（信號(hào)與信息處理專(zhuān)業(yè)論文）基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究.pdf

摘要 摘要 本文主要研究基于有限脊波變換的圖像去噪方法。文章首先介紹了傳統(tǒng)的小 波閾值去噪和它的主要缺點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上介紹了有限脊波變換應(yīng)用予圖像去噪的 優(yōu)越性。針對(duì)傳統(tǒng)的有限脊波變換只能應(yīng)用于素?cái)?shù)大小的圖像的缺陷和在處理后 的圖像中引入較多的“纏繞”效應(yīng)的缺陷，本文分別從這兩個(gè)方面對(duì)傳統(tǒng)的有限 脊波變換做了改進(jìn)，在保證脊波變換用于圖像去噪的優(yōu)越性的同時(shí)，極大地拓寬 了有限脊波變換的應(yīng)用范圍，使得處理圖像變得更加靈活。另外，結(jié)合不同的圖 像，文章給出了不同的去噪效果。結(jié)果顯示，脊波變換在處理具有線性結(jié)構(gòu)體的 圖像時(shí)，較小波閾值去噪效果好。最后更進(jìn)一步介紹了脊波變換的應(yīng)用前景，總 結(jié)了整個(gè)過(guò)程遇到的主要問(wèn)題。 關(guān)鍵詞：有限脊波變換有限r(nóng) a d o n 變換圖像去噪小波閩值 a b s t r a c t i m a g ed e n o i s i n gi sw i d e l yu s e di ns o m ea r e a s ，s u c ha si m a g ec o m p r e s s i o n ，t a r g e t r e c o g n i t i o n ，e t c t h ew a v e l e tt h r e s h o l di sa l le f f e c t i v ed e n o i s i n gm e t h o d ，s u i t a b l ef o r i m a g e sw i t hs m o o t ha r e a s b m ，w h e ni ti sa p p l i e dt oi m a g e sw i t hl i n e t y p es t r u c t u r e s ， w a v e l e tt h r e s h o l dm e t h o di n t r o d u c e st o om u c h “r i n g e f f e c ti n t ot h ed e n o i s e di m a g e a r o u n dt h ee d g eo ft h es t r u c t u r e ，a n dt h u sm a k e st h ev i s u a le f f e c te v e nw o r s et h a nt h e n o i s yi m a g e s t h ef i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r e t ) b a s e dd e n o i s i n gm e t h o d sc a n k e e pt h ed e t a i l so ft h ei m a g ew h i l ed e n o i s i n g ，b u ta tt h es a m et i m e ，i n t r o d u c et h es o c a l l e d “w r a pa r o u n d ”e f f e c t a n o t h e rd r a w b a c ko ff r i ti st h a ti ti so n l ys u i t a b l ef o r p r i m es i z ei m a g e s i nr e s p e c tt ot h e s et w od r a w b a c k s ，t h i sp a p e rd e m o n s t r a t e st w o m e t h o d st oi m p r o v et h ef r n k e y w o r d s ：f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ，f i n i t e r a d o nt r a n s f o r m ，i m a g ed e n o i s i n g ， w a v e l e tt h r e s h o l d 西安電子科技大學(xué) 創(chuàng)新性聲明 秉承學(xué)校嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)風(fēng)和優(yōu)良的科學(xué)道德，本人聲明所呈交的論文是我個(gè)人在 導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo) 注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成 果：也不包含為獲得西安電子科技大學(xué)或其它教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的 材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中做了明確的曉 明并表示了謝意。 申請(qǐng)學(xué)位論文與資料若有不實(shí)之處，本人承擔(dān)一切的法律責(zé)任。 本人簽名：1 叁鰻f f 期伽口1 西安電子科技大學(xué) 關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明 本人完全了解西安電子科技大學(xué)有關(guān)保留和使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：研究生 在校攻讀學(xué)位期間論文工作的知識(shí)產(chǎn)權(quán)單位屬西安電子科技大學(xué)。學(xué)校有權(quán)保留 送交論文的復(fù)印件，允許查閱和借閱論文；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容， 可以允許采用影印、縮印或其它復(fù)制手段保存論文。同時(shí)本人保證，畢業(yè)后結(jié)合 學(xué)位論文研究課題再撰寫(xiě)的文章一律署名單位為西安電子科技大學(xué)。( 保密的論文 在解密后遵守此規(guī)定) 本人簽名 導(dǎo)師簽名 千凼夔傳 學(xué)啦l 同期 同期 第一章緒論 第一章緒論 1 1 研究背景和意義 圖像信息以其信息量大、傳輸速度快、作用距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)成為人類(lèi)獲取信息 的重要來(lái)源及利用信息的重要手段，然而獲取的原始圖像中一般都帶有某種噪聲。 圖像噪聲對(duì)圖像分析、圖像壓縮影響極大。