（計(jì)算數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）大撓度板功的互等定理及其應(yīng)用.pdf

摘要 摘要 本論文主要是研究有限變形體的混合變量變分原理和功的互等定理的 應(yīng)用問(wèn)題。具體來(lái)說(shuō)，即是應(yīng)用大撓度彎曲直梁混合變量最小勢(shì)能原理、 大撓度彎曲薄板功的互等定理來(lái)求解一些具有不同邊界約束條件的大撓度 梁、板彎曲的撓曲方程，并在每類(lèi)實(shí)例之后，進(jìn)行了算法分析。從而形成 了用有限變形功的互等定理和混合變量變分原理解題的初步方法。 本論文的內(nèi)容主要分為三類(lèi)。 ( 1 ) 基本理論：第2 章，介紹了直角笛卡兒坐標(biāo)系有限變形體的基本方 程和混合變量的變分原理；第3 章，介紹大撓度彎益直梁的基本方程和大 撓度彎曲直梁混合變量的最小勢(shì)能原理；第4 章，介紹了直角笛卡兒坐標(biāo) 系有限變形彈性力學(xué)的基本方程和兩類(lèi)有限變形體功的互等定理；第5 章， 介紹了大撓度薄板的基本理論和相應(yīng)的兩類(lèi)大撓度薄板的功的互等定理。 ( 2 ) 實(shí)例求解：第3 章中，應(yīng)用大撓度彎曲直梁混合變量最小勢(shì)能原理 求解幾個(gè)具有不同邊界約束的大撓度柱面彎曲板條的撓曲線方程；第5 章 中，應(yīng)用大撓度薄板的第二類(lèi)功的互等定理求解幾個(gè)具有不同邊界條件的 大撓度矩形板的撓曲面方程。本文在對(duì)實(shí)例的分析過(guò)程中，給出了一系列 的數(shù)表和圖表，用來(lái)顯示求解的結(jié)果，并且與經(jīng)典結(jié)果或本文用a n s y s 求 解的結(jié)果進(jìn)行了比較。 ( 3 ) 算法分析：本文在每類(lèi)問(wèn)題求解之后，都對(duì)所采用的算法做了詳細(xì) 的分析，旨在形成對(duì)定理應(yīng)用的初步方法。 關(guān)鍵詞混合變量最小勢(shì)能原理；有限變形；非線性；功的互等定理；大撓 度彎曲直梁；大撓度柱面彎曲板條；大撓度彎曲薄板 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rp r i m a r i l yw es t u d yt h ea p p l i c a t i o n so fv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e w i t hm i x e dv a r i a b l e sa n d r e c i p r o c a lt h e o r e m sa b o u td e f o r m e db o d i e sw i t h f i n i t e d i s p l a c e m e n t s c o n c r e t e l y 、a c c o r d i n gt o t h ep r i n c i p l eo fm i n i m u m p o t e n t i a le n e r g yw i t hm i x e dv a r i a b l e s ，r e c i p r o c a lt h e o r e m sa b o u tb e n d i n go f b e a m sa n dp l a t e sw i t hl a r g ed e f l e c t i o n s ，w ec a l c u l a t et h ed i s p l a c e m e n t e q u a t i o n so fs o m eb e a m sa n dp l a t e s b e n d i n g ，m e a n w h i l e ，a r e re v e r yc a t e g o r y o fe x a m p l e s ，w ea n a l y s et h ea l g o r i t h m sa d o p t e da n da sar e s u l to fi t ， p r e l i m i n a r ym e t h o d so fa p p l y i n gr e c i p r o c a lt h e o r e m sa n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e w i t hm i x e dv a r i a b l e sa r ef o r m e d t h i sp a p e rc a l lb ed e v i d e di n t ot h r e ec a t e g o r i e s t h ef i r s to n e ，i nc h a p t e r2 ，w eb r i e ft h eb a s i cf o u r m u l a si nr i g h ta n g l e c o o r d i n a t ea n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t hm i x e dv a r i a b l e sf o rd e f o r m e db o d i e s w i t hf m i t ed i s p l a c e m e n t s i nc h a p t e r3 ，t h eb a s i cf o r m u l a sa n dt h ep r i n c i p l eo f m i n i m u mp o t e n t i a le n e r g yw i t hm i x e dv a r i a b l