維修線性流量閥的內(nèi)筒設(shè)計(jì).doc

維修線性流量閥的內(nèi)筒設(shè)計(jì) 【摘要】本題主要研究線性流量閥的的設(shè)計(jì)問題，要求在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的情況下設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀。設(shè)計(jì)過程中運(yùn)用了貪婪算法和最優(yōu)化模型的有關(guān)知識對其進(jìn)行了定性的分析和定量的研究。針對問題一，首先判斷基本多邊形能否滿足設(shè)計(jì)需求；其次，利用貪婪算法的思想逐步尋找內(nèi)筒孔的最佳形狀，通過計(jì)算各種可能形狀的線性區(qū)間并進(jìn)行比較得知內(nèi)筒孔設(shè)計(jì)為四邊形時能滿足的線性區(qū)間較好；最后，對四邊形進(jìn)行改進(jìn)，令內(nèi)筒孔的邊界盡量與外筒孔有可重合的區(qū)域(即將四邊形與外筒孔相鄰的邊界改成圓弧形狀)，經(jīng)計(jì)算可得此時的內(nèi)筒孔的形狀滿足設(shè)計(jì)規(guī)范，具體形狀為：針對問題二，在問題一的基礎(chǔ)上，首先，令第一問設(shè)計(jì)的形狀滿足內(nèi)筒孔的面積要求以及線性區(qū)間的長度要求中的一個，在保證能滿足其中一個條件的基礎(chǔ)上對圖形改進(jìn)看是否能滿足第二個條件，最綜得到連續(xù)的線性區(qū)域無法滿足設(shè)計(jì)要求，結(jié)合貪婪算法的思想，考慮內(nèi)筒孔的線性區(qū)間不連續(xù)的情況重新設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀，確定內(nèi)筒孔的大體形狀為： 最后，引入“接近度”的概念，用其作為反映設(shè)計(jì)圖形滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的程度指標(biāo)，將主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長及主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大這兩個求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解總的接近度最大這一目標(biāo)，同時以線性區(qū)間長度和過流面積大小的比例要求等作為約束條件構(gòu)建最優(yōu)化模型對內(nèi)筒孔形狀的橫縱向比例及段角度進(jìn)行求解，通過求解得出第一段線性區(qū)間弧對應(yīng)的角度為118.1度，第二段線性區(qū)間弧對應(yīng)的角度為64.2度，內(nèi)筒孔縱橫向的比例為0.847。關(guān)鍵詞：貪婪算法 最優(yōu)化模型 線性關(guān)系 接近度1問題重述1.1背景資料油田采油用的油井都是先用鉆機(jī)鉆幾千米深的孔后，再利用固井機(jī)向四周的孔壁噴射水泥砂漿得到水泥井管后形成的。固井機(jī)上用來控制砂漿流量的閥是影響水泥井管質(zhì)量的關(guān)鍵部件，但也會因磨損而損壞。目前我國還不能生產(chǎn)完整的閥體，固井機(jī)仍依賴進(jìn)口。由于損壞的內(nèi)筒已經(jīng)被磨損得面目全非，根本無法測繪出原來的形狀，因此維修時只能根據(jù)工作原理并結(jié)合閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)。根據(jù)儀表刻度可知控制流量的閥是一個線性閥，即閥體的旋轉(zhuǎn)角度與砂漿流量成正比。在設(shè)計(jì)分析中假設(shè)砂漿的壓力恒定，進(jìn)而流量與過流面積成正比，因此閥體的旋轉(zhuǎn)角度應(yīng)該與過流面積成正比。一般來講，控制流量的閥體為兩個同心圓柱筒。外筒固定，它的側(cè)面上有一個孔，形狀為兩個直徑不等的圓柱體的交線。內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對運(yùn)動，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個孔，它原來的形狀未知，砂漿可以從兩個孔的相交部分即“過流面積”流過。顯然“過流面積”不能超過外筒孔的面積?，F(xiàn)在數(shù)控機(jī)床比較普及，只要知道曲線的形狀就可以在維修所需要的內(nèi)筒上加工出合適的孔。