由于噪聲信號(hào)的存在，不僅使得圖像 壓縮的效率減低，而且會(huì)導(dǎo)致后續(xù)圖像處理的效果不理想，因此圖像去噪是圖像 處理領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容。傳統(tǒng)的去噪方法是將被噪聲干擾的圖像通過(guò)一個(gè)低通 濾波器，濾掉噪聲頻率。例如滑動(dòng)平均窗濾波法、w i e n e r 線性濾波法等。圖像經(jīng) 低通濾波后雖然能達(dá)到降低噪聲的效果，但同時(shí)也會(huì)破壞圖像的細(xì)節(jié)，因此如何在 降低噪聲的同時(shí)盡可能地保留圖像細(xì)節(jié)成為圖像去噪研究的一個(gè)重要問(wèn)題。小波 變換具有良好的時(shí)頻局部性，能進(jìn)行空間與頻率的綜合處理。1 9 9 5 年，d o n o h o ”1 首次提出了小波閾值這個(gè)概念，由于此方法在b e s o v 空間上可以得到最佳的估計(jì) 值，而其他的線性估計(jì)都達(dá)不到與此相同的結(jié)果，因此引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的注意。 d o n o h o 等人分析了小波變換的多尺度特性及其對(duì)信號(hào)能量的集中能力，發(fā)現(xiàn) 比較大的小波系數(shù)一般以實(shí)際信號(hào)為主，而比較小的系數(shù)則在很大程度上是噪聲， 由此提出了小波系數(shù)閾值化去噪方法。小波閾值是一種非線性的方法，它是在小 波域內(nèi)通過(guò)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行處理來(lái)達(dá)到去噪的目的，其理論前提是，認(rèn)為圖像的 小波系數(shù)是服從廣義高斯分布，且絕對(duì)幅值較大的小波系數(shù)主要是由信號(hào)變換后 得到的，而絕對(duì)幅值較小的小波系數(shù)則主要是由噪聲變換后得到的。這樣就可以 通過(guò)設(shè)定閾值將較小的噪聲系數(shù)清除來(lái)達(dá)到去噪的目的3 4 7 - 5 1 a 但是，由于經(jīng)小波變換后圖像細(xì)節(jié)信息也主要表現(xiàn)在高頻區(qū)，對(duì)高頻區(qū)按照 閾值去噪后，圖像的細(xì)節(jié)信息變得模糊，表現(xiàn)在圖像域就是在圖像的邊緣會(huì)產(chǎn)生 “振鈴”效應(yīng)，當(dāng)噪聲強(qiáng)度增大時(shí)，經(jīng)小波閾值去噪后的圖像效果甚至不如含噪 聲的圖像。如何去除高頻區(qū)的噪聲信息而保留圖像的原始高頻信息就成了一個(gè)值 得研究的問(wèn)題。 針對(duì)具有直線型結(jié)構(gòu)的圖像，基于脊波變換的去噪方法在去除噪聲的同時(shí)很 好的保留了圖像的線性細(xì)節(jié)，因此具有很好的應(yīng)用前景。 1 2 脊波變換的歷史研究和現(xiàn)狀 信號(hào)處理的經(jīng)典方法是傅罩葉變換。傅旱葉變換將信號(hào)分解為一組幣交三角 基丁二有限脊波變換的圖像去噪方法研究 函數(shù)的加權(quán)組合，是以三角級(jí)數(shù)為正交基。三角級(jí)數(shù)對(duì)刻畫(huà)信號(hào)的奇異性特征效 果不佳，故傅里葉分析只適用于處理確定性的平穩(wěn)信號(hào)。 小波變換是以“小波基”函數(shù)作為正交函數(shù)基。這種函數(shù)基既克服了傅里葉 分析中三角族發(fā)散的問(wèn)題，又具有多分辨率分析的特點(diǎn)。小波分析能有效地從信 號(hào)中提取所需信息，適合于處理非平穩(wěn)信號(hào)。 小波對(duì)于具有點(diǎn)狀奇異性的目標(biāo)函數(shù)表示是最優(yōu)的，而自然圖像一般并不是 簡(jiǎn)單的一維的相互分離點(diǎn)的組合，不連續(xù)的點(diǎn)( 如邊緣) 是目標(biāo)物體的一個(gè)顯著 特點(diǎn)。邊緣是圖像具有奇異性的地方，通過(guò)邊緣，可以找到目標(biāo)圖像的廣度，進(jìn) 而提取目標(biāo)的位置、形狀、朝向等信息。 二維小波可以有效處理分離的、不連續(xù)的邊緣點(diǎn)，而不能處理光滑的邊緣輪 廓線，且小波變換只能獲得有限的方向信息。因此，在表示圖像的邊緣輪廓線時(shí)， 小波變換存在不足。 小波變換由于其良好的時(shí)頻特性，在實(shí)際中得到廣泛地應(yīng)用。而在去噪領(lǐng)域 中，小波變換也得到了許多研究者的重視，利用小波進(jìn)行去噪，獲得了非常好的 去噪效果。小波去噪方法大體上可以分為三類(lèi)：小波收縮法、投影方法、相關(guān)方 法。小波收縮去噪法又可以分為閩值收縮法和比例收縮法兩種。閡值收縮法主要 是基于如下的事實(shí)：即圖像經(jīng)過(guò)小波變換后，比較大的系數(shù)一般都是以實(shí)際信號(hào) 為主，而比較小的系數(shù)則很大程度是噪聲。因此可以通過(guò)設(shè)定合適的閾值來(lái)保留 大于閥值的小波系數(shù)，同時(shí)將小于閾值的小波系數(shù)置零，再經(jīng)過(guò)小波逆變換來(lái)實(shí) 現(xiàn)圖像去噪。由此可見(jiàn)，如果一種變換方法可以使得圖像變換后信息主要集中在 少數(shù)較大的變換系數(shù)上，而其它的變換系數(shù)都較小( 即獲得一種稀疏的圖像表示 方法) ，則利用保留圖像較大變換系數(shù)的收縮去噪方法可以獲得理想的去噪效果。 圖像是由最基本的點(diǎn)、線、面構(gòu)成的。小波在表示具有點(diǎn)奇異性的目標(biāo)函數(shù) 時(shí)是最優(yōu)的基，而在表示線和超平面的奇異性時(shí)，并不是最優(yōu)的。因此，小波變 換并不是圖像稀疏表示的最佳方法。 為了克服小波變換在處理高維信號(hào)時(shí)的不足，s t a n f o r d 大學(xué)e j c a n d e s ” 和d l d o n o h o ”1 研究了一種新的多尺度變換脊波變換( r i d g e l e tt r a n s f o r m ) ， 它能有效地處理二維空間中具有直線奇性的信號(hào)。 r i d g e l e t 的理論框架彌補(bǔ)了小波的不足，在線和超平面的奇異性表示上獲得了 良好的特性。對(duì)于紋理( 線奇異性) 豐富的圖像，r i d g e l e t 可以獲得比小波更加稀 疏的表示。利用這一點(diǎn)對(duì)圖像進(jìn)行收縮去噪，r i d g e l e t 變換可以獲得更好的去噪效 果“”1 ，同時(shí)可以很好地保留圖像的細(xì)節(jié)信息。 隨后，m n d o 和m v e t t e r l i “”提出了一種可逆的、正交化的有限脊波變換一 f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r i t ) “”。