e sa b o u tb e a m sw i t hl a r g e d e f e c t i o na r ep r e s e n t e d i nc h a p t e r4 ，w ei n t r o d u c et h eb a s i cf o u r m u l a so f e l a s t i cm e c h a n i c si nr i g h ta n g l ec o o r d i n a t ea n dt w ok i n d so fr e c i p r o c a l t h e o r e m sf o rd e f o r m e db o d i e s i nc h a p t e r5 ，t w ok i n d so fr e c i p r o c a lt h e o r e m s a b o u tp l a t e sw i t hl a r g ed e f e c t i o na r ed e r i v e d t h es e c o n do n e ，i nc h a p t e r3 ，a c c o r d i n g 協(xié)t h ep r i n c i p l eo fm i n i m u m p o t e n t i a le n e r g yw i t hm i x e dv a r i a b l e sa b o u tb e a m s ，w ec a l c u l a t et h ed e f l e c t i o n e q u a t i o n so fc y l i n d e r c a lb e n d i n go fs o m ei n f i n i t e l e n t hr e c t a n g u l a rp l a t e sw i t h l a r g ed e f l e c t i o n si nd i f f e r e n tl i m i tc o n d i t i o n s i nc h a p t e r5 ，a p p l y i n gt h es e c o n d k i n do f r e c i p r o c a lt h e o r e m sa b o u tp l a t e s ，w ew o r ko u tt h ed e f l e c t i o ne q u a t i o n s o fb e n d i n go fs o m er e c t a n g u l a rp l a t e sw i t hl a r g ed e f l e c t i o n si nd i f f e r e n te d g e c o n d i t i o n s d u r i n gt h ea n a l y s eo f t h e s ee x a m p l e s ，al o to f t a b l e sa n dg r a p h sa r e d i s p l a y e dt oi l l u s t r a t et h er e s u l t sw o r k e do u ta n d t a k eac o n t r a s tw i t ht r a d i t i o n a l r e s u k so rt h o s ef r o ma n s y s a b s t r a c t t h et h i r do n e ，a f t e re v e r yt y p eo fc a l c u l a t i o n s ，w ea n a l y s et h ea l g o r i t h m s a d o p t e d i no r d e rt of o r map r e l i m i n a r ym e t h o do fa p p l y i n gt h et h e o r e m s k e y w o r d sf m i t ed i s p l a c e m e n t s ；n o n l i n e a r ；r e c i p r o c a lt h e o r e m ；b e a m w i t hl a r g e d e f l e c t i o n s ；i n f i n i t e l e n t hr e c t a n g u l a rp l a t ew i t hc y l i n d e r c a lb e n d i n g o fl a r g ed e f l e c t i o n s ；t h i np l a t ew i t hl a r g ed e f l e c t i o n s 1 1 1 第1 章緒論 第1 章緒論 利用能量原理和變分法是求解彈塑性力學(xué)問(wèn)題的一種比較有效的途 徑。功的互等定理和混合變量的變分原理是能量原理中兩個(gè)重要的組成部 分。 1 1 功的互等定理理論的產(chǎn)生與發(fā)展 l ，1 ，l 功的互等定理的經(jīng)典命題 功的互等定理最早是于1 8 7 2 年由貝蒂( b e t t ，e ) i l l 提出的，功的互等定理 的貝蒂命題為：作用于一彈性體的第一組力( 包括反力和慣性力) 在第二組力 相應(yīng)位移上所做的功等于作用于同一彈性體的第二組力( 包括反力和慣性力) 在第一組力相應(yīng)位移上所做的功。根據(jù)這一命題，功的互等定理有簡(jiǎn)單的 和常見(jiàn)的應(yīng)用，由圖1 - 1 ( a ) 和圖1 - 1 ( b ) 所示。 y k 汐k o ，故有 1 - 1 。( “，+ ；) n 。( “，) ( 2 - 2 4 ) 即在真實(shí)狀態(tài)下，混合總勢(shì)能。取極小值。 