行列式及其性質(zhì).ppt

行列式與矩陣,n階行列式的概念,行列式的性質(zhì)與計(jì)算,Cramer法則,第六章,矩陣及其計(jì)算,逆矩陣與矩陣的秩,分塊矩陣,矩陣的初等變換,學(xué)習(xí)重點(diǎn),余子式與代數(shù)余子式的概念,n階行列式的概念,行列式的引入,引例：用加減消元法求解二元線性方程組,如果規(guī)定,則有,二階行列式,determinant,定義,a,b,c,d,例根據(jù)定義計(jì)算行列式的值,主對(duì)角線元素之積減去副對(duì)角線元素之積,對(duì)角線法則,三階行列式,對(duì)角線法則,例根據(jù)定義計(jì)算行列式的值,對(duì)角線法則,元素的余子式,元素的代數(shù)余子式,余子式,元素的余子式就是在行列式中劃掉元素所在的行和列，余下的元素按原來(lái)的相對(duì)位置而構(gòu)成的行列式,代數(shù)余子式,三階行列式的值等于它的第一行的所有元素與各自的代數(shù)余子式的乘積之和,n階行列式的定義（P222定義1）,按第一行展開,例根據(jù)定義計(jì)算行列式的值,下三角形行列式,逐次按第一行展開,下三角形行列式的值等于主對(duì)角線上各元素的乘積,特別,三階行列式等于第一列所有元素與其代數(shù)余子式乘積之和,定理,按第一列展開,上三角形行列式,逐次按第一列展開,上三角形行列式的值為主對(duì)角線上的元素之乘積,例計(jì)算行列式的值,按第一列展開,行列式的性質(zhì)及計(jì)算,第二節(jié),學(xué)習(xí)重點(diǎn),行列式的性質(zhì),行列式的按行按列展開定理,1、轉(zhuǎn)置變換,或記作,行列式的幾種變換,行、列對(duì)掉,稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式,Transpose,行變r(jià)ow,列變換column,交換i,j兩行,數(shù)K乘第i行,數(shù)K乘第j行后加到第i行上去,交換i,j兩列,數(shù)K乘第i列,數(shù)K乘第j列后加到第i列上去,2、換法變換,3、倍法變換,4、消法變換,換法變換,倍法變換,消法變換,行列式的性質(zhì),1.行列式轉(zhuǎn)置后，其值不變。,表明行與列是對(duì)等的，行具有的性質(zhì)，列也具有,2.互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。,推論：如果行列式D有兩行（列）相同，則D=0,3.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)K，等于用數(shù)K乘此行列式。,推論2：如果行列式D有一行（列）的元素全為零，則D=0,推論3：如果行列式D有兩行（列）的元素對(duì)應(yīng)成比例，則D=0,推論1:行列式中某一行（列）的元素的公因數(shù)可以提到行列式符號(hào)的外面。,4.如果行列式的某一行（列）的元素都是兩項(xiàng)的和，則可以把該行列式拆成兩個(gè)行列式之和。,5.把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一個(gè)數(shù)k后，加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，則行列式的值不變。,如,即,交換i,j兩行,數(shù)K乘第i行,數(shù)K乘第j行后加到第i行上去,交換i,j兩列,數(shù)K乘第i列,數(shù)K乘第j列后加到第i列上去,2、換法變換,3、倍法變換,4、消法變換,換法變換,倍法變換,消法變換,1、轉(zhuǎn)置變換,行與列對(duì)調(diào),等值,變號(hào),翻倍,等值,變號(hào),翻倍,等值,利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的值,行列式的展開與計(jì)算,定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的的代數(shù)余子式乘積之和。,推論行列式中某一行（或列）的元素與另一行（或列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和為零。,小結(jié),行列式按行展開得D，串行展開得零。,例題,1、計(jì)算行列式的值,2、設(shè)有行列式,（1）,（2）,A11、A12、A13、A14分別是D的第一行元素的代數(shù)余子式，試求3A11-A12+3A13-A14的值。,解答,1、（1）,解答,1、（2）,2、將代數(shù)式還原成行列式，得,1、計(jì)算下列行列式,（1）,（2）,2、證明：Vandermonde行列式,課堂練習(xí),小結(jié),行列式的計(jì)算方法：一般是先利用性質(zhì)，用消法變換將行列式中某一行（或列）的元素盡可能地化為零，最好是只