該文將f r i t 應(yīng)用于圖像去噪過(guò)程，將閱 值去噪方法擴(kuò)展應(yīng)用到脊波領(lǐng)域。實(shí)驗(yàn)證明，當(dāng)處理具有直線特征的圖像時(shí)，基 第一章緒論 于脊波變換的圖像去噪算法取得了較傳統(tǒng)小波方法更好的效果。 1 3 本文主要內(nèi)容 近年來(lái)，基于脊波去噪的各種算法中，有限脊波變換的方法計(jì)算簡(jiǎn)單、復(fù)雜 度低并且有較好的去噪效果。雖然有限脊波變換在處理具有線性結(jié)構(gòu)特征的圖像 時(shí)取得了較好的效果，但它只能應(yīng)用于素?cái)?shù)大小的圖像，并且用有限脊波變換處 理后的圖像中引入了大量的“纏繞”效應(yīng)“”，在一定程度上抵消了有限脊波變換 所帶來(lái)的好處。本文在理論上可以使得f r i t 適用于任意大小的圖像，并在減小“纏 繞”效應(yīng)方面對(duì)傳統(tǒng)的有限脊波變換做了改進(jìn)。 本文的具體安排如下： 第一章為緒論部分。主要介紹了脊波變換的發(fā)展歷史、現(xiàn)狀，以及本文的主 要工作。 第二章是本文的預(yù)備知識(shí)。前半部分主要介紹小波的發(fā)展，后半部分介紹小 波去噪的原理、方法及步驟和閾值選取準(zhǔn)則。 第三章研究了脊波變換與小波變換的關(guān)系，以及脊波變換的應(yīng)用。 第四章給出了有限脊波變換的定義，最后研究了基于有限脊波變換的去噪方 法及其優(yōu)缺點(diǎn)。 第五章針對(duì)傳統(tǒng)有限脊波變換只能應(yīng)用于素?cái)?shù)大小的圖像的缺點(diǎn)，提出了一 種適合于任意大小的有限脊波變換，并將這種新方法應(yīng)用到圖像去噪中，取得了 一定的改進(jìn)。 第六章針對(duì)傳統(tǒng)有限脊波變換會(huì)對(duì)去噪圖像引入大量的“纏繞”效應(yīng)的缺點(diǎn)， 提出了一種適合于不同行列比的新變換，從而很大程度上減少了新的有限脊波變 換對(duì)去噪圖像的影響。 最后是總結(jié)與展望。 第二章小波變換與閾值去噪 第二章小波變換與閾值去噪 小波分析是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)有趣的研究課題。從數(shù)學(xué)角度看，它屬于調(diào)和分 析的范疇，是泛函分析、調(diào)和分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶，是正在發(fā)展的新的數(shù) 學(xué)分支；由于它又具有廣泛的工程內(nèi)涵，從工程角度來(lái)看，小波分析是一種信號(hào) 與信息處理的工具，它被認(rèn)為是近幾十年來(lái)信號(hào)處理方法和工具上的重大突破， 是繼傅立葉( f o u r i e r ) 分析的一個(gè)劃時(shí)代進(jìn)展。與傅立葉變換相比，小波變換是 時(shí)間和頻率的局域變換，是一種線性時(shí)頻分析：與短時(shí)傅立葉變換相比，小波變 換在時(shí)頻平面不同位置具有不同的分辨率，是一種多分辨分析方法，由于小波分 析這種可聚焦到對(duì)象的任何細(xì)節(jié)的優(yōu)點(diǎn)，使得它“既看到森林( 信號(hào)全局) ，又看 到樹(shù)木( 信號(hào)細(xì)節(jié)) ”，因此，它被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡?？梢哉f(shuō)：除了周期性很好的 信號(hào)和平穩(wěn)信號(hào)外，在信號(hào)處理方面幾乎沒(méi)有其他的處理工具可以和小波分析媲 美。 近年來(lái)，小波理論廣泛運(yùn)用于多種學(xué)科研究領(lǐng)域，并取得卓越成效。例如： 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，小波分析可以用來(lái)求微分方程解、與分形數(shù)學(xué)相結(jié)合做函數(shù)數(shù)值 逼近；在信號(hào)檢測(cè)和模式識(shí)別中，小波分析可以進(jìn)行非平穩(wěn)信號(hào)檢測(cè)、地質(zhì)勘探、 醫(yī)療成像分析、地震檢測(cè)分析；在圖像處理領(lǐng)域，小波被用來(lái)進(jìn)行圖像壓縮、邊 緣提取、圖形去噪等。由于小波分析既包含豐富的數(shù)學(xué)理論，又是工程應(yīng)用中強(qiáng) 有力的方法和工具，所以其發(fā)展推動(dòng)著其它許多學(xué)科和領(lǐng)域的發(fā)展，同時(shí)也使得 其本身具有了多學(xué)科相互結(jié)合、相互滲透的特點(diǎn)。討論小波的新理論、新方法和 新應(yīng)用成為當(dāng)前數(shù)學(xué)界和工程界的一個(gè)非?；钴S和富有挑戰(zhàn)性的研究領(lǐng)域。 本章首先介紹小波分析和小波去噪的發(fā)展歷史以及現(xiàn)狀，然后介紹本文的篇 章結(jié)構(gòu)和主要內(nèi)容。 2 1 小波發(fā)展的現(xiàn)狀 小波的起源可以追溯到2 0 世紀(jì)初。1 9 1 0 年，h a a r 提出了規(guī)范丁f 交小波基的 思想，他在描述抽象h i l b e r t 空間特性的論文中，首次構(gòu)造了l 2 ( 【o ，l 】) 上緊支撐的 正交函數(shù)系- - h a a r 函數(shù)系。1 9 2 3 年，w a l s h 構(gòu)造了區(qū)間【o ，1 ) 上完備標(biāo)準(zhǔn)證交系， 并被廣泛應(yīng)用于信息論、通訊、計(jì)算機(jī)、遙感等諸多領(lǐng)域，它是迄今為止人們發(fā) 現(xiàn)的最早的小波包原型。1 9 4 6 年，d g a b o r t ”】提出了加窗f o u r i e r 變換( g a b o r 變換) 進(jìn)行信號(hào)表示的方法，它用平移的g a u s s 函數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行展丌，這是一種無(wú)限支 撐的非幣交小波展丌。 基丁二有限脊波變換的圖像去噪方法研究 真正的小波成形與發(fā)展還是8 0 年代后期才開(kāi)始的。1 9 8 1 年，法國(guó)的地球物 理學(xué)家m o r l e t 仔細(xì)研究了g a b o r 變換方法，對(duì)f o u r i e r 變換和加窗f o u r i e r 交換的 異同、特點(diǎn)及函數(shù)構(gòu)造作了創(chuàng)造性的研究，提出了用一個(gè)函數(shù)的時(shí)移和尺度的組 合表示信號(hào)的新思想，并于1 9 8 4 年和e g o u p i l l a r d 、a g r a s s m a n i s 首先提出了“小 波分析”的概念，并建立了以他的名字命名的m o r l e t 小波。隨后的1 9 8 6 年， m s m i t h l 1 9 1 提出了共軛鏡像濾波器( c q f ) 這一重要概念，為二進(jìn)緊支撐小波的構(gòu) 造提供了契機(jī)。