當(dāng)然從實(shí)際加工角度考慮，內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。1.2 問題提出把兩個圓柱筒展開成平面，即為兩個長方形，筒的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為兩個長方形的平動來思考，此時可將外筒孔近似看作圓孔。1) 討論在上述閥體結(jié)構(gòu)下，在“過流面積”從為零直到外筒孔面積的范圍(簡稱最大范圍)內(nèi)，能否通過選擇內(nèi)筒孔形狀實(shí)現(xiàn)大范圍內(nèi)，使過流面積與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角近似成線性關(guān)系，同時在“最大范圍”內(nèi)，實(shí)際情況與嚴(yán)格線性關(guān)系的誤差在某種意義下最小。2) 實(shí)際上，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時經(jīng)常采用的過流面積”是在一個稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。因此，在維修固井機(jī)內(nèi)筒時，比較令人滿意的內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該使主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上），并且使過流面積和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。請按此要求設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀。如果固井機(jī)的外筒孔也發(fā)生了程度較輕的磨損，怎么辦？ 2.問題分析本題主要研究線性流量閥的的設(shè)計(jì)問題，在滿足設(shè)計(jì)規(guī)范的情況下設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀。題中已經(jīng)對固井機(jī)實(shí)際生活中的應(yīng)用背景及設(shè)計(jì)要求做了簡單的描述，建立在對本文各要點(diǎn)和概念理解的基礎(chǔ)上，本著對自然科學(xué)的熱愛以及對國家建設(shè)事業(yè)積極負(fù)責(zé)的態(tài)度對以下各問題展開討論。 對于問題一，以實(shí)際應(yīng)用的規(guī)范性為原則，保證設(shè)計(jì)的簡單、易懂。在討論各個固井機(jī)內(nèi)、外筒之間各種函數(shù)關(guān)系時，可以把實(shí)際的部件看成是空間幾何體進(jìn)行討論。如果選擇一種內(nèi)筒孔形狀可以實(shí)現(xiàn)“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系，那么旋轉(zhuǎn)的角度跟過流面積的增加量成正比，（由于外筒孔是圓形）要想滿足這一點(diǎn)那么所選圖形必須有兩條邊是平行的這樣才能保證每旋轉(zhuǎn)一度與圓重合的面積的增加量是一定值，且如果是嚴(yán)格的線性關(guān)系那么在內(nèi)外筒孔相交的第一個點(diǎn)以后旋轉(zhuǎn)的角度的大小與過流面積大小成嚴(yán)格的比例關(guān)系，因此內(nèi)筒孔形狀上的還應(yīng)有其余兩條邊應(yīng)該是與外筒孔半徑相等的弧，把內(nèi)筒孔構(gòu)造成一個這樣的圖形就可以實(shí)現(xiàn)“過流面積”與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角度成嚴(yán)格的線性關(guān)系，如果這個圖形不存在，我們就只能選擇一種有兩條邊平行的圖形，使其在一定范圍內(nèi)成線性關(guān)系。 對于問題二，要采用積極創(chuàng)新的思維，在問題一內(nèi)筒孔形狀研究的基礎(chǔ)上的，對內(nèi)筒孔的面積以及線性區(qū)間的長度做進(jìn)一步的要求，首先我們可以使第一問的模型設(shè)計(jì)成滿足內(nèi)筒孔的面積以及線性區(qū)間的長度兩個條件中的一個，在保證能滿足其中一個條件設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上對設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)看是否能滿足第二個條件，如果能滿足就盡量使其內(nèi)筒孔的面積盡量大以及線性區(qū)間的長度盡量大，如果無法滿足就對內(nèi)筒孔的形狀重新設(shè)計(jì)，使其線性區(qū)間離散化（不連續(xù)）成階梯狀，時期分段線性區(qū)間的長度，和個分段的面積之和滿足題目給出的設(shè)計(jì)。