2013年江蘇省高考數(shù)學押題試卷.doc

2013年高考數(shù)學模擬試題一 填空題1. 復數(shù) .2.設一個橢圓的短軸長、焦距、長軸長成等差數(shù)列，則此橢圓的離心率e .NYNy0結(jié)束y-1x0輸入x開始y1Y輸出yx03. 函數(shù)f(x)lg(x2ax1)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)增函數(shù)，則a的取值范圍是_.4. 下面的流程圖可表示分段函數(shù)是_.5. 在平面幾何里,有勾股定理:“設ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB2+AC2BC2.”拓展到空間,類比平面幾何里的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積之間的關(guān)系,可以得到的正確的結(jié)論是“設三棱ABCD的側(cè)面ABC, ACD, ADB兩兩互相垂直,則有_.6. 在區(qū)間1，1上隨機取一個數(shù)x，cos的值介于0到之間的概率為 .7. .8. 已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)2f(2x)x28x8,則曲線yf(x)在點(1, f(1)處的切線方程是 .9. 從正方體ABCDA1B1C1D1的8個頂點中任意取4個不同的頂點,這4個頂點可能是 (1)矩形的4個頂點；(2)每個面都是等邊三角形的四面體的4個頂點；(2)每個面都是直角三角形的四面體的4個頂點；(4)有三個面是等腰直角三角形,有一個面是等邊三角形的四面體的4個頂點. 其中正確的結(jié)論有_個.10. 設等比數(shù)列an的公比為q,前n項和為Sn,若3Sn,4Sn+1,5Sn+2成等差數(shù)列，則q的值為 11. 設點O是ABC的外心，AB17，AC15，則 12. 小李擬將1,2,3, n這n個數(shù)輸入電腦, 求平均數(shù), 當他認為輸入完畢時, 電腦顯示只輸入n1個數(shù), 平均數(shù)為35, 假設這n1個數(shù)輸入無誤,則漏輸?shù)囊粋€數(shù)是 .13. 正數(shù)x, y滿足(1x)(1y)2, 則xy的最小值是 14. 設x是一個正數(shù), 記不超過x的最大整數(shù)為x, 令xxx,且x, x, x成等比數(shù)列, 則x .二 解答題15. 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形A1ABB1是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，C1B1AB，且C1B1=3，AB=4，ABB1=60o.(1)求證：平面CA1B平面A1AB；(2)求直線AC1與平面BCC1所成的角的正弦；(3)求三棱錐A1BCC1的體積.16. 設an是正數(shù)數(shù)列, 其前n項和Sn滿足Sn(an1)(an3).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn,試求數(shù)列bn的前n項和Tn.17. 在平面上，給定非零向量b，對任意向量c，定義cab.（1）若a(2,3), b(1,3), 求c；（2）若b(2,1)，證明：若位置向量a的終點在直線AxByC0上，則位置向量c的終點也在一條直線上；（3）已知存在單位向量b，當位置向量a的終點在拋物線C：x2y上時，位置向量c終點總在拋物線C： y2x上，曲線C和C關(guān)于直線l對稱，問直線l與向量b滿足什么關(guān)系？18. 如圖，兩個工廠A，B相距2 km，點O為AB的中點，現(xiàn)要在以O為圓心，2 km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MAAB，NBAB據(jù)測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數(shù)是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數(shù)是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為x kmOP N M B A（1）求“總噪音影響度”y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系，并求出該函數(shù)的定義域；（2）當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？19. 已知橢圓的方程為，點分別為其左、右頂點，點分別為其左、右焦點，以點為圓心，為半徑作圓；以點為圓心，為半徑作圓；若直線被圓和圓截得的弦長之比為；（1）求橢圓的離心率；AF2F1yBxO（2）己知a=7，問是否存在點，使得過點有無數(shù)條直線被圓和圓截得的弦長之比為；若存在，請求出所有的點坐標；若不存在，請說明理由20. 已知函數(shù)f(x)2xalnx.(1)若a0,證明：對于任意兩個正數(shù)x1,x2,總有f()成立；(2)若對任意x1,e, 不等式f(x)(a3)xx2恒成立，求a的取值范圍.加試題21.從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分A選修41幾何證明選講如圖, 在銳角ABC中, 三條高AD, BE, CF交于點H, 證明點H是DEF的內(nèi)心.