同年，m e y e r 第一次構(gòu)造出具有衰減性的小波，該小波的二進(jìn)伸 縮、平移可構(gòu)成l 2 ( r ) 上的規(guī)范正交基，打破了人們認(rèn)為不可實(shí)現(xiàn)的設(shè)想，從而 掀起小波研究的熱潮。1 9 8 8 年，數(shù)學(xué)家d a u b e c h i e s 給出了具有緊支撐和任意有限 j 下則階的小波函數(shù)的一般構(gòu)造方法【2 0 j 。1 9 8 9 年，m a l l a t 創(chuàng)造性的把計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng) 域中的多尺度分析方法引入到小波基的構(gòu)造中，統(tǒng)一了s t r o m b e r g 、m e r y e r 、 l e r m a r i e 等人提出的各種小波的構(gòu)造方法，并研究了小波變換的離散形式，提出 了m a l l a t 塔式分解和重構(gòu)算法，為小波應(yīng)用鋪平了道路 4 1 。同年，m e y e r 、c o f m a n 等人提出了小波包的概念。1 9 9 4 年。g o o d m a n 等人建立了多重小波的基本理論 框架【2 1 1 ，進(jìn)一步豐富了小波理論。如今的小波理論正日趨完善，并被越來(lái)越廣泛 的運(yùn)用于各個(gè)領(lǐng)域之中。 2 2 小波去噪 小波變換由于其良好的時(shí)頻特性，在實(shí)際中得到廣泛地應(yīng)用。而在去噪領(lǐng)域 中，小波變換也得到了許多研究者的重視，利用小波進(jìn)行去噪，獲得了非常好的 去噪效果。 在信號(hào)采集、處理、傳輸過(guò)程中，信號(hào)不可避免的受到各種外來(lái)噪聲的干擾。 傳統(tǒng)的基于傅立葉變換的去噪法和相干平均去噪法在消除噪聲的同時(shí)，會(huì)造成數(shù) 據(jù)信息的大量丟失。8 0 年代中后期發(fā)展并成熟起來(lái)的小波理論與傳統(tǒng)的去噪方法 比較，有著不可比擬的優(yōu)點(diǎn)。 小波去噪的方法主要有模極大值檢測(cè)法、屏蔽去噪法和閾值收縮法，其中最 常用的是閡值收縮法( t h r e s h o l dd e n o i s i n g ) 。該方法是1 9 9 2 年，首先由d o n o h o 和 j o l l l l s t o n e 口1 提出，并給出了形如兄= 盯2 螄) 的通用閾值。在1 9 9 2 - - 1 9 9 5 年中 他們做出了一系列卓有成效的工作1 8 1 1 9 1 1 2 2 1 2 3 1 ：從漸進(jìn)意義上證明了閾值收縮法的 最優(yōu)性；并為小波閾值處理方法先后提出了硬閾值、軟閾值和幾乎硬閾值這類(lèi)簡(jiǎn) 單有效的非線性處理函數(shù)。此后小波閾值收縮法被廣泛運(yùn)用于去噪領(lǐng)域中，并取 得了很大成功，尤其是高斯噪聲。但是這種通用閾值有著較嚴(yán)重的“過(guò)扼殺”傾 向，因此人們紛紛對(duì)閩值的選擇進(jìn)行了研究。 1 9 9 4 年，n a s o n 提出了用來(lái)優(yōu)化軟閾值去噪的交叉驗(yàn)證法【2 ”，之后n w j 塒c h 第二章小波變換與閾值去噪 7 和g - t w a r h o l a 2 - q 又提出了廣義交叉驗(yàn)證法。1 9 9 6 年，c o i f m a n 在閾值法基礎(chǔ)上提 出了平移不變量小波去噪算法 2 6 i 2 7 1 。1 9 9 8 年，d e s a im d 等提出了s t e i n 無(wú)偏風(fēng) 險(xiǎn)估計(jì)( s u r e ) 閾值團(tuán)j 。同年，e a b r a m o v i c h 等提出了基于貝葉斯數(shù)學(xué)模型的 貝葉斯( b a y e s ) 閾值 2 9 1 。1 9 9 9 年，b v i d a k o v i c l 3 0 1 提出基于最小化錯(cuò)誤概率的極 大極小閾值準(zhǔn)則。2 0 0 0 年s g r a c ec h a n g 3 1 】等又提出基于內(nèi)容的空間自適應(yīng)閾值， 使閾值收縮法更加優(yōu)化。同年，s gc h a n g 3 2 l 等還針對(duì)多含均勻高斯白噪聲的幅 圖像拷貝，提出了聯(lián)合小波去噪方法，將圖像平均和閾值去噪結(jié)合，解決了多幅 不同渠道樣本的融合和去噪問(wèn)題。隨著閾值種類(lèi)的不同，閾值函數(shù)也不斷發(fā)展， 先后出現(xiàn)g a r r o t e 閾值、半軟閾值等i 硎。近年來(lái)，基于閾值收縮法仍然不斷有新 的研究成果出現(xiàn)，極大的豐富了小波去噪的內(nèi)容。 圖像去噪是小波變換的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一，也是小波應(yīng)用最為成功的領(lǐng)域之 一。其核心技術(shù)是圖像在小波域的統(tǒng)計(jì)建模和小波域圖像小波系數(shù)的估計(jì)規(guī)則( 也 稱(chēng)閾值規(guī)則) 。 2 3 閡值去噪的基本原理 閾值o ”去噪的理論前提是，認(rèn)為圖像的小波系數(shù)是服從廣義高斯分布，且絕 對(duì)幅值較大的小波系數(shù)主要是由信號(hào)變換后得到的，而絕對(duì)幅值較小的小波系數(shù) 則主要是由噪聲變換后得到的。這樣就可以通過(guò)設(shè)定閾值將較小的噪聲系數(shù)清除 來(lái)達(dá)到去噪的目的。 設(shè)含噪聲的圖像模型： g 【f ，j 】；f i ，力+ f 【f ，】，i ，一1 ，p ( 2 1 ) 其中g(shù) 【f ，力是觀測(cè)圖像的灰度值，廠【f ，力是真實(shí)圖像的灰度值，s 【f ，】是觀測(cè) 噪聲大多數(shù)圖像去噪中假定噪聲獨(dú)立于信號(hào)，并且是空間平穩(wěn)的高斯白噪聲 ( a w g n ) 。 那么小波變換圖像去噪的一般實(shí)現(xiàn)流程如下： ii l l i ，、。i 一 叫圖像噪聲的小波域建模i i。一 圖2 1 小波去噪流程圖 由一維小波采用張量積構(gòu)成的可分離二維小波變換可將圖像分解成一個(gè)低頻 信號(hào)l l 和三個(gè)方向的高頻分量信號(hào)( 水平方向h l 、垂直方向及4 5 度方向 i h ) ，即每 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 一層分解為4 個(gè)子帶信號(hào)，低頻子帶又可進(jìn)一步分解成4 個(gè)子帶，如果分解層次數(shù) 為肪則總的子帶數(shù)為3 坍+ 1 在實(shí)際處理時(shí)，可根據(jù)圖像的復(fù)雜程度和處理要求確 定分解層次。一般而言，信號(hào)中有用信息主要集中在低頻區(qū)。