3.模型的假設(shè)1 假設(shè)筒的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為兩個長方形的平動來思考；2 假設(shè)內(nèi)筒和外筒在軸向間是相對運(yùn)動的；3 假設(shè)水泥砂漿的流量與旋轉(zhuǎn)角度和過流面積近似成正比；4 假設(shè)固井機(jī)的外筒孔的磨損程度較輕。4.符號系統(tǒng)及說明符號含義已知閥體結(jié)構(gòu)下流量閥內(nèi)筒孔的縱向長度線性流量閥外筒孔的半徑所設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔的面積主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間長度已知閥體結(jié)構(gòu)下流量閥內(nèi)筒孔的橫向長度外筒孔的面積5模型的建立與求解5.0名詞解釋1 過流面積：內(nèi)筒側(cè)面的小孔和外筒側(cè)面上小孔重合部分的面積。2 最大范圍：線性流量閥閥體的過流面積達(dá)到外筒孔的面積。3 線性關(guān)系：從數(shù)學(xué)的角度看，線性關(guān)系可理解為自變量改變單位大小時，因變量以固定大小發(fā)生變化。5.1 設(shè)計(jì)滿足一定規(guī)范的內(nèi)筒孔形狀一、明確設(shè)計(jì)要求 在油田開采的過程中，固井機(jī)上用來控制砂漿流量的閥是影響水泥井管質(zhì)量的關(guān)鍵部件，其內(nèi)筒因磨損而損壞后無法測繪出原來的形狀，因此維修時需要根據(jù)工作原理和閥的結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)內(nèi)筒，為此，我們需了解流量閥的特點(diǎn)和基本構(gòu)造、明確對內(nèi)筒的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求。1 流量閥的特點(diǎn)及基本構(gòu)造控制流量的閥體為兩個直徑大致相同的同心圓柱筒，其中外筒固定，其側(cè)面有一個孔(形狀為兩個直徑不等的圓柱體的交線。與外筒直徑近似相同的內(nèi)筒上同樣有一個孔，流量閥的特點(diǎn)是內(nèi)筒孔與外筒孔相交部分的面積與旋轉(zhuǎn)角度滿足線性關(guān)系，這樣是為了便于控制內(nèi)筒轉(zhuǎn)動的角度和速度，如右圖所示：2內(nèi)筒孔的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求 線性流量閥的內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對運(yùn)動，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個孔，砂漿可以從兩個孔的相交部分即“過流面積”流過。內(nèi)筒孔的形狀應(yīng)滿足以下幾個要求： 滿足線性關(guān)系。即當(dāng)內(nèi)筒轉(zhuǎn)動時，移動量改變單位大小時，過流面積以固定大小發(fā)生變化。 兩孔相交的部分的最大面積不能超過外筒孔的面積。 內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。目前的科技水平，只要知道曲線的形狀就可以利用數(shù)控機(jī)床在維修所需要的內(nèi)筒上加工出合適的孔。但從實(shí)際加工角度考慮，內(nèi)筒孔的形狀過于復(fù)雜將大大增加成本且加工的精確性受到影響。二、空間問題的平面化處理為了研究問題的方便，可將問題進(jìn)行平面化求解計(jì)算。主要考慮兩個方面的的轉(zhuǎn)化，一是對空間圖形的平面化處理，二是將外筒的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為平面化矩形的平動。這樣既便于定量研究線性流量閥的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，又能從平面的角度考慮線性關(guān)系的檢驗(yàn)。1將閥體結(jié)構(gòu)進(jìn)行平面化處理把兩個圓柱筒展開成平面，即為兩個長方形，筒的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)化為兩個長方形的平動來思考，此時可將外筒孔近似看作在長方形上的圓孔。