2017華師版九年級數學(上)教案(全冊).doc

第第 22222121 章章 二次根式二次根式 總第二課時總第二課時 22222121 1 1 二次根式二次根式 教學目標 1 了解二次根式的概念 2 掌握二次根式的基本性質 教學重難點關鍵 1 重點 形如 a 0 的式子叫做二次根式的概念 a 2 難點與關鍵 利用 a 0 解決具體問題 a 教學過程 一 復習 當 a 是正數時 表示 a 的算術平方根 即正數 a 的正的平方根 a 當 a 是零時 等于 0 它表示零的平方根 也叫做零的算術平方根 a 當 a 是負數時 沒有意義 a 一二 提出問題 上一節(jié)我們學習了平方根和算術平方根的意義 引進了一個新的記號 現在請同學 a 們思考并回答下面兩個問題 1 表示什么 a 2 a 需要滿足什么條件 為什么 二三 合作交流 解決問題 讓學生合作交流 然后回答問題 可以補充 歸納為 1 當 a 是正數時 表示 a 的算術平方根 即正數 a 的兩個平方根中的一個正數 a 2 當 a 是零時 表示零 也叫零的算術平方根 a 3 a 0 因為任何一個有理數的平方都大于或等于零 三四 歸納特點 引入二次根式概念 1 基本性質 問題 1 你能用一句話概括以上 3 個結論嗎 讓一個學生回答 其他學生補充 概括為 a 0 表示非負數 a 的算術平方根 也就 a 是說 a 0 是一個非負數 即 0 a 0 aa 問題 2 2 a 0 等于什么 說說你的理由并舉例驗證 a 讓學生小組討論或自主探索得出結論 2 a a 0 如 2 4 2 2 等 a42 以上兩個問題的結論就是基本性質 特別是 2 a a 0 可以當公式使用 直接應用 a 于計算 反過來 把 2 a a 0 寫成 a 2 a 0 的形式 這說明 任何一個非負數 a aa 都可以寫成一個數的平方的形式 例如 3 2 0 3 2 30 3 提問 1 0 2對不對 0 2 5 2對不對 如果不對 錯在哪里 5 2 二次根式概念 形如 a 0 的式子叫做二次根式 a 說明 二次根式必須具備以下特點 1 有二次根號 2 被開方數不能小于 0 讓學生舉出二次根式的幾個例子 并判斷 a 0 a o 是不是二次根 5a 3 a a 式 四 范例 例 1 x 是怎樣的實數時 二次根式有意義 1 x 分析要使二次根式有意義 必須且只須被開方數是非負數 解 被開方數 x 1 0 即 x 1 所以 當 x 1 時 二次根式有意義 1 x 要使式子有意義 字母 x 的取值必須滿足什么條件 x 1 提問 若將式子改為 則字母 x 的取值必須滿足什么條件 x 11 x 五 課堂練習 Pl0 頁練習 1 2 六 思考提高 我們已經研究了 2 a 0 等于 a 現在研究等于什么 aa2 提問 1 對于抽象問題的研究 常常采用什么策略 2 在中 a 的取值有沒有限制 a2 3 取一些數值來驗證 通過驗證 你能發(fā)現什么規(guī)律 因此 今后我們遇到時 可先改寫成 a 的絕對值 a 再按照 a 取正數值 0 還是 a2 負數值來取值 例如當 x 0 時 4x 4x 16x2 4 2與是一樣的嗎 說說你的理由 并與同學交流 aa2 七 小結 1 形如 a 0 的式子叫做二次根式 稱為二次根號 a 2 要使二次根式在實數范圍內有意義 必須滿足被開方數是非負數 1 什么叫做二次根式 你們能舉出幾個例子嗎 2 二次根式有哪兩個形式上的特點 3 二次根式有哪些性質 八 作業(yè) 習題 22 1 第 1 2 3 4 題 教學后記 教學后記 2221 2 二次根式的乘除法二次根式的乘除法 總第三課時總第三課時 第一課時第一課時 二次根式的乘除法二次根式的乘除法 教學目標 1 使學生掌握二次根式的乘法運算法則 會用它進行簡單的二次根式的乘法運算 2 使學生掌握積的算術平方根的性質 會根據這一性質熟練地化簡二次根式 3 培養(yǎng)學生合情推理能力 教學重難點關鍵 1 重點 a 0 b 0 a 0 b 0 及它們abababab 的運用 2 難點 發(fā)現規(guī)律 導出 a 0 b 0 abab 3 關鍵 要講清 a 0 b 0 a 0 b 0 及用它們進行計算 a b a b a b a b 和化簡 2 難點關鍵 發(fā)現規(guī)律 歸納出二次根式的除法規(guī)定 教學過程 一 創(chuàng)設問題情境 問題 l 上一節(jié)課 我們采取什么方法來研究二次根式的乘法法則 問題 2 是否也有二次根式的除法法則呢 問題 2 兩個二次根式相除 怎樣進行呢 二 加強合作 探索規(guī)律 自探 學生活動 請同學們完成下列各題 1 填空 1 2 9 16 9 16 16 36 16 36 3 4 4 16 4 16 36 81 36 81 規(guī)律 9 16 9 16 16 36 16 36 4 16 4 16 36 81 36 81 2 利用計算器計算填空 1 2 3 4 3 4 2 3 2 5 7 8 規(guī)律 3 4 3 4 2 3 2 3 2 5 2 5 7 8 7 8 每組推薦一名學生上臺闡述運算結果 老師點評 根據大家的練習和回答 歸納 b a b a 讓抽象的問題具體化 這是我們研究抽象問題的一個重要方法 請同學們 參考二次根式的乘法法則的研究 分組討論兩個二次根式相除 會有什么結論 并提出你的見解 然后其他小組同學補充 歸納為 b a b a 提問 1 a 和 b 有沒有限制 如果有限制 其取值范圍是什么 2 a 0 b 0 成立嗎 為什么 請舉例 b a b a 三 范例 例 1 計算 3 15 3 