同時(shí)在同一層中， 硼子帶中的信噪比較 l l 和l h 子帶小。由于噪聲信息主要集中在h l ，l h ， l l 這三 個(gè)子帶中，因此在用小波閾值對(duì)圖像進(jìn)行處理時(shí)，我們通常只處理這三個(gè)子帶， 而保留l l 子帶的信息。 l l 2 l h 2 u l l h l 2衄2 h l i刪l 圖2 2 最大下采樣張量小波分解 圖2 3 小波變換頻率分割 2 4 噪聲統(tǒng)計(jì)特性的估計(jì) 為了選擇合適的閾值，我們應(yīng)首先對(duì)噪聲的特性進(jìn)行估計(jì)，噪聲背景的統(tǒng)計(jì) 特性是進(jìn)行小波域處理的重要依據(jù)。雖然觀測(cè)圖像的背景噪聲是多種多樣的，但 為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，一般圖像去噪中假定背景噪聲是空間平穩(wěn)的加性高斯白噪聲 ( a w g n ) 。在這種假定下，噪聲的統(tǒng)計(jì)特性完全由該隨機(jī)過(guò)程的均值和方差決定。 并且一般假定噪聲是零均值的，方差成了唯一需要確定的噪聲參數(shù)。 第二章小波變換與聞值去噪 9 通過(guò)對(duì)圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行二維多層的小波分解，圖像的小波域數(shù)據(jù)模型表示如 下： 以，_ ，) 2 嚶( ，) + k ( i ，川) - ，j - ) ， ( 2 2 ) + l l ，日，h l ，h h ，= 1 ，2 ，工 圖像的小波系數(shù)具有下面特點(diǎn)： ( 1 ) 圖像的小波系數(shù)是幾乎線性不相關(guān)的，這由小波變換的去相關(guān)特性所確 定： ( 2 ) 圖像的能量主要包含在l l 子帶，h l ，l h ，腿子帶分別包含了圖像的水平， 垂直和對(duì)角邊緣和紋理信息； ( 3 ) 噪聲的小波系數(shù)服從獨(dú)立同分布( i i d ) 的高斯分布，具有零均值和方 差。 由于h h 子帶含有圖像信號(hào)能量最少，可以用m a d o ( m e d i a na b s o l u t ed e v i a t i o n ) 估計(jì)子估計(jì)噪聲標(biāo)準(zhǔn)差： m a d 估計(jì)子： 子：竺到些塑：巫蘭! ：絲墮! 三! ：型! 型 ( 2 - 3 ) 0 6 7 4 5 m a d 估計(jì)予等于對(duì)數(shù)據(jù)從大到小排序，并取最中間的值作為輸出。由于h h 子帶 中由信號(hào)引起的大的小波系數(shù)是稀疏的，并且h h 子帶中樣本數(shù)目很大，估計(jì)子是 非常精確的。在很多文獻(xiàn)中，可以直接假定噪聲方差是精確知道的。 2 5 各種閾值函數(shù) 噪聲的統(tǒng)計(jì)特性估計(jì)后，在小波域圖像小波系數(shù)的估計(jì)可以通過(guò)小波閾值實(shí) 現(xiàn)。 閩值函數(shù)是一種簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)，函數(shù)的輸入是含噪聲的小波系數(shù)和一個(gè) 門(mén)限，輸出是估計(jì)的小波系數(shù)。低通l l 子帶包含了大部分信號(hào)能量，一般不做任 何處理。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們忽略小波系數(shù)的下標(biāo)： 諦( 所，n ) = 廠( w ( m ，珂) ，旯( 肌，h ) ) ( 2 - 4 ) 其中門(mén)限2 ( m ，胛) 由圖像小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)模型確定，后面再介紹。由于大多數(shù)的閾 值函數(shù)是在一維信號(hào)情況下推導(dǎo)的，對(duì)一維信號(hào)的處理非常有效，而圖像比一維 信號(hào)復(fù)雜得多，因此往往不是十分有效。 常用的閾值函數(shù)包括：硬閾值法( h a r ds h r i n k a g e ) 、軟閾值法( s o f t s h r i n k a g e ) 、幾乎硬閾值法( a l m o s th a r ds h r i n k a g e ) 、g a r r o t e 閾值、半軟閾值 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 ( s e m i s o f ts h r i n k a g e ) 等。下面我們只介紹前兩種閡值函數(shù)。 2 5 1 軟閾值法( s o f ts h r i n k a g e ) m ” 在軟閾值處理中，小于門(mén)限的小波系數(shù)被認(rèn)為主要由噪聲引起。因此被置為零 大于門(mén)限的小波系數(shù)主要由圖像引起，在幅度上收縮后被保留，非線性映射函數(shù) 定義為： 諦= 5 0 了w 刈叫一a x 掣高i 二二 c z s ， l ，當(dāng)1 w l a 其中，s i g n ( x ) 為符號(hào)函數(shù)。軟閾值處理如下圖所示： 圖2 4 軟閾值處理 軟閾值處理中，大系數(shù)的收縮可以保證恢復(fù)信號(hào)的光滑性，但對(duì)一維信號(hào)， 恢復(fù)的信號(hào)的均方誤差( m s e ) 一般稍大。 2 5 2 硬閾值法( h a r dt h r e s h o l d i n g ) m ” 在硬閾值法處理中，幅度小于門(mén)限的小波系數(shù)被置為零， 系數(shù)被完全保留下來(lái)。具體表達(dá)式如下： 訪= 憤耆譬 闕值函數(shù)如圖2 5 所示： 而大于門(mén)限的小波 ( 2 - 6 ) 第二章小波變換與溷值去噪 圖2 5 硬閾值處理 同軟閾值函數(shù)相比，硬閾值函數(shù)可以得到小的m s e ，估計(jì)信號(hào)是原信號(hào)的無(wú)偏 估計(jì)，但估計(jì)方差大，估計(jì)信號(hào)光滑性差。 2 6 確定閾值的方法 2 6 1 統(tǒng)一閾值( u n i v e r s a lt h r e s h o l d ) 哪 通用閾值一般適用于，假設(shè)噪聲為標(biāo)準(zhǔn)均勻高斯白噪聲的一維信號(hào)。該假設(shè) 下，認(rèn)為噪聲之間是獨(dú)立同分布。 通用閾值的原理是依據(jù)：n 個(gè)具有獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)高斯變量中的最大值小于 通用閩值( 3 2 1 式) 的概率隨著n 的增大趨于1 。 該閾值定義為： 旯= 盯五麗 ( 2 7 ) 其中盯為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，該標(biāo)準(zhǔn)差可以由先驗(yàn)概率得知，也可以由小波的高頻子帶 系數(shù)估計(jì)得到。n 為小波系數(shù)的總和。 