2014年國慶高中物理競賽班型入學測試答案及課程建議VIP

2014 年 國慶 高中 物理競賽 提高班 入學測試答案及課程建議 試卷說明 本測試與 2014 年全國中學生物理競賽復賽 題型相近，并與本次培訓講解的習題難度相當 。希望學員經(jīng)由本試卷了解物理競賽復賽題型及難度，對 15 年 全國中學生物理競賽 舉辦之前的學習進度給出合理安排。 本測試用于學生對水平進行提前自我評估。如有學員希望單獨得到金牌助教們的閱卷及分析，請通過郵箱與我們?nèi)〉寐?lián)系。方式 1：將自測結果（推薦直接在原試卷上給出答案）以照片或掃描件的形式發(fā)送。方式 2：將自測答案單獨以 excel 或 word 形式發(fā)送。我們會在收到答案的兩周內(nèi)進行評閱并進行個性化分析。 （ 2014 年 國慶 集中培訓課程使用） QBXT/JY/RXCSDA2014/9-17 2014-9-10 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數(shù)學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年 國慶 高中 物理競賽 提高班 入學測試 答案 一、 小球以初速 0v 從圖示的 O 點作平拋運動，在空中劃出一條拋物線，用一根光滑的鉛絲彎成此拋物線形狀，并固定于豎直平面內(nèi)，在鉛絲上套一質(zhì)量為 m 的小環(huán)，小環(huán)從 O點以012v的水平初速開始運動，求當小環(huán)下落到距 O 點高為 h 的 P 點處時，它對鉛絲的壓力 N。 （ 25 分） 【 解析 】 首先由最初的拋體運動確定拋物線軌跡為 2021gty tvx 消去參數(shù) t 得 2202 xvgy 因此對 P 點，有 hyvghx P ,2 0 此題要求壓力，即需要知道曲線運動的向心力。對于圓周運動，向心力公式顯而易見為 RvmF 2 此處， R 為圓的半徑。而對于任意曲線，該公式稍作修改后仍舊成立，即對任意曲線運動，向心力公式為 2vmF 此處， 為曲線在該點的曲率半徑。何為曲率半徑？利用極限的思想，我們可以想象，當在曲線上取很小的一段時，這一段曲線可以很接近某一個圓周的一部分，而當曲線上的這一小段無限小時，那么它必然會對應于某一個圓周上的一部分圓弧，所對應的圓周的半徑即為該點的曲率半徑，用數(shù)學式子表示為 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 ss 0lim 我們可以通過微積分的知識證明，任意足夠光滑（二階導數(shù)存在且不為 0）曲線 )(xfy的曲率半徑公式為 yy 232 )1( 這樣，對于該問題中的拋物線，在 P 點，其曲率半徑為 02320 )2(gvghvP 而 P 點的向心力由鐵絲對小球的支持力與小球的重力在垂直于切線方向的分量提供 ，因此 ， 還需要知道 P 點切線的方向。顯然， P 點處切線的斜率為 02ta n v ghk P 當小球沿與平拋軌跡重合的鐵絲運動時 ， 到達 P 點時的速度由動能定理得 42 202 vghvP P 點出力的關系為 PPvmFNmg 2c o s 又2002cos vghv ， 代入解得 232030)2(4 3 ghv mg vN N 的方向垂直于軌道在 P 點的切線向右上，而小球對軌道的壓力與 N 為一對相互作用力，大小相等，方向相反。 二、 如 圖所示，長為 l 的輕桿，上端固連小球 P，下端固定在水平地面上 O 點處的光滑小的軸承裝置，桿可繞 O 點無摩擦地自由轉動，開始時輕桿與豎直軸夾角 0 45，小球具有與桿垂直且沿水平方向的初始速度 0 2v gl （如圖中所示），而后，細桿將旋轉著朝地面傾倒），小球會與地面發(fā)生碰撞。 （ 1） 計算小球倒地時（前瞬間）豎直向下速度分量 v （ 2） 假設小球與地面碰后瞬間，僅有豎直向上的速度分量，且大小為（ 1）問中 v 的清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 2/2 倍，試求小球與地面間摩擦系數(shù) （設為常數(shù)）的取值范圍。 （ 3） 如果豎直向上方向為 z 軸正向，而且 0z 不是地面，而是一個可以讓細桿穿越的幾何面，即輕桿可以運動到 0z 的下半空間，求小球 P 可以運動到的最小 z坐標。 （ 25 分） 【解析】 首先判斷系統(tǒng)的受力及受力矩情況?？梢悦黠@看到，系統(tǒng)在重力作用下在豎直方向將產(chǎn)生速度，受桿的約束，該速度將垂直于桿，及在豎直平面內(nèi)重力力矩為外力矩，角動量不守恒，但輕桿不能產(chǎn)生不沿著桿的作用力，而初速度及由重力做功產(chǎn)生的速度均垂直于桿，故而桿上的拉力不做功，機械能守恒。在水平面內(nèi)，無外力矩作用，因而在水平面內(nèi)的運動角動量守恒。 （ 1） 水平面內(nèi)角動量守恒，因此在到達地面時，水平面內(nèi)速度由角動量守恒確定為 mvllmv 00 sin 得 glv 。 由 動能定理 得 20220 212121c o s mvmvmvm g l 解得 glv )12( （ 2） 碰撞時 ， 地面對小球有支持力和摩擦力 。 支持力產(chǎn)生沖量使得小球豎直方向的速度發(fā)生改變 ， 而 摩擦力產(chǎn)生的沖量使得小球水平方向的速度減少為 0。這一過程中，設地面對小球的支持力為 F，作用時間為 t，摩擦力為f，作用時間也為 t，由沖量定理得 FfmvtfmvvmtF 解得 3 7 7.0)21( 2 23 （ 3） 小球在 Z 方向上不能繼續(xù)運動，說明豎直平面內(nèi)速度為 0。 此時 ， 由水平面內(nèi)角動量守恒及動能定理 ， 設此時桿與豎直方向的銳角夾角為 ， 則有 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 002020s ins in2121)c o s( c o slmvm VlmvmVm g l 將 450 代入整理得 1)c o s1)(c o s222( 2 解得 122521c o s 因此 ， Z 坐標的最小值為 cosmin lZ 三、 長 l2 的線系住兩相同的小鋼球，放在光滑的地板上，在線中央作用如圖所示的水平恒力 F ，求： （ 1） 鋼球第一次相碰時，在與 F 垂直的方向上鋼球對地的速度。 （ 2） 經(jīng)若干次碰撞后，最后兩球一直處于接觸狀態(tài)下運動，那么因碰撞而失去的總能量是多少？ （ 25 分） 【解析】 分析： 鋼球對地的運動是一個曲線運動，繩對球的拉力作功為變?yōu)樽鞴栴}，因此用牛頓定律來處理本題是行不通的，考慮兩球組成的系統(tǒng)為研究對象，則內(nèi)力（繩中的張力）做功的代數(shù)和為零。 解一 （ 1） 以地面為參照系 設 m 沿 F 方向運動距離 S 時，鋼球第一次碰撞，此時力 F 作用點拉過距離 Sl ，m 除有 F 方向的水平速度外，還有繞作用點 O 的速度，即為所求的 yV ，由質(zhì)點系動能定理有 2222212 ymVxmVyVxVmSlF 對系統(tǒng)而言，水平方向受恒力 F 作用，小鋼球水平加速度恒定，由動力學和運動學關系有 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 xmaF 2 SaxV x 22 聯(lián)立 、 、 式解得 MFlVy （ 2） 最后兩球一直處于接觸狀態(tài) 。 垂直于 F 方向的速度消失 。 由此而失去的能量即為所求，故 FlmVmVE yyk 22212 解二 在 O 系考察，由對稱性可知，質(zhì)心只有水平方向加速度，大小為 mFa 2 在 O 系中，兩鋼球對 O 作圓周運動，鋼球所受慣性力分別為 ma ，繩的拉力作功為零，在質(zhì)心系中，由動能定理有 lmamV y 2212 2 由上式得 mFlVy 四、 一個直徑 1cm、總帶電量 10-8C 的均勻帶電塑料球，用一根絕緣線繩懸掛起來，其最底端與一個鹽水容器的水面相距 1cm。已知鹽水密度為 1000km/m3，求水平面涌起的高度。（ 25 分） 【解析】 鹽水是電的良導體，因此其表面會產(chǎn)生感應電荷，可用電像法解。先假設水面的隆起非常微小以至于遠小于 3r，則電量 Q 在 P 的電場強度為 201 )3(41 rQE P 點上方實際的電場強度為 Q 與其鏡像 -Q 共同產(chǎn)生的電場 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 201 )3(212 rQEE 根據(jù)高斯定理， P 點的表面電荷密度為 20 )3(21 rQE 則水面上單位面積受到的力為 1EAF 該力與因水面升高而產(chǎn)生的附加壓強造成的力抵消 ghAF mmrQrQgh 29.0)3(4 1)3(2 11 202 因此前面的假設是正確的 。 