2014年國慶高中數(shù)學(xué)競賽班型入學(xué)測試答案

2014 年 國慶 數(shù)學(xué) 競賽 班型 入學(xué)測試 答案 及分析建議 試卷說明 本測試與 全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 難度相當(dāng)。 希望學(xué)員經(jīng)由本試卷了解數(shù)學(xué)聯(lián)賽題型及難度。 如有學(xué)員希望單獨(dú)得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結(jié)果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨(dú)以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進(jìn)行評閱并進(jìn)行個(gè)性化分析。 （ 2014 年 國慶 集 中培訓(xùn)課程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-1 2014-9-13 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂學(xué)科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學(xué)競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學(xué)競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學(xué)堂官方博客 /tsba 清北學(xué)堂微信訂閱號 學(xué)習(xí)資料最新資訊 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年 國慶 數(shù)學(xué) 競賽班 型 入學(xué)測試 答案 一試難度 一、 填空題：本大題共 8小題，每小題 8分，共 64分 1、 （ 8 分） 81. 【解】 由題設(shè)知， n 恰有 5 個(gè)約數(shù) .設(shè) n 的質(zhì)因數(shù)分解是 11 kkn p p ，則 n的約數(shù)個(gè)數(shù)為1( 1) ( 1)k，所以 1( 1) ( 1)k 5 ，故 n 具有 4p 的形式，而443 8 1, 5 6 2 5 5 0 0 ，故 n 的最大值為 81. 2、 （ 8 分） 3021 3 【解】 據(jù) 0 1 3 1a ，1 1 3 1 3 11 1 22231a ， 2 22 2 3 1 4 3 131a ， 3 315 2a ， 4 7 3 1a ， 易得， 2 3 1 3 1kak ，21 3132 2kak ；所以2014 3021 3a 3、 （ 8 分） 16 【解】1 233( 2 )42A BDS ， 設(shè) 1AC 與 1ABD 所在 平面交于 M ， AM h ， 據(jù) 四面體 1AABD 的體積關(guān)系 得 1 1 33 2 3 2h ，所以 33h ， 而 1 3AC ，則 1 233CM ，正四面體 11ABCD 與 11ABCD 中，面 1ABD 面 11CBD ，其余三對底面也相平行，則 11ABCD 位于正四面體 11ABCD 外側(cè)部分是四個(gè)全等的正四面體 ，1 1 111 1 2 3 3 13 3 3 2 3A B C D A B DV C M S , 1131128AA BC DVV , 故1 1 1 1 1 11 1 14 826A B C D A B C D A B C DV V V V 公 共 4、 （ 8 分） 225 【解】 據(jù)條件， 221 1 1f x f yf x y ，由于 f x f x ，只須考慮 ,xy R 的情況，令 ,x u y v，化為 1 1 1f u v f u f v，再令 1 , 00 , 0ftftgtft ， 則化為 g u v g u g v 1 ， A1 B1CC 1BADD 1清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 據(jù) 1 ， 22g u g u u g u ， 3 2 2 3g u g u u g u g u g u ， 歸納得， g ku kg u ，令 25, 1ku，得 25 25 1gg ，即 1 2525 1ff， 因此 2525f （注：若看出 1 為柯西方程，則可以直接得到 gu cu ，所以 12cfxx，取 1x 得 1 2c ， 22fxx ， 25 25f ） 5、 （ 8 分） 1297 【解】 設(shè) x y z，由于 ( ) ( ) ( ) 2 ( )x y y z x z x y z 為偶數(shù)， 則 2 2 2, ( 1) , ( 2)n n n為兩奇一偶，于是 n 為奇數(shù)，而 1zy ，得 1n 若 3n ，則 222 )2(,)1(, nnn = 22 5,4,3 ，由 2 2 23 4 5 50 ， 得到 25x y z ，并且 25 25xy ，故 0z ，不合； 若 5n ，則 222 )2(,)1(, nnn = 222 7,6,5 ，由 2 2 25 6 7 110 ， 55x y z ， 于是 30, 19 , 6x y z ，這時(shí)有 1297222 zyx 6、 （ 8 分） 212. 【解】 設(shè) cos x ，則問題等價(jià)于：對任意 0,1x ，有 2 211 ( )2x px q . 令 212,1y px q y x . 于是，2 1 22 1 2 122y y y . 故直線 :l y px q 夾在曲線 21 1:1 2xC y x 與 22 21:1 2C y x 之間 . 易知 2OB .于是， O 到 AB 的距離為 1（ O 的坐標(biāo)為（ 0， 212）， A、 B表示弧 2C 的兩個(gè)端點(diǎn)） . 顯然，直接 AB （方程為 21 02xy ）與曲線 1C 相切，是可以夾在曲線 1C 與曲線 2C 之間的惟一直線，故 l 即為 AB，故 211,2pq ，所以 212pq . 