數(shù)列極限的概念ppt課件.ppt

第二章數(shù)列極限,2.1數(shù)列極限的概念,2.2收斂數(shù)列的性質(zhì),2.3數(shù)列極限存在的條件,1,2.1數(shù)列極限的概念,一、概念的引入,二、數(shù)列的定義,三、數(shù)列的極限,四、應(yīng)用數(shù)列極限的定義證明數(shù)列極限的方法,2,一、概念的引入,引例,1如何用漸近的方法求圓的面積S？用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.,A1,A2,A3,A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積,.,顯然n越大,An越接近于S.,因此,需要考慮當(dāng)n時(shí),An的變化趨勢(shì).,3,2、截丈問(wèn)題：,“一尺之棰，日截其半，萬(wàn)世不竭”,4,二、數(shù)列的定義,例如,5,注意：,1.數(shù)列對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取,2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù),6,數(shù)列極限來(lái)自實(shí)踐，它有豐富的實(shí)際背景.我們的祖先很早就對(duì)數(shù)列進(jìn)行了研究，早在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就有了極限的概念,例1戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的莊子.天下篇引用過(guò)一句話：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。”也就是說(shuō)一根一尺長(zhǎng)的木棒，每天截去一半，這樣的過(guò)程可以一直無(wú)限制的進(jìn)行下去。將每天截后的木棒排成一列,如圖所示,三、數(shù)列的極限,7,（c11(k)）其長(zhǎng)度組成的數(shù)列為,隨著n無(wú)限的增加,木棒的長(zhǎng)度無(wú)限的趨近于零。,8,例如,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列xn的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a,則常數(shù)a稱(chēng)為數(shù)列xn的極限,或稱(chēng)數(shù)列xn收斂a,記為,數(shù)列極限的通俗定義,9,三、數(shù)列的極限,10,三、數(shù)列的極限,11,三、數(shù)列的極限,12,三、數(shù)列的極限,13,三、數(shù)列的極限,14,三、數(shù)列的極限,15,三、數(shù)列的極限,16,三、數(shù)列的極限,17,三、數(shù)列的極限,18,三、數(shù)列的極限,19,三、數(shù)列的極限,20,三、數(shù)列的極限,21,三、數(shù)列的極限,22,問(wèn)題:,當(dāng)無(wú)限增大時(shí),是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?,問(wèn)題:,“無(wú)限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃它.,通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:,23,24,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn無(wú)限接近于a.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|無(wú)限接近于0.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.當(dāng)n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).,分析,因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù),則當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),xn無(wú)限接近于常數(shù)a.,當(dāng)n無(wú)限增大時(shí),如果數(shù)列xn的一般項(xiàng)xn無(wú)限接近于常數(shù)a,則數(shù)列xn收斂a.,下頁(yè),25,數(shù)列極限的精確定義,設(shè)xn為一數(shù)列如果存在常數(shù)a對(duì)于任意給定的正數(shù)e總存在正整數(shù)N使得當(dāng)nN時(shí)不等式|xna|N,目的：,NO,有些點(diǎn)在條形域外面！,數(shù)列極限的演示,33,N,數(shù)列極限的演示,e越來(lái)越小，N越來(lái)越大！,34,數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.,例1,證,所以,注意：,35,分析:,例1,證明,下頁(yè),0,NN當(dāng)nN時(shí)有|xna|.,36,利用定義驗(yàn)證數(shù)列極限，有時(shí)遇到的不等式|xna|不易考慮，往往采用把|xna|放大的方法。若能放大到較簡(jiǎn)單的式子，就較容易從一個(gè)比較簡(jiǎn)單的不等式去尋找項(xiàng)數(shù)指標(biāo)N,放大的原則：放大后的式子較簡(jiǎn)單放大后的式子以0為極限,例2證明,證明,37,則當(dāng)nN時(shí)，有,38,例3.證明分析，要使（為簡(jiǎn)化，限定n只要證.當(dāng)nN時(shí)有由定義適當(dāng)予先限定nn。是允許的！但最后取N時(shí)要保證nn。,39,.例4.證明（K為正實(shí)數(shù)）證：由于所以對(duì)任意0，取N=,當(dāng)nN時(shí),便有,40,例5,證,所以,說(shuō)明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).,小結(jié):,用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定尋找N,但不必要求最小的N.,41,例6,證,42,例7,證,43,由上面數(shù)列極限的證明可總結(jié)出數(shù)列極限證明的步驟：,2適當(dāng)放大,，通常放大成,的形式,，求出需要的,1化簡(jiǎn),3解,總結(jié)用定義求極限或證明極限的關(guān)鍵是適當(dāng)放大不等式，關(guān)鍵的追求有兩點(diǎn)，一是把隱性表達(dá)式變成顯性表達(dá)式，在重鎖迷霧中看清廬山真面目，二是抓住主要矛盾，舍去次要矛盾；要取舍合理，不能放大得過(guò)份。,44,四收斂的否定:,數(shù)列,發(fā)散,45,五數(shù)列極限的記註:,1滿(mǎn)足條件“”的數(shù)列:。2,改變或去掉數(shù)列的有限項(xiàng),不影響數(shù)列的收斂性和極限.重排不改變數(shù)列斂散性:,46,3數(shù)列極限的等價(jià)定義:,對(duì),對(duì)任正整數(shù),47,六無(wú)窮小數(shù)列:,定義極限為0的數(shù)列稱(chēng)為無(wú)窮小量（無(wú)窮小量是指一個(gè)極限概念，趨向常數(shù)0）,命題1.,的極限為n,是無(wú)窮小量.,變量有極限,的充要條件為它可分解為,加一個(gè)無(wú)窮小量。,命題2,無(wú)窮小量加