翌：薹 塑! 墾變翌竺堡壘鑾量塑翌坌墾壟 2 5 有限變形體混合變量駐值余能原理 據(jù)有限變形體己知邊界力變化的余能原理，則有 刪酬+ 知隅卜j l 嗡d s + j i u , , 5 f i ，d s ( 2 - 2 5 ) 據(jù)外表面功零變分原理式( 2 9 b ) ，式( 2 2 5 ) 可以寫(xiě)成 f f f 占l b ) + 圭肌尸。p y = h _ 印，d s h 萬(wàn), s u ，d s ( 2 - 2 6 ) 據(jù)式( 2 2 6 ) ，可有 。= f f f i 曰p ) + j 1 艤?zhǔn) i ，一旺瓦p ，d s + 眨歹鸕d s ( 2 - 2 7 ) 式( 2 2 7 ) 稱(chēng)為有限變形體混合變量余能原理的總余能或簡(jiǎn)稱(chēng)為混合總 余能。 定義只滿足平衡方程式，而無(wú)需滿足靜力邊界條件的應(yīng)力為弱容許應(yīng) 力，位移為平衡弱容許位移?？傆嗄苁? 2 2 7 ) 只要求應(yīng)力是弱容許的，位 移為平衡弱容許。 對(duì)總余能式( 2 2 7 ) 9 ro - 。和“，的變分極值，則有 6 1 - i 。= 小占lb p ) + j 1 麒尸。 礦一玨甄印，d s + 遁曩融，d s = o ( 2 - 2 8 ) 由于已預(yù)先滿足平衡方程，故有 j j iu f i ( 6 一盯川，d v = 0 ( 2 - 2 9 ) 故式( 2 - 2 6 ) 也可以寫(xiě)成 6 1 7 舢= f f c 6 卜) + 扣 hf f c u f i ( 以) ，d 礦一 i i 甄6 p f l s 七蜘8 h 。d s ( 2 - 3 0 ) 對(duì)式( 2 2 8 ) q b 問(wèn)段第一項(xiàng)進(jìn)行變分運(yùn)算，則得 燕山大學(xué)理學(xué)碩十學(xué)位論文 i 占掣1 卜f f i 牌 脅聲0 + ( y o u 。t 占u k j 礦 ( 2 3 1 ) 而對(duì)式佗一2 8 ) q b 問(wèn)段第二項(xiàng)進(jìn)行變分運(yùn)算，則得 m 虬6 ( 顫+ ，d v = m 【( 6 。+ 。d v m 8 ( g + u , d c r 自h d 礦= 皿噸堋l 柵啦) l q d s i f c h 占虬，。+ ( ，+ u i k l l j ) 氓 再對(duì)式( 2 3 0 ) 右端體積分中的應(yīng)力和位移分量進(jìn)行腳標(biāo)的替換，則有 f f c 坼6 i ( g + u , d ，d 礦2 眶鴨8 p f l s + i t u r s p ，d s f 2 3 2 ) f f c ( o r 雙，s u k , , 地氓m ，峨) d v ( 2 - 3 3 ) 應(yīng)用內(nèi)表面功零變分原理式( 2 1 0 ) 于上式，則得 m “，占 ( 6 i k + u 。, k ) t y # ，d v = 疆u f i p ，d s + f c ，( 占一“) n f i 虬d s m ( 掣”6 u k a + i d k , i “k , j 曲s j + u i , 衍f ) d v 將式( 2 2 9 ) 和式( 2 - 3 2 ) 代入式( 2 2 8 ) 中，則得 m w = 皿l 掣一圭c 枷”+ - ，p ”+ f 【( 曠e ) 6 p , d s j i 。i ( g + u , d c r 鶘一兩m d s = 0 掣一弘1 ，岷戶o 礦 i i ，一玩= 0 x 。s p ( 6 m + d i , k ) 仃自n j 一蘆；= 0 x ，s 。 r 2 3 4 ) f 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) r 2 - 3 7 ) f 2 3 8 ) 第2 章有限變形體混合變量的變分原理 2 6 本章小結(jié) 本章介紹了直角笛卡兒坐標(biāo)系中有限變形體的基本方程，給出了混合 變量的變分原理，為后面章節(jié)應(yīng)用混合變量的最小勢(shì)能原理求解大撓度粱 的撓曲線方程奠定了理論基礎(chǔ)。 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 第3 章應(yīng)用大撓度彎曲直梁混合變量最小勢(shì)能 原理求解板條的撓曲方程 在上一章，我們介紹了有限變形混合變量的變分原理，運(yùn)用類(lèi)似的推 導(dǎo)方法于大撓度彎曲直粱，將得到相應(yīng)的大撓度彎曲直梁的混合變量的變 分原理。本章即是給出大撓度彎曲直梁的混合變量變分原理及其推導(dǎo)過(guò)程， 并通過(guò)幾個(gè)實(shí)例對(duì)其進(jìn)行初步的應(yīng)用。在這之前我們先來(lái)介紹一下直角坐 標(biāo)系中大撓度彎曲直梁的基本方程。 3 1 大撓度彎曲直梁的基本方程 粱在一定載荷作用下產(chǎn)生大撓度，同時(shí)產(chǎn)生軸向力。這時(shí)應(yīng)考慮軸向 力對(duì)彎曲平衡方程的影響，也應(yīng)考慮撓度對(duì)軸向應(yīng)變的影響。因此，軸向 應(yīng)變及梁的彎曲平衡方程對(duì)于撓度來(lái)說(shuō)都是非線性的。這種由大撓度引起 梁的非線性問(wèn)題稱(chēng)為梁的幾何非線性問(wèn)題。 首先考慮幾何方程。 大撓度彎曲直梁的軸向應(yīng)變可表示為 s = s 。+ s 。 其中s 。為軸向位移對(duì)軸同匝燹的頁(yè)獻(xiàn)，有s 。 向應(yīng)變的貢獻(xiàn)，有 西一出1 f 咖1 。 2 f 5 互i 瓦j 于是有 幽1r 咖丫 s 祟+ 一i l 出2 id x 而粱的彎曲曲率為 ( 3 - 1 ) = _ d u 。