五、 如圖所示，有二平行金屬導軌，相距 l，位于同一水平面內(nèi)（圖中紙面），處在磁感應強度為 B 的勻強磁場中，磁場方向豎直向下（垂直紙面向里）質(zhì)量均為 m 的兩金屬桿 ab和 cd 放在導軌上，與導軌垂直初始時刻， 金屬桿 ab 和 cd 分別位于 x = x0和 x = 0處。假設導軌及金屬桿的電阻都為零，由兩金屬桿與導軌構成的回路的自感系數(shù)為 L。今對金屬桿 cd 施以沿導軌向右的瞬時沖量，使它獲得初速 v0設導軌足夠長， x0也足夠大，在運動過程中，兩金屬桿之間距離的變化遠小于兩金屬桿的初始間距 x0，因而可以認為在桿運動過程中由兩金屬桿與導軌構成的回路的自感系數(shù) L 是恒定不變的。桿與導軌之間摩擦可不計。求兩桿之間的距離第一次達到最大值時導軌構成的回路中的電流 i。 （ 25 分） 【解析】 設在任意時刻 t， ab 桿和 cd 桿的速度分別為 v1和 v2（相對地面參考系 S），當 v1、 v2為正時，表示速度沿 x 軸正方向；若規(guī)定逆時針方向為回路中電流和電動勢的正方向，則因兩桿作切割磁力線的運動而產(chǎn)生的感應電動勢 21 vvBlE (1) 當回路中的電流 i 隨時間的變化率為 ti 時，回路中的自感電動勢 tiLEL (2) 根據(jù)歐姆定律，注意到回路沒有電阻，有 0 LEE (3) y y c a b x O v 0 d 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 金屬桿在導軌上運動過程中，兩桿構成的系統(tǒng)受到的水平方向的合外力為零，系統(tǒng)的質(zhì)心作勻速直線運動設系統(tǒng)質(zhì)心的速度為 VC，有 CmVm 20 v (4) 得 20vCV (5) VC方向與 v0相同，沿 x 軸的正方向 現(xiàn)取一新的參考系 S ，它與質(zhì)心固連在一起，并把質(zhì)心作為坐標原點 O ，取坐標軸 xO與 x 軸平行設相對 S 系，金屬桿 ab 的速度為 u， cd 桿的速度為 u ，則有 uVC 1v (6) uVC 2v (7) 因相對 S 系，兩桿的總動量為零，即有 0 ummu (8) 由 (1)、 (2)、 (3)、 (5)、 (6) 、 (7) 、 (8)各式，得 tiLBlu 2 (9) 在 S 系中，在 t 時刻，金屬桿 ab 坐標為 x ，在 t t 時刻，它的坐標為 xx ，則由速度的定義 txu (10) 代入 (9) 式得 iLxBl 2 (11) 若將 x 視為 i 的函數(shù)，由（ 11）式知 ix 為常數(shù)，所以 x 與 i 的關系可用一直線方程表示 biBlLx 2 (12) 式中 b 為常數(shù)，其值待定現(xiàn)已知在 t 時刻，金屬桿 ab 在 S 系中的坐標 x 021x，這時 i = 0，故得 0212 xiBlLx (13) 或 0212 xxLBli (14) 021x表示 t 0 時刻金屬桿 ab 的位置 x 表示在任意時刻 t，桿 ab 的位置，故 021xx就是桿 ab 在 t 時刻相對初始位置的位移，用 X 表示， 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 021 xxX (15) 當 X0 時， ab 桿位于其初始位置的右側；當 X0 時， ab 桿位于其初始位置的左側代入 (14)式，得 XLBli 2 (16) 這時作用于 ab 桿的安培力 XL lBiB lF 222 (17) ab 桿在初始位置右側時，安培力的方向指向左側； ab 桿在初始位置左側時，安培力的方向指向右側，可知該安培力具有彈性力的性質(zhì)金屬桿 ab 的運動是簡諧振動，振動的周期 LlB mT 2222 (18) 在任意時刻 t， ab 桿離開其初始位置的位移 tTAX 2co s (19) A 為簡諧振動的振幅， 為初相位，都是待定的常量通過參考圓可求得 ab 桿的振動速度 tTTAu 2s in2 (20) (19)、 (20)式分別表示任意時刻 ab 桿離開初始位置的位移和運動速度現(xiàn)已知在 t 0時刻， ab 桿位于初始位置，即 X = 0 速度 0000 2121 vvvv CVu 故有 cos0 A s in220 TAv 解這兩式，并注意到 (18)式得 23 (21) 224 00 mLBlTA vv (22) 由此得 ab 桿的位移 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 tTmLBltTmLBlX 2s i n22232co s22 00 vv （ 23） 由參考圓可以知道，經(jīng)過 t=3T/4 時間，兩桿距離第一次達到最大值?；芈分械碾娏饔?16) 式得 LmTTmLBlvLBlXLBli 2v)432(s in2222 00 六、 有一內(nèi)徑均勻，兩支管等長（長度大于 cm78 ）的 U 型管 ACDB ， A 端封密， B 端開口。用水銀將一定質(zhì)量的理想氣體封閉在 A 端后，將管豎直倒立，如圖所示。平衡時兩管中水銀面高度差為 cm2 ，此時閉管中氣柱的長度 cml 380 。若保持溫度不變，不計水銀與管壁的摩擦，當輕輕晃動一下 U 型管使左端液面上升或下降 h（ cmh 2 ）時，將出現(xiàn)什么現(xiàn)象，試加以討論并說明理由。 （ 25 分） 【解析】 本題由于玻璃管的形狀較為特殊，因此液面上下晃動以后可能產(chǎn)生多種情況，需要把管內(nèi) CD 部分水銀柱所受左、右兩邊的壓強差 P 的表達式寫出來，然后加以分析。 以 A 端密封氣柱為研究對象，以最初平衡位置為初態(tài)，左端液面上升（或下降）了 h（設此時液柱速度為零）為末態(tài)，根據(jù)玻意爾定律可得 ShLPSLP 000 2 解得 hLLPP000 2 此時 U 型管內(nèi) CD 段水銀柱所受左、右兩邊的壓強差 hPPhPPP 2222 00 代入 得： hhhP 38 22 由此可見， P 可正可負， h 為 1（或 -1）是臨界值，現(xiàn)討論如下： 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 （ 1）如果 cmh 1 ， 0P ，水銀柱將被壓回原來位置，并在原來平衡位置附近振動。 （ 2）如果 cmh 1 ， 0P ，水銀柱將繼續(xù)受到一個向右的壓強，左端水銀面將繼續(xù)上升，而且從 P 的表達式可以看出， h 越大， P 也越大，水銀將不斷地由 A 管流向 B 管。由于兩管長度和水銀柱長度都大于 78cm，當 A 管液面上升到 C 時， B 管中水銀柱長度大于 76cm，因此水銀柱將繼續(xù)流向 B 管，直至有一部分水銀流出 B 管口。 （ 3）如果 h=1cm，而且此時水銀柱速度又恰好為零，那么由于 P=0，所以，這是一個新的平衡位置。但這是一個不穩(wěn)定平衡，如果稍有擾動，水銀柱就將離開這個位置。如果A 端液面因受擾動而向下運動，那么將出現(xiàn)（ 1）中情況；如果 A 端液面因受擾動而向上運動，那么將出現(xiàn)（ 2）中情況。 七、 一圓柱形的薄 壁玻璃容器浮于水面上，容器底的水深為 h，橫截面的直徑為 d，容器內(nèi)底的正中有一物點 A，如圖所示。人眼位于容器壁外水面的上方，斜向下去看物點 A，發(fā)現(xiàn)人眼在某些位置將看不到物點 A，試求此 “盲區(qū) ”的范圍（用人眼和 B 點的連線與豎直方向的夾角 表示），已知水的折射率 n=4/3。 （ 25 分） 【解析】 光從角 B 上方能直接射出，而射向角 B 下方的光有 tg1=2h/d sin1= 242:2 由折射定律 ： sin1=nsin1 sin1=1 242:2 要光能從水面射出，則應滿足： sin2=cos1=1 422(42:2) 1 1- 422(42:2) 12 可得： h 78d (1)若 h 78d， 則射到角 B 處的光能從水面射出，射出時的折射角為 2 nsin2=sin2 清北學堂集中培訓課程入學測試 答案 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 sin2=2 4242:2 169 4242:2 “盲區(qū) ”的范圍為： /2 1 2 (2)若 h78d， 則