24 教學要求 1 對于 1 可由教師解答示范 2 對于 2 可由學生自己計算 提問 1 除了課本中的解答外 是否還有其他解法 如果有 請給出另外解法 2 哪種方法更簡便 例 2 化簡 要求分母不帶根號 2 1 說明 二次根式的化簡要求滿足以下兩條 1 被開方數的因數是整數 因式是整式 也就是說 被開方數不含分母 2 被開方數中不含能開得盡的因數或因式 也就是說 被開方數的每一個 因數或因式的指數都小于 2 把一個二次根式化簡的具體方法是 化去根號下的分母 并把被開方數中 能開得盡方的因數或因式用它的算術平方根代替后移到根號外面 四 做一做 化簡 5 1 20 8 教學要點 1 叫兩位同學板演 其他同學做完練習進行評價 2 可用提問 的方式引導學生探索其他解法 五 應用拓展 已知 且 x 為偶數 求 1 x 的值 99 66 xx xx 2 25 4 1 xx x 分析 式子 只有 a 0 b 0 時才能成立 a b a b 因此得到 9 x 0 且 x 6 0 即 60 并 b a b a 利用它進行計算和化簡 化簡要做到 被開方數不含分母 和 被開方數的每 一個因數或因式的指數都小于 2 具體辦法是 化去根號下的分母 并把被開 方數中能開得盡方的因數或因式用它的算術平方根代替后移到根號外面 化簡 的具體方法可用于計算 七八 作業(yè) P14 頁習題 2221 2 2 2 3 3 3 教學后記 教學后記 總第五課時 22 3二次根式的加減法二次根式的加減法 一 一 教學目標 1 使學生知道什么是同類二次根式 會辨別兩個根式是否同類二次根式 2 使學生會通過合并同類二次根式 進行二次根式的加法與減法運算 3 使學生通過二次根式的加減 進一步了解歸類的思想方法 重難點關鍵 1 重點 二次根式化簡為最簡根式 2 難點關鍵 會判定是否是最簡二次根式 教學過程 一 創(chuàng)設問題情境 1 化簡 1827128 2 試一試計算 3 2 3 2 33aa 二 做一做 1 觀察以上兩道計算題 你聯(lián)想到什么 讓學生類比 聯(lián)想 討論 交流 然后舉手回答 老師歸納 評價 2 你能試著解決它嗎 讓學生動手計算 鼓勵學生加強合作 同桌 上下桌同學可以互相交流 并請兩位同學上臺板演 教師進行講評 上面兩個例子表明 遇到兩個二次根式相加 或加減 時 我們希望利用分 配律 這里利用分配律的實質是要求這兩個二次根式的被開方數相同 這種類 似的情況我們過去也遇到過 將兩個單項式相加 如果想利用分配律的話 那 就應當要求兩個單項式除了系數以外 其余部分完全相同 這就啟發(fā)我們 類 似在整式的加減中依靠 同類項 那樣 能不能在二次根式的加減中 也依靠 一種 同類二次根式 呢 3 同類二次根式 像 3和 2 3和 2這樣的兩個二次根式 稱為同類二次根式 33aa 說明 1 被開方數相同 問 與 3是不是同類二次根式 3515 2 二次根式不能再化簡 3 與二次根式的系數無關 4 你還能說出幾個與 3同類的二次根式嗎 3 三 舉例與應用 二次根式的加減 與整式的加減相類似 只需對同類二次根式進行合并 例 1 計算 3 2 3 2323 例 2 計算 81812 提問 1 這里三個加項中有同類二次根式嗎 2 能否將它們化簡 化簡情況詳見上面 可以發(fā)現 有些二次根式是同類二次根式 而有些不 是 將同類二次根式合并 就可以得到最后的結果 小結 先化簡 再合并同類二次根式 例 3 計算 1 2 2 503227345 讓學生試試看 完成例 3 的計算 四 課堂練習 P14 頁練習 1 2 思考 P14 頁打開計算黑盒 五 小結 這節(jié)課 我們學習了同類二次根式概念 同類二次根式必須滿足兩個條件 1 它們都是最簡二次根式 2 它們被開方數必須完全相同 同時 我們還學習 了二次根式的加法與減法運算 通過運算我們知道 二次根式相加減的實質就 是合并同類二次根式 為了確認哪些二次根式是同類二次根式 我們先要把被 確認的二次根式都化成最簡二次根式 再按它們的被開方數是否完全相同去判 斷 六 作業(yè) 寫在小黑板上 一 選擇題 1 以下二次根式 中 與是同類二次根式的12 2 2 2 3 273 是 A 和 B 和 C 和 D 和 2 下列各式 3 3 6 1 2 233 1 7 72682 24 3 其中錯誤的有 A 3 個 B 2 個 C 1 個 D 0 個2 二 填空題 1 在 3 2中 與是同8 1 75 3 a 2 9 3 a 125 3 2 3a a 0 2 1 8 3a 類二次根式的有 2 計算二次根式 5 3 7 9的最后結果是 abab 三 綜合提高題 1 已知 2 236 求 的值 結果精確到580 4 1 5 1 3 5 4 45 5 0 01 2 先化簡 再求值 6x 4x 其中 x y 27 y x 3 3 xy y x y 36xy 3 2 習題 2221 3 3 4 5 教學后記 教學后記 教學后記 總第六課時 二次根式的加減 二 教學內容 利用二次根式化簡的數學思想解應用題 教學目標 運用二次根式 化簡解應用題 重難點關鍵 講清如何解答應用題既是本節(jié)課的重點 又是本節(jié)課的難點 關鍵點 教學過程 一 設疑自探 解疑合探 上節(jié)課 我們已經學習了二次根式如何加減的問題 我們把它歸為兩個步驟 第一步 先將二次根式化成最簡二次根式 第二步 再將被開方數相同的二次根式進行合并 下面 我們研究三道題以做鞏固 自探 1 如圖所示的 Rt ABC 中 B 90 點 P 從點 B 開始沿 BA 邊 以 1 厘米 秒的速度向點 