而。為大撓度對(duì)軸 丘x ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 第3 章應(yīng)用大撓度彎藍(lán)直粱混臺(tái)變量最小勢(shì)能原理求解板條的撓藍(lán)方程 一糾開(kāi) 仔。， 對(duì)于，j 、應(yīng)變，1 - 7 l ，且去和2 是同量級(jí)的，因此，梁的鹽率 可近似地表示為 z ：一型娑 ( 3 5 ) 其次，考慮大撓度彎曲直梁的平衡方程和本構(gòu)關(guān)系 或?yàn)?= 丟( 嘗) 枷 b ， 由于大撓度梁也為單向受力，因此有 n = e a e ，m = e j z 等效切力為 y ：坐+ 一d m 出矗x 再次，大撓度彎曲直梁的邊界條件分別為 對(duì)于可軸向移動(dòng)的簡(jiǎn)支端，有 w mn0 對(duì)于固定端，有 ( 3 - 8 ) ( 3 9 ) ( 3 - 1 0 ) 石 0 坐出 d 一出 警爭(zhēng) w 一4 o 一出 一一 彤 科一辦 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 “：w ：竺：0 出 對(duì)于自由端，有 n = n ，m = m ，v = v 最后我們給出支座對(duì)軸向位移限制的具體表達(dá)式。據(jù)式( 3 - 3 ) 瓦d u 一文翁 出 2l 出j ( 3 - 1 1 ) f 3 1 2 ) 有 ( 3 - 1 3 ) 對(duì)式( 3 1 3 ) n n g g 行定積分，則有 j ：摯= 肛一髓。出 p 進(jìn)一步則有 ”h ：e a 一o2t , 坐d x j k ) 對(duì)于兩支座沒(méi)有相對(duì)軸向位移的情況，有“t = o ，于是式( 3 1 5 ) 成為 面n l = 壩翁由 ( 3 - 1 6 ) 面一jo j i i j “ p 7 3 2 大撓度彎曲直梁混合變量的最小勢(shì)能原理 根據(jù)已知邊界位移變化的勢(shì)能原理和外邊界位移余功零變分原理，可 得如圖3 - 1 所示大撓度彎曲直梁的混合總勢(shì)能為： 圖3 - 1 大撓度勢(shì)能原理直梁 f 培3 - 1p r i n c i p l eo f p o t e n t i a le n e r g yf o rl a r g ed e f e c t i o nb e a m s 第3 章應(yīng)用大撓度彎曲直梁混合變量晟小勢(shì)能原理求解板條的撓曲方程 丌，= f 。一g w 皿一甄( 害 。+ 巧w 一兩“，+ 面t - 咖z - 、j , - _ 0 一瓦j v 。 ( 3 一1 7 ) 式( 3 - 1 7 ) 只要求位移滿足應(yīng)變一位移關(guān)系，而不要求滿足位移邊界條 件，即要求位移是弱容許的，而內(nèi)邊界力是協(xié)調(diào)弱容許的。 對(duì)混合總勢(shì)能式( 3 - 1 7 ) 取位移w 和u 及邊界力m l ，v o 和n o 的變分極 值，根據(jù)內(nèi)邊界位移余功零變分原理和變分法基本預(yù)備定理，則得歐拉方 程和自然邊界條件分別為 彤一( 等卜。 p dn-：0(3-19) 彤譬 。+ 砜= 。 仔z 。， h 針( 劫辱。 仔z ， m 一面= 0( 3 2 2 ) ( 嘗 ，一( 罷) ，= 。 p ：s ， w o 一_ 0 = 0 ( 3 - 2 4 ) 3 3大撓度彎曲直梁混合變量最小勢(shì)能原理的應(yīng)用 本節(jié)應(yīng)用大撓度彎曲直梁混合變量最小勢(shì)能原理來(lái)求解幾個(gè)均布載荷 作用下具有不同邊界條件的大撓度柱面彎曲板條的撓曲面方程和彎矩方 程。 3 3 1 兩端簡(jiǎn)支板條的求解 考慮一均載兩端簡(jiǎn)支柱面彎曲直梁，該直梁示于圖3 - 2 。 根據(jù)( 3 1 7 ) 式，與圖3 - 2 相對(duì)應(yīng)大撓度彎曲直梁的混合總勢(shì)能為： 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 設(shè) n ，= f 阻窘) 2 + 等一卜 隆：s ， 圖3 - 2 大撓度簡(jiǎn)支固定粱 f i g 3 - 2s i m p l ys u p p o r t e db e a n a sw i t hl a r g ed e f e c t i o n w ( x ) = a m s i n a ，x 由邊界條精嘗= i 1 ( 7 ) 2 出硎可得 f 3 2 6 ) ：等郴2 。2 ( 3 - 2 7 ) 13 將式( 3 2 6 ) 和式( 3 2 7 ) 代八瓦( 3 2 5 ) ，則j 得： = 等煮鬈a ：十上2 e f 蘭1 竺6 ( 耋2j 一2 a r e 妻= l , 3 生a m = 等蠢名4 + 等 砉鬈a 。2 。a 砉魯 c s - z s ， 對(duì)上式取a 。的變分極值 6 f i 。：e _ d 妻口：以翻。+ 譬寶正a ：妻如口：耐。一2 9 妻爭(zhēng)= o 二 m = l3 o m z l 3m t l 。3 m 1 3 m ( 3 2 9 ) 于是有： 喜_ ： 翻。+ 毛姜筏“。姜以a 。翩。一面4 q 舄虧- , 6 a a ，= 2 22 0 2 t m 。= 。( s - 3 0 ) 1 m = l3m = l3 a ： 翻。+ 去一?！啊ｃ?。a 。翩。一i 玨掣，。一o ( 3 】，i = l 3j ， “m 2 1 ，3 “m 2 0 第3 章應(yīng)片j 大撓度彎衄直粱混合變量最小勢(shì)能原理求解扳條的撓曲方程 警3：刪，+巧f盞虧-a2：喜厶a：翻，一刪4q1313篇3 “。