2 6 2 自適應(yīng)閾值( a d a p t i v et h r e s h o l d ) 文獻(xiàn) 9 和 1 0 分別提出了s u r e s h r i n k 和b a y e s s h r i n k 的圖像自適應(yīng)軟閡值降 噪算法，該文考慮1 哿b a y e s s h r i n k 降噪算法的思想應(yīng)用到f r i t 上來(lái)，即對(duì)各尺度下 的f r i t 系數(shù)子矩陣( 子帶) ，分別確定相應(yīng)的閾值： ：( 聽(tīng)) ：竺 ( 2 8 ) o x 其中盯為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，盯，為某尺度下的f r i t 系數(shù)子矩陣的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 2 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 2 7 去噪效果的衡量標(biāo)準(zhǔn) 衡量去噪效果的標(biāo)準(zhǔn)可分為兩大類(lèi)，一類(lèi)是客觀評(píng)判準(zhǔn)則，包括信噪比( s n r ) 、 峰值信噪比( p s n r ) 、最小均方誤差( m s e ) 等；另一類(lèi)是主觀評(píng)判準(zhǔn)則。 2 7 1 客觀評(píng)判準(zhǔn)則 當(dāng)圖像的質(zhì)量司用原圖像與恢復(fù)圖像的函數(shù)表示時(shí)，我們說(shuō)它是基于客觀準(zhǔn) 則的。令f i ，刀代表原圖像，g i ，月代表觀測(cè)的噪聲圖像，夕【f ，門(mén)代表對(duì)噪聲圖像 去噪后得到的恢復(fù)圖像，刀f ，刀代表原圖像像素的均值，念是f i ，刀的最大值。 那么各種評(píng)判準(zhǔn)則的公式分別如下： 峰值信噪比( p s n r ) ： 一= l o l o g l o c i n 赫l(shuí) 防 一材v l 。jj，jj 7 信噪比： 舢= l o l o g l o c 群蒜器， 最小均方誤差： m s e 2 面1 刪( 廠【f ，卅a f ( 2 一1 1 ) 2 7 2 主觀評(píng)判準(zhǔn)則 表2 1 電視圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)尺度 評(píng)分評(píng)價(jià)說(shuō)明 1 優(yōu)秀 圖像質(zhì)量1 f 常好，如同人能想象山的最好質(zhì)草。 2良空f(shuō) 圖像質(zhì)鼙高，觀看舒服，有干擾但不影響觀石。 ：j 可_ 【l j j圖像質(zhì)量可接受，有干擾但不太影響觀看。 4 剛可看圖像質(zhì)量差，干擾有些妨礙觀看，觀察者希望改進(jìn)。 5籌 圖像質(zhì)量很差，妨礙觀看的干擾始終存在。幾乎無(wú)法觀磊。 6不能剛 圖像質(zhì)量極差，不能使用。 盡管客觀準(zhǔn)則提供了一種簡(jiǎn)單和方便的評(píng)估圖像去噪效果的方法，但很多去 噪圖像是供人看的。在這種情況下，用主觀的方法來(lái)測(cè)量圖像的質(zhì)量常更為合適。 種常用的方法是對(duì)一組( 常超過(guò)2 0 個(gè)) 精心挑選的觀察者展示一幅去噪后的圖 第二章小波變換與闕值去噪 像，并將他們對(duì)該圖的評(píng)價(jià)綜合平均起來(lái)以得到一個(gè)統(tǒng)計(jì)的質(zhì)量評(píng)價(jià)結(jié)果。 評(píng)價(jià)可對(duì)照某種絕對(duì)的尺度進(jìn)行。表2 1 給出了一種對(duì)電視圖像質(zhì)量進(jìn)行絕對(duì) 評(píng)價(jià)的尺度，這里根據(jù)圖像的絕對(duì)質(zhì)量進(jìn)行判斷打分。 評(píng)價(jià)也可通過(guò)將f i ，力和f i 】比較并按照某種相對(duì)的尺度進(jìn)行。如果觀察者 將f i ，j 】和f i ，j 】逐個(gè)進(jìn)行對(duì)照，則可以得到相對(duì)的質(zhì)量分。例如可用 一3 ，一2 ， 一1 ，0 ，1 ，2 ，3 來(lái)代表主管評(píng)價(jià) 很差，較差，稍差，相同，稍好，較好，很好) 。 2 8 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn) 我們采用大小為2 5 6 x 2 5 6 的h o u s e 圖像( 如圖2 6 所示) 進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)，所加 的高斯白噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為3 0 。另外，本文所有的去噪方法都采用統(tǒng)一閾值的方法確 定門(mén)限，并且都采用硬閾值進(jìn)行去噪處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2 7 所示。 圖2 6h o u s e 圖像 ( a ) 噪聲圖像( b ) 小波閾值去噪圖像( “振鈴”效應(yīng)) 圖2 7 小波閾值去噪效果 從圖2 7 ( b ) 可以看出，圖像的邊緣有很多波紋，這一現(xiàn)象就是所謂的“振 鈴”效應(yīng)。在以后幾章中，我們將介紹一種增強(qiáng)邊緣的去噪方法一基于有限脊波 變換的去噪方法。 第三章連續(xù)脊波變換 第三章連續(xù)脊波變換 小波對(duì)于具有點(diǎn)狀奇異性的目標(biāo)函數(shù)表示是最優(yōu)的，而自然圖像一般并不是 簡(jiǎn)單的一維的相互分離點(diǎn)的組合，不連續(xù)的點(diǎn)( 如邊緣) 是目標(biāo)物體的一個(gè)顯著 特點(diǎn)。邊緣是圖像具有奇異性的地方，通過(guò)邊緣，可以找到目標(biāo)圖像的廣度，進(jìn) 而提取目標(biāo)的位置、形狀、朝向等信息。 二維小波可以有效處理分離的、不連續(xù)的邊緣點(diǎn)，而不能處理光滑的邊緣輪 廓線，且小波變換只能獲得有限的方向信息。因此，在表示圖像的邊緣輪廓線時(shí)， 小波變換存在不足。 為了克服小波變換在處理高維信號(hào)時(shí)的不足，s t a n f o r d 大學(xué)e j c a n d e s “” 和d l d o n o h o ”1 研究了一種新的多尺度變換一一連續(xù)脊波變換( c o n t i n u e r i d g e l e tt r a n s f o r m c r t ) ，它能有效地處理二維空間中具有直線奇性的信 號(hào)。 脊波變換的核心主要是經(jīng)過(guò)r a d o n 變換把線狀奇異性變換成點(diǎn)狀奇異性，小 波變換能有效地處理在r a d o n 域的點(diǎn)狀奇異性。 