A 移動 同時 點 Q 也從點 B 開始沿 BC 邊以 2 厘 米 秒的速度向點 C 移動 問 幾秒后 PBQ 的面積為 35 平方厘米 PQ 的距 離是多少厘米 結果用最簡二次根式表示 分析 設 x 秒后 PBQ 的面積為 35 平方厘米 那么 PB x BQ 2x 根 據三角形面積公式就可以求出 x 的值 解 設 x 后 PBQ 的面積為 35 平方厘米 則有 PB x BQ 2x 依題意 得 x 2x 35 x2 35 x 1 2 35 所以秒后 PBQ 的面積為 35 平方厘米 35 PQ 5 22222 455 35PBBQxxx 7 答 秒后 PBQ 的面積為 35 平方厘米 PQ 的距離為 5厘357 米 自探 2 要焊接如圖所示的鋼架 大約需要多少米鋼材 精確到 0 1m 解 由勾股定理 得 AB 2 2222 4220ADBD 5 BC 2222 21BDCD 5 所需鋼材長度為 AB BC AC BD 2 5 2 55 3 7 3 2 24 7 13 7 m 5 答 要焊接一個如圖所示的鋼架 大約需要 13 7m 的鋼材 三 質疑再探 同學們 通過學習你還有什么問題或疑問 與同伴交流一下 四 應用拓展 若最簡根式與根式是同類二次根式 求 a b 的值 3 43 a b ab 232 26abbb 注 同類二次根式就是被開方數相同的最簡二次根式 分析 同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后 被開方數相同 事實 上 根式不是最簡二次根式 因此把化簡成 b 232 26abbb 232 26abbb 才由同類二次根式的定義得 3a b 2 2a b 6 4a 3b 26ab 解 首先把根式化為最簡二次根式 232 26abbb b 232 26abbb 2 2 16 ba 26ab 由題意得 a 1 b 1 4326 32 abab ab 246 32 ab ab 五 歸納小結 師生共同歸納 本節(jié)課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問 題 六 作業(yè)設計 寫在小黑板上 一 選擇題 1 已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為 5 和 5 那么斜邊的長應為 A 5 B C 2 D 以上都不對2505 2 小明想自己釘一個長與寬分別為 30cm 和 20cm 的長方形的木框 為了增加其穩(wěn)定 性 他沿長方形的對角線又釘上了一根木條 木條的長應為 米 A 13 B C 10 D 510013001313 二 填空題 1 某地有一長方形魚塘 已知魚塘的長是寬的 2 倍 它的面積是 1600m2 魚塘的寬 是 m 2 已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為 那么這個等腰直角三角形的周長是2 三 綜合提高題 1 若最簡二次根式與是同類二次根式 求 m n 的值 2 2 32 3 m 2 12 410 n m 2 同學們 我們以前學過完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 你一定熟練掌握了吧 現在 我們又學習了二次根式 那么所有的正數 包括 0 都可以看作是一個數的平方 如 3 2 3 5 2 你知道是誰的二次根式呢 下面我們觀察 5 1 2 2 2 1 12 2 2 1 3 2 22222 反之 3 2 2 2 1 1 2 3 2 1 2 12222232 2 2 求 1 2 3 你會算嗎 32 2 42 3 412 4 若 則 m n 與 a b 的關系是什么 并說明理由 2ab mn 教學后記 總第七課時 二次根式的加減 三 教學內容 含有二次根式的單項式與單項式相乘 相除 多項式與單項式相乘 相除 多 項式與多項式相乘 相除 乘法公式的應用 教學目標 1 含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應 用 2 復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除 乘方等運 算 重難點關鍵 1 重點 二次根式的乘除 乘方等運算規(guī)律 2 難點關鍵 由整式運算知識遷移到含二次根式的運算 教學過程 一 設疑自探 解疑合探 自探 1 學生活動 請同學們完成下列各題 1 計算 1 2x y zx 2 2x2y 3xy2 xy 2 計算 1 2x 3y 2x 3y 2 2x 1 2 2x 1 2 老師點評 這些內容是對八年級上冊整式運算的再現 它主要有 1 單項式 單項 式 2 單項式 多項式 3 多項式 單項式 4 完全平方公式 5 平方差公式的運用 如果把上面的 x y z 改寫成二次根式呢 以上的運算規(guī)律是否仍成立呢 仍成 立 整式運算中的 x y z 是一種字母 它的意義十分廣泛 可以代表所有一切 當然 也可以代表二次根式 所以 整式中的運算規(guī)律也適用于二次根式 自探 2 計算 1 2 4 3 2683622 分析 剛才已經分析 二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律 所以直接可用整式的運 算規(guī)律 自探 3 計算 1 6 3 2 55107107 分析 剛才已經分析 二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成 