= 。 ( 3 - 3 1 ) m = l ，3j 口k ， m = m = 1u “ 則有： ”壺毫叫2 ，2 一面4 q = 。 ( 3 - s z ) 其中i = 1 ，3 。 對(duì)于彎曲板條，只需把梁的抗彎剛度e j 代以板的抗彎剛度d 即可，而 。2 瓦尚。本章所有算例計(jì)算的參數(shù)見(jiàn)表3 1 。 表3 - 1 計(jì)算參數(shù) 1 _ b l e3 - 1p a r a m e t e r so f c a l c u l a t i o n 參量 板條長(zhǎng)，板條高h(yuǎn)均載強(qiáng)度q楊氏模量 泊松比v 數(shù)值1 3 0 0 r a m1 2 r a m 0 1 4 m p a2 1 0 0 0 0 m p a 0 3 表3 - 2 撓度與彎矩分布 t 曲l e3 2d i s r r i b u t i o no f d e f l e c t i o n sa n dd i s t o r a t i o n s x 坐標(biāo) 文獻(xiàn)【2 4 的撓度 本文的撓度 文獻(xiàn)1 2 4 1 的彎矩值 本文的彎矩 ( m m )( m m )( m m )( m n m m )( m n m m ) 00000 5 02 4 2 22 4 9 29 0 8 9 49 0 8 0 0 1 0 04 7 7 74 8 1 81 5 6 3 4 71 5 6 4 2 0 1 5 07 0 1 67 0 2 6 2 0 3 4 6 8 2 0 3 4 9 0 2 0 0 9 1 0 39 1 7 62 3 7 3 7 62 3 7 4 2 0 2 5 0 1 1 0 1 l1 10 4 2 2 6 1 7 5 52 6 1 8 2 0 3 0 01 2 7 2 31 2 8 0 72 7 9 2 5 32 7 9 3 0 0 3 5 01 4 2 2 61 4 2 5 82 9 1 7 7 12 9 1 & 8 0 4 0 01 5 5 0 91 55 8 23 0 0 6 6 83 0 0 7 1 0 4 5 01 6 5 6 61 6 5 7 33 0 6 9 1 l3 0 6 9 ，3 0 5 0 01 7 3 9 21 7 4 2 53 1 1 1 7 8 3 1 1 2 2 0 燕山入學(xué)理學(xué)碩七學(xué)位論文 續(xù)表3 - 2 x 坐標(biāo) 文獻(xiàn)【2 4 】的撓度 本文的撓度 文獻(xiàn)1 2 4 j 的彎矩值 本文的彎矩 ( r a m )( m m )( m m )( m n m m )( m n m m ) 5 5 01 7 9 8 41 80 3 73 1 3 9 3 33 1 3 99 0 6 0 01 8 3 4 01 8 4 0 5 3 1 5 4 7 4 3 1 5 4 9 0 6 5 01 8 4 5 91 8 5 2 93 1 5 97 03 1 6 e 3 0 圖3 - 3 撓度分布 f i g 3 - 3 d i s t r i b u t i o no fd e f l e c t i o n s 圖3 4 彎矩分布 f i g 3 - 4 d i s t r i b u t i o no f d i s t o r a t i o n s 第3 章應(yīng)用大撓度彎曲直梁混臺(tái)變量最小勢(shì)能原理求解極條的撓曲方程 本例求得的簡(jiǎn)支板條撓度和彎矩沿軸向的分布列于表3 2 。與表3 2 相 對(duì)應(yīng)的撓度圖、彎矩圖分別置于圖3 - 3 、圖3 4 。 3 3 ，2 兩端固定板條的求解 考慮一均載兩端固定柱面彎曲直梁，該直梁示于圖3 - 5 ( a ) ，用m 。代替兩 固定端的彎啦約束，則得圖3 - 5 ( b ) 所示實(shí)際系統(tǒng)。 根據(jù)( 3 1 7 ) 式，與圖3 - 7 ( a ) 和圖3 - 7 ( b ) 相對(duì)應(yīng)的大撓度兩端固定彎曲直 梁的總勢(shì)能為 q 產(chǎn)工口毛 h 一l 1 圖3 - 5 大撓度固支梁 f i g 3 - 5 f i x e db e a m sw i t hl a r g ed e f e c t i o n 兀，= 陪e ，( 窘 2 + 等一a w 卜一甄( 警 。+ 甄( 警l c 。書(shū)， 設(shè) w o ) ：藝以s i n a 。x ( 3 - 3 4 ) 由邊界條件有：面n = ( 丟( 警 2 出，則可得 ；_ e f 芝4 ：a ： ( 3 - 3 5 ) 4 詹”“ 將式( 3 3 4 ) 和式( 3 - 3 5 ) 代入式( 3 - 3 3 ) ，則可得： 兀，= 等爭(zhēng)+ 等( 爹弼2 砌蠢妾一：甄m 妻= l , 3 a 以p s s ， 當(dāng)m = 1 ，3 ，4 9 時(shí)，則式( 3 3 6 ) 變?yōu)?燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 n ，= 等耄彳? g 卜- e ，f ：t 。( 笥爭(zhēng)爿強(qiáng)f 2 ) 2 一z 穿耄魯一：砜莖a ，t e s 卻， 5 f l ” 等摯例十e f ik 。a 2 2 萎4 9 啪s 妒 z a 薹等一：風(fēng)羹伉，d 4 = 。 f 3 3 8 ) 舢古( 窘4 9 序、a 面4 q 一盟f a t a ，, = 。 ( 3 - s 。) 其中i = l ，3 ，4 9 。 若為線性問(wèn)題，則有： 妒麗4 q + 器( i = l , 3 , - - , 4 9 e y l a ) 1 蹦伍： 又- 西) = 耄a ，s i n a , x 且( 孰。