示意圖如下： 2. 將轉(zhuǎn)動近似看做平動控制流量的閥體為兩個直徑大致相同的同心圓柱筒，其中外筒固定，內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)，當(dāng)將閥體結(jié)構(gòu)進(jìn)行平面化處理時，內(nèi)筒的轉(zhuǎn)動近似看做矩形的平動，其運(yùn)動過程中與外筒轉(zhuǎn)化為的長方形發(fā)生相對運(yùn)動。三、設(shè)計(jì)滿足規(guī)范的內(nèi)筒孔形狀設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀最關(guān)鍵的是尋找滿足線性關(guān)系的圖形，根據(jù)線性關(guān)系的定義可在規(guī)定。即當(dāng)內(nèi)筒轉(zhuǎn)動時，移動量改變單位大小時，過流面積以固定大小發(fā)生變化。兩孔相交的部分的最大面積不能超過外筒孔的面積。內(nèi)筒孔的形狀也不宜太復(fù)雜。1基本設(shè)計(jì)思路將問題平面化處理后，判斷其是否滿足線性關(guān)系主要考慮當(dāng)內(nèi)筒孔逐漸接近外筒孔外筒孔時，移動單位距離，過流面積的改變量是否相同，設(shè)計(jì)過程可先從規(guī)則圖形為出發(fā)，研究規(guī)則圖形下是否能滿足設(shè)計(jì)規(guī)范，明確兩種極端的情況，即在內(nèi)筒轉(zhuǎn)動的過程中，當(dāng)外筒孔剛剛到達(dá)內(nèi)筒孔的邊緣和外筒孔恰好偏離內(nèi)筒孔的邊緣這兩種情況。2設(shè)計(jì)的思維拓展設(shè)計(jì)圖形的關(guān)鍵是切合設(shè)計(jì)規(guī)范，較易滿足的是內(nèi)筒孔的面積不超過外筒孔，僅需滿足內(nèi)筒孔徑向和縱向的范圍不超過外筒孔的直徑即可。線性關(guān)系的滿足與否是解決問題的關(guān)鍵，應(yīng)先從規(guī)則圖形出發(fā)，探討圖形的設(shè)計(jì)方案。 考慮基本多邊形能否滿足設(shè)計(jì)規(guī)范線性關(guān)系的滿足與否主要取決于內(nèi)筒孔在移動的過程移動單位距離時和外筒孔重合部分面積的改變量是否相同。考慮圖形的對稱性和圓的特點(diǎn)。對基本多邊形進(jìn)行檢驗(yàn)，如圖所示【圖形說明】：由上圖可看出，基本圖形中，三角形、四邊形、圓形等都不能滿足較好的線性關(guān)系，因此，考慮不規(guī)則圖形是否滿足設(shè)計(jì)需求。 在規(guī)范下設(shè)計(jì)符合需求的圖形根據(jù)以上分析，可得出兩個結(jié)論，一是若滿足線性關(guān)系，則圖形的上下底邊應(yīng)近似平行；二是圖形的邊界盡量與外筒孔有可重合的區(qū)域。因此，在基本多邊形無法滿足要求的前提下，設(shè)計(jì)內(nèi)筒孔的形狀為：將外筒和內(nèi)筒平面化處理后，結(jié)合內(nèi)筒孔的形狀及位置(內(nèi)筒孔的面積不超過外筒孔的面積)，最終得到以下圖形：3明確內(nèi)筒孔的最佳位置根據(jù)題意，原則上內(nèi)筒孔可利用的面積越大越好，即過流面積的最大時恰好達(dá)到內(nèi)筒孔的面積。因此，內(nèi)筒孔的位置在外筒孔中心軸線所在的平面時可利用率較好。將內(nèi)筒和外筒平面化處理后，內(nèi)筒孔的水平中垂線與外筒孔中垂線近似重合時內(nèi)筒孔的可利用程度最大。下圖可直觀得表示出內(nèi)筒孔位置在中心軸線的科學(xué)性(陰影部分為重合的區(qū)域)，示意圖如下： 四、對設(shè)計(jì)形狀是否滿足設(shè)計(jì)要求的定量檢驗(yàn)1、考慮是否滿足線性關(guān)系設(shè)內(nèi)筒孔的徑向長度為，縱向長度為，外筒孔的半徑為，則內(nèi)筒孔的面積可表示為：設(shè)內(nèi)筒的水平移動量為，則面積的改變量為： 由上式可看出當(dāng)平移量一定時，面積的該變量是定值，因此，能通過選擇內(nèi)筒孔形狀實(shí)現(xiàn)大范圍內(nèi)，使過流面積與內(nèi)筒旋轉(zhuǎn)角近似成線性關(guān)系，同時在最大范圍 內(nèi)，實(shí)際情況與嚴(yán)格線性關(guān)系的誤差在某種意義下最小。