立 二 質疑再探 同學們 通過學習你還有什么問題或疑問 與同伴交流一下 三 應用拓展 已知 2 其中 a b 是實數 且 a b 0 xb a xa b 化簡 并求值 1 1 xx xx 1 1 xx xx 分析 由于 1 因此對代數式的化簡 可先將分母有1x x1x x 理化 再通過解含有字母系數的一元一次方程得到 x 的值 代入化簡得結果即可 解 原式 2 1 1 1 xx xxxx 2 1 1 1 xx xxxx x 1 x 2 x 2 4x 2 2 1 1 xx xx 2 1 1 xx xx 1 x x 1 x x 2 b x b 2ab a x a bx b2 2ab ax a2 xb a xa b a b x a2 2ab b2 a b x a b 2 a b 0 x a b 原式 4x 2 4 a b 2 四 歸納小結 師生共同歸納 本節(jié)課應掌握二次根式的乘 除 乘方等運算 五 作業(yè)設計 寫在小黑板上 一 選擇題 1 3 2 的值是 2415 2 2 3 2 A 3 B 3 C 2 D 20 3 33030 2 3 330 2 3 3 20 3 3 30 2 計算 的值是 A 2 B 3 C 4 x1x x1x D 1 二 填空題 1 2的計算結果 用最簡根式表示 是 1 2 3 2 2 1 2 1 2 2 1 2的計算結果 用最簡二次根式表示 是 333 3 若 x 1 則 x2 2x 1 2 4 已知 a 3 2 b 3 2 則 a2b ab2 22 三 綜合提高題 1 化簡 57 10141521 2 當 x 時 求 的值 結果用最簡二次根 1 21 2 2 1 1 xxx xxx 2 2 1 1 xxx xxx 式表示 六 反思及感想 第第 2121 章二次根式復習課教學設計章二次根式復習課教學設計 教學目標教學目標 1 使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質 并能熟練地化簡含二次根式的式子 2 熟練地進行二次根式的加 減 乘 除混合運算 教學重點教學重點 含二次根式的式子的混合運算 教學難點教學難點 綜合運用二次根式的性質及運算法則化簡和計算含二次根式的式子 教學方法教學方法 典例解析法 教學準備教學準備 小黑板 三角尺 教學過程教學過程 知識回顧知識回顧 1 1 二次根式 二次根式 式子 0 叫做二次根式 當 0 時 0 當 0 時 aaaaa 在實數范圍內有意義 a 2 2 最簡二次根式 最簡二次根式 必須同時滿足下列條件 被開方數中不含開方開的盡的因數或因式不含開方開的盡的因數或因式 被開方數中不含分母不含分母 分母中不含不含 根式根式 3 3 同類二次根式 同類二次根式 二次根式化成最簡二次根式后 若被開方數相同 則這幾個二次根式就是同類二次根式 4 4 二次根式的性質 二次根式的性質 1 2 0 2 aaa aa2 5 5 二次根式的運算 二次根式的運算 二次根式的加減運算 先把二次根式化成最簡二次根式 然后合并同類二次根式即可 二次根式的乘除運算 0 b 0 abba a 0 0 ba b a b a 設計意圖設計意圖 通過對知識的梳理 讓學生對本章知識有個系統(tǒng)的認知 理清知識點之 間的聯(lián)系 掌握注意的地方 加深對知識的全面理解 例題講解例題講解 例例 1 1 1 使有意義的的取值范圍是 2x x 0 aa 0a a 0 0 a 2 函數中 自變量的取值范圍是 分析 分析 第 2 題的分子是二次根式 分母是含 x 的多項式 因此 x 的取值必須使二次根 式有意義 同時使分母的值不等于零 例例 2 2 下列根式中屬最簡二次根式的是 A B C D 2 1a 1 2 827 分析 分析 B 選項根式被開方數中中含有分母 CD 選項中含有能開得盡方的因數 或式 例例 3 3 下列各式中與是同類二次根式的是 A 2 B C D 分析 分析 判斷是否是同類二次根式前 要對每個根式進行化簡 例例 4 4 計算 1 2 2 3 2 4 分析 分析 根據二次根式的性質可直接得到結論 例例 5 5 化簡 1 2 72 6 12 18 32 75 0 0 x yxy 分析 分析 逆用二次根式乘除法公式結合二次根式的性質可直接得到結論 例例 6 6 計算 1 2 1218832 3 分析 分析 第 1 小題首先要將它們化成最簡二次根式 然后合并同類二次根式 第 2 題即 可以先算括號里的運算 也可以用乘法的分配律展開來計算 第 3 題利用平方差公式運算 簡單 例例 7 7 A a 2 B a 2 C a 2 D a 2 分析 分析 故 a 2 0 基礎訓練基礎訓練 1 下列根式中不是最簡二次根式的是 A A B B C C D D 10862 2 的倒數是 3 3 下列計算正確的是 A B C D 4 下列運算正確的是 A B C D 4 06 1 5 15 1 2 39 3 2 9 4 5 已知等邊三角形 ABC 的邊長為33 則 ABC 的周長是 6 比較大小 10 7 下列各組二次根式中是同類二次根式的是 A B C D 2 1 12與2718與 3 1 3與 5445與 8 已知二次根式與是同類二次根式 則的 值可以是 A 5 B 6 C 7 D 8 9 若 則 230ab 2 ab 10 計算 1 2 3 4 2712 4 1 48 課堂小結課堂小結 1 本節(jié)課復習的五個基本問題是 二次根式 這一章的主要基礎知識 同學們要深刻理 解并牢固掌握 2 在一次根式的化簡 計算及求值的過程中 應注意利用題中的使二次根式有意義的條 