= 0 又西) = ，s 且i 警】= - l ，3i ：0 “- - = 一l ( 鱺4 9 l h 、萎專(zhuān) t a b l e3 ，3 d i s 仃i b u t i o no f d e f l e c t i o n sa n dd i s t o r a t i o n s x 坐標(biāo) 文獻(xiàn) 2 4 1 的撓度解 本文的撓度解 文獻(xiàn) 2 4 1 的彎矩值 本文的彎矩值 ( 1 r a n )( n l m )( m i l l )( m n m m )( m n m m ) 00 01 2 4 2 21 3 2 8 3 5 00 3 4 502 7 78 4 1 37 8 8 0 1 0 01 ，3 4 71 2 4 3- 5 3 1 9- 5 3 0 5 1 5 02 ，7 7 12 6 5 8- 2 9 3 3- 3 0 3 8 2 0 04 4 3 24 3 3 0】0 9 4一1 2 2 1 2 5 06 ，18 76 1 1 23 1 92 0 3 3 0 07 9 2 67 8 8 81 4 0 2 1 3 0 7 第3 章應(yīng)h j 人撓度彎曲直粱混合變量最小勢(shì)能原理求解扳條的撓曲方程 續(xù)表3 3 x 坐標(biāo) 文獻(xiàn)1 2 4 1 的撓度解 本文的撓度解 文獻(xiàn)【2 4 】的彎矩值 本文的彎矩值 ( m m )( r )l m m j( m n m m )( m n m m ) 0 00- 1 2 4 2 21 3 2 8 3 5 00 3 4 50 2 7 7 - 8 4 1 37 8 8 0 1 0 0l3 4 7 12 4 35 3 1 95 3 0 5 1 5 0 2 7 7 l2 6 5 82 9 3 33 0 3 8 2 0 0 44 3 24 3 3 0一1 0 9 41 2 2 l 2 5 06 1 8 7 6 1 1 23 1 92 0 3 3 0 079 2 678 8 81 4 0 2 1 3 0 7 3 5 09 5 6 69 5 6 92 2 2 6 2 1 5 4 4 0 01 1 0 4 3 1 1 0 8 72 8 4 72 7 9 6 4 5 01 2 3 0 81 2 3 9 13 3 0 7 3 2 7 3 5 0 0 1 3 3 2 51 3 4 4 03 6 3 7 3 6 1 5 5 5 01 4 0 6 8 1 4 2 0 93 8 5 73 8 4 5 6 0 01 4 5 2 11 4 6 7 73 9 8 4 3 9 7 7 6 5 01 4 6 7 21 4 8 3 44 0 2 54 0 2 0 圖3 - 6 撓度分布 f i g 3 - 6 d i s t r i b u t i o n o fd e f l e c t i o n s 2 5 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 圖3 7 彎矩分布 f i g 3 - 7 d i s t r i b u t i o no f d i s t o r a t i o n s 本例求得的兩端固定板條撓度和彎矩沿軸向的分布列于表3 3 。與表 3 3 相對(duì)應(yīng)的撓度圖、彎矩圖分別置于圖3 6 、圖3 7 。 3 3 3 一端固定一端簡(jiǎn)支板條的求解 考慮一均載一端固定一端簡(jiǎn)支柱面彎曲直梁，該直梁示于圖3 - 8 ( a ) ，用 m 。代替固定端的彎曲約束，則得圖3 - 8 c o ) 所示直梁。 q j 產(chǎn) ( a )( b ) 圖3 - 8 一端固定一端簡(jiǎn)支梁 f i g 3 - 8 o n ee d g ef i x e da n dt h eo t h e rs i m p l ys u p p o r t e db e a m s 根據(jù)( 3 1 7 ) 式，與圖3 - 8 相對(duì)應(yīng)的大撓度一端簡(jiǎn)支一端固定彎曲直梁的 總勢(shì)能為 第3 章應(yīng)崩大撓度彎曲直梁混合變量最小勢(shì)能原理求解板條的撓曲方稃 設(shè) ( m 爿+ 嘉叫，卜一礬( 孰 p 4 。， w ( x ) = 4 ，s i n a 。x 由邊界條件有：面n = 2 t , 坐d x ) 2 出，婀得 ：等寶a 2 a 。2 - r = 13 將式( 3 4 1 ) 和式( 3 4 2 ) 代入式( 3 - 4 0 ) ，則可得： ( 3 4 1 ) r 3 - 4 2 ) 兀，= 等瑩弒+ 等 蕾緘 2 _ 2 9 罄一甄m 妻，l , 2 叫“奶， 當(dāng)m = 1 ，2 ，5 0 時(shí)，則式( 3 - 4 3 ) 變?yōu)?等薹彳；a ? + 等( 差爿? a ? ：g 蓑毒一z 甄差a ，4 c s 塒， 6 兀，：_ e j - 5 0a ? 4 占4 + t e f l ：乙5 04 2 “? 量a ：1 6 a 一 二 i = 1 2 o j t l 2i = 1 2 所以有 z 9 塞等一z 凰差a ，6 4 = 。 ”岳睜4 饞一捌a 一器= 。 若為線性問(wèn)題，則有 = 劃e j ag + 嗇?1 最刀a ? 其中i = l ，2 ，5 0 又w 阱丕5 0a ，s i n a , x 且= 0 x - - 0 又w g ) = ，s 且【等i = ，z l2o “+ ( 3 - 4 5 ) f 3 4 6 ) 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 甄= 弋( 系5 0 習(xí)1 ( 善5 0i 1 + 。 