反映在圖示中如下：2、內(nèi)筒孔縱向和橫向的距離滿足的約束假設(shè)內(nèi)筒孔恰好內(nèi)接于外筒孔，設(shè)內(nèi)筒孔的橫向長度為，縱向長度為，外筒孔的半徑為，則根據(jù)圓的性質(zhì)可知其滿足的等式關(guān)系為： (1)由上式得縱向長度關(guān)于橫向長度的表達(dá)式為： (2)3、確定過流面積的最大值根據(jù)設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔的形狀可求得當(dāng)內(nèi)筒孔的橫縱向長度滿足何比例時過流面積能達(dá)到最大，由不等式的性質(zhì)得：可見，當(dāng)時的值最大，即此時的過流面積達(dá)到最大。此時內(nèi)筒孔的橫向距離與縱向距離是相等的。5.2 設(shè)計(jì)滿足實(shí)際要求的內(nèi)筒孔形狀5.2.1 模型的準(zhǔn)備 一、明確實(shí)際情況中的設(shè)計(jì)要求實(shí)際上，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時經(jīng)常采用的過流面積”是在一個稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。為此，我們需了解實(shí)際情況中流量閥的特點(diǎn)和基本構(gòu)造并明確對內(nèi)筒的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求。二確定內(nèi)筒孔的設(shè)計(jì)規(guī)范和要求 線性流量閥的內(nèi)筒和外筒軸向之間沒有相對運(yùn)動，內(nèi)筒可以自由轉(zhuǎn)動。內(nèi)筒的側(cè)面上也有一個孔，砂漿可以從兩個孔的相交部分即“過流面積”流過。內(nèi)筒孔的形狀應(yīng)滿足以下幾個要求： 使主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上） 主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大(至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上)，其中，固井機(jī)向孔壁噴射水泥砂漿時經(jīng)常采用的過流面積”是在一個稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。 內(nèi)筒孔的面積不得超過外筒孔，且內(nèi)筒孔形狀也不宜太復(fù)雜，且其面積不得超過外筒孔面積。三、判斷連續(xù)的線性區(qū)域是否滿足設(shè)計(jì)需求1、判斷第一問設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔形狀是否滿足設(shè)計(jì)要求根據(jù)以上思路，在問題一內(nèi)的基礎(chǔ)上的，首先判斷第一問的圖形是否滿足內(nèi)筒孔的面積的要求和線性區(qū)間的長度要求中的一個，在保證能滿足其中一個條件設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上對設(shè)計(jì)進(jìn)行改進(jìn)看是否能滿足第二個條件，如果能同時滿足兩個條件就盡量使其內(nèi)筒孔的面積及線性區(qū)間的長度盡量大，如果無法滿足則對內(nèi)筒孔的形狀重新設(shè)計(jì)，經(jīng)計(jì)算得：可見第一問設(shè)計(jì)的內(nèi)筒孔形狀不能同時滿足對主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)“最大范圍”區(qū)間長度的75%以上，而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上兩個方面的要求，應(yīng)對其進(jìn)行改進(jìn)或重新設(shè)計(jì)。2、分析改進(jìn)后的內(nèi)筒孔形狀是否滿足設(shè)計(jì)規(guī)范在第一問的基礎(chǔ)上，對設(shè)計(jì)形狀進(jìn)行改進(jìn)，為了滿足線性區(qū)間的長度盡量長，將圖形設(shè)計(jì)為內(nèi)筒孔邊緣恰好與外筒孔有重合部分的形式，如圖所示：經(jīng)量化分析可得此種情況下不能同時滿足使主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上，而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上。對其他的可行圖形進(jìn)行分析得知連續(xù)的線性區(qū)域無法同時滿足對線性區(qū)間長度和過流面積的要求。