協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算.ppt

3.3.1協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),問題對于二維隨機(jī)變量(X，Y)：,已知聯(lián)合分布,邊緣分布,這說明對于二維隨機(jī)變量，除了每個(gè)隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個(gè)什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系,數(shù),Y之間的某種關(guān)系,反映了隨機(jī)變量X，,定義稱,協(xié)方差記為,稱,為(X，Y)的協(xié)方差矩陣,可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義,為X，Y的,若D(X)0，D(Y)0，稱,為X，Y的相關(guān)系數(shù)，記為,事實(shí)上，,若,稱X，Y不相關(guān),利用函數(shù)的期望或方差計(jì)算協(xié)方差,若(X，Y)為離散型，,若(X，Y)為連續(xù)型，,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算,求cov(X，Y)，XY,例1已知X，Y的聯(lián)合分布為：,X,Y,pij,10,10,p0,0q,00時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng),時(shí)，等式成立,Cauchy-Schwarz不等式,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),證明令,對任何實(shí)數(shù)t，,即,等號成立,有兩個(gè)相等的實(shí)零點(diǎn),即,又顯然,即,即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì),Cauchy-Schwarz不等式的等號成立,即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為,X，Y不相關(guān),X，Y相互獨(dú)立,X，Y不相關(guān),若X，Y服從二維正態(tài)分布，X，Y相互獨(dú)立,X，Y不相關(guān),在例1中已知X，Y的聯(lián)合分布為,例4設(shè)(X，Y)N(1，4；1，4；0.5)，Z=X+Y，求XZ,解,定義設(shè)X1，Xn為n個(gè)r.v.，記bij=cov(Xi，Xj)，i，j=1，2，n則稱由bij組成的矩陣為隨機(jī)變量X1，Xn的協(xié)方差矩陣B即,以前講過的n維正態(tài)分布的形式中就有協(xié)方差矩陣,3.3.2協(xié)方差矩陣,顯然,bii=DXi，i=1，2，nbik=bki，i，k=1，2，n,故協(xié)方差矩陣B是對稱矩陣由柯西-許瓦茲不等式有,如果我們記,則有,因此B為,稱為列隨機(jī)向量X的數(shù)學(xué),的方差，其中,期望,對任意實(shí)數(shù)t1，tn，有,如果記t=(t1，tn)，上式即為,證明設(shè),協(xié)方差矩陣的性質(zhì),的概率密度函數(shù)，則,以及,分別為,這表示B是非負(fù)定的，由矩陣論的二次型理論知，對任意正整數(shù)k(1kn)，有,如果X1，Xn相互獨(dú)立，則B為對角矩陣,證