(三條內(nèi)角平分線的交點)B選修42矩陣與變換在平面直角坐標系xOy中，設曲線C: xy1在矩陣(0)對應的變換作用下得到曲線F，且F的方程為x2y2a2(a0), 求和a的值.C選修44參數(shù)方程與極坐標在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)), 圓C的參數(shù)方程是(為參數(shù)), 直線l與交于兩個不同的點A, B, 點P在圓C上運動, 求PAB面積的最大值.D選修45不等式證明選講證明：對任意正數(shù)ab的算術(shù)平均A有BA.22. 【必做題】某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.23. 【必做題】正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，P,Q分別是直線BD1, AC上的動點,且PQ與BD1, AC都垂直, 則稱線段PQ是異面直線BD1與 AC的公垂線段.(1) 求直線BD1與平面ACD1所成角的正弦值;(2) 求異面直線BD1與 AC的公垂線段PQ的長; (3) 求二面角BCD1A的余弦值.解答1. 0.2. . 由ab2c, a2b2c2, 兩式相除得abc, 與ab2c相加得2ac,從而e.3.填(,0. g(x)x2ax1的對稱軸x1,且 g(1)a0, 所以a0.4. f(x)5. SBCD2SABC2SACD2SABD2.6. 0cos,在區(qū)間1，1上的解應滿足和,解得x1,和1x.所以0cos的概率是.7. 8.過程是8. 8. 方法一 在等式f(x)2f(2x)x28x8中將x全部換成2x得f(2x)2f(x)(2x)28(2x)8,聯(lián)立兩式解得f(x)x2.所以曲線yf(x)在點(1, f(1)處的切線方程是y12(x1),即2xy10.方法二在等式f(x)2f(2x)x28x8中令x1解得f(1)1,對等式f(x)2f(2x)x28x8兩端求導得f (x)2f (2x)2x8,令x1解得f (1)2, 所以曲線yf(x)在點(1, f(1)處的切線方程是y12(x1),即2xy10.9. 填4. 四邊形ABCD適合(1), 四面體ACB1D1適合(2), DB1C1D1適合(3), DA1C1D1適合(4),因此正確的結(jié)論有4個.10. 8Sn+13Sn5Sn+2, 即8(Snan+1)3Sn5(Snan+2), 所以8an+15an+2, q.11. 32.解法一 ()32.解法二 取BC的中點D, 則()()()(22)32.12. 設刪去的一個數(shù)是x,則1xn, 則刪去的一個數(shù)是1,則平均數(shù)不減, 平均數(shù)為,刪去的一個數(shù)是n,則平均數(shù)不增, 平均數(shù)為, 所以35, 69n71.當n71時, 35,解得x56,當n70時無解,所以x56. 13.方法一 因為(xy)24xy, (1x)(1y)2,所以, xy1xy,(1xy)24xy,即12xy(xy)24xy, 1(xy)26xy,所以兩邊同除以xy得 xy6.方法二 因為(1x)(1y)2,所以,21xyxy1xy2(1)2,所以1,xy(1)232,所以3xy2,兩邊平方得1(xy)26xy,所以兩邊同除以xy得 xy6.方法三 由柯西不等式得(1x)(1y)(1)2,所以1,xy(1)232,由于函數(shù)f(t)t在(0,32上單調(diào)遞減,所以xy326.14. ,因為x, x, x成等比數(shù)列, 則112,所以1x2x2,于是x1,從而化為1x,注意到0x1, 解得x,所以x.15.(1) 在三棱柱ABCA1B1C1中, C1B1CB, 所以CBAB, 又因為CBB1B, ABB1BB,所以CB平面A1AB, 因為CB平面CA1B, 所以平面CA1B平面A1AB；(2)由C1B1平面A1AB, 得平面A1AB平面BCC1. 過A作AH平面BCC1, H為垂足, 則H在B1B上, 連接C1H, 則AC1H為直線AC1與平面BCC1所成的角.連接AB1, 由四邊形A1ABB1是菱形, ABB1=60o,可知ABB1為等邊三角形, 而H是BB1的中點, 又AB14, AH2, 于是在直角C1B1A中, AC15,在直角AH C1中,sinA C1H, 因此, 直線AC1與平面BCC1所成的角的正弦等于.(3)因為四邊形BCC1B1是矩形，C1B1=3，ABB1為等邊三角形,所以BB14, 所以BCC1的面積為346, 由(2) AH平面BCC1, AH2,所以三棱錐A1BCC1的體積VBCC1的面積AH4.16. (1)由a1S1(a11)(a13)及an0得a13.由Sn(an1)(an3),得Sn-1(an-11)(an-13).所以an(an1)(an3)(an-11)(an-13)(aa-1)2(anan-1).整理得2(anan-1)(anan-1)(anan-1).因為anan-10,所以anan-12, 即an是以3為首項公差為2的等差數(shù)列,于是an2n1.(2)因為an2n1,所以Snn(n2), bn(),Tnbk()(1).17.(1) c(2,3)(1,3)(,).(2)設a(x,y), c(x,y),則(x,y)(x,y)(x2y)(2,1)(xy, xy),所以, 于是，故A(xy)B(xy)C0,從而, (3A4B)x(4A3B)yC0.由于A, B不同時為零,所以3A4B, 4A3B也不同時為零.