表3 4 撓度與彎矩分布 t a b l e3 4d i s t r i b m i o no f d e f l e c t i o n st o l dd i s t o r a t i o m x 坐標(biāo) a n s y s 的撓度 本文的撓度 a n s y s 的彎矩值 本文的彎矩 ( m m )( m m )( m i l l )( m m t r i m )( m n m m ) 0o0- 1 3 0 4 3 9j1 2 8 0 21 3 5 00 4 7 20 5 1 38 6 3 7 2 97 2 9 7 。2 4 1 0 0 1 5 1 31 6 7 1 5 4 2 6 8 8- 4 7 2 3 1 7 1 5 03 0 1 33 2 3 43 0 3 2 “2 5 6 8 1 9 2 0 04 7 4 35 0 2 3 1 2 3 05 8- 9 1 5 5 8 2 5 06 ，5 6 769 0 1 1 1 1 7 3 3 2 8 2 6 3 0 08 3 8 68 7 6 91 1 0 2 1 71 2 5 7 2 7 3 5 01 0 1 2 51 0 5 5 21 8 2 7 1 71 9 4 7 ，5 4 4 0 01 1 7 2 71 2 1 9 32 3 5 8 4 72 4 5 6 0 6 4 5 01 3 1 5 21 36 5 l 2 7 5 2 1 62 8 3 1 o l 5 0 01 4 3 7 l1 4 8 9 7 3 0 4 6 5 73 1 0 5 1 2 5 5 01 5 3 6 11 5 9 0 73 2 “，1 2 3 3 0 22 8 6 0 01 6 1 0 61 66 6 43 4 1 7 6 9 3 4 4 1 1 3 6 5 01 6 5 9 41 7 ，1 5 83 5 1 77 23 5 3 5 0 4 7 0 01 6 8 1 81 73 8 0 3 5 7 55 23 5 9 1 1 2 7 5 01 6 7 7 3 1 73 2 53 6 0 1 ，5 23 6 1 7 0 9 8 0 01 6 4 5 71 6 9 9 l 3 6 0 1 2 73 6 1 3 0 0 8 5 01 5 8 7 01 6 3 7 93 5 7 3 1 9 3 5 7 吼2 8 9 0 0 1 50 1 51 5 4 9 03 5 1 0 2 93 5 1 3 7 8 9 5 01 38 9 6 1 43 3 13 4 0 3 ，7 9 3 4 0 8 3 8 1 0 0 0 1 25 2 21 2 9 0 93 2 4 5 1 53 2 5 4 2 9 1 0 5 01 0 ，9 0 3 1 12 3 83 0 2 4 ，1 83 0 3 7 4 2 i j 0 09 0 5 89 3 3 3 2 7 2 4 3 52 7 3 7 j 7 第3 章應(yīng)丹j 夫撓度彎曲直梁混合變量晟小勢(shì)能原理求解板條的撓曲方稗 續(xù)表3 4 x 坐標(biāo) a n s y s 的撓度 本文的撓度 a n s y s 的彎矩值本文的彎矩 ( m m )( 1 l m ，( i l l m ，( 帆m m )( f n i t l m ) 1 1 5 0 70 0 872 1 72 3 1 83 72 3 2 7 2 5 1 2 0 0 47 8 44 9 2 7 1 7 6 6 3 7 1 7 7 03 4 1 2 5 02 4 3 02 5 0 21 0 1 58 51 0 1 6 1 2 1 3 0 00000 x 圖3 - 9 撓度分布 f i g 3 - 9 d i s t r i b u t i o no f d e f l e c t i o n s +十。+， + 車(chē)文 圖3 ，1 0 彎矩分布 f i g 3 - 1 0 d i s t r i b u t i o no f d i t o r a t i o n s 2 9 燕山大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文 本例求得的一端固定一端簡(jiǎn)支板條撓度和彎矩沿軸向的分布列于表 3 - 4 。與表3 - 4 相對(duì)應(yīng)的撓度圖、彎矩圖分別置于圖3 - 9 、圖3 一l o 。 3 3 4 算法分析 以上我們應(yīng)用大撓度彎曲直梁的混合變量的最小勢(shì)能原理，對(duì)三個(gè)大 撓度柱面彎曲板條的撓曲方程進(jìn)行了求解。下面我們對(duì)求解過(guò)程中所采用 的算法做一下分析。 首先，三個(gè)例子我們均先確定相應(yīng)問(wèn)題的混合總勢(shì)能，假設(shè)撓曲面方 程，根據(jù)邊界條件求出軸向力n ，然后對(duì)其混合總勢(shì)能取變分極值，得到 一組方程。 其次，我們選擇了三角級(jí)數(shù)作為撓曲方程的解析形式。因?yàn)槿羌?jí)數(shù) 具有無(wú)窮可微性，可以滿足位移協(xié)調(diào)條件，而且由于三角函數(shù)具有正交性， 這對(duì)于包含三角級(jí)數(shù)乘積項(xiàng)的積分方程來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是大大簡(jiǎn)化了計(jì)算，再 加上可以利用三角級(jí)數(shù)各項(xiàng)的線性無(wú)關(guān)性，把積分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程， 求出待定系數(shù)的表達(dá)式。對(duì)于本文的三個(gè)例子來(lái)說(shuō)，設(shè)正弦三角級(jí)數(shù)為撓 曲方程使一些邊界條件自動(dòng)得到滿足，比如簡(jiǎn)支端和撓度和彎矩為零的邊 界條件，這也給求解過(guò)程帶來(lái)了方便。 最后，對(duì)三個(gè)例子的應(yīng)用中，都需要求解一個(gè)非線性方程，本文是在 對(duì)方程的形式進(jìn)行了變換后，利用簡(jiǎn)單迭代法編程求解的，程序簡(jiǎn)單、結(jié) 果精確。 