件 或題中的隱含條件 即被開方數為非負數 以確定被開方數中的字母或式子的取值范 圍 3 運用二次根式的四個基本性質進行二次根式的運算時 一定要注意論述每一個性質中 字母的取值范圍的條件 4 通過例題的討論 要學會綜合 靈活運用二次根式的意義 基本性質和法則以及有關 多項式的因式分解 解答有關含二次根式的式子的化簡 計算及求值等問題 課堂作業(yè)課堂作業(yè) 課本復習第 1 2 3 4 5 6 題 板書設計板書設計 課題 二次根式章節(jié)復習 知識點 例題 4 5 6 7 小結 1 2 3 4 5 例題 1 2 3 練習 第第 2323 章章 一元二次方程一元二次方程 23 1 一元二次方程一元二次方程 教學目標教學目標 1 知道一元二次方程的定義 能熟練地把一元二次方程整理成一般形式 0 2 cbxax a 0 2 在分析 揭示實際問題的數量關系并把實際問題轉化為數學模型 一元二次方程 的過程中使學生感受方程是刻畫現實世界數量關系的工具 增加對一元二次方程的感性認 識 3 會用試驗的方法估計一元二次方程的解 重點難點重點難點 1 一元二次方程的意義及一般形式 會正確識別一般式中的 項 及 系數 2 理解用試驗的方法估計一元二次方程的解的合理性 教學過程教學過程 一 做一做 1 問題一 綠苑小區(qū)住宅設計 準備在每兩幢樓房之間 開辟面積為 900 平方米的一 塊長方形綠地 并且長比寬多 10 米 那么綠地的長和寬各為多少 分 析 設長方形綠地的寬為 x 米 不難列出方程 x x 10 900 整理可得 x2 10 x 900 0 1 2 問題 2 學校圖書館去年年底有圖書 5 萬冊 預計到明年年底增加到 7 2 萬冊 求這兩年的年平均增 長率 解 設這兩年的年平均增長率為 x 我們知道 去年年底的圖書數是 5 萬冊 則今年年底 的圖書數是 5 1 x 萬冊 同樣 明年年底的圖書數又是今年年底的 1 x 倍 即 5 1 x 1 x 5 1 x 2萬冊 可列得方程 5 1 x 2 7 2 整理可得 5x2 10 x 2 2 0 2 3 思考 討論 這樣 問題 1 和問題 2 分別歸結為解方程 1 和 2 顯然 這兩個方程都不是一元一次 方程 那么這兩個方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里 它們有什么共同特點呢 學生分組討論 然后各組交流 共同特點 1 都是整式方程 2 只含有一個未知數 3 未知數的最高次數是 2 二 一元二次方程的概念 上述兩個整式方程中都只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是 2 這樣的方程叫做 一元二次方程 通?？蓪懗扇缦碌囊话阈问?ax2 bx c 0 a b c 是已知數 a 0 其中 2 ax 叫做二次項 a叫做二次項系數 bx叫做一次項 b叫做一次項系數 c叫做常數項 三 例題講解與練習鞏固 1 例 1 下列方程中哪些是一元二次方程 試說明理由 1 3523 xx 2 4 2 x 3 2 1 1 2 x x x 4 22 2 4 xx 2 例 2 將下列方程化為一般形式 并分別指出它們的二次項系數 一次項系數和常數 項 1 yy 2 6 2 x 2 x 3 8 3 2 2 43 3 xxx 說明 一元二次方程的一般形式 0 2 cbxax a 0 具有兩個特征 一是方程的 右邊為 0 二是左邊的二次項系數不能為 0 此外要使學生意識到 二次項 二次項系數 一次項 一次項系數 常數項都是包括符號的 3 例 3 方程 2a 4 x2 2bx a 0 在什么條件下此方程為一元二次方程 在什么條件 下此方程為一元一次方程 本題先由同學討論 再由教師歸納 解 當a 2 時是一元二次方程 當a 2 b 0 時是一元一次方程 4 例 4 已知關于 x 的一元二次方程 m 1 x2 3x 5m 4 0 有一根為 2 求 m 分析 一根為 2 即 x 2 只需把 x 2 代入原方程 5 練習一 將下列方程化為一般形式 并分別指出它們的二次項系數 一次項系數和常數 項 xx322 2 2x x 1 3 x 5 4 23112 22 yyyy 練習二 關于x的方程 0 3 2 mnxxm 在什么條件下是一元二次方程 在什么 條件下是一元一次方程 本課小結 本課小結 1 只含有一個未知數 并且未知數的最高次數是 2 的整式方程 叫做一元二次方程 2 一元二次方程的一般形式為 0 2 cbxax a 0 一元二次方程的項及系數都是 根據一般式定義的 這與多項式中的項 次數及其系數的定義是一致的 3 在實際問題轉化為數學模型 一元二次方程 的過程中 體會學習一元二次方程的 必要性和重要性 布置作業(yè)布置作業(yè) 課本習題 23 1 1 2 3 教學后記教學后記 23 223 2 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 第一課時第一課時 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教學目標 教學目標 1 會用直接開平方法解形如 bkxa 2 a 0 ab 0 的方程 2 靈活應用因式分解法解一元二次方程 3 使學生了解轉化的思想在解方程中的應用 滲透換遠方法 重點難點重點難點 合理選擇直接開平方法和因式分解法較熟練地解一元二次方程 理解一元二次方程無實根 的解題過程 教學過程教學過程 問 怎樣解方程 2 1256x 的 讓學生說出作業(yè)中的解法 教師板書 解 