四、確定內(nèi)筒孔的形狀經(jīng)以上分析得知連續(xù)的線性區(qū)域無法同時滿足對線性區(qū)間長度和過流面積的要求。結(jié)合貪婪算法的思想，考慮將設(shè)計(jì)為階梯狀的結(jié)構(gòu)，根據(jù)設(shè)計(jì)規(guī)范，得到內(nèi)筒孔的形狀如右圖所示。 將外筒和內(nèi)筒平面化處理后，結(jié)合內(nèi)筒孔的形狀及位置(內(nèi)筒孔的面積不超過外筒孔的面積)，最終結(jié)合貪婪算法的思想得到以下圖形： 五、定量分析并優(yōu)化內(nèi)筒孔的具體形狀過流面積是在一個稍小的范圍內(nèi)，被稱為主要工作區(qū)，它是最大范圍中的一段。因此，在維修固井機(jī)內(nèi)筒時，比較令人滿意的內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該使主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上），并且使過流面積和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。1、確定內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式根據(jù)上文中得到的內(nèi)筒孔形狀，分析當(dāng)其內(nèi)切于外筒空時(即過流面積最大時)，內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式。將問題平面化處理后，由圓的特殊性質(zhì)可求得內(nèi)筒孔的面積表達(dá)式，結(jié)合右圖，設(shè)為短弦長度，為長弦長度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離，為長弦中點(diǎn)到圓心距離，為長弦對應(yīng)角度，為短弦對應(yīng)角度。則由右圖可知： 設(shè)為內(nèi)筒孔沿軸線分為兩部分時，外筒孔與內(nèi)筒孔的間隙所占的面積為： （1）設(shè)長弦對應(yīng)弓形部分的面積為，所對應(yīng)扇形部分的面積為，長弦與圓心構(gòu)成的三角形的面積為，則根據(jù)三則的位置關(guān)系和圓形的有關(guān)性質(zhì)可得： （2）將(1)代入(2)整理得：設(shè)外筒孔的面積為，則內(nèi)筒孔的面積可表示為：此時線性區(qū)間長度為：2、分析目標(biāo)函數(shù)根據(jù)題意得知，內(nèi)筒孔形狀應(yīng)該盡量使主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大，并且使過流面積和內(nèi)筒的旋轉(zhuǎn)角度之間的“線性關(guān)系”盡量地好。因此根據(jù)以下步驟確定求解目標(biāo)： 引入“接近度”的概念根據(jù)題意應(yīng)將主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間盡量長（至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上），而且主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大（至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上）作為優(yōu)化模型的主要目標(biāo)，為了將兩個目標(biāo)統(tǒng)一起來，引入“接近度”的概念，分別得到線性區(qū)間長度和過流面積的接近度分別為：線性區(qū)間長度的接近度=過流面積的接近度=設(shè)圓的面積為，內(nèi)筒孔的面積為，主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間線性區(qū)間長度的接近度為可表示為：，同理可設(shè)主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間為，外筒孔的半徑為，過流面積的接近度可表示為：=。 確定總接近度最大為目標(biāo)根據(jù)上文中得到的內(nèi)筒孔形狀，分析當(dāng)其內(nèi)切于外筒空時(即過流面積最大時)，內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式。