài)情況下，由于受非線性相 互作用的影l(fā) 向- 在演化過程中原子場和分子場在相空間的量子漲落分布發(fā)生了 顯著的變化。 玲_ 食” 圖23 7t = 0 9 時( t = 礦) ，相干態(tài)系統(tǒng)中原子場、分子場的q 函數(shù)分布圖及等 高線圈。參數(shù)選擇同圖2 35 。 2 34 結(jié)論 通過哈密頓量直接數(shù)值對角化的方法，利用量子方法計算了初態(tài)處于福克 態(tài)時原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚系統(tǒng)中粒子數(shù)布居隨時問的演化，結(jié)果顯示， 隨著時間的增加原子一分子轉(zhuǎn)化率慢慢降低，當(dāng)繼續(xù)增加相互作用時間時又會有 所升高；對于不同的初始總粒子數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)大粒子數(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)化率較低。借助 相空間的準(zhǔn)幾率分布函數(shù)一q 函數(shù)，本論文還分別研究了初態(tài)處于?？藨B(tài)和相 干態(tài)兩種情況系統(tǒng)的時問演化行為，結(jié)果顯示，初態(tài)為福克態(tài)時，系統(tǒng)在隨時 間演化過程中原子場和分子場的q 函數(shù)在相空間的分布是對稱的，這意味著相 空間中的量子漲落總是呈現(xiàn)對稱形式；而初態(tài)為相干態(tài)時，系統(tǒng)在演化過程中 由于原子一原子、分子一分子和原子一分子之間的非線性相互作用的影響，原子場 和分子場的q 函數(shù)圖在相空間的分布不再是對稱的形式，其量子漲落受到了不 同程度的“壓縮”。由于非線性相互作用和失諧量等可通過外場調(diào)節(jié)所以該研 一 5 0 4 巴 一一 國憋 1jjliljj士 究可為操控原子一分子玻色一愛因斯坦凝聚體系統(tǒng)及其在精密測量上的應(yīng)用提供 有用的信息。 參考文獻 1 s b o s e p l a n c k sg e s e t zu n dl i c h t q u a n t e n - h y p o t h e s e z p h y s i k ，19 2 4 ，2 6 ：17 8 181 2 a e i n s t e i n s i t z u n g s b e r k l g p r e n s s a k a d 、m s s ，19 2 4 ：2 61 2 6 7 ，a n dq u a n t e n t h e o r i ed e s e i n a t o m i g e ni d e a l e ng a s e si i p r e n s s a k a d w i s s 1 9 2 5 ：3 - 1 4 3 】s c h u ，l h o l l b e r g ，j b j o r l d a o l m ，e ta 1 t h r e e d i m e n s i o n a lv i s c o u sc o n f i n e m e n ta n dc o o l i n g o f a t o m sb yr e s o n a n c er a d i a t i o np r e s s u r e p h y s r e v l e t t ，1 9 8 5 ，5 5 ：4 8 5 1 【4 】d s e s k o ，c gf a n ，a n dc e w i e m a n p r o d u c t i o no fac o l da t o m i cv a p o ru s i n gd i o d e 1 a s e r c o o l i n g j o p t s o c a m ，1 9 8 8 ，b5 ：1 2 2 5 1 2 2 7 【5 】p a u ld l e t t ，r i c h a r dn w a t t s ，c h r i s t o p hi w e s t b r o o k ，e ta 1 o b s e r v a t i o no fa t o m sl a s e r c o o l e d b e l o w t h e d o p p l e r l i m i t p h y s r e v l e t t ，1 9 8 8 ，6 1 ：1 6 9 1 7 2 。 【6 】h j m e t c a l f , v a i ld e rs t r a a t e n l a s e rc o o l i n ga n dt r a p p i n g s p n n g e r19 9 9 7 e l r a a b ，m p r e n t i s s ，a l e xc a b l e ，e ta 1 t r a p p i n go fn e u t r a ls o d i u ma t o m sw i t hr a d i m i o n p r e s s u r e p h y s r e v l e t t ，19 8 7 ，5 9 ：2 6 31 - 2 6 3 4 【8 】c m o n r o e ，w s w a r m ，h r o b i n s o n ，e ta 1 v e r yc o l dt r a p p e da t o m si nav a p o rc e l l p h y s r e v l e t t , 1 9 9 0 6 5 ：1 5 7 1 1 5 7 4 9 m h a n d e r s o n ，j r e n s h e r , m r m a t t h e w s ，e ta 1 o b s e r v a t i o n o fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t i o ni nad i l u t ea t o m i cv a p o r s