7、 （ 8 分） 83 【解】 易知平面 PBD 垂直于平面 ABCD ，且將四棱錐分成兩個(gè)等積的四面體，若點(diǎn) G 到底面及各側(cè)面的距離皆為 1，則 G 在等腰三角形 PBD 的中垂線 PH 上，設(shè) G 在面 PAD上的投影為 E ，平面 GEH 過頂點(diǎn) P ，且交 AD 于 F ，則GEFH 共圓， 060EFH ， 0120EGH ， 從 而3EH EF FH ， 由 此 ， 正 三 角 形 ABD 的高HADBPFGE清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 23AH ，所以 4AB ， 43ABDS ， 0tan 6 0 3PH HF， 1 433P A B D A B DV P H S ， 83P ABCDV 8、 （ 8 分） 13 【解】 首先，我們可以指出 12 個(gè)連續(xù)正整數(shù)，例如 9 9 4 9 9 5 9 9 9 1 0 0 0 1 0 0 5, , , , , ,，其中任一數(shù)的各位數(shù)字之和都不是 7 的倍數(shù)，因此， 13n 再證，任何連續(xù) 13 個(gè)正整數(shù)中，必有一數(shù)，其各位數(shù)字之和是 7 的倍數(shù) . 對每個(gè)非負(fù)整數(shù) a ，稱如下 10 個(gè)數(shù)所構(gòu)成的集合 : 1 0 , 1 0 1 , 1 0 9 aA a a a 為一個(gè)“基本段”， 13 個(gè)連續(xù)正整數(shù)，要么屬于兩個(gè)基本段，要么屬于三個(gè)基本段。當(dāng) 13 個(gè)數(shù)屬于兩個(gè)基本段時(shí)，據(jù)抽屜原理，其中必有連續(xù)的 7 個(gè)數(shù)，屬于同一個(gè)基本段；當(dāng) 13 個(gè)連續(xù)數(shù)屬于三個(gè)基本段 11,a a aA A A時(shí)，其中必有連續(xù) 10 個(gè)數(shù)同屬于 aA .現(xiàn)在設(shè) 1 1 0kka a aa 1 1 0 1 1 0( 1 ) , ( 6 )k k k ka a a a a a a a是屬于同一個(gè)基本段的 7 個(gè)數(shù)，它們的各位數(shù)字之和分別是0 0 0, 1 , , 6 ,k k ki i ii i ia a a 顯然，這 7 個(gè)和數(shù)被 7 除的余數(shù)互不相同，其中必有一個(gè)是 7 的倍數(shù) . 因此，所求的最小值為 13n 二、 解答題：本大題共 3 個(gè)小題，共 56 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 . 9、（ 16 分 ） 給定圓 P： 222x y x及拋物線 S： 2 4yx ，過圓心 P 作直線 l ，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為 , , ,ABCD ，如果線段 ,AB BC CD 的長按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，求直線 l 的方程 . 【解】 圓 P 的方程為 2 211xy ，則其直徑長 2BC ，圓心為 1,0P ，設(shè) l 的方程為1ky x，即 1x ky,代入拋物線方程得： 2 44y ky. 設(shè) 1 1 2 2, , ,A x y D x y， 有 4421 21yy kyy 則 21221221 4)()( yyyyyy ， 故 2222 2 2 2 121 2 1 2 1 2 4yyA D y y x x y y ，kyyyy 22221221 )1(1641)( 因此 )1(4 2 kAD 據(jù) 等 差 ， BCADCDABBC 2 ， 所以63 BCAD ， 即 6)1(4 2 k ， 22k ， 則 l 方程為 122 yx 或 122 yx xyoABCDP清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 10、（ 20 分 ） 已知函數(shù) )(nf 是定義在 N 上的嚴(yán)格增函數(shù)，其值域也在 N 之中，且滿足nnff 3)( .求 (2014)f 【解】 （ 1）首先， 1)1( f .否則，若 1)1( f ，一方面 01)1()1( fff ，另一方面，根據(jù)已知條件有 313)1( ff .矛盾 . 其次， 3)1( f .否則，若 3)1( f ，因?yàn)?)(nf 是關(guān)于 n 的嚴(yán)格增函數(shù)， 所以 3)3()1( fff ，這與已知 13)1( ff 相矛盾 . 綜上所述，可知 2)1( f （因?yàn)?Nnf )( ） . （ 2）由 nnff 3)( ，得 (3 ) ( ( ( ) 3 ( )f n f f f n f n. 故 )3(3)3(3)3( 221 nnn fff = )(32)1(3 Nnf nn . （ 3）由（ 2）知， nnn fff 33)3()32( ，所以， )()32( nn ff nnn 33233 . 而 nnn 3332 ，且 1)()1( nfnf （因?yàn)?)