將問題平面化處理后，由圓的特殊性質(zhì)可求得內(nèi)筒孔的面積表達(dá)式，結(jié)合右圖，設(shè)為短弦長度，為長弦長度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離，為長弦中點(diǎn)到圓心距離，為長弦對應(yīng)角度，為短弦對應(yīng)角度，則由右圖可知： (1)設(shè)長弦對應(yīng)弓形部分的面積為，所對應(yīng)扇形部分的面積為，長弦與圓心構(gòu)成的三角形的面積為，則根據(jù)三則的位置關(guān)系和圓形的有關(guān)性質(zhì)可得： (2)結(jié)合題意，將主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上，且主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上這兩個求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解總的接近度最大為目標(biāo)： (3)將(1)式和(2)式代入(3)式中將目標(biāo)表示為： 注：圓的面積為，內(nèi)筒孔的面積為，主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間為，外筒孔的半徑為，為長弦長度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離。 3、明確約束條件 對主要工作區(qū)最大“過流面積”的約束根據(jù)上文中得到的內(nèi)筒孔形狀，分析當(dāng)其內(nèi)切于外筒空時(即過流面積最大時)，內(nèi)筒孔面積的表達(dá)式。將問題平面化處理后，由圓的特殊性質(zhì)可求得內(nèi)筒孔的面積表達(dá)式，結(jié)合右圖，設(shè)為短弦長度，為長弦長度，為短弦中點(diǎn)到圓心距離，為長弦中點(diǎn)到圓心距離，為長弦對應(yīng)角度，為短弦對應(yīng)角度，則由右圖可知，設(shè)長弦對應(yīng)弓形部分的面積為，所對應(yīng)扇形部分的面積為，長弦與圓心構(gòu)成的三角形的面積為，則根據(jù)三者的位置關(guān)系和圓形的有關(guān)性質(zhì)可得： 此時線性區(qū)間長度d為：因此，將主要工作區(qū)的最大“過流面積”至少要達(dá)到外筒孔面積的85%以上這一約束表示為： 對主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間的約束結(jié)合上圖，可知內(nèi)筒孔主要工作區(qū)所對應(yīng)的線性區(qū)間。因此，將主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間至少達(dá)最大范圍區(qū)間長度的75%以上這一約束表示為： 對角度的約束如圖所示，內(nèi)筒孔的邊界線恰好與外筒孔有相交的點(diǎn)，設(shè)為長弦對應(yīng)角度，為短弦對應(yīng)角度，將內(nèi)筒孔設(shè)計(jì)為包含有分段線性區(qū)間的形式后，將問題平面化處理后內(nèi)筒孔可近似看做內(nèi)接于外筒孔。故將這一約束表示為：5.2.2模型的建立結(jié)合題意，及對內(nèi)筒孔形狀的要求，將主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間主要工作區(qū)的最大“過流面積”盡量大這兩個求解目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求解總的接近度最大這一目標(biāo)，同時將對線性區(qū)間長度和過流面積大小的數(shù)量要求等作為約束條件構(gòu)建最優(yōu)化模型： 其中：【模型說明】：目標(biāo)函數(shù)總的接近度最大約束條件1對線性區(qū)間長度的約束約束條件2對過流面積大小的約束約束條件3對圖形邊界對應(yīng)圓心角的約束【符號說明】：表示長弦中點(diǎn)到圓心距離； 表示短弦長度；表示短弦中點(diǎn)到圓心距離； 表示長弦長度；表示長弦對應(yīng)角度； 表示短弦對應(yīng)角度；表示過流面積的接近度和線性區(qū)間長度的和，即總接近度。5.2.3模型的求解一、模型求解通過lingo求解得出第一段線性區(qū)間弧對應(yīng)的角度為118.1度，第二段線性區(qū)間弧對應(yīng)的角度為64.2度，內(nèi)筒孔縱橫向的比例為0.847，主要工作區(qū)中所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度的線性區(qū)間的長度達(dá)“最大范圍”區(qū)間長度的85.74%，主要工作區(qū)的最大“過流面積”可達(dá)到外筒孔面積的85%。二、結(jié)