3 1 連續(xù)脊波變換的定義 定義1 ：設(shè)光滑函數(shù)：r 寸r ，滿(mǎn)足條件：眵( f ) 出= o ，及容許條件： 巧= 孵冰o o c s 一， 則對(duì)于參數(shù)集，定義r 2 寸r 函數(shù)： y ，( x ) = 口“”妒( ( z 一b ) a ) ( 3 2 ) 則稱(chēng)緲，為由容許條件生成的脊波函數(shù)。其中徘為脊波的尺度參數(shù)，滾示方向，b 為位置參數(shù)。 定義2 m ：令“= ( c o s 8 ，s i n s ) ，x = ( 五，屯) 時(shí)，脊波函數(shù)為： = 忑l 礦( 翌學(xué) 凈s ， 其中緲( 石) 為一維小波函數(shù)，稱(chēng)變換 c r t ( a ，b ，口) = j ，口( z ) 廠( z ) 呶 ( 3 4 ) ! 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 為f ( x ) 在r 2 上的連續(xù)脊波變換。 定義3 “”：設(shè)廠( x ) l 2 ( r 2 ) ，稱(chēng)變換： 瑪( 口，f ) 2jf ( x ) 8 ( x je o s o + x 2e o s o t ) a x 薩 為f ( x ) 在r 2 上的連續(xù)r a d o n 變換。 由定義2 和3 知，在二維空間中，點(diǎn)與線通過(guò)r a d o n 變換相聯(lián)系， 小波變換通過(guò)r a d o n 變換相聯(lián)系，即有： ( 3 - 5 ) 而脊波變換與 i ：r 乃( d ，b ，口) = i 乞 ( z ) r r ( 口，o a t ( 3 - 6 ) 聾 其中，( z ) = a - 1 1 2 ( 一b ) a ) 。 因此可以說(shuō)，脊波變換是r a d o n 變換域上的一維小波變換。 在二維情況下，點(diǎn)和線可通過(guò)r a d o n 變換相聯(lián)系，所以脊波變換和小波變換 也可通過(guò)r a d o n 變換聯(lián)系起來(lái)。脊波分析是以在r a d o n 域的小波分析為基礎(chǔ)形成 的，即線狀奇異性的脊波分析可用點(diǎn)狀奇異性的小波分析來(lái)完成，而小波能很好 地處理點(diǎn)狀的奇異性，因此脊波在處理線性( 特別是直線型) 奇異性時(shí)表現(xiàn)出了良 好的性能。脊波分析從小波分析中借鑒局部化的思想，它在超平面附近對(duì)所有可 能的位置和方向都具有良好的脊波尺度的集中性。 3 2 脊波變換的應(yīng)用 在脊波理論發(fā)展的同時(shí)，脊波應(yīng)用的研究工作也在不斷地丌展，主要有以下 幾個(gè)方面： 1 ) 脊波在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用( 如函數(shù)逼近) ，用脊波的有限線性組合逼近函數(shù)， 脊波的表示是最優(yōu)的】。 2 ) 脊波在信號(hào)處理中的應(yīng)用，包括信號(hào)檢測(cè)、目標(biāo)識(shí)別以及去噪等，如雷達(dá) 信號(hào)、醫(yī)學(xué)信號(hào)、天文信號(hào)m 1 、地震信號(hào)等。 在脊波分析的框架下，結(jié)合二進(jìn)小波變換的局部脊波變換，用于檢測(cè)直線的 方法，應(yīng)用于方向性較強(qiáng)的圖像獲得了良好的檢測(cè)效果。 3 ) 脊波在圖像處理中的應(yīng)用，如圖像融合、圖像去噪m ”?！? 、圖像恢復(fù)、圖 像譯碼等。 3 3 脊波變換的優(yōu)缺點(diǎn)及其存在的問(wèn)題 第三章連續(xù)脊波變換 1 7 小波變換在描述孤立的點(diǎn)狀奇異性時(shí)有效，而脊波變換在描述相互連接在一 起的線狀奇異性時(shí)有效，脊波以基元素的形式表示出了非常好的方向敏感性和各 向異性。因此，在圖像處理中使用脊波來(lái)檢測(cè)圖像的邊緣或輪廓是一種有效的方 法，其效果優(yōu)于小波變換。 脊波作為基函數(shù)用來(lái)逼近具備直線型奇異性的函數(shù)具有優(yōu)越性。脊波以穩(wěn)定 的和固定的方式用一系列脊波函數(shù)( 基元素) 的疊加來(lái)表示一個(gè)具有多變量的函數(shù) 類(lèi)。在這些新的廣泛的函數(shù)類(lèi)上，采用各種特殊的高維空間的不均勻性來(lái)模擬現(xiàn) 實(shí)的信號(hào)。因此，用脊波來(lái)檢測(cè)直線特征，可以有效地捕獲各個(gè)尺度、各個(gè)位置 和各個(gè)方向上的信息。 多尺度脊邊緣往往反映了其骨架信息，而對(duì)許多目標(biāo)而言，其骨架往往反映 了其最重要的信息，它將對(duì)進(jìn)一步的分割或識(shí)別工作帶來(lái)很大的幫助。 脊波只對(duì)具有線狀奇異性的圖像邊緣檢測(cè)效果明顯，即對(duì)于規(guī)則圖像檢測(cè)效 果好，然而自然圖像的邊緣通常不一定是直線型的，具有曲線奇異性，這樣脊波 變換就滿(mǎn)足不了要求。 在實(shí)際應(yīng)用中，由于c r t 要求具有連續(xù)的參數(shù)空間，因此它不能直接應(yīng)用于離 散圖像。隨后，m n d o 和m v e t t e r l i 提出了一種可逆的、正交化的離散的脊波變 換- - f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r i t ) 。我們將在下一章中討論f r i t 在圖像處 理中的應(yīng)用。 第四章有限脊波變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用竺 第四章有限脊波變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用 在實(shí)際應(yīng)用中，由于a 玎要求具有連續(xù)的參數(shù)空間，因此它不能直接應(yīng)用于離 散圖像。m n d o 和m v e t t e r l i “4 提出了一種可逆的、正交化的離散的脊波變換一 f i n i t er i d g e l e tt r a n s f o r m ( f r i t “”) 。這種離散的脊波變換是可逆的、無(wú)冗余 的，并且可由快速的算法計(jì)算得來(lái)，對(duì)一個(gè)具有線性奇異性的圖像有效。 4 1 有限脊波變換 f r i t 可以通過(guò)如下兩步實(shí)現(xiàn)： 第一步：對(duì)圖像進(jìn)行有限r(nóng) a d o n 變換“”( f i n i t er a d o nt r a n s f o r m f i 沁) ， 得至u r a d o n 變換域系數(shù)矩陣： 第二步：對(duì)r a d o n 變換域系數(shù)矩陣的每一列進(jìn)行一維小波變換就得到f r i t 變換 域系數(shù)矩陣。 我們首先了解一下有限r(nóng) a d o n 變換。 