1 直接開平方 得 x 1 16 所以原方程的解是 x1 15 x2 17 2 原方程可變形為 2 12560 x 方程左邊分解因式 得 x 1 16 x 1 16 0 即可 x 17 x 15 0 所以 x 17 0 x 15 0 原方程的蟹 x1 15 x2 17 二 例題講解與練習鞏固 1 例 1 解下列方程 1 x 1 2 4 0 2 12 2 x 2 9 0 分 析 兩個方程都可以轉化為 bkxa 2 a 0 ab 0 的形式 從而用直接開平方法求解 解 1 原方程可以變形為 x 1 2 4 直接開平方 得 x 1 2 所以原方程的解是 x1 1 x2 3 原方程可以變形為 有 所以原方程的解是 x1 x2 2 說明 1 這時 只要把 1 x 看作一個整體 就可以轉化為 bx 2 b 0 型的 方法去解決 這里體現了整體思想 3 練習一 解下列方程 1 x 2 2 16 0 2 x 1 2 18 0 3 1 3x 2 1 4 2x 3 2 25 0 三 讀一讀 四 討論 探索 解下列方程 1 x 2 2 3 x 2 2 2y y 3 9 3y 3 x 2 2 x 2 0 4 2x 1 2 x 1 2 5 4912 2 xx 本課小結本課小結 1 對于形如 bkxa 2 a 0 ab 0 的方程 只要把 kx 看作一個整體 就可轉 化為 nx 2 n 0 的形式用直接開平方法解 2 當方程出現相同因式 單項式或多項式 時 切不可約去相同因式 而應用因式分解法 解 布置作業(yè)布置作業(yè) 課本第 37 頁習題 1 5 6 P38 頁習題 2 1 2 教學后記 教學后記 第二課時第二課時 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教學目標教學目標 1 掌握用配方法解數字系數的一元二次方程 2 使學生掌握配方法的推導過程 熟練地用配方法解一元二次方程 3 在配方法的應用過程中體會 轉化 的思想 掌握一些轉化的技能 重點難點重點難點 使學生掌握配方法 解一元二次方程 把一元二次方程轉化為 qpx 2 教學過程教學過程 一 復習提問 解下列方程 并說明解法的依據 1 2 321x 2 2 160 x 3 2 210 x 通過復習提問 指出這三個方程都可以轉化為以下兩個類型 2 2 00 xb bxab b 和 根據平方根的意義 均可用 直接開平方法 來解 如果 b 0 方程就沒有實數解 如 2 12x 請說出完全平方公式 2 22 2 22 2 2 xaxaxa xaxaxa 二 引入新課 我們知道 形如 0 2 Ax 的方程 可變形為 0 2 AAx 再根據平方根的意義 用直接開平方法求解 那么 我們能否將形如 2 0 xbxc 的一類方程 化為上述形式 求解呢 這正是我們這節(jié)課要解決的問題 三 探索 1 例 1 解下列方程 2 x 2x 5 2 2 x 4x 3 0 思 考 能否經過適當變形 將它們轉化為 2 a 的形式 應用直接開方法求解 解 1 原方程化為 2 x 2x 1 6 方程兩邊同時加上 1 2 原方程化為 2 x 4x 4 3 4 方程兩邊同時加上 4 三 歸 納 上面 我們把方程 2 x 4x 3 0 變形為 2 2x 1 它的左邊是一個含有未知數的完全 平方式 右邊是一個非負常數 這樣 就能應用直接開平方的方法求解 這種解一元二次方程 的方法叫做配方法 注意到第一步在方程兩邊同時加上了一個數后 左邊可以用完全平方公式從而轉化為用直 接開平方法求解 那么 在方程兩邊同時加上的這個數有什么規(guī)律呢 四 試一試 對下列各式進行配方 22 8 xxx 22 10 xxx 22 5 xxx 22 9 xxx 22 2 3 xxx 22 xbxx 通過練習 使學生認識到 配方的關鍵是在方程兩邊同時添加的常數項等于一次項系數一 半的平方 五 例題講解與練習鞏固 1 例 2 用配方法解下列方程 1 2 x 6x 7 0 2 2 x 3x 1 0 2 練習 填空 1 2 2 6xx 2 2 x 8x x 2 3 2 x x x 2 4 4 2 x 6x 4 x 2 用配方法解方程 1 2 x 8x 2 0 2 2 x 5 x 6 0 3 2 76xx 六 試一試 用配方法解方程 x2 px q 0 p2 4q 0 先由學生討論探索 教師再板書講解 解 移項 得 x2 px q 配方 得 x2 2 x 2 p 2 p 2 2 p 2 q 即 x 2 p 2 4 4 2 qp 因為 p2 4q 0 時 直接開平方 得 x 2 p 2 4 2 qp 所以 x 2 p 2 4 2 qp 即 x 2 4 2 qpp 思 考 這里為什么要規(guī)定 p2 4q 0 七 討 論 1 如何用配方法解下列方程 4x2 12x 1 0 請你和同學討論一下 當二次項系數不為 1 時 如何應用配方法 2 關鍵是把當二次項系數不為 1 的一元二次方程轉化為二次項系數為 1 的一元二次方程 先由學生討論探索 再教師板書講解 解 1 將方程兩邊同時除以 4 得 x2 3x 0 4 1 移項 得 x2 3x 4 1 配方 得 x2 3x 2 2 2 3 4 1 2 3 即 x 2 2 3 2 5 直接開平方 得 x 2 3 2 10 所以 x 2 3 2 10 所以 x1 2 103 x2 2 103 3 練習 用配方法解方程 1 0272 2 xx 2 3x2 2x 3 0 3 0542 2 xx 原方程無實數解 本課小結本課小結 讓學生反思本節(jié)課的解題過程 歸納小結出配方法解一元二次方程的步驟 