c i e n c e ，1 9 9 5 ，2 6 9 ：1 9 8 2 0 1 10 】kb d a v i s ，m o m e w e s ，m r a n d r e w s ，e ta 1 b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nag a so f s o d i u ma t o m s p h y s r e v l e t t ，19 9 5 ，7 5 ：3 9 9 6 3 9 9 9 【11 】c c b r a d l e y , c a s a c k e r ，j j t o l l e t t ，e ta 1 e v i d e n c eo fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni n a l la t o m i cg a s 謝吐1a t t r a c t i v ei n t e r a c t i o n s p h y s r e v l e t t ，1 9 9 5 ，7 5 ：1 6 8 7 1 6 9 0 1 2 d gf r i e d ，t c k i l l i a n ，l w i l l m a n n ，e ta 1 b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no fa t o m i c h y d r o g e n p h y s r e v l e t t ，1 9 9 8 ，8 l ：3 8 1 1 3 8 1 4 ， 【l3 】t h a n s c h ，a s c h a w l o w c o o l i n go fg a s e sb yl a s e rr a d i a t i o n o p t c o m u n ，19 7 5 ，13 ： 6 8 6 9 【1 4 】王曉輝，李義民，王義道玻色愛因斯坦凝聚的物理實現(xiàn)及其應(yīng)用展望物理，1 9 9 8 ， 2 7 ( 1 ) ：3 1 0 15 】h eh e s s e v a p o r a t i v ec o o l i n go fm a g n e t i c a l l yt r a p p e da n dc o m p r e s s e ds p i n - p o l a r i z e d h y d r o g e n p h y s r e v b ，19 8 6 ，3 4 ( 5 ) ：3 4 7 6 3 4 7 9 3 5 【1 6 a l m i g d a l l ，j vp r o d a n ，a n dw d p h i l l i p s f i r s to b s e r v a t i o no f m a g n e t i c a l l yt r a p p e d n e u t r a la t o m s p h y s r e v l e t t ，19 8 5 ，5 4 ：2 5 9 6 2 5 9 9 【17 】c c b r a d l e y , c a s a c k e a ，a n dr gh u l e t b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no fl i t h i u m ： o b s e r v a t i o no fl i m i t e dc o n d e n s a t en u m b e r p h y s r e v l e t t ，19 9 7 ，7 8 ：9 8 5 9 8 9 【1 8 l p p i t a e v s k i i v o r t e xl i n e si na i li m p e r f e c tb o s eg a s s o v p h y s j e t e1 9 6 1 1 3 ：4 5 1 _ 4 5 4 【19 e p g r o s s s t r u c t u r eo faq u a n f i z e dv o r t e si nb o s o ns y s t e m s n u o v oc i m e n t o ，19 61 ，2 0 ： 4 5 4 - 4 7 7 2 0 n n b o g o l i u b o v o nt h et h e o r yo fs u p e r f l u i d i t y j p h y s m o s c o w ，19 4 7 ，11 ：2 3 3 2 【21 】y k a g a n ，gvs h l y a p n i k o v , a n dj t m w a l m w e n b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o ni nt r a p p e d a t o m i cg a s e s p h y s r e v l e t t , 19 9 6 ，7 6 ：2 6 7 0 - 2 6 7 3 【2 2 y k a g a n ，a e m u r y s h e v , a n dg vs h l y a p n i k o v c o l l a p s ea n db o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n i na t r a p p e db o s eg a sw i t hn e g a t i v es c a t t e r i n gl e n g t h p h y s r e v l e t t ，19 9 8 ，81 ：9 3 3 9 3 7 2 3 e l e v i c h ，vy a k h o t t i m ee v o l u t i o no fab o s es y s t e mp a s s i n gt h r o u g ht h ec r i t i c a lp o i n t p h y s r e v b ，1 9 7 7 ，1 5 ：2