4 1 1 有限r(nóng) a d o n 變換( f r a t ) 及其反變換的實(shí)現(xiàn) 定義集合z ，一 o ，k ，p 一1 ，其中，p 是一個(gè)素?cái)?shù)。z ；是通過(guò)模p 生成的一個(gè)有 限區(qū)域。那么，定義離散圖像，在有限網(wǎng)格z ：上的有限r(nóng) a d o n 變換( f r a t ) 如下： p 】= f r a t ( k ，1 ) 一p 4 膽羅，( f ，d ( 4 - 1 ) i i ，魁 其中，k 表示網(wǎng)格z ：上組成以七為斜率，f 為截距的直線( 當(dāng)七一p 時(shí)，代表斜率 無(wú)限大或垂直的直線) 的點(diǎn)的集合，或者更確切地定義如下： 厶，； ( f d 。：；等翟k 曼p , l l e 七z 釔p j 呼 c t 5 1 o ，j ) ：，z p ) ； ”“ 注意到，由于直線定義中的模運(yùn)算，這些直線將表現(xiàn)出“纏繞”現(xiàn)象( 如圖4 1 所 示) ，后文將介紹減小這種影響的方法。引入因子p ，：是為了規(guī)范化為，2 范數(shù)。 冬譽(yù)警黧黧姜黧蕓篡端巍麓髫囂 含p 個(gè)點(diǎn)，對(duì)手任意給定的方向，存在p 條互相半仃陽(yáng)且線匕“2 8 4 “1 格z ，2 二誰(shuí)墟炷信形婁攤，有限反射投影算子( f b p ) 定義為對(duì)經(jīng)過(guò)給定一點(diǎn)的所有 根據(jù)連續(xù)情形類(lèi)推，有限反射投影算子 ) 定義為c 哼經(jīng)忍強(qiáng)疋一恩列日 f b p , ( 朋萬(wàn)1 。毳。刪 4 。3 其中，置，記錄了所有經(jīng)過(guò)點(diǎn)( i ，j ) 的直線的斜率和截距，利用( 4 2 ) 式可以表示 為： p ，。 他。f ) l f ；j d p ) , k zu ( p , i c ( m o d ) l ( 4 4 ) 霉，；似，唧= 卜 j 。 那么有限r(nóng) a d o n 變換的逆變換可表示為5 i f r a z 螄) 一職階i 1 。毳孵j 3 汁5 陸千絮譬鬈翟慧簍蘭篙雹篆慧囂囂裟盆姜 位于直線集合卑，的p + 1 條直線上，而其他z ；上的點(diǎn)儀儀伍卞且殘采。( ，” 直線上，將( 4 1 ) 式帶入( 4 5 ) 式，得到 劂礁護(hù) 。薹門(mén)，薹，卅芻。毳；雉。) 書(shū)磊：，( f 們d 一嵩鄺j 啊 第四章有限脊波變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用塑 4 1 2 有限脊波變換的實(shí)現(xiàn) 對(duì)特定大小( 素?cái)?shù)大小) 的離散圖像進(jìn)行有限r(nóng) a d o n 變換，每個(gè)方向七上將產(chǎn) 生一個(gè)f r a t 序列，對(duì)應(yīng)于輸出矩陣 f r a r , k ，f 】， ，z ) 層， 的一列。因此，有限r(nóng) a d o n 變換的結(jié)果是產(chǎn)生一個(gè)p ( p + 1 ) 的r a d o n 系數(shù)矩陣。對(duì)r a d o n 系數(shù)矩陣的每列分別 進(jìn)行一維離散多尺度小波變換，最終得到脊波系數(shù)矩陣 m r r , k ，吐 ，f ) p ，l ， 整個(gè)過(guò)程稱(chēng)為有限脊波變換的正交換；對(duì)f r i t 系數(shù)每一列做一維離散多尺度小波 變換的逆變換，產(chǎn)生有限r(nóng) a d o n 變換系數(shù)矩陣，然后對(duì)這個(gè)矩陣做f b p 就得到原圖 像，整個(gè)f r i t 正反變換的過(guò)程如圖4 2 所示。 原圖像 i 口 f r a t 系數(shù)域 f r i t 系數(shù)域 胛 圖4 2f r i t 與f r a t 的關(guān)系 4 2 基于f r i t 的圖像去噪方法 運(yùn)用基于f r i t 的去噪方法的動(dòng)機(jī)是：在脊波域，圖像的線性奇異性可以由一 些大的系數(shù)表示出來(lái)，而隨機(jī)的噪聲奇異性不太可能產(chǎn)生較大的系數(shù)。相反，在 小波域，圖像邊緣和噪聲象素都會(huì)產(chǎn)生具有相似大小幅度的系數(shù)。因此，對(duì)于遠(yuǎn) 離直線奇異點(diǎn)的分段光滑的圖像來(lái)說(shuō)，對(duì)f r i t 系數(shù)做一個(gè)簡(jiǎn)單的門(mén)限去噪是比較 有效的。 注意到，由于高斯白噪聲的獨(dú)立同分布性，那么對(duì)圖像做正交f r i t ，在變換 域的噪聲仍然是具有相同方差的高斯白噪聲。因此對(duì)脊波變換系數(shù)做閾值處理是 合適的“”。 4 2 1 利用閾值的原理 閾值去噪的基本原理：把經(jīng)過(guò)正交有限脊波變換后得到的脊波系數(shù)分成兩類(lèi)： 第一類(lèi)僅僅由噪聲變換后得到，這類(lèi)系數(shù)幅值小，數(shù)目較多；第二類(lèi)主要由信號(hào)， 特別是圖像的直線奇性特征變換而來(lái)，并包含噪聲的變換，這類(lèi)系數(shù)幅值大，數(shù) 目較小?？紤]設(shè)置一個(gè)閾值( 由先驗(yàn)或自適應(yīng)方法得到) ，大于這個(gè)閾值的認(rèn)為 是第二類(lèi)系數(shù)，可以保留( 簡(jiǎn)單保留或進(jìn)行一定的修正處理) ，小于這個(gè)閾值的 基于有限脊波變換的圖像去噪方法研究 認(rèn)為是第一類(lèi)系數(shù)，應(yīng)該去掉它們，從而達(dá)到降低噪聲的目的。同時(shí)由于保留了 包含大部分信號(hào)能量的脊波系數(shù)，又可以較好的保持圖像的細(xì)節(jié)。 與小波閾值去噪方法相同，我們這里也采用統(tǒng)一閾值確定門(mén)限，并采用硬閾 值進(jìn)行處理。 4 2 2 基于f r i t 的圖像去噪方法 有了上述理論知識(shí)后，那么要建立的基于f r i t 的圖像去噪算法如下： ( 1 ) 預(yù)處理：將圖像擴(kuò)展到素?cái)?shù)大?。?( 2 ) 估計(jì)圖像噪聲韻標(biāo)準(zhǔn)偏差盯( 本文中用到的噪聲標(biāo)準(zhǔn)偏差都為已知) ； ( 3 ) 對(duì)噪聲圖像應(yīng)用正交有限脊波變換，得至t j f r i t 系數(shù)矩陣； ( 4 ) 對(duì)各尺度下的脊波系數(shù)用統(tǒng)一閾值進(jìn)行閾值處理； ( 5 ) 對(duì)處理后的脊波系數(shù)矩陣應(yīng)用正交有限脊波反變換重構(gòu)圖像； ( 6 ) 對(duì)去噪后的圖像采用自適應(yīng)的w i g n e r 濾波器來(lái)減少“環(huán)繞”效應(yīng)。 4 。2 3 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn) 為了對(duì)比傳統(tǒng)f r i t 去噪方法與小波