1 把常數 項移到方程右邊 用二次項系數除方程的兩邊使新方程的二次項系數為 1 2 在方程的兩 邊各加上一次項系數的一半的平方 使左邊成為完全平方 如果方程的右邊整理后是非負數 用直接開平方法解之 如果右邊是個負數 則指出原方 程無實根 布置作業(yè)布置作業(yè) P38 頁習題 2 3 4 5 6 3 4 1 2 教學后記 教學后記 第三課時第三課時 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教學目標教學目標 1 使學生熟練地應用求根公式解一元二次方程 2 使學生經歷探索求根公式的過程 培養(yǎng)學生抽象思維能力 3 在探索和應用求根公式中 使學生進一步認識特殊與一般的關系 滲透辯證唯物廣義觀 點 重點難點重點難點 1 難點 掌握一元二次方程的求根公式 并應用它熟練地解一元二次方程 2 重點 對文字系數二次三項式進行配方 求根公式的結構比較復雜 不易記憶 系數和 常數為負數時 代入求根公式常出符號錯誤 教學過程教學過程 一 復習舊知 提出問題 1 用配方法解下列方程 1 xx1015 2 2 2 1 3120 3 xx 2 用配方解一元二次方程的步驟是什么 3 用直接開平方法和配方法解一元二次方程 計算比較麻煩 能否研究出一種更好的方法 迅速求得一元二次方程的實數根呢 二 探索同底數冪除法法則 問題 1 能否用配方法把一般形式的一元二次方程 2 0 0 axbxca 轉化為 2 2 2 4 4 bbac x aa 呢 教師引導學生回顧用配方法解數字系數的一元二次方程的過程 讓學生分組討論交流 達 成共識 因為 0a 方程兩邊都除以a 得 2 0 bc xx aa 移項 得 2 bc xx aa 配方 得 222 2 222 bbbc xx aaaa A A 即 2 2 2 4 24 bbac x aa 問題 2 當 2 40bac 且 0a 時 2 2 4 4 bac a 大于等于零嗎 讓學生思考 分析 發(fā)表意見 得出結論 當 2 40bac 時 因為 0a 所以 2 40a 從而 2 2 4 0 4 bac a 問題 3 在研究問題 1 和問題 2 中 你能得出什么結論 讓學生討論 交流 從中得出結論 當 2 40bac 時 一般形式的一元二次方程 2 0 0 axbxca 的根為 2 4 22 bbac x aa 即 2 4 2 bbac x a 由以上研究的結果 得到了一元二次方程 2 0 0 axbxca 的求根公式 2 4 2 bbac x a 2 40bac 這個公式說明方程的根是由方程的系數a b c所確定的 利用這個公式 我們 可以由一元二次方程中系數a b c的值 直接求得方程的解 這種解方程的方法叫做 公式法 思考 當 2 40bac 時 方程有實數根嗎 三 例題 例 1 解下列方程 1 2 260 xx 2 2 42xx 3 2 54120 xx 4 2 44101 8xxx 教學要點 1 對于方程 2 和 4 首先要把方程化為一般形式 2 強調確定a b c值時 不要把它們的符號弄錯 3 先計算 2 4bac 的值 再代入公式 例 2 補充 解方程 2 10 xx 解 這里 1a 1b 1c 22 4 1 4 1 130bac 因為負數不能開平方 所以原方程無實數根 讓學生反思以上解題過程 歸納得出 當 2 40bac 時 方程有兩個不相等的實數根 當 2 40bac 時 方程有兩個相等的實數根 當 2 40bac 時 方程沒有實數根 四 課堂練習 1 35 練習 2 閱讀 39 閱讀材料 小結小結 根據你學習的體會 小結一下解一元二次方程一般有哪幾種方法 通常你是如何選擇的 和同學交流一下 作業(yè)作業(yè) 38 習題 4 3 4 5 6 7 8 5 教學后記 第四課時第四課時 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 教學目標教學目標 1 使學生能根據量之間的關系 列出一元二次方程的應用題 2 提高學生分析問題 解決問題的能力 3 培養(yǎng)學生數學應用的意識 重點難點重點難點 認真審題 分析題中數量關系 適當設未知數 尋找等量關系 布列方程是本節(jié)課的重點 也是難點 教學過程教學過程 一 復習舊知 提出問題 1 敘述列一元一次方程解應用題的步驟 2 用多種方法解方程 22 31 69xxx 讓學生嘗試用多種方法解方程 歸結為 解法 1 將方程化為 22 31 3 xx 直接開平方 得3 1 3 xx 解得 1 2x 2 1 2 x 解法 2 將方程化為一般形式 2 2320 xx 進而轉化為 2 3 10 2 xx 用配方法可 求方程的解 解法 3 將方程化為一般形式 2 2320 xx 用公式法求解 其中 22 4 3 4 2 2 25bac 提問 用哪種方法解方程 22 31 69xxx 更簡便 3 現在 你能解決 22 1 的問題 1 了嗎 二 解決問題 請同學們先看看 26 頁問題 1 要想解決 22 1 的問題 1 首先要解方程 2 109000 xx 同學傘能解這個方程嗎 讓學生動手解題并口答結果 1 55 37x 2 55 37x 提問 1 所求 1 x 2 x 都是所列方程的解嗎 2 所求 1 x 2 x 都符合題意嗎 讓學生思考 分析 真正理解負數根不符合題意 應舍去符合題意的解是 2 55 3725 4x 1035 4x 3 1 和 2 說明了什么問題 讓學生交流討論 體會到把實際問題轉化為數學問題來解決 求得方程的解 不一定是原 問題的解答 