高中數(shù)學(xué) 2.1.1第2課時 類比推理課件 新人教A版選修22.ppt

成才之路 數(shù)學(xué) 路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索 人教a版 選修2 2 推理與證明 第二章 2 1合情推理與演繹推理 第二章 2 1 1合情推理 第2課時類比推理 理解類比推理概念 能利用類比推理的方法進(jìn)行簡單的推理 體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 重點 類比推理 難點 類比推理的特點及應(yīng)用 類比推理 思維導(dǎo)航 1 類比推理由兩類對象具有某些 特征和其中一類對象的某些 推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理 簡稱類比 簡言之 類比推理是由 到 的推理 1 類比是從人們已經(jīng)掌握了的事物的屬性 推測正在研究中的事物的屬性 它以舊有認(rèn)識作基礎(chǔ) 類比出新的結(jié)果 2 類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性 3 類比的結(jié)果不一定可靠 但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能 新知導(dǎo)學(xué) 類似 已知特征 特殊 特殊 2 合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實 經(jīng)過 再進(jìn)行 然后提出 的推理 我們把它們統(tǒng)稱為合情推理 3 歸納推理是由部分到 由具體到 由特殊到 從個別事實中概括出 的思維模式 類比推理是在 的事物之間進(jìn)行對比 找出若干相同或相似之處之后 推測在其他方面也可能存在 之處的一種推理模式 觀察 分析 比較 聯(lián)想 歸納 猜想 整體 抽象 一般 一般結(jié)論 兩類不同 相同或相似 1 魯班發(fā)明鋸子的思維過程為 帶齒的草葉能割破行人的腿 鋸子 能 鋸 開木材 它們在功能上是類似的 因此 它們在形狀上也應(yīng)該類似 鋸子 應(yīng)該是齒形的 該過程體現(xiàn)了 a 歸納推理b 類比推理c 沒有推理d 以上說法都不對 答案 b 解析 推理是根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷的思維過程 上述過程是推理 由性質(zhì)類比可知是類比推理 牛刀小試 3 等差數(shù)列 an 中 an 0 公差d 0 則有a4 a6 a3 a7 類比上述性質(zhì) 在等比數(shù)列 bn 中 若bn 0 q 1 寫出b5 b7 b4 b8的一個不等關(guān)系 答案 b4 b8 b5 b7 解析 將乘積與和對應(yīng) 再注意下標(biāo)的對應(yīng) 有b4 b8 b5 b7 圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合 球是空間中到定點的距離等于定長的點的集合 這兩個定義很相似 于是我們猜想圓與球會有某些相似的性質(zhì) 試將平面上的圓與空間中的球進(jìn)行類比 事物的相似性與類比 解析 圓與球在它們的生成 形狀 定義等方面都具有相似的屬性 據(jù)此 在圓與球的相關(guān)元素之間可以建立如下的對應(yīng)關(guān)系 弦 截面圓 直徑 大圓 周長 表面積 圓面積 球體積 等等 于是 根據(jù)圓的性質(zhì) 可以猜測球的性質(zhì)如下表所示 方法規(guī)律總結(jié) 運用類比推理要在合適的類比對象之間進(jìn)行 可以從其形式 結(jié)構(gòu) 維數(shù)等不同方向進(jìn)行 例如相等與不等的類比 解一元二次方程與解一元二次不等式的類比 升維類比 圓與球 三角形與四面體 概念與性質(zhì) 分解因式與分解因數(shù) 等差數(shù)列與等比數(shù)列 等等 將平面圖形與空間圖形作類比 按可作類比的屬性填空 答案 四面體二面角面積表面積體積 類比推理 分析 考慮到用 面積法 證明結(jié)論時把o點與三角形的三個頂點連結(jié) 把三角形分成三個三角形 利用面積相等來證明相應(yīng)的結(jié)論 在證明四面體中類似結(jié)論時 可考慮利用體積相等的方法證明相應(yīng)的結(jié)論 3 通過推理論證 證明結(jié)論或推翻結(jié)論 一般情況下 如果類比的兩類事物的相似性越多 相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān) 那么類比得出的結(jié)論就越可靠 類比推理的結(jié)論既可能真 也可能假 它是一種由特殊到特殊的認(rèn)識過程 具有十分重要的實用價值 在rt abc中 若 c 90 則cos2a cos2b 1 則在空間中 給出四面體性質(zhì)的猜想 于是把結(jié)論類比到四面體p a b c 中 我們猜想 三棱錐p a b c 中 若三個側(cè)面pa b pb c pc a 兩兩互相垂直 且分別與底面所成的角為 則cos2 cos2 cos2 1 分析 由pm bb1 pn bb1 可知bb1 平面pmn 從而可知 pnm pmn mpn均為相鄰兩側(cè)面所成的二面角 將斜三角形與斜三棱柱類比 三角形的邊 斜三棱柱的側(cè)面 三角形的兩邊夾角 斜三棱柱兩側(cè)面夾角 邊長關(guān)系式 面積關(guān)系式 結(jié)合條件可取三棱柱的直截面 pmn作為類比對象和推理出發(fā)點 解答時先下結(jié)論 然后利用直截面作出證明 解析 在斜三棱柱abc a1b1c1中 有s2abb1a1 s2bcc1b1 s2acc1a1 2sbcc1b1 sacc1a1cos 其中 為平面cc1b1b與平面cc1a1a所成的二面角 pm bb1 pn bb1 bb1 平面pmn bb1 mn 又cc1 bb1 cc1 mn cc1 平面pmn 二面角p cc1 m的平面角為 mnp 在 pmn中 pm2 pn2 mn2 2pn mncos mnp pm2 cc pn2 cc mn2 cc 2 pn cc1 mn cc1 cos mnp 由于sbcc1b1 pn cc1 sacc1a1 mn cc1 sabb1a1 pm bb1 pm cc1 有s2abb1a1 s2bcc1b1 s2acc1a1 2sbcc1b1 sacc1a1 cos 方法規(guī)律總結(jié) 注意積累常見類比對象 方程 不等式 平面向量 空間向量 等差數(shù)列 等比數(shù)列 圓 球 三角形 四面體 三角形內(nèi)切 外接 圓 四面體內(nèi)切 外接 球 實數(shù)的運算法則與運算律 平面向量的運算法則與運算律 正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) 余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) 圓 橢圓 橢圓 雙曲線 直角三角形 三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐 平行四邊形 平行六面體等等 我們已經(jīng)學(xué)過了等比數(shù)列 是否也有等積數(shù)列呢 1 類比 等比數(shù)列 請你給出 等積數(shù)列 的定義 2 若 an 是等積數(shù)列 且首項a1 2 公積為6 試寫出 an 的通項公式及前n項和公式 解析 1 如果一個數(shù)列從第2項起 每一項與它前一項的乘積是同一個常數(shù) 那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列 其中 這個常數(shù)叫做公積 類比不當(dāng)致誤 在下列類比推理中 正確的有 把a(bǔ) b c 與loga x y 類比 則有l(wèi)oga x y logax logay 把a(bǔ) b c 與sin x y 類比 則有sin x y sinx siny 把實數(shù)a b滿足 若ab 0 b 0 則a 0 類比平面向量的數(shù)量積 若a b 0 b 0 則a 0 錯解 填 辨析 沒有抓住類比推理的實質(zhì) 正解 填 中 loga x y 與sin x y 都是一個整體 而a b c 中a與b c是兩個各自獨立的部分 它們之間沒有可類比性 中由a b兩數(shù)的積 類比到a b兩向量的數(shù)量積 類比