3 4 本章小結(jié) 本章主要應(yīng)用大撓度彎曲直梁的混合變量的最小勢(shì)能原理求解了三種 邊界條件的大撓度柱面彎曲板條的撓曲線方程、彎矩方程，并且把求得的 結(jié)果與經(jīng)典的結(jié)果和用有限元分析軟件a n s y s 求得的結(jié)果相比較。之后， 我對(duì)所采用的算法進(jìn)行綜合分析。從分析和計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果可以看出： 以上應(yīng)用混合變量的變分原理解題的方法具有思路清晰、形式直觀、程序 簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，而且用其計(jì)算所得的結(jié)果精度較高。因此，本章的計(jì)算方法 為求解有關(guān)大撓度梁的問(wèn)題開(kāi)辟了一個(gè)新的途徑。 3 0 第4 章有限變形體功的互等定理 第4 章有限變形體的功的互等定理 本章主要介紹有限變形體功的互等定理的基本理論及其推導(dǎo)過(guò)程。在 這之前我們首先介紹一下直角笛卡兒坐標(biāo)系有限變形彈性力學(xué)的基本方 程，以為后面章節(jié)的論述奠定理論基礎(chǔ)。 4 1有限變形彈性力學(xué)的基本方程 在本節(jié)中，我們將介紹直角笛卡兒坐標(biāo)系有限變形彈性力學(xué)基本方程 這些基本方程包括應(yīng)變一位移關(guān)系、本構(gòu)方程、平衡方程和邊界條件。對(duì) 結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)和變形狀態(tài)的描述，有兩種方法：一種是l a g r a n g i a n 描述( 物質(zhì) 坐標(biāo)) ：另一種是e u l e r a i n 描述( 空間坐標(biāo)) 。由于固體力學(xué)通常采用l a g r a n g i a n 描述，而流體力學(xué)通常采用e u l e r a i n 描述，因此，在本文中只采用l a g r a n g i a n 描述。 1 、應(yīng)變一位移關(guān)系 e g = 。7 。+ “。+ “，)x ，v i t u k v ( 4 - 1 ) = v + 材川+ 甜i ，。，jj x ，(1 ) 這就是有限變形體l a g r a n g i a n 描述的g r e e n 應(yīng)變張量。 2 、平衡方程 有限變形問(wèn)題的平衡方程為 ( 瓦+ “女，) o - 目】，j + f = 0 z 。v( 4 - 2 ) 3 、本構(gòu)方程 c 3 _ = a 一( e ) ：仃。 工。v ( 4 - 3 ) a p _ a a _ ( a ) ：e 。z ，v ( 4 - 4 ) d d ” 4 、邊界條件 ( 1 ) 應(yīng)力邊界條件 p 。+ 叱，k 吩= j ，t s ， ( 4 - 5 ) 3 1 燕山大學(xué)理學(xué)碩十學(xué)位論文 ( 2 ) 位移邊界條件 “。= 4 ， x ，s 。( 4 6 ) 式中，“，、8 f 、仃，分別為彈性體的位移、應(yīng)變及應(yīng)力；彳( p ) 、b p ) 為應(yīng)變 能密度和應(yīng)變余能密度；6 。為心。n e c k e r 符號(hào)，定義為氐2 ：i 0 ； “。 為“對(duì)x ，的導(dǎo)數(shù)；v 為彈性體；s = s ，+ s 。為邊界曲面，其中s 。為已知邊 界力的邊界曲面，s 。為已知邊界位移的邊界曲面。 4 2 有限變形功的互等定理 小變形理論的功的互等定理是于1 8 7 2 年由b e t t i ，e 建立的文獻(xiàn)【2 5 、2 6 立了有限變形的功的互等定理，本節(jié)將介紹文獻(xiàn) 2 5 、2 6 的工作。 4 2 1第一類(lèi)功的互等定理 考慮在直角坐標(biāo)系的兩個(gè)有限變形的彈性體。假設(shè)它們具有相同的形 狀、尺寸和線性本構(gòu)關(guān)系；但它們可受有不同的體力、不同的邊界力和不 同的位移邊界條件( 即有不同的邊界位移約束) 。同時(shí)，該兩變形體都處于 真實(shí)狀態(tài)。該兩變形體之一稱(chēng)為第一彈性系統(tǒng)，或簡(jiǎn)稱(chēng)為第一系統(tǒng)，另 個(gè)稱(chēng)為第二系統(tǒng)。右下角具有腳標(biāo)“1 ”和“2 ”的量分別表示第一系統(tǒng)和 第二系統(tǒng)的相應(yīng)力學(xué)量。 第一系統(tǒng)的應(yīng)力在第二系統(tǒng)相應(yīng)應(yīng)變上所做的功為 瓦= 肌o l q e 2 。d 礦= 胍吉( a g “2 j , i + u 2 k , i u 2 k , j ) d y = 肌u 2 i , j - i - t l l k , i u 2 k , j ) d y + 胍f 氟舳廠小礦( 4 - 7 ) 注意到 ，( u 2 i , i + u l k , ，u 2 k j ) d 歸胍b ，( 6 一“l(fā) i , k ) l d 2 k 1 d v = f f f ， q ，( 屯+ 。) 塢； 廠 ( 屯+ g l i , k ) q ， j “2 k d v = 3 2 第4 章有限變形體功的且等定理 皿，砒，d s + f c 。一p l , u 2 j d s + 胍f u 2 , d v ( 4 8 ) 將式( 4 - 8 ) 代入式( 4 7 ) ，則得 瓦= 甄仃l t j e 21 l d v 2 瓢了p