因此 要注意是檢驗解是否符合題意 作為應用題 還應作答 三 例題 例 1 如圖 一塊長和寬分別為 60 厘米和 40 厘米的長方形鐵皮 要在它的四角截去四個 相等的小正方形 折成一個無蓋的長方體水槽 使它的底面積為 800 平方米 求截去正方形 的邊長 解 設截去正方形的邊長 x 厘米 底面 圖中虛線線部分 長等于 厘米 寬等 于 厘米 S底面 請同學們自己列出方程并解這個方程 討論它的解是否符合題意 由學生回答解題過程 教師板書 解 設截去正方形的邊長為 x 厘米 根據題意 得 60 2x 40 2x 800 解方程得 1 10 x 2 40 x 經檢驗 2 40 x 不符合題意 應舍去 符合題意的解是 1 10 x 答 截去正方形的邊長為 10 厘米 四 課堂練習 36 練習 1 2 小結 小結 讓學生反思 歸納 總結 應用一元二次方程解實際問題 要認真審題 要分析題意 找 出數量關系 列出方程 把實際問題轉化為數學問題來解決 求得方程的解之后 要注意 檢驗是否任命題意 然后得到原問題的解答 作業(yè) 作業(yè) 38 習題 5 6 7 教學后記 第五課時第五課時 一元二次方程的解法一元二次方程的解法 六六 教學目標教學目標 1 使學生會列出一元二次方程解有關變化率的問題 2 培養(yǎng)學生分析問題 解決問題的能力 提高數學應用的意識 重點難點重點難點 本節(jié)課的重點和難點都是列出一元二次方程 解決有關變化率的實際問題 教學過程教學過程 一 創(chuàng)設問題情境 百分數的概念在生活中常常見到 而量的變化率更是經濟活動中經常接觸 下面 我們就 來研究這樣的問題 問題 某商品經兩次降價 零售價降為原來的一半 已知兩次降價的百分率一樣 求每次 降價的百分率 精確到 0 1 二 探索解決問題 分析 兩次降價的百分率一樣 指的是第一次和第二次降價的百分數是一個相同的 值 即兩次按同樣的百分數減少 而減少的絕對數是不相同的 設每次降價的百分率為x 若原價為a 則第一次降價后的零售價為 1 aaxax 又以這個價格為基礎 再算第 二次降價后的零售價 思考 原價和現在的價格沒有具體數字 如何列方程 請同學們聯(lián)系已有的知識討論 交流 解 設原價為 1 個單位 每次降價的百分率為 x 根據題意 得 1 x 2 2 1 解這個方程 得 x 2 22 由于降價的百分率不可能大于 1 所以 x 2 22 不符合題意 因此符合本題要求的 x 為 2 22 29 3 答 每次降價的百分率為 29 3 三 拓展引申 某藥品兩次升價 零售價升為原來的 1 2 倍 已知兩次升價的百分率一樣 求每次升 價的百分率 精確到 0 1 解 設原價為a元 每次升價的百分率為x 根據題意 得 2 1 1 2axa 解這個方程 得 30 1 5 x 由于升價的百分率不可能是負數 所以 30 1 5 x 不符合題意 因此符合題意要求的 x為 30 19 5 5 x 答 每次升價的百分率為 9 5 四 鞏固練習 37 練習 1 2 小結 小結 關于量的變化率問題 不管是增加還是減少 都是變化前的數據為基礎 每次按相同的百 分數變化 若原始數據為a 設平均變化率為x 經第一次變化后數據為 1 ax 經第 二次變化后數據為 2 1 ax 在依題意列出方程并解得x值后 還要依據0 1x 的條件 做符合題意的解答 作業(yè) 作業(yè) 38 習題 8 9 教學后記 23 3 實踐與探索實踐與探索 一一 教學目標教學目標 1 學生在已有的一元二次方程的學習基礎上 能夠對生活中的實際工資問題進行數學建模 解決問題 從而進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效數學模型 2 讓學生積極主動參與課堂自主探究和合作交流 并在其中體驗發(fā)現問題 提出問題及解 決問題的全過程 培養(yǎng)學生的數學應用能力 3 學生感受數學的嚴謹性 形成實事求是的態(tài)度及進行質疑和激發(fā)思考的習慣 獲得成功 的體驗和克服困難的經歷 增進應用數學的自信心 重點難點重點難點 1 重點 利用一元二次方程對實際問題進行數學建模 從而解決實際問題 2 難點 學生分析方程的解 自主探索得到解決實際問題的最佳方案 教學過程教學過程 一 鞏固舊知識 1 解方程 2 708250 xx 并敘述解一元二次方程的解法 2 說說你對實踐問題的解決時 有何經驗 有何體會 二 創(chuàng)設問題情境 小明把一張邊長為10cm的正方形硬紙板的四周剪去一個同樣大小的正方形 再折合 成一個無蓋的長方形盒子 1 如果要求長方體的底面面積為 81cm2 那么剪去的正方形邊長為多少 2 如果按下表列出的長方體底面面積的數據要求 那么剪去的正方形邊長會發(fā)生什么樣 的變化 折合成的長方體的體積又會發(fā)生什么樣的變化 三 嘗試解決問題 1 長方形的底面 正方形的邊長與正方形硬紙板中的什么量有關系 長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長有關系 2 長方形的底面正方形的邊長與正方形硬紙板的邊長存在什么關系 長方形的底面正方形的邊長等于正方形硬紙板的邊長減去剪去的小正方形邊長的 2 倍 3 你能否用數量關系表示出這種關系呢 并求出剪去的小正方形的邊長 解 設剪去的正方形邊長為xcm 依題意得 2 10 81x 109x 1 1x 2 9x 因為正方形硬紙板的邊長為10cm 所以剪去的正方形邊長為1cm 4 請問長方體的高與正方形硬紙板中的什么量有關系 求出此時長方體的體積 長方體的