于是向量c的終點在一條直線(3A4B)x(4A3B)yC0上.(3)設b(b1, b2), 則bb1,對任意實數(shù)t, 取a(t,t2), 則c(t,t2)(2(t,t2)(b1, b2)(b1, b2)(t,t2)(2tb12t2b2)(b1, b2)(12b)t2b1b2t2, 2b1b2t(12b)t2).因為c的終點在曲線C上,所以(12b)t2b1b2t2)22b1b2t(12b)t2. 由于t為任意實數(shù),比較式兩邊t的系數(shù)得12b0, (2b1b2)22b1b2, 12b0,從而, bb, b1b20,所以, b(,).對曲線C中任意點(x0,y0),可知(y0, x0)在曲線C上, 反之亦然. 故曲線C：x2y與曲線C：y2x關(guān)于直線l：yx對稱. l的方向向量d(1,1), 因為d b0,所以db, 即直線l與向量b垂直.18. （1）連結(jié)OP，設，則在AOP中，由余弦定理得在BOP中，由余弦定理得則，即有，定義域為 （2）解法一：由（1）得 = 當且僅當，即時取等號，此時答：當AP為km時，“總噪音影響度”最小 （2）解法二：令，則，由，得(舍)當時，函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)；當時，函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)當，即時，y有最小值答：當AP為km時，“總噪音影響度”最小19. （1）由，得直線的傾斜角為，則點到直線的距離，故直線被圓截得的弦長為，直線被圓截得的弦長為，（3分）據(jù)題意有：，即，（5分）化簡得：，解得：或，又橢圓的離心率；故橢圓的離心率為（2）假設存在，設點坐標為，過點的直線為；當直線的斜率不存在時，直線不能被兩圓同時所截；故可設直線的方程為，則點到直線的距離，由（1）有，得=，故直線被圓截得的弦長為， 則點到直線的距離，故直線被圓截得的弦長為， 據(jù)題意有：，即有，整理得，即，所以4|7kkmn|3|7kkmn|,即4(7kkmn)3(7kkmn)或4(7kkmn)3(7kkmn),也就是(49m)kn0或(1m)kn0與k無關(guān).于是或,故所求點坐標為（1，0）或（49，0） 方法二 對式兩邊平方整理成關(guān)于的一元二次方程得，關(guān)于的方程有無窮多解，故有：，故所求點坐標為（1，0）或（49，0） （注設過P點的直線為后求得P點坐標同樣得分） 20. (1) f()2alnalnalnaln.因為, 所以1, ln0,又a0,故aln0,所以f()成立.(2)因為f(x)(a3)xx2對x1,e,恒成立，故2xalnx(a3)xx2, a(xlnx)x2x,因為x1,e,所以xlnx0,因而a.設g(x), x1,e.因為g (x),當x(1,e)時, x10, x1lnx0,所以g (x)0,又因為g(x)在x1和xe處連續(xù), 所以g(x)在x1,e時為增函數(shù),所以ag(e).附加題21.從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分A選修41幾何證明選講如圖, 在銳角ABC中, 三條高AD, BE, CF交于點H, 證明點H是DEF的內(nèi)心.(三條內(nèi)角平分線的交點)證明 在四邊形BDHF中, 由于HDBD, HFBF, 所以B,D,H,F四點共圓，HDFFBH.因為BHAC, 所以FBH90oBAC, 即HDF90oBAC,同理, 在四邊形CDHE中, C,D,H,E四點共圓，HDE90oBAC,于是, HDFHDE.由對稱性, DFHEFH, 所以H是DEF的內(nèi)心.B選修42矩陣與變換在平面直角坐標系xOy中，設曲線C: xy1在矩陣(0)對應的變換作用下得到曲線F，且F的方程為x2y2a2(a0), 求和a的值.解 設P(x0,y0)是曲線C上任意一點, 點P(x0,y0)在矩陣對應的變換下變?yōu)辄cP(x0,y0) , 則有 , 所以 .又因為點P在曲線C上，所以由x0y01,得(x02y02)sinqcosq(cos2qsin2q)x0y01,要使得方程變?yōu)閤2y2a2(a0),必須cos2qsin2qcos2q0,因為0,所以q.這時a22, a.C選修44參數(shù)方程與極坐標在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)), 圓C的參數(shù)方程是(為參數(shù)), 直線l與交于兩個不同的點A, B, 點P在圓C上運動, 求PAB面積的最大值.解 直線l的普通方程是xy10, 圓C的普通方程是x2y21, 它們交于兩點A(1,0), B(0,1), 設點P的坐標為(cos,sin)(02p), 則點P到直線l的距離為d,當時,d取最大值, 因為AB,所以當P為(,)時, PAB面積最大,最大值為.D選修45不等式證明選講證明對任意正數(shù)ab的算術(shù)平均A有BA.證明 因為BA,所以BA,而,所以 BA. 22. 【必做題】某學生在上學路上要經(jīng)過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min.（1）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.解（1）設這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A