(nf ）是 N 上的嚴(yán)格增函數(shù)）， Nnf )( ，所以， nnnn lllflf 3,2,1.32)3()3( . （ 4） ).3,2,1(33)3(3)3()32( 1 nnnnn llllfflf 故 67( 2 0 1 4 ) ( 2 3 5 5 6 ) 3 3 5 5 6 3 8 5 5 .ff 11、 （ 20 分 ） 各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 na ， 12,a a a b，且對滿足 m n p q 的正整數(shù), , ,mnpq 都有 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a （ 1）當(dāng) 14,25ab時(shí)，求通項(xiàng) ；na （ 2）證明：對任意 a ，存在與 a 有關(guān)的常數(shù) ，使得對于每個(gè)正整數(shù)對于每個(gè)正整數(shù) n ，都有 1 .na 【解】 （ 1）由(1 ) (1 ) (1 ) (1 )pqmnm n p qaaaaa a a a 得 1 2 11 2 1 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnna a a aa a a a 將 1214,25aa代入化簡得 1121.2nnnaa a 所以 11111 ,1 3 1nnaa故數(shù)列 11 nnaa 為等比數(shù)列，從而 1 1 ,13n nnaa 即 31.31nn na 可驗(yàn)證， 3131nn na 滿足題設(shè)條件 . 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 (2) 由題設(shè)(1 )(1 )mnaa的值僅與 mn 有關(guān) , 記為 ,mnb 則111 .(1 ) (1 ) (1 ) (1 )nnnnna a a ab a a a a 考察函數(shù) ( ) ( 0 )(1 ) (1 )axf x x,則在定義域上有 1,111( ) ( ) , 12, 0 11aaf x g a aa aa 故對 *nN ， 1 ()nb g a 恒成立 . 又 2 22 ()(1 )nn nab g aa, 注意到 10 ( ) 2ga,解上式得 1 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1 2 ( )() ,( ) ( )1 ( ) 1 2 ( ) ng a g a g a g aga ag a g ag a g a 取 1 ( ) 1 2 ( )()g a g aga ,即有 1 .na . 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 加試難度 1.已知凸四邊形 ABCD滿足 AB=BC， AD=DC， E是線段 AB上一點(diǎn)， F是線段 AD上一點(diǎn)，滿足 B、E、 F、 D四點(diǎn)共圓，做 DPE順向相似于 ADC；作 BQF 順向相似于 ABC。求證： A、 P、 Q三點(diǎn)共線。（第七屆女子數(shù)學(xué)奧林匹克） 證明：如上圖所示， B、 E、 F、 D四點(diǎn)構(gòu)成的外接圓圓心記為 O點(diǎn)，連結(jié) OB、 OE、 OF、 OD、BD. 在 BDF中， O是外心，故 BOF=2 BDA. 又 ABD CBD， CDA=2 BDA. 于是 BOF= CDA= EPD 由此可知 BOF EPD 另一方面，由 B、 E、 F、 D四點(diǎn)共圓可知 ABF ADE 綜合 可知，四邊形 ABOF四邊形 ADPE， 由此得 BAO= DAP 同理，可得 BAO= DAQ 表明 A、 P、 Q三點(diǎn)共線 .清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 2.已知 a,b,c R+，且滿足 abc=1，求證： 證明：做換元令 ，且 x,y,z R+ 則原不等式等價(jià)于 即 中任意兩個(gè)之和大于 0. 故至多只有 1個(gè) 0. （ 1） 若其中恰有一個(gè) 0，結(jié)論顯然成立 . （ 2） 若每個(gè)都 0，由于 相乘即得不等式成立 .1)11)(11)(11( accbbaxzczybyxa ,1)1)(1)(1( xyxzzxzyyzyxxy zyxzxzyzyx )()(yxzxzyzyx ,222 )(,)(,)( yyxzxzyzyxzzyxxxzyzyx 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 3.設(shè) 的所有系數(shù)都是正的，且 a+b+c=1.對所有滿足： 的正數(shù)組 ，求 的最小值 .（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克） 解： f(1)=a+b+c=1.若 ，則 =1. 若 ，則由 =1知，其中必有一個(gè)小于 1，也必有一個(gè)大于 1. 不妨設(shè) ，將 、 用 1、 代替，考察其變化： 兩式相減 0)1)(1()1)(1()1)(1( 2122212121 xxbcxxacxxxabx 反復(fù)進(jìn)行上述變換，得 故 的最小值為 1. cbxaxxf 2)( 121 nxxx nxxx , 21 )()()( 21 nxfxfxf 121 nxxx )()()( 21 nxfxfxf 1, 21 不全為nxxx nxxx 211,1 21 xx 1x 2x 21xx)()()( 22212121 cbxaxcbxaxxfxf )()()( 212221221221221222212 xxbcxxacxxxxabcxxbxxa )()()1( 21222121 cxbxxaxcbaxxff )1()1()( 212221212221221222212 xxbcxxacxxxxabcxxbxxa)()1()()( 2121 xxffxfxf )1()1()1( 212122212221212121 xxxxbcxxxxacxxxxxa b x1)1()1()1()()()( 21 fffxfxfxf n )()()( 21 nxfxfxf 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程課程入學(xué)測試答案 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 4.請說明是否存在無窮多個(gè) 1,2,3,4這四個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的完全平方數(shù) . 解：存在。 取 （ m,n N+,mn0）只需證明滿足 A 形式的整數(shù)的平方為 1,2,3,4 這四個(gè)數(shù)碼構(gòu)成的